PP giai toan quy tich Vector

Mong c¸c b¹n tiÕp tôc nghiªn cøu ®Ó hoµn thiÖn ý tëng trªn.[r]

Phơng pháp giải toán quỹ tích có sử dụng véc tơ. Ths Nguyễn Bá Thủy.

Bài tốn quỹ tích loại tốn khó, đặc biệt tốn quỹ tích có liên quan đến véc tơ Rất nhiều học sinh gặp phải khó khăn tởng chừng nh khơng thể vợt qua tốn dạng Nhằm chia sẻ khó khăn đó, viết xin đề xuất vài ý kiến phơng pháp giải tốn quỹ tích có sử dụng véc tơ với t tởng chủ đạo cố gắng thuật tốn hố quy trình giải vài dạng tốn thờng gặp

KiÕn thøc bỉ trỵ:

Cho hƯ n ®iĨm A1, A2, , An vµ bé n sè α1, α2, , αn cho α1+α2+ +αn≠0

Khi xác định điểm I thoả mãn α1⃗IA

1+α2⃗IA2+ .+αn⃗IAn=0 (1)

Điểm I nh gọi tâm tỉ cự hệ điểm A1, A2, , An theo số α1, α2, , αn Khi với điểm M ta có:

α1⃗MA

1+α2⃗MA2+ .+αn⃗MAn ¿(α1+α2+ .+αn)⃗MI

Chú ý: Nếu α1+α2+ +αn=0 ta chứng minh đợc véc tơ: ⃗

u=α1⃗MA1+α2⃗MA2+ +nMAn l mt vộc t khụng i

Sau ta xét vài dạng toán quỹ tích thờng gỈp:

Dạng 1: Quỹ tích điểm thoả mãn đẳng thức véc tơ độ dài véc tơ Ta biến đổi đẳng thức cho tốn quỹ tích sau:

1) ⃗AM=k⃗a (k0), A cố định, ⃗a khơng đổi: Quỹ tích điểm M đờng thẳng qua A phơng ⃗a

2) |⃗MA|=|⃗MB| với A, B cố định: Quỹ tích điểm M đờng trung trực AB

3) |⃗MA|=|⃗a| với A cố định, ⃗a không đổi: Quỹ tích điểm M đờng trịn tâm A, bán kính R=|⃗a|

VÝ dơ 1: Cho ABC T×m q tích điểm M trờng hợp sau: a) MA+kMB=kMC(kR)

b) v=MA+MB+2MC phơng với véc tơ BC Giải:

a) Ta cã:

⃗MA+k⃗MB=k⃗MC⇔⃗MA=k(⃗MC−⃗MB)

⇔⃗MA=k⃗BC hay ⃗MA phơng với ⃗BC Vậy quỹ tích điểm M đờng thẳng qua A song song với cnh BC ca ABC

b) Gọi I điểm thoả mÃn hệ thức IA+ IB+2IC=0 (Điểm I nh tồn nhất) Thì ta có: v=MA+MB+2MC==MI+IA+MI+IB+2MI+2IC=4MI

Do ⃗v phơng với ⃗BC⇔⃗MI phơng với véc tơ ⃗BC  M thuộc đờng thẳng qua I song song với BC

VÝ dô 2: Cho ABC Tìm quỹ tích điểm M trờng hợp sau: a|MB+MC|=|MBMC|

b|2MA+3MB|=|3MB+2MC|

c|4MA+MB+MC|=|2MAMBMC| Giải

a) Gọi I trung điểm BC ta có: |⃗MB+⃗MC|=|⃗MB−⃗MC|

⇔|2⃗MI|=|⃗CB|⇔MI=BC

2⃗KA+3⃗KB=⃗0 L điểm thoả mÃn: 3LB+2LC=0 Ta có: |2MA+3MB|=|3MB+2MC|

⇔|5⃗MK|=|5⃗ML|⇔MK=ML

 Tập hợp điểm M đờng trung trực đoạn thẳng KL

c) Víi I lµ trung điểm BC Gọi J điểm thoả mÃn: 4⃗JA+⃗JB+ ⃗JC=⃗0 Ta cã:

|4⃗MA+⃗MB+⃗MC|=|2⃗MA−⃗MB−⃗MC|

⇔|6⃗MJ|=|2⃗MA−2⃗MI| ⇔|6⃗MJ|=|2⃗IA|⇔MJ=1

3IA=const Vậy tập hợp điểm M đờng tròn tâm J bán kính R=1

3IA

Từ lời giải tốn ta mơ tả đợc quy trình giải loại tốn nh sau: Bớc 1: Biến đổi đẳng thức cho trớc dạng quỹ tích theo h-ớng: Chứng minh biểu thức véc tơ véc tơ không đổi dùng tâm tỉ cự

Bớc 2: Sử dụng quỹ tích để xác định quỹ tích điểm theo u cầu tốn Dạng 2: Quỹ tích điểm thoả mãn đẳng thức tích vơ hớng tích độ dài

Ta biến đổi đẳng thức cho dạng quỹ tích sau:

1) ⃗MA ⃗MB=k , A, B cố định, k khơng đổi: Quỹ tích điểm M đờng trịn tâm I (I trung điểm AB), bán kính R=√AB2

2 +k , nÕu AB2

2 +k ≥0

2) ⃗AM ⃗AB=k với A, B điểm cố định, k khơng đổi: Quỹ tích điểm M đờng thẳng vng góc với AB điểm H đờng thẳng AB thoả mãn: AH= k

