Ôn tập TN 12 Phần Khảo sát hàm số

5) Xác định đường tiệm cận đứng, tiệm cận ngang của đồ thị hàm số (nếu có) 6) Quá trình khảo sát sự biến thiên của đồ thị hàm số. 7) Dùng đồ thị hàm số biện luận số nghiệm của 1 phương t[r]

CHỦ ĐỀ: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM

ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ

A) Các kiến thức cần nhớ

1) Tính đơn điệu hàm số, mối liên hệ đồng biến, nghịch biến hàm số dấu y’

2) Điểm cực đại, điểm cực tiểu, điểm cực trị hàm số Các điều kiện đủ để có điểm cực trị hàm số

3) GTLN, GTNN hàm số tập số

4) Các phép biến đổi đơn giản đồ thị hàm số (Phép tịnh tiến song song với trục tọa độ, phép đối xứng qua trục tọa độ )

5) Xác định đường tiệm cận đứng, tiệm cận ngang đồ thị hàm số (nếu có) 6) Quá trình khảo sát biến thiên đồ thị hàm số

7) Dùng đồ thị hàm số biện luận số nghiệm phương trình

8) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm thuộc đồ thị hàm số Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số biết tiếp tuyến qua điểm cho trước

9) Sự tương giao đồ thị hàm số B) Các ví dụ luyện tập

Bài 1: Xét chiều biến thiên hàm số sau:

a) y = 2x3 + 3x2 +1 b) y = x3 - x2 + 2x c) y = x4 + 2x2 d) y = x4 – 2x2 – 3 e) y =

2 1 x x



 f) y =

1 x x

 

g) y = 2 x Bài 2:

a ) Cho hàm số

3

1

4 3

y x mx  x

(m tham số) Tìm m để hàm số đồng biến 

Giải: y’= x2 + 2mx +

Hàm số đồng biến   y' 0   x

 'm2 0

 2m2

b) Cho hàm số:

x m y

x m

 

 (m tham số)

Tìm m để hàm số nghịch biến (1,)

Giải: TXĐ: D = \{m}

Ta có: y' 0  (1, ) (1, ) m m        m m    

  0m1

Bài 3: Cho y x 3 6x29x (C)

a) Xác định tọa độ điểm cực đại, cực tiểu đồ thị (C)

b) Với giá trị m đường thẳng y = x + m2 – m qua trung điểm đoạn thẳng nối hai điểm cực đại cực tiểu đồ thị (C)

Bài 4: Cho hàm số

3 2

1

( 1)

3

y x  mx  m  m x

Tìm m để hàm số đạt cực đại x = Giải: TXĐ: D = 

2

'

y x  mx m  m

" 2 y  x m

Hàm số đạt cực đại x =1 

'(1) "(1) y y      

3

2

m m m          1, m m m     

  m = 2

Kết luận: m = hàm số đạt cực đại x =

Bài 5: Cho hàm số: y x 3 6x23(m2)x m  6 Xác định m cho:

a) Hàm số có cực trị

b) Hàm số có giá trị cực trị dấu Bài 6: Tìm GTLN, GTNN hàm số

 4 3 2

) trªn [-2;2];

a y x x x x   2

) (3 ) trªn [0;2];

d y x x

 2

b)y=3x+ x 10; e y) f x( ) x e2x trªn [-1;0]

   2

) ( 2) 4;

c y x x

Giải:                               

[ 2;2] [ 2;2]

[0;2]

) max 14 2;min 1;

)TXĐ: 10, 10 ;

max 10 t¹i 3;min 10 t¹i 10;

)TXĐ: 2;2 ;

max 3 1;min 2;

)Xét hàm số [0;2] max

x x

x D x D

x D x D

x

a y x y x

b D

y x y x

c D

y x y x

d y             [0;2] [-1;0] [-1;0]

3 t¹i 0;min t¹i 2;

1

) max ln 2- t¹i ln 2;min

2

x

x x

x y x

e y x y e

Bài 7:

b) Từ đồ thị (C) suy cách vẽ đồ thị (C’): y = 2|x|3 – 9x2 + 12|x|. Đáp án:

a) Học sinh tự giải;

b) Nhận xét hàm số chẵn Do đó, (C’) suy từ (C) cách: - Phần đồ thị (C) bên trái trục tung (x ≥ 0);

- Lấy đỗi xứng đồ thị (C) với x ≥ qua trục Oy; Kết luận: Hợp phần đồ thị nới đồ thị (C’) Bài 8:

a) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số: y= x3 – 3x2 (C) b) Từ đồ thị (C), suy đồ thị (C’): y = |x3 – 3x2|

Bài 9: Cho hàm số:

 



( )

x

y C

x Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số.

