Bài soạn ĐỀ THI HSG HUYỆN SON NAM 2010-2011

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN THANH HÀ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 2009 – 2010 – LỚP 9 Môn thi: Toán Thời gian làm bài 150’ Đề bài Câu 1: (1,0 đ) Tính B = 4 7 4 7+ − − Câu 2: (2,5 đ) Cho đường thẳng (d) có phương trình: 2(m-1)x+(m-2)y=2 a) Vẽ (d) với m =3 b) Chứng minh d luôn đi qua 1 điểm cố định với mọi m c) Tìm m để (d) cách gốc tọa độ một khoảng lớn nhất. Câu 3: (2,0 đ) Cho biểu thức: P = 3 9 3 1 1 1 2 : 1 2 1 2 x x x x x x x   + − + + −  ÷  ÷ − + − − +   a) Rút gọn P b) Tìm các số tự nhiên x để 1 P là số tự nhiên c) Tính giá trị của P với 4 2 3x = − Câu 4: (1,0 đ) Với 1 2 x ≥ − . Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 2 2 5 2 2 3 2P x x x x= + + + + − Câu 5: (3.5 đ) 1. Cho tam giác vuông cân ABC (góc A = 90 0 , AB=AC). Trên cạnh AC lấy điểm M sao cho 1 3 MC MA = . Kẻ đường thẳng vuông góc với AC tại C, cắt tia BM tại K. Kẻ BE vuông góc với CK. a) Chứng minh : tứ giác ABEC là hình vuông b) Chứng minh: 2 2 2 1 1 1 AB BM BK = + c) Biết BM = 6cm. Tính các cạnh của tam giác MCK. 2. Cho hình thoi ABCD cạnh bằng 1, hai đường chéo cắt nhau tại O. Gọi R 1 và R 2 lần lượt là bán kính các đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABC và ABD. Chứng minh rằng 2 2 1 2 1 1 4 R R + = Đáp án: Câu 1: (1 đ) 2 B= 4+ 7 - 4- 7 >0 B =2 B= 2(vì B >0) Câu 2: (2,5 đ) b) 2(m-1)x+(m-2)y=2 luôn đi qua 1 điểm cố định với mọi m ⇔ m(2x+y)=2+2x+2y luôn đi qua 1 điểm cố định với mọi m 2 0 2 2 2 0 1 2 x y x y x y + =  ⇔  + + =  =  ⇔  = −  Vậy đồ thị hàm số luôn đi qua 1 điểm cố định (1:-2) với mọi m Câu 3: (2,0 đ) a) Rút gọn P ĐKXĐ: 0, 1x x≥ ≠ P = 2 ( 1)x + b) Tìm các số tự nhiên x để 1 P là số tự nhiên 2 1 1 ( 1) P x = + là số tự nhiên 2 ( 1)x⇔ + là ước của 1, mà 1x + >0 ⇔ 1x + =1 ⇔ x =0 (tm) Vậy x =0 thì 1 P là số tự nhiên c) Tính giá trị của P với 2 4 2 3 ( 3 1)x = − = − P = 3 Câu 4: (1,0 đ) Với 1 2 x ≥ − . Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 2 2 2 ax 2 5 2 2 3 2 3 3 ó 2 5 2 (2 1)( 2) 2 3x+3+4 x+3 4 10 ( 3 2) ây P 2 2 2 1 2 5 1 3 2 0 m P x x x x x C x x x x x x V x x P khi x x = + + + + − + + + = + + ≤ − − + − ≤ = + = +   = ⇔ =  + − =   Câu 5: (3.5 đ) 1. Cho tam giác vuông cân ABC (góc A = 90 0 , AB=AC). Trên cạnh AC lấy điểm M sao cho 1 3 MC MA = . Kẻ đường thẳng vuông góc với AC tại C, cắt tia BM tại K. Kẻ BE vuông góc với CK. a) Chứng minh : tứ giác ABEC là hình vuông b) Chứng minh: 2 2 2 1 1 1 AB BM BK = + ΔABK=ΔEFB BM=BF⇒ Áp dụng hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông BFK có 2 2 2 2 2 2 1 1 1 BE 1 1 1 BF BK AB BM BK = + ⇔ = + F E K A B C M c) Biết BM = 6cm. Tính các cạnh của tam giác MCK. Áp dụng định lý pitago trong tam giác vuông ABM có: AB 2 + AM 2 = BM 2 AB 2 +(2/3AB) 2 = BM 2 AB = 18 13 (cm) · · · 1 1 6 MC = AC= AB= 3 3 13 3 ó tg 2 3 6 9 tg . . ( ) 2 13 13 3 cm C KMC tg AMB KC KMC MC cm MK cm ⇒ = = ⇒ = = = = Cách 2: 1 18 6 2 13 CKM ABM MK CK CM MB AB AM MK CK ∆ ∆ ⇒ = = ⇒ = = : 2. Cho hình thoi ABCD cạnh bằng 1, hai đường chéo cắt nhau tại O. Gọi R 1 và R 2 lần lượt là bán kính các đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABC và ABD. Chứng minh rằng 2 2 1 2 1 1 4 R R + = - Kẻ đường thẳng d là trung trực của AB cắt AC, BD lần lượt tại K và I. - Chứng minh được I và K lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và ABD. Từ B kẻ BM // AC cắt d tại M ⇒ BM BD⊥ - tứ giác AMBK là hình thoi ⇒ BM = AK = R 2 - Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông MBI có 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 1 2 1 1 1 1 1 1 ( ) 2 1 1 4 BI MB BH AB R R R R + = ⇔ + = ⇔ + = D d M K I H O A C B . GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN THANH HÀ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 2009 – 2010 – LỚP 9 Môn thi: Toán Thời gian làm bài 150’ Đề bài Câu 1: (1,0 đ) Tính