Đối với học sinh giỏi các em đã biết sử dụng kết hợp các phương pháp để giải được các bài toán cực trị đại số ở dạng khó hơn. Qua đó giúp học sinh hứng thú khi gặp loại bài toán này nói [r]
(1)A PHẦN MỞ ĐẦU
I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI:
Trong năm đây, kỳ khảo sát chất lượng, thi học sinh giỏi bậc THCS kỳ thi tuyển sinh vào trường THPT thường gặp tốn u cầu tìm GTNN, GTLN đại lượng Các tốn gọi chung toán cực trị
Các toán cực trị phong phú đa dạng mang nội dung vô sâu sắc việc giáo dục tư tưởng qua mơn tốn Bài tốn tìm tốt nhất, rẻ nhất, ngắn nhất, dài tốn Để hình thành cho học sinh thói quen tìm giải pháp tối ưu cho cơng việc sống sau
Các toán cực trị Đại số bậc THCS có ý nghĩa quan trọng em học sinh Ở bậc THCS chưa có lý thuyết đạo hàm nên phải cách giải thông minh, tìm biện pháp hữu hiệu phù hợp với trình độ kiến thức tốn học bậc học để giải loại toán
Các toán cực trị Đại số bậc THCS góp phần không nhỏ vào việc rèn luyện tư cho học sinh
Với ý nghĩa vậy, việc hướng dẫn học sinh nắm phương pháp giải toán cực trị vấn đề quan trọng Qua thực tế giảng dạy thân rút số phương pháp để giải toán cực trị nhằm giúp thêm tài liệu cho việc bồi dưỡng học sinh - giỏi toán
II ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU:
Áp dụng với học sinh khối 8, Là học sinh giỏi tham gia các đội tuyển HSG trường, học sinh thi đồng đội Toán tỉnh
III NHIỆM VỤ CỦA ĐỀ TÀI:
(2)Đề tài trình bày số phương pháp giải toán cực trị bậc THCS Mỗi phương pháp trình bày theo cấu trúc gồm: Cơ sở lý thuyết ví dụ minh hoạ từ tập cụ thể, rút nhận xét tổng quát
IV PHẠM VI ĐỀ TÀI:
Đề tài đề cập tới số phương pháp giải số loại tốn cực trị đại số thường gặp chương trình toán học THCS, đối tượng mà đề tài nhằm tới học sinh khá, giỏi toán THCS
V PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU:
Tổng hợp, hệ thống từ việc dạy bồi dưỡng học sinh giỏi, tham khảo môt số tài liệu có liên quan
B PHẦN NỘI DUNG I Kiến thức:
1 Cho biểu thức f(x, y…)
Ta nói M giá trị lớn (GTLN) biểu thức f(x, y…), kí hiệu max f = M, hai điều kiện sau thỏa mãn:
- Với x, y … để f(x, y…) xác định
F(x, y…) M ( M số )
- Tồn x0 , y0 , … cho
f(x0, y0 , ) = M
2 Cho biểu thức f(x, y…)
Ta nói m giá trị nhỏ (GTNN) biểu thức f(x, y…), kí hiệu max f = m, hai điều kiện sau thỏa mãn:
- Với x, y … để f(x, y…) xác định F(x, y…) m ( m số ) - Tồn x0 , y0 , … cho
f(x0, y0 , ) = m
II Phương pháp giải tốn tìm giá trị lớn nhất, nhỏ một biểu thức đại số cách đưa dạng A(x) 0 { A(x) }
(3)+ Chứng minh A(x) k với k số.
+ Chỉ dấu "=" xảy
- Để tìm giá trị lớn biểu thức A(x) ta cần: + Chứng minh A(x) k với k số
+ Chỉ dấu "=" xảy
Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ biểu thức A(x) = (x - 1)2 + (x-3)2.
