Đang tải... (xem toàn văn)
[r]
(1)đề thi học sinh giỏi cấp huyện
Môn : Toán lớp 9 Năm học 2010-2011 ( Thời gian làm 150 phút ) Câu 1: ( 2,5 điểm )
1 So sánh : 2008
√2009+ 2009
√2008 vµ √2008+√2009
2 Cho biĨu thøc B=
√1+ √2+
1 √3+ +
1
√2010 Chøng minh r»ng B>86
Câu 2: (1,0 điểm )
Chứng minh biĨu thøc : x3−4x −1¿2010
P=¿ cã gi¸ trị số tự nhiên với
x=
3
√10+6√3 (√3−1)
√6+2√5−√5
C©u 3: ( 2,5 điểm )
1 Giải phơng trình sau: 2x 1+2=x
2 Tìm số nguyên x, y thoả mÃn y=x2+4x+5
Câu 4: (3,0 điểm )
Cho hình vng ABCD Trên cạnh BC lấy điểm M, cạnh CD lấy điểm N Tia AM cắt đờng thẳng CD K Kẻ AI vng góc với AK cắt CD I
1 Chøng minh :
AM2+ AK2=
1 AB2
2 BiÕt gãc MAN cã sè ®o b»ng 450, CM + CN = cm, CM - CN = cm TÝnh diƯn tÝch tam gi¸c AMN
3 Từ điểm O tam giác AIK kẻ OP, OQ, OR lần lợt vng góc với IK, AK, AI ( P IK, Q AK, R AI) Xác định vị trí điểm O để OP2+OQ2+OR2 nhỏ
nhất Tìm giá trị nhỏ
Câu 5: ( 1,0 điểm ) Cho ba số a, b, c tho¶ m·n 0≤ a , b , c ≤2 vµ a+b+c=3 Chøng
minh r»ng: a3
+b3+c3≤9
Đáp án đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện
M«n : Toán lớp Năm học 2010-2011
Câu ý Nội dung Điểm
Câu 2,5 đ
Ta có:
(2)1
1,0® 2008√2009+2009√2008=2009√2009−1+2008√2008+1 ¿(√2008+√2009)+(
√2008− √2009)>0
VËy 2008
√2009+ 2009
√2008 > √2008+√2009
0,25 0,25
2 1,5®
B=
√1+ √2+
1 √3+ +
1 √2010 B=
√1+√1+ √2+√2+
2
√3+√3+ .+
2 √2010+√2010
√1+√2+
2 √2+√3+
2
√3+√4+ +
2 √2010+√2011
¿2.(√2011−1)>2 43=86
0,5 0,5 0,5
Câu 1,0đ
x=
3
√10+6√3 (√3−1)
√6+2√5−√5 =
(√3+1).(√3−1)
√5+1−√5 =2
23−4 2−1¿2010=1∈Ν
⇒P=¿
0,5 0,5
Câu 2,5đ
1 1,0đ
2x 1+2=x2x 1=x −2 §K : x ≥2
x=1
¿
x=5
¿ ¿ ¿ ¿ ¿
√2x −1=x −2⇔2x −1=x2−4x+4
⇔x2−6x+5=0⇔(x −1)(x −5)=0
⇔
¿
0,25 0,5 0,25
2 1,0®
y=√x2+4x+5 §K : x∈R , y>0
Bình phơng hai vế ta đợc
x+2¿2+1
¿
⇔(y+x+2)(y − x −2)=1
¿
y2=¿
Do x, y nguyªn y dơng nên ta có:
y+x+2=1
y − x −2=1
⇔
¿x=−2
y=1
¿{
¿
0,5 0,25 0,25 0,25 0,25
Câu
3,0đ A B
(3)1 1,0®
Ta cã
ΔABM=ΔADI⇒AM=AI(1)
Trong tam giác AIK vuông A ta có:
1 AI2+
1 AK2=
1
AD2(2) vµ AB = AD
Tõ (1) vµ (2) ⇒
AM2+ AK2=
1 AB2
0,25 0,5 0,25
2 1,0đ
Kẻ AH vuông góc với MN (H∈MN) Do CM + CN =7
vµ CM - CN = ⇒ CM = 4; CN = ⇒ MN = Ta cã ΔAMN=ΔAIN⇒AH=AD⇒IN=MN
AMH=AIDID=MH mà ID=BMMH=BM
Ta lại có : DN+BM=MN=5
CM+BM=CN+DN⇒DN−BM=CM−CN=1 ⇒ DN = 3; BM = 2; BC = AD = AH =
⇒ SΔAMN=1
2AH MN=
2 5=15(cm
)
0,25 0,5
0,25
3 1,0đ
Từ giả thiết ta có AQOR hình ch÷ nhËt
OA+OP¿2 ¿ ¿
OP2+OQ2+OR2=OA2+OP2≥¿
OP2+OQ2+OR2 nhỏ O trung điểm AD
0,25 0,5 0,25
Câu 1,0đ
Vỡ vai trị a,b,c nh nhau, khơng tính tổng qt giả sử : a ≤ b ≤ c Khi 0≤ a , b , c ≤2 a+b+c=3 nên
ta cã
0≤ a ≤1⇒a3≤ a
Mặt khác 1 c 2(c 1)(c 2)(c+3)0c37c 6
Ta xÐt hai trêng hỵp cđa b: NÕu 0≤ b ≤1⇒b3
≤ b Khi
a3
+b3+c3≤ a+b+7c −6=a+b+c+6c −6≤3+6 2−6=9 ⇒a3+b3+c3≤9
Nếu 1≤ b ≤2⇒b3≤7b −6 .Khi đó
a3+b3+c3≤ a+7b −6+7c −6=7(a+b+c)−6a −12=9−6a ≤9
VËy a3
+b3+c3≤9 ( ®pcm)
0,25 0,25
0,25 0,25
* Chú ý thí sinh làm theo cách khác mà cho điểm tối đa!
C
D K