DE THI VA HD HSG LOP 12 NAM 2009 TINH THAI NGUYEN

UBND TỈNH THÁI NGUYÊN Sở GD & ĐT =@= CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập – Tự do – Hạnh phúc *************** ĐỀ CHÍNH THỨC KÌ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH THÁI NGUYÊN Năm học 2009 – 2010 Môn thi : Toán học Lớp 12 Thời gian làm bài : 180 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1. Cho phương trình 3 3 1 0x x− + = . CMR phương trình có 3 nghiệm ( ) 1 2 3 1 2 3 , , x x x x x x< < và thỏa mãn điều kiện 2 3 2 2x x= + Bài 2. Gọi I là tâm đương tròn nội tiếp tam giác ABC ; 1 2 3 , , ,R R R R lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp các tam giác BIC, CIA, AIB, ABC; r là bán kính đường trong nội tiếp tam giác ABC. CMR: 2 1 2 3 . . 2 .R R R r R= Bài 3. a. Tìm giá trị của m để hệ 2 2 2 4x y x y m  + =   − =   có nghiệm. b. CMR : 2 ln 2 x y y x x y +   >  ÷ +   với x >0, y >0. Bài 4. Giải PT: 3 3 cos 4sin 3sin 0x x x+ − = Bài 5. a. Với A, B, C là ba góc của một tam giác, CMR phương trình: 2 2 3 sin sin sin 2 2 2 x x A B C − = + + Có 4 nghiệm phân biệt. b. Giải phương trình: ( ) 2 1 2 2 .3 1 .3 1 0 x x x x x x − + − + − − = HếT HƯỚNG DẪN Bài 1: * CM phương trình có 3 nghiệm phâm biệt bằng cách xết các khoảng: ( ) ( ) ( ) 1;2 , 2; 1 ; 0;1− − * Theo giả thiết, ta có 2 2 3 2x x= − , vì 2 x là nghiệm của PT 3 3 1 0x x− + = Nên ta có, ( ) ( ) ( ) 3 2 2 6 4 2 2 4 2 3 3 3 3 3 3 3 3 2 3 2 1 0 6 9 1 6 9 1x x x x x x x x− − − + = ⇔ − + = ⇔ − + = ( ) ( ) 3 2 3 3 2 3 3 3 3 3 3 1 0 3 1 3 1 0 x x x x x x  − + = ⇔ − = ⇔  − − =   Khi đó 3 x cũng là nghiệm của pt đã cho. Bài 3: a. Từ điều kiện 2 2 4x y+ = nên ta đặt 2sin , 2cosx t y t= = thay vào PT 2 x y m− = , ta được : 2 2 2sin 4cos 4sin 2sin 4t t m t t m− = ⇔ + − = Từ việc xét hàm số 2 ( ) 4 2 4f X X X= + − trên [ ] 1;1− Ta được: 17 ;2 4 m   ∈ −     thì hệ đã cho có nghiệm. b. Ta CM: 2 2 y x y x y x + < + (1) Thật vậy: 2 2 2 2 0, , 0 2 y x y x y xy x y x y x + < ⇔ + + > ∀ > + Mặt khác ln , 0X X X> ∀ > , do vậy ln x y x y x x + +   >  ÷   (2) Từ (1) và (2) ta có ĐPCM. Bài 4: PT đã cho tương đương với: cos3 3cos cos3 0 cos3 cos 4 2 2 x k x x k x x x x k x π π π =  −  − = ⇔ = ⇔ ⇔ =  =  . VIỆT NAM Độc lập – Tự do – Hạnh phúc *************** ĐỀ CHÍNH THỨC KÌ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH THÁI NGUYÊN Năm học 2009 – 2010 Môn thi : Toán học Lớp 12 Thời. phâm biệt bằng cách xết các khoảng: ( ) ( ) ( ) 1;2 , 2; 1 ; 0;1− − * Theo giả thi t, ta có 2 2 3 2x x= − , vì 2 x là nghiệm của PT 3 3 1 0x x− + = Nên ta