(Nâng cao phát triển Toán 8)
Giải:
A(x) = (x-1)2 + (x-3)2 = x2-2x+1+x2-6x+9=2(x2-4x+5)=2(x-2)2+22
Vì (x-2)2 với x Vậy Min A(x) = x = 2
Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn biểu thức B(x) = -5x2 - 4x+1
(Nâng cao phát triển Toán 8)
Giải : Từ B(x) = -5x2 - 4x+1 ta có B(x)= -5(x2+
4 5x)+1
=
2 2
2 2 2
5 x x x x
5 5 25 5
Vì
2
2
x
5
với x R nên
2
2
5 x
5
2
2 9
B(x) x
5 5
Max B(x) =
9
khi x
5
Bài tập vận dụng:
1 Tìm GTLN A= – x2 + 3x
2 Tìm GTNN B= x2 – 5x + 1
3 Cho tam thức bậc hai C= ax2 + bx + c
(4)III Phương pháp giải tốn tìm giá trị lớn nhất, nhỏ một biểu thức đại số cách đưa dạng
A(x)
k
A(x)
k
Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn biểu thức đại số
2
3x 6x 10 A(x)
x 2x
(Nâng cao phát triển Toán 8)
Giải: Từ
2
3x 6x 10 A(x)
x 2x
Ta có A(x) =
2
2 2
3x 6x 3(x 2x 3) 1
3
x 2x x 2x (x 1)
Vì (x+1)2 với x nên (x+1)2+22 với x.
Do đó:
1
2 (x 1) 2
Vậy A(x)=
1 1
3 3
2
(x 1)
Max A(x) =
2 (x+1)2 = x = -1
Ví dụ 4: Tìm giá trị nhỏ B(x) =
2
2x 16x 41 x 8x 22
với x R
(Nâng cao phát triển Toán 8)
Giải: Từ B(x) =
2
2 2
2x 16x 41 2(x 8x 22) 3
2
x 8x 22 x 8x 22 (x 4)
Vì (x- 4)2 với x nên (x- 4)2+6 6.
Nên
2
3
6 (x 4) 6
2
3
B(x) 2
2 (x 4)
Min B(x) =
2 (x- 4)2 = x = 4
Bài tập vận dụng:
(5)a/ 12 27
2
x
x
b/
3
2
x
x x
c/ 17
2
x x
x x
d/ 9
27
2
6
x x x x
x
IV Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức đại số bằng cách áp dụng bất đẳng thức Cosi.
- Bất đẳng thức Cosi cho số
Cho a, b không âm, ta có bất đẳng thức a b
2 ab
Dấu đẳng thức xảy a = b - Bất đẳng thức Cosi cho n số:
Cho n số a1, a2, an khơng âm, ta có bất đẳng thức:
1 n n
1 n
a a a
a ,a a n
Dấu đẳng thức xảy a1 = a2 = = an
+ Bài toán:
a Chứng minh rằng, hai số dương có tích khơng đổi tổng chúng nhỏ hai số
b Chứng minh rằng, hai số dương có tổng khơng đổi tích chúng đạt giá trị lớn hai số
(Nâng cao phát triển Toán 8)
Giải:
a Ta cần chứng minh với x >0; y > xy = k (khơng đổi) x+y đạt giá trị nhỏ x = y
Thật vậy, áp dụng bất đẳng thức Cosi cho hai số dương ta có: x + y √xy mà xy = k (không đổi)
Nên ta có: x+y 2 xy 2 k (1)
(6)b Tương tự hai số dương x y có x + y = k (hằng số) Từ (x+y)2 4xy xy
2
k
Vậy tích Q = xy lấy giá trị lớn
2
k
4 x = y
Chúng ta vận dụng kết hai bất đẳng thức để giải toán cực trị đại số
Ví dụ 5: Tìm giá trị lớn A(x) = ( x2 - 3x + 1) ( 21 + 3x - x2 )
(Nâng cao phát triển Toán 8)
Giải: Các biểu thức x2-3x+1 21+3x-x2 có tổng khơng đổi (bằng 22)
nên tích chúng lớn
x2 - 3x + = 21+ 3x - x2 x2 - 3x – 10 = x
1 = ; x2 = -2
Khi A=11.11 = 121
Vậy Max A = 121 x = x = -2
Ví dụ 6: Tìm giá trị nhỏ của B(x) =
