Tong hop kien thuc mon toan luyen thi DHCD

Đưa các nhóm đối xứng về sin + cos và sin.cos.. Tương tự dạng 1, dùng công thức đổi nhân thành +.. Với trường hợp  ) : nếu biên phải hay biên trái bị gãy, ta cắt D bằng các đường ngang[r]

I- GIẢI TÍCH TỔ HỢP

1 Giai thừa : n! = 1.2 n 0! =

n! /(n – k)! = (n – k + 1).(n – k + 2) n

2 Nguyên tắc cộng : Trường hợp có m cách chọn, trường hợp có n cách chọn; cách chọn thuộc trường hợp Khi đó, tổng số cách chọn : m + n

3 Nguyên tắc nhân : Hiện tượng có m cách chọn, cách chọn lại có n cách chọn tượng Khi đó, tổng số cách chọn liên tiếp hai tượng : m x n

4. Hốn vị : Có n vật khác nhau, xếp vào n chỗ khác Số cách xếp : Pn = n !

5. Tổ hợp : Có n vật khác nhau, chọn k vật Số cách chọn : k!(n k)!

! n Ck

n

 

6. Chỉnh hợp : Có n vật khác Chọn k vật, xếp vào k chỗ khác số cách :

 



k k k

n n n k

n!

A , A C P

(n k)!

Chỉnh hợp = tổ hợp hoán vị 7 Tam giác Pascal :

1

4 4

4

3 3 3

2 2

1 1 0

C C C C C

C C C C

C C C

C C C

1 1 1 3

1

Tính chất :

k n k n k n

k n n k n n

n n

C C C

C C , 1 C C

 



 

 



8. Nhị thức Newton :

*

n n n

1 n n n n

n C a b C a b C a b )

b a

(      

a = b = :

0 n n

n n n

C C  C 2

Với a, b  {1, 2, }, ta chứng minh nhiều đẳng thức chứa :

n n

n

n,C , ,C C

* (ax)n C0nan C1nan 1x Cnnxn 

Ta chứng minh nhiều đẳng thức chứa

n n

n

n,C , ,C

C cách :

- Đạo hàm lần, lần, cho x = 1, 2, a = 1, 2,

- Nhân với xk , đạo hàm lần, lần, cho x = 1, 2, , a = 1, 2,

- Cho a = 1, 2, ,

 





0

0

hay

hay



 

Chú ý :

* (a + b)n : a, b chứa x Tìm số hạng độc lập với x :

k n k k m

n

C a b Kx



Giải pt : m = 0, ta k

* (a + b)n : a, b chứa Tìm số hạng hữu tỷ.

m r

k n k k p q

n

C a  b Kc d



Giải hệ pt :   

 

Z q / r

Z p / m

, tìm k * Giải pt , bpt chứa A ,C

k n k

n : đặt điều kiện k, n  N* , k

 n Cần biết đơn giản giai thừa, qui đồng mẫu số, đặt thừa số chung

* Áp dụng sơ đồ nhánh để chia trường hợp , tránh trùng lắp thiếu trường hợp

* Với tốn tìm số cách chọn thỏa tính chất p mà chia trường hợp, ta thấy số cách chọn không thỏa tính chất p trường hợp hơn, ta làm sau :

số cách chọn thỏa p

= số cách chọn tùy ý - số cách chọn không thỏa p Cần viết mệnh đề phủ định p thật xác

* Vé số, số biên lai, bảng số xe : chữ số đứng đầu (tính từ trái sang phải) * Dấu hiệu chia hết :

- Cho : tận 0, 2, 4, 6,

- Cho : tận 00 hay chữ số cuối hợp thành số chia hết cho - Cho : tận 000 hay chữ số cuối hợp thành số chia hết cho - Cho : tổng chữ số chia hết cho

- Cho : tổng chữ số chia hết cho - Cho : tận hay

- Cho : chia hết cho - Cho 25 : tận 00, 25, 50, 75

II- ĐẠI SỐ

1. Chuyển vế : a + b = c  a = c – b; ab = c        

 

 

b / c a

0 b c 0 b

a/b = c    

 

0 b

bc a

; a2n1b a2n1b

2n

2n 2n 2n b a

a b a b, a b

a 0

 

     

 

