De thi hoc ki 2 lop 11 nam 20082009

Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng SD.. Theo chương trình chuẩn[r]

Trường THPT Vinh Xuân KIỂM TRA HỌC KỲ II NĂM HỌC 2008-2009 Tổ Tốn Tin MƠN TOÁN LỚP 11

( Thời gian làm bài: 90 phút )

I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH ( điểm )

Câu I ( điểm )

1 Tìm giới hạn:

8 1 3

1 lim

x

x x 

  

2 Cho hàm số

2 4

2

( ) 2

2 2 x

x f x x

mx x

 

 

 

  



nÕu

nÕu Tìm m để hàm số liên tục x2. Câu II ( điểm )

1 Tìm vi phân hàm số y x 2.sin 2x 2 Cho hàm số

2

( ) sin sin

6 6

f x    x  x

    Chứng minh: f x'( ) sin 2 x 3 Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số

3 2

1 x y

x  

 điểm M có hoành độ xM 2

Câu III ( điểm )

Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng ABCD cạnh a, cạnh bên SA vng góc với đáy

6 2 a SA

.

1 Chứng minh mặt phẳng (SAC) vng góc với mặt phẳng (SBD). 2 Xác định tính góc hai mặt phẳng (SBD) (ABCD).

3 Xác định tính độ dài đoạn vng góc chung hai đường thẳng AB SD.

II PHẦN RIÊNG ( điểm )

Thí sinh học chương trình làm phần dành riêng cho chương trình ( phần phần ).

Phần Theo chương trình Chuẩn:

Câu IV.a ( điểm ) Chứng minh phương trình sau có nghiệm âm: x3  2x23x 1 0

Câu V.a ( điểm ) Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có AA'a AB b, 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  

, AC c

 

Gọi M giao điểm BC’ B’C Chứng minh   1

2

AM  a b c 

   

. Phần Theo chương trình Nâng cao:

Câu IV.b ( điểm ) Chứng minh phương trình sau có hai nghiệm trái dấu: x5  4x2  2 0.

Câu V.b (1 điểm ) Cho tứ diện ABCD có AC a BD b , 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  

Gọi P, Q các điểm thuộc AB, CD cho

1 3 AP AB  

,

1 3 CQ CD  

.Chứng minh

2 1

3 3

PQ a b

  

-HẾT -HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN TỐN LỚP 11 KIỂM TRA HỌC KỲ II - NĂM HỌC 2008-2009

I.PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (8 điểm )

Câu Nội dung Điểm

I.1. 1,00 đ

8

1 lim

x

x x



  

 

  

1

8

8

lim

x

x

x x



 

  

8

8

lim

x x



 

4



0,50 0,25 0,25

I.2. 1,00 đ

+ Với x2, ta có  

2

2 2

4

( )

2

lim lim lim

x x x

x

f x x

x

  



   

 .

+ Với x2, ta có f(2) 2 m2.

Hàm số liên tục x2 limx2 f x( ) f(2)  2 m2

m

  .

Vậy m1 hàm số liên tục x2.

0,25 0,25 0,25 0,25

II.1.

1,00 đ Tìm vi phân hàm số

.sin

y x x

Ta có y' sin 2 x x2 cos 2x2 x2 sin 2x x x cos 2x

Vi phân hàm số dy y dx' hay dy2 sin 2x x x cos 2x dx

0,50 0,50

II.2. 1,00 đ

Ta có

2

( ) sin sin

6

f x    x  x

   

Suy

'( ) 2sin cos 2sin cos

6 6

f x    x   x   x  x

       

sin sin

3 x x

 

   

      

    sin 2x sin 2x

 

   

      

   

2cos sin 23 x





1 .sin

2 x



sin 2x



-Cách 2:

2

( ) sin sin

6

f x    x  x

   

1

1 cos cos

2 x x

 

     

           

   

   

1

1 cos cos

2 x x

 

    

        

   

 

cos cos 23 x



  1.cos

2 x

 

0,25 0,25 0,25 0,25

H

O

D

C B

A S

Suy  

1

'( ) 2sin 2

f x   x

sin 2x



II.3.