2
16x 4x 2x
với x > (Nâng cao phát triển Toán 8)
Giải: Từ B(x) =
2
16x 4x 2x
Ta có B(x) = 8x + +
1
2x Hai số 8x 2x hai số dương, có tích khơng đổi (bằng 4) nên tổng chúng nhỏ
và 8x =
2x 16x2 =1 x =
1
4 (x>0)
Vậy Min B =
1 1
6 x
1
2
Bài tập vận dụng: Tìm GTNN
a/ A= ( a + b )
b a
1
(7)b/ B= ( a + b + c )
c b a
1 1
với a, b, c > c/ C= ( a + b + c + d )
d c b a
1 1
với a, b, c, d >
V Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức chứa nhiều biến số:
Ví dụ 7: Tìm giá trị m p cho:
A= m2 - 4mp + 5p2 + 10m - 22p + 28 đạt giá trị nhỏ Tính giá trị
nhỏ
( Báo toán học tuổi trẻ )
Giải:
A = (m2 -4mp + 4p2 ) + (p2 -2p + 1) + 27 + 10m - 20p
= (m-2p)2 + (p-1)2 27 + 10(m-2p)
Đặt X = m-2p Ta có A=x2 + 10X + 27 + (p-1)2
= (X2 + 10X + 25) + (p-1)2 + = (X+5)2 + (p-1)2 + 2
Ta thấy: (X + 5)2 với m, p; (p-1)2 p
Do đó: A đạt giá trị nhỏ khi:
X X m 2p m
hay
p p p p
Vậy Min A=2 m=-3; p=1
Ví dụ 8:Tìm giá trị x, y, z cho biểu thức sau đạt giá trị nhỏ P(x, y, z) = 19x2 + 54y2 + 16z2 - 16xz - 24yz + 36xy +
Giải: Khi gặp biểu thức chứa nhiều biến số, ta cấn biến đổi biểu thức cho tổng biểu thức không âm
Ta có: P(x, y, z) = (9x2 + 36xy + 36y2) + (18y2 - 24yz+8z2) +(8x2 16xy+8z2)
+ 2x2 + = 9(x+2y)2 + 2(3y - 2z)2 + 8(x-z)2 + 2x2 + 5.
Ta thấy: (x+2y)2 với x, y.
(3y-2z)2 với y,z
(8)x2 với x, y.
Biểu thức P(x,y,z) đạt giá trị nhỏ hạng tử (x+2y)2, (3y-2z)2;
(x-z)2, x2 đạt giá trị nhỏ lúc hay nói cách khác chúng phải có
giá trị đồng thời 0, nghĩa hệ phương trình sau có nghiệm x 2y
x 3y 2z
y x z
z x
Vậy Min P(x,y,z) = x = 0, y=0, z =
- Tổng quát: Khi gặp P = A + B + C_+ +
Với A k12, B k22, C k32, ta kết luận P đạt giá trị nhỏ
nhất A, B, C đạt giá trị nhỏ lúc P(min) = k12+k22+k32+
Để tìm biến số tương ứng với P(min) ta giải hệ phương trình:
2 2
A k B k C k
Ví dụ 9: Tìm giá trị nhỏ biểu thức:
A=7x 5y 2z 3x xy yz xz 2000 t2 t 2005 Trong x;y;z;t số hữu tỉ
Giải:
Ta có : A=
2
1
7x 5y 2z 3x xy yz xz 2000 t 2004
2
Vì 0 Q
2
1
t
2
nên A
3 2004
4
(9)2
7x 5y (1)
2z 3x (2)
xy yz zx 2000 (3)
t (4)
2
Từ (1) ta có: y=
x
5 Từ (2) ta có:
z x
2
Thay vào (3) ta được:
2 2
7 21
x x x 2000 5x 2000
5 10 2
<=> x2 =400 <=> x= 20
- Với x = 20 ta có y = 28; z = 30 - Với x = -20 ta có y = -28; z = -30 Ngồi ra, từ (4) ta có: t=
1
Vậy giá trị nhỏ A 2004
4, đạt (x;y;z;t) = (20;28;30;
1 2) Hoặc (x;y;z;t) = (-20;-28;-30;
1 2) Bài tập vận dụng:
Tìm GTNN biểu thức: a x2 - 2xy + 2y2 + 2x – 10y + 17
b 2x2 + 2xy + 5y2 - 8x – 22y
VI Giải toán cực trị đại số phương pháp sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki.