  

   

   

 ,a logb b a

0 a

a b b

a

  

    

 

  

 

   

b / c a

0 b c/b a

0 b 0,c 0 b

c ab ; b c a c b a

2. Giao nghiệm :

  

    

 

   

} b , a min{ x

b x

a x ; } b , a max{ x

b x

a x

 



       

 

 

   



  

p

x a a x b(neáua b) p q

;

x b VN(neáua b) q

Nhiều dấu v : vẽ trục để giao nghiệm

3. Công thức cần nhớ :

a : bình phương vế không âm Làm phải đặt điều kiện 

 

   

 

  

 

 2 2

b a 0

0 b b a , b a

0 b b a

  

  

 

   

 2

b a

0 b 0 a

) 0 b , a neáu ( b . a

) 0 b , a neáu ( b . a ab

 



 

b . : phá . cách bình phương :

2 a

a 

hay định nghĩa :

) 0 a neáu ( a

) 0 a neáu ( a a

 

 

b a b a ; b a

0 b b

a   

  

    

a   b b a b 

b 0 a b b 0hay

a b a b

 

   

   

0 b a b

a    

c Mũ : yax,xR,y0,yneáua1, y neáu0a1.

0 m / n n m m n m n

m n m n m n m.n n n n

n n n m n

a 1; a 1/ a ; a a a

a / a a ; (a ) a ; a / b (a/ b)

a b (ab) ; a a (m n,0 a 1) a = 1

 



  

  

      



    

 



 n loga

m , a

) 1 a 0 neáu ( n m

) 1 a neáu ( n m a

a

d log : y = logax , x > , < a  1, y  R

y a > 1, y < a < 1,  = logaa

loga(MN) = logaM + logaN ( )

loga(M/N) = logaM – logaN ( )

2 a a

a

aM 2log M,2log M log M

log  

() logaM3 = 3logaM, logac = logab.logbc

logbc = logac/logab,

M log 1 M

loga a

 



loga(1/M) = – logaM, logaM = logaN  M = N

a a

0 M N(neáua 1) log M log N

M N 0(neáu0 a 1)

  

 

   

Khi làm toán log, miền xác định nới rộng : dùng điều kiện chặn lại, tránh dùng công thức làm thu hẹp miền xác định Mất log phải có điều kiện

4. Đổi biến :

a Đơn giản :

R x log t, 0 a t, 0 x t, 0 x t , 0 x t , R b ax

t x a

 

        

 

N?u ?? có ?i?u ki?n c?a x, ta chuy?n sang ?i?u ki?n c?a t b?ng cách bi?n ??i tr?c ti?p b?t ??ng th?c b Hàm số : t = f(x) dùng BBT để tìm điều kiện t Nếu x có thêm điều kiện, cho vào miền xác định f c Lượng giác : t = sinx, cosx, tgx, cotgx Dùng phép chiếu lượng giác để tìm điều kiện t

d Hàm số hợp : bước làm theo cách

5. Xét dấu :

a Đa thức hay phân thức hữu tỷ, dấu A/B giống dấu A.B; bên phải dấu hệ số bậc cao nhất; qua nghiệm đơn (bội lẻ) : đổi dấu; qua nghiệm kép (bội chẵn) : không đổi dấu

b Biểu thức f(x) vô tỷ : giải f(x) < hay f(x) >

c Biểu thức f(x) vô tỷ mà cách b không làm : xét tính liên tục đơn điệu f, nhẩm nghiệm pt f(x) = 0, phác họa đồ thị f , suy dấu f

6. So sánh nghiệm phương trình bậc với  : f(x) = ax2 + bx + c = 0 (a  0)

Dùng S, P để tính biểu thức đối xứng nghiệm Với đẳng thức g(x1,x2) = không đối xứng, giải hệ pt :

    

   

2

2

x . x P

x x S

0 g

Biết S, P thỏa S2 – 4P

 0, tìm x1, x2 từ pt : X2 – SX + P =

* Dùng , S, P để so sánh nghiệm với :

x1 < < x2 P < 0, < x1 < x2

    

   

0 S

0 P

0

x1 < x2 < 

    

   

0 S

0 P

0

* Dùng , af(), S/2 để so sánh nghiệm với  : x1 <  < x2 af() <

 < x1 < x2

    