Giải:

 TXĐ: D\ {1};  Chiều biến thiên

   



1

' 0; ;

( 1)

y x D

x

Hàm số nghịch biến ( ;1) vµ (1;);  Giới hạn:

     

lim TiÖm cËn ngang y = -2 (khi x )

x y

 

 

 

      

1

lim , lim tiệm cận đứng (khi x )

x x

y y x x

 Bảng biến thiên

 Đồ thị cắt trục tung (0; -3) cắt trục hoành

 

 

 ;0

3

2 ;

Bài 10: Cho hàm số: y= 2x3 – 6x + (C) a) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số;

b) Dựa vào đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm phân biệt phương trình 2x3 – 6x + – m = (*)

Giải:

a) Học sinh tự làm; b) Phương trình (*)

 2x3 – 6x + = m Do đó, số nghiệm phân biệt phương trình (8) số điểm chung đường thẳng y = m đồ thị (C)

Dựa vào (C), ta được:

 Nếu m > m < -3 (*) có nghiệm;

 Nếu m = m= -3 (*) có nghiệm phân biệt;  Nếu -3 < m < (*) có nghiệm phân biệt

Bài 11: Cho hàm số:

 



2

2 x y

x (C)

a) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số;

b) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = -7x;

c) Tìm m để đường thẳng y = 2x + m cắt (C) điểm phân biệt mà tiếp tuyến (C) tiếp điểm song song với

Giải:

a) Học sinh tự giải;

b) TXĐ: D\ {2};   



7 '

2 y

x

Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng y = - 7x nên hệ số góc tiếp tuyến k = -7 Gọi (x0; y0) toạn độ tiếp điểm tiếp tuyến (C) Ta có:

 

 



0

0

'( ) =-7

2

k y x

x  

 



    

 



2 0

0

0

2

2

2

x x

x

 

  

 



0

0

3,

1,

x y

x y

Kết luận: Có tiếp tuyến cần tìm có phương trình y = -7(x – 3) +  y = -7x + 27

y = -7(x - 1) –  y = -7x + 2f

c) Phương trình hoành độ giao điểm (C) đường thẳng y = 2x + m là:



        



2

2

2 ,( 2) ( 6) (1)

2 x

x m x x m x m

Phương trình (1) có nghiệm phân biệtx x1, 2

      

 

    



2

( 6) 8(2 3)

2.2 ( 6).2

m m

m m

   

   

 





4 60

,

7

m m

m

Vì tiếp tuyến giao điểm đường thẳng đồ thị (C) song song với nên ta có: y’(x1) = y’(x2)  x1 + x2 =4  m=-2.

Kết luận: m = -2

Bài 12: Cho hàm số: y x 3 3x22 (C)

a)Viết phương trình tiếp tuyến điểm M (C) có hồnh độ x =2

b)Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) biết tiếp tuyến qua A(0, 3) Bài 13: Cho hàm số:

4 3

2 y x  x 

(C) a) Khảo sát , vẽ đồ thị (C)

b) Dùng (C) biện luận theo m số nghiệm phương trình: x46x2 3m c) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến qua

3 (0, )

2 A

Bài 14: Cho hàm số:

3 x y

x

 

 (C)

a) Khảo sát , vẽ đồ thị (C)

b) Chứng minh với m, đường thẳng y = 2x + m luôn cắt (C) hai điểm phân biệt M, N

c) Xác định M để độ dài đoạn MN ngắn

d) Tiếp tuyến điểm S thuộc (C) cắt tiệm cận (C) P, Q Chứng minh S trung điểm PQ

Bài 15: Cho hàm số: y x 3 3mx2(m22m 3)x4 (1)

a) Khảo sát vẽ đồ thị (1) m=1

b) Viết phương trình parabol qua điểm cực đại, cực tiểu (1) tiếp xúc với đường thẳng y = -2x +2