1,00 đ Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số

3

1

x y

x

 

 điểm M Khi xM 2 ta có yM 8, suy điểm M2;8 thuộc đồ thị hàm số

Ta có  

2

5 '

1

y x

 

Suy hệ số góc tiếp tuyến điểm M2;8 là: ky'( 2) 5  Vậy phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm M2;8 là:

y 5 x2  y5x18

0,25 0,25 0,25 0,25

III.1.

1,00 đ Hình vẽ: 0,50 điểm.

Chứng minh (SAC) (SBD) Ta có BDAC ( hai đường chéo hình vng ABCD )

BDSA ( SA(ABCD) ) Suy BD(SAC)

Vậy (SBD)(SAC)

0,50

III.2.

1,00 đ Xác định tính góc hai mặt phẳng (Gọi O giao điểm AC BD. SBD) (ABCD)

Ta có BD(SBD) ( ABCD) AC BD, SOBD ( BD(SAC) ) Suy SOA góc hai mặt phẳng (SBD) (ABCD)

Từ tam giác SAO vng góc A, ta có



tan :

2

SA a a SOA

AO

  

Suy SOA 600.

0,50

0,50

III.3.

1,00 đ Xác định tính độ dài đoạn vng góc chung hai đường thẳng SD AB Ta có ABSA ABAD suy AB(SAD).

Do đó, mặt phẳng (SAD) dựng AH SD ABAH

Suy AH đường vng góc chung AB SD

Trong tam giác SAD vng góc A có đường cao AH, ta có

2 2 2

1 1

3

AH AD  AS a  a  a

15

a AH

 

0,50 0,50

II PHẦN RIÊNG ( điểm )

Phần Theo chương trình chuẩn

M

C' B'

A'

C B

A

Q P

D

C B

A

1,00 đ x3 2x2 3x 1 0

   

Xét hàm số f x( )x3 2x23x1 xác định liên tục . Ta có f( 1) 5 f(0) 1 , f( 1) (0) f 5 0

Suy tồn x0  1;0 thỏa mãn phương trình f x( ) 00 

Vì x0  1;0 nên x0 0

Vậy phương trình cho có nghiệm âm

0,25 0,25 0,25 0,25

V.a.

1,00 đ Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có AA'a AB b AC c,  , 

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

    

Gọi M là giao điểm BC’ B’C Chứng minh  

1

AM  a b c     

Do mặt bên BCC’B’ hình lăng trụ hình bình hành nên M trung điểm B’C

Suy  

1 '

AM  AB AC

  

(1)

Vì AB’ đường chéo hình bình hành ABB’A’ nên ta có:

AB'AA'AB

  

(2) Từ (1) (2) suy

 

1 '

AM  AA AB AC

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

hay  

1

AM  a b c     

0,25

0,25

0,50

Phần Theo chương trình Nâng cao IV.b.

1,00 đ Chứng minh phương trình sau có hai nghiệm trái dấu: x5 4x2 2 0

   .

Xét hàm số f x( )x5 4x22 xác định liên tục .

Ta có f(0) (1) 2.( 1)f   2 0   x0 0;1 thỏa mãn f x( ) 00  x0 0

và f(0) ( 1) 2.( 3)f    6 0    x1  1;0 thỏa mãn f x( ) 01  x10

Vậy phương trình cho có hai nghiệm trái dấu

0,25 0,50 0,25

V.b.

1,00 đ Chứng minh PQ23a13b

  

Ta có PQ PA AC CQ  

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

hay

1

3

PQ AB a  CD

   

(1) Tương tự

PQ PB BD DQ  

   

 AB AP  BDCQ CD 

    

1

3

AB AB BD CD CD

   

     

   

    

hay

2

3

PQ AB b  CD

   

(2) Lấy hệ thức (1) nhân với cộng với hệ thức (2) vế theo vế, ta

0,25

3PQ2a b

  



2

3

PQ a b

  