 

   

2 / S

0 ) ( f. a

0

; x1 < x2 < 

    

 

   

2 / S

0 ) ( f. a

0

 < x1 <  < x2

a.f( ) 0 a.f( ) 0

  



  

   

 ; x

1 <  < x2 < 

    

  

 

 

0 ) ( f. a

0 ) ( f. a

7. Phương trình bậc :

a Viête : ax3 + bx2 + cx + d = 0

x1 + x2 + x3 = – b/a , x1x2 + x1x3 + x2x3 = c/a , x1.x2.x3 = – d/a

Biết x1 + x2 + x3 = A , x1x2 + x1x3 + x2x3 = B , x1.x2.x3 = C

thì x1, x2, x3 nghiệm phương trình : x3 – Ax2 + Bx – C =

b Số nghiệm phương trình bậc :

 x =  f(x) = ax2 + bx + c = (a  0) : nghiệm phân biệt  

 

 

 

0 ) ( f

0

2 nghiệm phân biệt    

 

   

 

 

 

0 ) ( f

0 0

) ( f

0

1 nghiệm   

 

 

 

= 0 < 0hay

f = 0

 Phương trình bậc khơng nhẩm nghiệm, m tách sang vế : dùng tương giao (C) : y = f(x) (d) : y = m

 Phương trình bậc khơng nhẩm nghiệm, m không tách sang vế : dùng tương giao (Cm) :

y = f(x, m) (Ox) : y = nghiệm  

 

  

0 y . y

0 CT CÑ

' y

2 nghiệm    

  

0 y

. y

0 CT CÑ

' y

1 nghiệm y'  

 

  

0 y . y

0 CT CÑ

c Phương trình bậc có nghiệm lập thành CSC :  

 

  

0 y

0 uoán

' y

d So sánh nghiệm với  :

 x = xo f(x) = ax2 + bx + c = (a  0) : so sánh nghiệm phương trình bậc f(x) với 

 Không nhẩm nghiệm, m tách sang vế : dùng tương giao f(x) = y: (C) y = m: (d) , đưa  vào BBT

 Không nhẩm nghiệm, m không tách sang vế : dùng tương giao (Cm) : y = ax3 + bx2 +

cx + d (có m) ,(a > 0) (Ox)

 < x1 < x2 < x3

y' CÑ CT

CÑ

0

y y 0

y( ) 0 x

   

 



  

   

x1 <  < x2 < x3

      

 

 

  

CT CT CÑ

' y

x 0 ) ( y

0 y . y

0

x1 < x2 <  < x3

      

 

 

  

CÑ CT CÑ

' y

x

0 ) ( y

0 y . y

0

x1 < x2 < x3 < 

y' CÑ CT

CT

0

y y 0

y( ) 0 x

   

 



  

  

 8. Phương trình bậc có điều kiện :

f(x) = ax2 + bx + c = (a  0), x 

2 nghiệm    

 

 

0 0 ) ( f

, nghiệm    

 

    

 

 

0 ) ( f

0 0 ) ( f

0

Vô nghiệm  <    

 

 

0 ) ( f

0

Nếu a có tham số, xét thêm a = với trường hợp nghiệm, VN

9. Phương trình bậc :

a Trùng phương : ax4 + bx2 + c = (a  0)  

 

  

0 ) t ( f

0 x

t

t = x2

 x =  t

 x

1 x2 x3



x

1 x2x3

 x

1 x2 x3



x

4 nghiệm      

   

0 S

0 P

0

; nghiệm    

 

0 S

0 P

2 nghiệm    

  



0 2 / S

0 0 P

; nghiệm    

     

 

0 2 / S

0 0 S

0 P

VN  <      

   

0 S

0 P

0

 < 

0 0 P S

 

    

4 nghiệm CSC    

  

1

2

t 3 t

t t 0

Giải hệ pt :    

  



2

2

1

t. t P

t t S

t 9 t

b ax4 + bx3 + cx2 + bx + a = Đặt t = x + x

1

Tìm đk t BBT : t 2 c ax4 + bx3 + cx2 – bx + a = Đặt t = x – x

1

Tìm đk t BBT : t  R

d (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = e với a + b = c + d Đặt : t = x2 + (a + b)x Tìm đk t BBT.