AB 3) AM2

=k , với A cố định, k0 không đổi: Quỹ tích điểm M đờng trịn tâm A, bán kính R=k

Ví dụ 3: Cho đoạn thẳng AB Tìm quỹ tích điểm M trờng hợp sau: a¿⃗MA ⃗MB=MA2

b¿2 MA2=⃗MA ⃗MB

c¿MA2+2 MB2=k víi k>0 cho tríc Gi¶i:

a) Cã ⃗MA ⃗MB=MA2

⇔⃗MA ⃗MB−⃗MA2=0 ⇔⃗MA (⃗MA−⃗MB)=0 ⇔⃗MA ⃗BA=0⇔

⃗MA=⃗0

¿ MA⊥AB

¿ ¿ ¿ ¿ ¿

Vậy quỹ tích điểm M đờng thẳng vng góc với đờng thẳng AB A b) 2 MA2

=⃗MA ⃗MB ⇔⃗MA(2⃗MA−⃗MB)=0(∗)

Gọi I điểm thoả mãn: 2⃗IA−⃗IB=⃗0 2⃗MA−⃗MB=⃗MI Do đó: (∗)⇔⃗MA ⃗MI=0⇔MA⊥MI

MA2

+2 MB2=k

⇔(⃗ME+⃗EA)2+(⃗ME+⃗EB)2=k ⇔3 ME2=k −EA2−2 EB2() Mặt khác từ EA+2EB=0

EA=2

3AB;EB= 3AB Nªn (∗)⇔3 ME2=k −2

3AB

2

⇔ME2=1 3(k −

2 3AB

2

) NÕu k<2

3AB

2

: Quü tÝch điểm M rỗng Nếu k=2

3AB

2

: Quỹ tích điểm M điểm E NÕu k>2

3AB

2

: Quỹ tích điểm M đờng trịn tâm E, bán kính R=√1 3(k −

2 3AB

2

) Ví dụ 4: Cho ABC Tìm quỹ tích điểm M trờng hợp sau:

a) (MAMB)(2MBMC)=0 b) (MA+2MB)(MB+2MC)=0 c) 2 MA2

+⃗MA ⃗MB=⃗MA ⃗MC Híng dÉn gi¶i:

a) Gọi I điểm thoả mÃn 2IBIC=0 ta cã:

(⃗MA−⃗MB)(2⃗MB−⃗MC)=0 ⇔⃗BA ⃗MI=0⇔BA⊥MI

 Quỹ tích điểm M đờng thẳng qua I vuông góc với AB

b) Gäi D vµ E lµ điểm thoả mÃn: DA+2DB=0 EB+2EC=0 ta có:

(⃗MA+2⃗MB)(⃗MB+2⃗MC)=0 ⇔3⃗MD 3⃗ME=0⇔MD⊥ME

 Quỹ tích điểm M đờng trịn đờng kính DE c) Ta có: MA2

+⃗MA ⃗MB=⃗MA ⃗MC

⇔⃗MA(2⃗MA+⃗MB−⃗MC)=0(∗)

Gọi J điểm xác định 2⃗JA+⃗JB−⃗JC=⃗0 ta có: (∗)⇔2⃗MA ⃗MJ=0⇔MA⊥MJ

 Quỹ tích điểm M đờng trịn đờng kính AJ

Một cách tổng quát ta có quy trình giải toán dạng nh sau:

Bc 1: Biến đổi đẳng thức cho dạng ⃗u.⃗v=k , phép phân tích thành nhân tử, đặt nhân tử chung, véc tơ ⃗u ,⃗v tổng hiệu véc tơ

Bớc 2: Dựa vào tốn chứng minh biểu thức véc tơ không đổi tâm tỉ cự để biến đổi đẳng thức ⃗u.⃗v=k dạng quỹ tích kết luận quỹ tích cần xác định

Trên vài ý kiến minh hoạ cho ý tởng thuật toán hoá phơng pháp giải tốn quỹ tích có liên quan đến véc tơ Tuy cha thật rõ ràng nhng theo chúng tơi thực có ý nghĩa Mong bạn tiếp tục nghiên cứu để hoàn thiện ý tởng Việc giải tốn quỹ tích khơng phải q khó, xin đợc dnh li cho cỏc bn

Sau xin mời bạn luyện tập toán sau:

Bài 1: Cho hình bình hành ABCD M N điểm thay đổi xác định hệ thức: ⃗MN=3⃗MA−2⃗MB−2⃗MC+⃗MD

Chứng minh ⃗MN véc tơ khơng đổi Tìm tập hợp điểm M biết ⃗MN nằm đờng thẳng qua tâm O hình bình hành ABCD

a) Chøng minh u=3MA5MB+2MC không phụ thuộc vị trí điểm M

b) Tìm quỹ tích điểm M xác định hệ thức: |3⃗MA+2⃗MB−2⃗MC|=|⃗MB−⃗MC| Bài 3: Cho tam giác ABC cạnh a Tìm quỹ tích điểm M trờng hợp sau: a) 3 MA2

=2 MB2+MC2 b) MA2

−MB2+2 MC2=a2

c) ⃗MA ⃗MB+⃗MB ⃗MC+⃗MC.⃗MA=5a

2

2

Bài 4: Cho ABC vuông A, BC = 6a BiÖn luËn theo k quü tÝch ®iĨm M tho¶ m·n:

(⃗MB+⃗MC) (⃗MA+⃗MB+⃗MC)=ka2