1 Bất đẳng thức Bunhiacopxki.
Cho 2n số a1, a2 , an; b1, b2, bn ta ln có: (a1b1 + a2b2+ + anbn)
(a12 + a22 + + an2)(b12 + b22 + + bn2)
(10)1 n
1 n
a a a
b b b 2 Các ví dụ:
Ví dụ 10: Tìm giá trị x, y, z để cho biểu thức sau đạt giá trị nhỏ P = x2 + y2 + z2 Tìm giá trị nhỏ biết x+y+z = 1995
Giải: áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho số: 1, 1, 1; x, y, z Ta có: (x.1+y.1+z.1)2 (12 + 12 + 12) (x2 + y2 + z2)
Hay: (x+y+z)2 3(x2 + y2 + z2)
Từ ta có P = x2 + y2 + z2
2
(x y z)
mà x+y+z = 1995 => Ta có: P= x2 + y2 + z2
2
1995
với x, y, z
Pmin =
2
1995
x y z
1 1 1 hay x = y = z Mà x+y+z = 1995 <=> x=y=z =
1995 =665
Ví dụ 11: Cho x2 + y2 =52 Tìm giá trị lớn A = 2x 3y
Giải:
áp dụng bất đẳng thức bunhiacôpxki cho số 2, 3; x,y, ta có: (2.x+3.y)2 (22 + 32 )(x2 + y2)
(2x+3y)2 13.52262 2x 3y 26
Max A = 26 <=>
x y 3x
y 3 Thay
3x y
2
vào x2 + y2 = 52 ta có x2 +
2
9x
52 x
4
Vậy Max A = 26 <=> x=4; y=6 x= - 4; y= - Bài tập vận dụng:
1. Cho x2 + y2 = 52 Tìm GTLN A= 2x + 3y
(11)VII Phương pháp giải toán cực trị đại số thoả mãn hệ các điều kiện đó:
Ví dụ 12: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P(x,y) = 6x+4y thoả mãn điều kiện
xy 216 x y
Giải: Từ P(x,y) = 6x+4y với x>0; y > 6x > 0; 4y >
=> [P(x,y)]2 = (6x+4y)2 4.6x.4y=96.xy
Vì xy=216(gt) => [P(x,y)]296.216=20736
<=>
(x,y) (x,y)
P 144
P 144
Min P(x,y) = 144 x= 12; y = 18
Ví dụ 13: Tìm giá trị lớn A(x,y,z) = xyz (x+y)(y+z)(z+x)
biết x, y, z x+y+z=1
Giải: áp dụng bất đẳng thức Cosi cho số khơng âm x, y, z ta có: = x+y+z 33 xyz (1)
2 = (x+y)+(y+z)+(z+x) 33 (x y)(y z)(z x) (2)
Nhân vế (1) với (2) (do hai vế khơng âm) Ta có:
3
3
9 A A
9
Max A =
3
2
khi x=y=z=
1 Bài tập vận dụng:
3. Cho x, y, z > x + y + z = Tìm GTNN P= xyzx+y 4. Cho x, y, z > ; z 60 x + y + z = 100 Tìm GTLN
Q = xyz
VIII Phương pháp dùng tam thức bậc hai:
1 Đổi biến để đưa tam thức bậc hai biến mới. Ví dụ 14: Tìm giá trị lớn A = x + x
(12)Giải: Điều kiện x
Đặt x = y 0 Ta có y2 = 2-x
A = 2-y2 + y =
2
1 9
y
2 4
Max A =
9 1
y x x
4 2 4 4
2 Đổi biến để đưa bất phương trình bậc hai biến mới. Ví dụ 15:
Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn A= x2 + y2
Biết x2 (x2 + 2y2 -3) + (y2 -2)2 =1
Giải: Từ x2 (x2 + 2y2 -3) + (y2 -2)2 =1 Suy ra: (x2 + y2)2 - 4(x2 + y2)
+3=-x2 0
Do đó: A2 - 4A + 30 <=> (A-1)(A-3) 0 <=> 1A3