e (x + a)4 + (x + b)4 = c Đặt : 2

b a x

t  

, t  R

10 Hệ phương trình bậc : 

 

 

 

'c y ' b x ' a

c by ax

Tính : D = b'

b ' a a

, Dx = b'

b 'c c

, Dy = 'c

c ' a a

D  : nghiệm x = Dx/D , y = Dy/D

D = 0, Dx  Dy : VN

D = Dx = Dy = : VSN hay VN (giải hệ với m biết)

11 Hệ phương trình đối xứng loại :

Từng phương trình đối xứng theo x, y Đạt S = x + y, P = xy ĐK : S2 – 4P  Tìm S, P Kiểm tra đk S2 – 4P  0;

Thế S, P vào pt : X2 – SX + P = 0, giải nghiệm x y.

(, ) nghiệm (, ) nghiệm; nghiệm  =  m = ?

Thay m vào hệ, giải xem có nghiệm khơng

12 Hệ phương trình đối xứng loại :

Phương trình đối xứng với phương trình Trừ phương trình, dùng đẳng thức đưa phương trình tích A.B =

Nghiệm làm hệ đối xứng loại

13 Hệ phương trình đẳng cấp : 

 

 



 



' d y 'c xy ' b x ' a

d cy bxy ax

2

2

Xét y = Xét y  : đặt x = ty, chia phương trình để khử t Cịn phương trình theo y, giải y, suy t, suy x Có thể xét x = 0, xét x  0, đặt y = tx

* Ngồi bất phương trình bậc 1, bậc 2, dạng , . , log, mũ giải trực tiếp, dạng khác cần lập bảng xét dấu Với bất phương trình dạng tích AB < 0, xét dấu A, B AB

* Nhân bất phương trình với số dương : khơng đổi chiều số âm : có đổi chiều Chia bất phương trình : tương tự

* Chỉ nhân bất pt vế theo vế , vế không âm * Bất đẳng thức Côsi :

a, b  :

ab 2

b a

 

Dấu = xảy a = b a, b, c  :

3 abc 3

c b a

  

Dấu = xảy a = b = c * Bất đẳng thức Bunhiacốpxki : a, b, c, d

(ac + bd)2 (a2 + b2).(c2 + d2); Dấu = xảy a/b = c/d

15 Bài tốn tìm m để phương trình có k nghiệm :

Nếu tách m, dùng tương giao (C) : y = f(x) (d) : y = m Số nghiệm số điểm chung Nếu có điều kiện x  I, lập BBT f với x  I

16 Bài tốn tìm m để bất pt vơ nghiệm, ln ln nghiệm, có nghiệm x  I : Nếu tách m, dùng đồ thị, lập BBT với x  I

f(x)  m : (C) (d) (hay cắt) f(x)  m : (C) (d) (hay cắt)

III- LƯỢNG GIÁC

1. Đường tròn lượng giác :

Trên đường trịn lượng giác, góc  đồng với cung AM, đồng với điểm M Ngược lại, điểm đường tròn lượng giác ứng với vô số số thực x + k2 Trên đường trịn lượng giác, nắm vững góc đặc biệt : bội 6

 (3

1

cung phần tư) 4

 (2

1

cung phần tư) x =  + n

k 2 

:  góc đại diện, n : số điểm cách đường tròn lượng giác

2. Hàm số lượng giác : 3. Cung liên kết :

* Đổi dấu, không đổi hàm : đối, bù, hiệu  (ưu tiên không đổi dấu : sin bù, cos đối, tg cotg hiệu ) * Đổi hàm, không đổi dấu : phụ

* Đổi dấu, đổi hàm : hiệu 2 

(sin lớn = cos nhỏ : không đổi dấu)

4. Công thức :

a Cơ : đổi hàm, khơng đổi góc b Cộng : đổi góc a  b, a, b c Nhân đơi : đổi góc 2a a d Nhân ba : đổi góc 3a a

e Hạ bậc : đổi bậc bậc Công thức đổi bậc bậc suy từ công thức nhân ba f Đưa 2

a tg t 

: đưa lượng giác đại số

g Tổng thành tích : đổi tổng thành tích đổi góc a, b thành (a  b) / h Tích thành tổng : đổi tích thành tổng đổi góc a, b thành a  b

