DE THI HSG LOP 10 NAM 2009 TINH THAI NGUYEN

UBND TỉNH THáI NGUYÊN Sở GD & ĐT =@= CộNG HOà xã hội chủ nghĩa việt nam Độc lập Tự do Hạnh phúc *************** đề chính thức Kì thi học sinh giỏi tỉnh thái nguyên Năm học 2008 2009 Môn thi : toán học Lớp 10 Thời gian làm bài : 150 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1: Đa thức 2 ( )f x ax bx c= + + thỏa mãn điều kiện (0) 1; (1) 1; ( 1) 1f f f CMR: a. 3a b c+ + ; b. ( ) 7 khi 2f x x Bài 2: Gọi a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác và p là nửa chu vi của tam giác đó. CMR: 3p p a p b p c p< + + Bài 3: Không giải phơng trình 3 1 0x x + = hãy tính tổng các lũy thừa bậc 8 các nghiệm của nó. Bài 4: Giải phơng trình ( ) 2 3 2 3 2 2 10 2 2 1x x x x x+ + = + + + Bài 5: Cho điểm D nằm trong tam giác ABC sao cho ã ã ã DAB DBC DCA = = = CMR: a. 3 sin sin( ).sin( ).sin( ).A B C = b. cot cot cot cotA B C = + + Bài 6: CMR trong 7 đoạn thẳng, mỗi đoạn có độ dài t tùy ý với 1 13t < có thể chọn ra 3 đoạn để làm 3 cạnh của một tam giác. HếT Híng dÉn Bµi 1: a. Ta cã (1) ( 1) (1) (0) 2 ( 1) (1) ( 1) , (0) (0) 2 f f f a b c a f f a b c f f b c f f c + −  = + +  = −    − = − + ⇒   − −   = = =    Tõ gi¶ thiÕt (1) 1, ( 1) 1, (0) 1f f f≤ − ≤ ≤ Ta cã: (1) ( 1) (1) ( 1) (1) ( 1) (1) ( 1) (0) (0) (0) (0) 2 2 2 2 2 2 4 f f f f f f f f a b c f f f f + − − − − − + + = − + + ≤ + + + + + ≤ b. Ta cã ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (1) ( 1) (1) ( 1) ( ) (0) (0) 2 2 (1) ( 1) (0) 1 2 2 (1) ( 1) ( ) . . (0) . 1 2 2 1 1 1 2 2 1 1 2 = ( f f f f f x f x x f f f x x x x f x f f f x x x x x f x x x x x x x x x x x + − − −     = − + +         − = + + − + − − ⇒ ≤ + + − + − ≤ + + − + − + + − + − *) Khi ®ã, xÐt [ ) [ ) [ ] 2; 1 , 1;1 , 1;2x x x∈ − − ∈ − ∈ Ta cã KL: [ ] 2;2 max ( ) 7f x − = Bµi 2: * ¸p dông B§T B.C.S , ta cã: 1 1 1 3p a p b p c p a p b b c p− + − + − ≤ + + − + − + − = * MÆt kh¸c, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 0 2 2 2 p p a p b p c p p a p b p c p a p b p b p c p c p a p a p b p b p c p c p a < − + − + − ⇔ < − + − + − + − − + − − + − − ⇔ < − − + − − + − − W . việt nam Độc lập Tự do Hạnh phúc *************** đề chính thức Kì thi học sinh giỏi tỉnh thái nguyên Năm học 2008 2009 Môn thi : toán học Lớp 10 Thời. các lũy thừa bậc 8 các nghiệm của nó. Bài 4: Giải phơng trình ( ) 2 3 2 3 2 2 10 2 2 1x x x x x+ + = + + + Bài 5: Cho điểm D nằm trong tam giác ABC sao cho