Min A=1 <=> x=0 y=1
Min A=3 <=> x=0 y=
3 Đưa phương trình bậc hai sử dụng điều kiện 0
Ví dụ 16: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ A=
2
x x x x
Giải: Biểu thức A nhận giá trị a phương trình ẩn x sau
đây có nghiệm a =
2
x x x x
(1)
Do x2 +x+1 =
2
1
x x
2
Nên (1) <=> ax2 + ax+a=x2 -x+1
<=> (a-1)x2 + (a-1)x+a-1=0 (2)
Trường hợp 1: Nếu a=1 (2) có nghiệm x=0
Trường hợp 2: Nếu a 1 để (2) có nghiệm, cần đủ 0
=> = (a+1)2 - 4(a-1)2 0
<=> (a+1+2a-2)(a+1-2a+2) 0
<=> (3a-1)(a-3)0
<=>
a (a 1)
(13)Với a =
3 a = nghiệm (2) x=
(a 1) a 2(a 1) 2(1 a)
Với a =
3 x = 1; với a = x = -1 Gộp hai trường hợp ta có Min A=
1
3 x = 1 Max A= x= -1 Bài tập áp dụng:
1 Tìm GTNN M=
2x −1¿2 ¿ 4x2−6x
+1 ¿
, với x # 12
N =
3
2
x
x x
P = 17
2
x x
x x
IX
Giải toán cực trị chứa dấu giá trị tuyệt đối.
Kiến thức: * |a+b|≤|a|+|b| Dấu = xảy ab
* |a − b|≥|a|−|b| Dấu = xảy ab> |a|≥|b| Ví dụ 17: Tìm GTNN biểu thức A= |x −3|+|x −7|
Giải: Ta có A = |x −3|+|x −7|
<=> A = |x −3|+|7− x| Áp dụng bất đẳng thức trên, ta A = |x −3|+|7− x| |x −3+7− x|=|4|=4
=> A
Vậy Min A= 4, (x – 3)(7 – x) <=> x Ví dụ 18: Tìm GTLN biểu thức: B= |x −1004|−|x+1003| Giải: Áp dụng BĐT |a − b|≥|a|−|b| , ta có:
B= |x −1004|−|x+1003| |(x −1004)−(x+1003)|=2007
Vậy Max B = 2007 Dấu = xảy khi: x - 1003 Bài tập vận dụng:
1 Tìm GTNN a C= |x2
(14)b D= |x −1|+|x −2|+|x −3|+|x −4|
2 Tìm GTLN E= |x − y|+|y − z|+|x − z| , với x, y, z PHẦN C: PHẦN KẾT LUẬN
Toán cực trị Đại số dạng tốn khó học sinh Để giải loại toán cần phải biết vận dụng nhiều phương pháp khác cách linh hoạt Trên số phương pháp mà trình giảng dạy thực tế hay sử dụng để giải toán cực trị đại số Với phương pháp hướng dẫn học sinh từ tập cụ thể khái quát thành dạng tổng quát, từ học sinh vận dụng để giải tập
Qua trình hướng dẫn cách cụ thể vậy, học sinh biết vận dụng cách linh hoạt phương pháp giải toán vào giải tập cụ thể từ đơn giản đến phức tạp Đối với học sinh giỏi em biết sử dụng kết hợp phương pháp để giải toán cực trị đại số dạng khó Qua giúp học sinh hứng thú gặp loại toán nói riêng học mơn tốn nói chung
Trên kinh nghiệm rút từ q trình dạy học Đề tài tơi cịn tiếp tục nghiên cứu Trong có thiếu sót mong đóng góp chân thành đồng nghiệp
Xin chân thành cảm ơn !
Định Tân, Ngày 10 tháng 04 năm 2011
NGƯỜI THỰC HIỆN