5. Phương trình : sin = 0 cos = – hay cos = 1 = k, sin =  = 2



+ k2; sin = –1  = – 2 

+ k2,

2

  0 2 +

2 0

2

 

 0 A x+k2 M

cos chiếu sin

M cotg

chiếu xuyên tâm tg

cos =  sin = –1 hay sin =  = 2 

+ k, cos =  = k2, cos = –  =  + k2

sinu = sinv  u = v + k2 u =  – v + k2 cosu = cosv  u =  v + k2

tgu = tgv  u = v + k cotgu = cotgv  u = v + k

6. Phương trình bậc theo sin cos : asinu + bcosu = c * Điều kiện có nghiệm : a2 + b2 c2

* Chia vế cho a2b2 , dùng công thức cộng đưa phương trình (cách khác : đưa phương trình bậc theo 2

u tg t

)

7. Phương trình đối xứng theo sin, cos :

Đưa nhóm đối xứng sin + cos sin.cos Đặt : t = sinu + cosu =

2

t 1

2 sin u , 2 t 2,sin u.cosu

4 2

 

 

    

 

 

8. Phương trình chứa sinu + cosu sinu.cosu :

Đặt :

2 1

2 0 2

4 2

t tsin u cos u  sin u   ,  t ,sinu.cos u 

 

9. Phương trình chứa sinu – cosu sinu.cosu :

Đặt :

 

 

         

 

2

1 t

t sin u cosu 2 sin u , 2 t 2,sin u.cosu

4 2

10 Phương trình chứa sinu – cosu sinu.cosu :

Đặt :

2

1

2 0 2

4 2

t tsin u cos u  sin u    ,  t ,sinu.cos u 

 

11 Phương trình tồn phương (bậc bậc theo sinu cosu) :

Xét cosu = 0; xét cosu  0, chia vế cho cos2u, dùng công thức 1/cos2u = + tg2u, đưa phương trình bậc theo t = tgu.

12 Phương trình tồn phương mở rộng :

* Bậc bậc theo sinu cosu : chia vế cho cos3u.

* Bậc bậc – : chia vế cho cosu

13 Giải phương trình cách đổi biến :

Nếu khơng đưa phương trình dạng tích, thử đặt : * t = cosx : phương trình không đổi thay x – x * t = sinx : phương trình khơng đổi thay x  – x * t = tgx : phương trình khơng đổi thay x  + x * t = cos2x : cách

* t = tg2

x

: cách khơng

14 Phương trình đặc biệt :

* 

 

    

0 v

0 u 0

v u2

*

  

   

   

  

C v

C u C

v C u

v u

*

  

  

    

    

B v

A u B

A v u

B v

* sinu.cosv =    

 

  

  

 

1 v cos

1 u sin 1

v cos

1 u sin

* sinu.cosv = –    

   

  

  

1 v cos

1 u sin 1

v cos

1 u sin

Tương tự cho : sinu.sinv =  1, cosu.cosv = 

15 Hệ phương trình : Với F(x) sin, cos, tg, cotg a Dạng : 

 

 

 

) 2 ( n

y x

) 1 ( m ) y ( F ) x ( F

Dùng công thức đổi + thành nhân, (2) vào (1) đưa hệ phương trình : 

 

 

 

b y x

a y x

b Dạng :   

 



n y x

m ) y ( F ). x ( F

Tương tự dạng 1, dùng công thức đổi nhân thành + c Dạng : 

 

 



n y x

m ) y ( F / ) x ( F

Dùng tỉ lệ thức : b d

c a d b

c a d c b a

      

biến đổi phương trình (1) dùng cơng thức đổi + thành x

d Dạng khác : tìm cách phối hợp phương trình, đưa pt

16 Tốn  :

* Ln có sẵn pt theo A, B, C : A + B + C =  * A + B bù với C, (A + B)/2 phụ với C/2 * A, B, C  (0, ) ; A/2, B/2, C/2  (0, /2)

A + B  (0, ) ; (A + B)/2  (0, /2) ; A – B  (– , ) , (A – B)/2  (– /2, /2) Dùng tính chất để chọn k

