[r]
(1)Phòng GD & Đt bỉm sơn §Ị thi häc sinh giái líp
TR ờng thcs xi măng năm học 2008-2009
mơn tốn : Thời gian 150phút ( Khơng kể thời gian giao đề )
Ngời đề : Triệu Quốc Khênh
-Câu 1: (5điểm) Tìm số tự nhiên n để: a, A=n3-n2+n-1 số nguyên tố.
b, B = n
4+3n3+2n2+6n −2
n2+2 Có giá trị số nguyên
c, D= n5-n+2 số phơng (n 2) Câu 2: (5điểm) Chứng minh :
a, a
ab+a+1+ b bc+b+1+
c
ac+c+1=1 biÕt abc=1
b, Víi a+b+c=0 th× a4+b4+c4=2(ab+bc+ca)2
c, a
2
b2+
b2
c2+
c2
a2≥
c b+
b a+
a c
Câu 3: (5điểm) Giải phơng trình sau: a, x 214
86 +
x −132
84 +
x −54 82 =6
b, 2x(8x-1)2(4x-1)=9
c, x2-y2+2x-4y-10=0 với x,ynguyên dơng.
Cõu 4: (5điểm) Cho hình thang ABCD (AB//CD), giao điểm hai đờng chéo.Qua kẻ đờng thẳng song song với AB cắt DA E,cắt BCtại F
a, Chøng minh :DiƯn tÝch tam gi¸c AOD b»ng diƯn tÝch tam gi¸c BOC b Chøng minh:
AB + CD=
2 EF
c, Gọi Klà điểm thuộc OE Nêu cách dựng đờng thẳng qua Kvà chia đơi diện tích tam giác DEF
-Hết -Hớng dẫn chấm đề thi học sinh giỏi lớp năm học 08-09 THCS Xi Mng
Câu Nội dung giải Điểm
a, (1điểm) A=n3-n2+n-1=(n2+1)(n-1)
(2)Câu 1 (5®iĨm) 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 b, (2®iĨm) B=n2+3n-
n2
+2
B có giá trị nguyên n2+2
n2+2 ớc tự nhiên 2
n2+2=1 giá trị thoả m·n
Hc n2+2=2 ⇔ n=0 Víi n=0 B có giá trị nguyên.
c, (2điểm) D=n5-n+2=n(n4-1)+2=n(n+1)(n-1)(n2+1)+2
=n(n-1)(n+1)
[
(n2−4)+5]
+2= n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2)+5 n(n-1)(n+1)+2Mµ n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2 ⋮ (tich 5số tự nhiên liên tiếp) Và n(n-1)(n+1 VËy D chia d
Do số D có tận 7nên D khơng phải số phơng Vậy khơng có giá trị n để D số phng
Câu 2
(5điểm)
a, (1điểm) a
ab+a+1+ b bc+b+1+
c
ac+c+1=¿ ac
abc+ac+c+ abc
abc2+abc+ac+ c ac+c+1
= ac
1+ac+c+ abc c+1+ac+
c ac+c+1=
abc+ac+1 abc+ac+1=1
0,5 0,5 0.5 0.5 0.5 0.5 0,5 0,5 0,5 0,5 b, (2®iĨm) a+b+c=0 ⇒ a2+b2+c2+2(ab+ac+bc)=0 ⇒ a2+b2+c2=
-2(ab+ac+bc)
⇒ a4+b4+c4+2(a2b2+a2c2+b2c2)=4( a2b2+a2c2+b2c2)+8abc(a+b+c) V× a+b+c=0
a4+b4+c4=2(a2b2+a2c2+b2c2) (1)
Mặt khác 2(ab+ac+bc)2=2(a2b2+a2c2+b2c2)+4abc(a+b+c) V× a+b+c=0
⇒ 2(ab+ac+bc)2=2(a2b2+a2c2+b2c2) (2)
Tõ (1)vµ(2) ⇒ a4+b4+c4=2(ab+ac+bc)2
c, (2điểm) áp dụng bất đẳng thức: x2+y2 2xy Dấu x=y
a
2
b2+ b2 c2≥2
a b
b c=2
a
c ; a2 b2+
c2 a2≥2
a b
c a=2
c b ;
c2 a2+
b2 c2≥2
c a
b c=2
b a
Cộng vế ba bất đẳng thức ta có: 2(a
2
b2+ b2
c2+ c2
a2)≥2( a c+
c b+
b
a) ⇒
a2
b2+ b2
c2+ c2
(3)Câu 3
(5điểm)
a, (2điểm) x −214
86 +
x −132 84 +
x −54 82 =6
⇔ (x −214
86 −1)+(
x −132
84 −2)+(
x −54
82 −3)=0
⇔ x −300
86 +
x −300 84 +
x −300 82 =0
⇔ (x-300)
(
86+ 84+
1
82
)
=0 ⇔ x-300=0 ⇔ x=300 VËy S = {300}1,0 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 b, (2®iĨm) 2x(8x-1)2(4x-1)=9
⇔ (64x2-16x+1)(8x2-2x)=9 ⇔ (64x2-16x+1)(64x2-16x) = 72
Đặt: 64x2-16x+0,5 =k Ta có: (k+0,5)(k-0,5)=72 ⇔ k2=72,25 ⇔
k= 8,5±
Víi k=8,5 tacó phơng trình: 64x2-16x-8=0 (2x-1)(4x+1)=0; x=
2; x= −1
4
Với k=- 8,5 Ta có phơng trình: 64x2-16x+9=0 (8x-1)2+8=0 v« nghiƯm
VËy S =
{
1 2,−1
}
c, (1®iĨm) x2-y2+2x-4y-10 = ⇔ (x2+2x+1)-(y2+4y+4)-7=0
⇔ (x+1)2-(y+2)2=7 (x-y-1)(x+y+3) =7 Vì x,y nguyên dơng
Nên x+y+3>x-y-1>0 x+y+3=7 x-y-1=1 x=3 ; y=1 Phơng trình có nghiệm dơng (x,y)=(3;1)
Câu 4
(5điểm)
a,(1im) Vỡ AB//CD
S
DAB=S
CBA (cùng đáy đờng cao)⇒
S
DAB –S
AOB =S
CBA-S
AOB HayS
AOD =S
BOCb, (2điểm) Vì EO//DC EO
DC= AO
AC Mặt khác AB//DC
⇒ AB DC= AO OC ⇒ AB AB+BC= AO AO+OC ⇒ AB
AB+BC= AO AC ⇒ EO DC= AB AB+DC ⇒ EF
2 DC= AB
AB+DC⇒
AB+DC AB DC =
2 EF ⇒ DC+ AB= EF
c, (2điểm) +Dựng trung tuyến EM ,+ Dựng EN//MK (N DF) +Kẻ đờng thẳng KN đờng thẳng phải dựng
Chøng minh: SEDM=S EMF(1).Gọi giao EM KN I
S
IKE=S
IMN(cma) (2) Tõ (1) vµ(2) ⇒
S
DEKN=S
KFN0,5 0,5 0,5 1,0 0,5 1,0 1,0 A B C D O
E K F
I
(4)