DE VA HD HSG LOP 11 NAM 2009 TINH THAI NGUYEN

UBND TỉNH THáI NGUYÊN Sở GD & ĐT =@= CộNG HOà x hội chủ nghĩa việt namã Độc lập Tự do Hạnh phúc *************** đề chính thức Kì thi học sinh giỏi tỉnh thái nguyên Năm học 2008 2009 Môn thi : toán học Lớp 11 Thời gian làm bài : 150 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1: Hãy tìm cấp số nhân đợc lập bởi 16 số tự nhiên thỏa mãn: 1) 5 số hạng đầu là số có 9 chữ số, 2) 5 số hạng tiếp theo là số có 10 chữ số, 3) 4 số hạng tiếp theo là số có 11 chữ số 4) 2 số hạng sau cùng có 12 chữ số. Bài 2: Giải hệ phơng trình: 2 2 2 2 2 2 x x y y y y z z z z x x + = + = + = Bài 3: Không giảI phơng trình 3 1 0x x + = hãy tính tổng các lũy thừa bậc 8 các nghiệm của nó. Bài 4: Giải phơng trình ( ) 2 3 2 3 2 2 10 2 2 1x x x x x+ + = + + + Bài 5: Gọi a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. CMR: a b c b c a c a b a b c+ + + + + + + Bài 6: Cho ABC có góc CAB bằng 45 0 ; góc ABC bằng 30 0 , gọi M là trung điểm của cạnh BC. a. Tính góc AMC. b. CMR: . 2 AB BC AM AC = HếT Hớng dẫn Bài 2: Ta có 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 (1 ) 2 2 2 (1 ) 1 2 2 (1 ) 2 1 (1) (2) (3) x y x x x y y x y x y y y z z y z y z y z z x x z x z z x z = + = = + = = = + = = = Do đó, ta đặt tan , ; 2 2 x t t = ữ . Khi đó, từ (1) ta có tan 2y t= và từ (2) ta có tan 4z t= và từ (3) ta lại có tan8x t= tan8 tan ( ) 7 k t t t k = = Â 2 4 tan ; tan ; tan 7 7 7 k k k x y z = = = Thử điều kiện của t, ta có { } 3; 2; 1;0;1;2;3k , khi đó hệ có 7 cặp nghiệm. B i 6: *Gọi H là hình chiếu của A trên cạnh BC, Đặt ; ( , 0) AH b BH a a b= = > * Khi đó từ hai tam giác vuông AHB và AHC ta có 0 0 2 2 2 2 2 2 0 tan 30 3 tan15 ; tan 15 b a a b HC b AC AH HC b b = = = = + = + * Vì AM là đờng trung tuyến của tam giác ACM, nên: ( ) 2 2 2 2 2 2 0 2 2 0 2 2 2 0 2 0 0 0 2 0 0 2 2 tan 15 ) ( tan15 ) 3 2 4 2 4 2tan15 7 tan 15 2 3 tan15 tan30 tan 15 2 3 tan15 1 4 1 tan 15 2 với = vì AC AB BC b b a b a b AM a b b b + + + + = = = + + = + = = * MÆt kh¸c, · · · 0 1 sin sin 45 2 b AMH AMC AMC AM = = = ⇒ = . việt nam Độc lập Tự do Hạnh phúc *************** đề chính thức Kì thi học sinh giỏi tỉnh thái nguyên Năm học 2008 2009 Môn thi : toán học Lớp 11 Thời. 2) 5 số hạng tiếp theo là số có 10 chữ số, 3) 4 số hạng tiếp theo là số có 11 chữ số 4) 2 số hạng sau cùng có 12 chữ số. Bài 2: Giải hệ phơng trình: 2