* Đổi cạnh góc (đơi đổi góc cạnh) : dùng định lý hàm sin : a = 2RsinA hay định lý hàm cos : a2 = b2 + c2 – 2bc.cosA

*

pr R 4 abc C sin ab 2 1 ah 2 1

S a   

) c p )( b p )( a p (

p   



* Trung tuyến :

2 2

a 21 2b 2c a

m   

* Phân giác : ℓa = b c

2 A cos bc 2



IV- TÍCH PHÂN

1. Định nghĩa, cơng thức, tính chất :

* F nguyên hàm ff đạo hàm F Họ tất nguyên hàm f :

f(x)dx= F(x) + C (C  R)

*

 

   

 

 

1

u

du u C ; u du C

1 ,  – 1

u u

du ln u C; e du e C;

u    

  auduau/lnaC

sinudu cos u C

du/sin2u cotguC

; du/cos utguC

2

*

  



b

b a a

f(x)dx F(x) F(b) F(a)

*       

b a

c a

b a

c b a

b a

a 0; ,

 

 

    

b a

b a b

a b a b

a

f k kf ; g f ) g f (

2. Tích phân phần : udv uv  vdu

 

Thường dùng tính tích phân hàm hỗn hợp

a    

n n

n x

ne , x sinx; x cosx:u x x

b x lnx : ulnx

n

c e sinx ,e cosx : ue hay dve dx

x x

x x

từng phần lần, giải phương trình ẩn hàm ʃ

3. Các dạng thường gặp :

a 

 x

cos . x

sinm 2n

: u = sinx

cosmx.sin2n1x : u = cosx. sin2mx.cos2nx : hạ bậc bậc 1

b tg x/cos x

n m

2

: u = tgx (n  0)

cotg2mx/sin2nx : u = cotgx (n  0)

c chứa a2 – u2 : u = asint

chứa u2 – a2 : u = a/cost

chứa a2 + u2 : u = atgt

d R(sinx,cosx) , R : hàm hữu tỷ

R(–sinx, cosx) = – R(sinx, cosx) : u = cosx R(sinx, –cosx) = – R(sinx, cosx) : u = sinx

R(–sinx,–cosx) = R(sinx, cosx) : u = tgx  u = cotgx R đơn giản : 2

x tg u





  

2 /

x 2 u đặt thử : 



  

0

x u

đặt thử :

e      

n q

q / p n

f 

  

 

 n p/q q n n

m Z:u x a bx

q p n

1 m , ) bx a ( x

g u

1 k hx : c bx ax ) k hx /[(

dx     



h R(x, (axb)/(cxd) , R hàm hữu tỷ : u (axb)/(cxd) i chứa (a + bxk)m/n : thử đặt un = a + bxk.

4. Tích phân hàm số hữu tỷ :

P(x)/Q(x) : bậc P < bậc Q

* Đưa Q dạng tích x + a, (x + a)n, ax2 + bx + c (

 < 0)

* Đưa P/Q dạng tổng phân thức đơn giản, dựa vào thừa số Q :

n n

2

n

) a x (

A ) a x (

A a

x A )

a x ( , a x

A a

x

        

 

   

 

 

     

   

 

  

  ( 0) du/(u a ):đặtu atgt

c bx ax

dx c

bx ax

B c

bx ax

) b ax ( A ) ( c bx

ax 2

2

2

5. Tính diện tích hình phẳng :

a D giới hạn x = a, x = b, (Ox), (C) : y = f(x) :  

b a

D f(x)dx S

f(x) : phân thức hữu tỉ : lập BXD f(x) [a,b] để mở .; f(x) : hàm lượng giác : xét dấu f(x) cung [a, b] đường tròn lượng giác

b D giới hạn x = a, x = b , (C) : y = f(x) (C') : y = g(x) : 

 

b a

D f(x) g(x)dx S

Xét dấu f(x) – g(x) trường hợp a/

c D giới hạn (C1) : f1(x, y) = , (C2) : f2 (x, y) =

/

b D

a

S f(x) g(x) dx

/

b D

a

S f(y) g(y) dy

Với trường hợp ) : biên hay biên bị gãy, ta cắt D đường thẳng đứng chỗ gãy Với trường hợp ) : biên phải hay biên trái bị gãy, ta cắt D đường ngang chỗ gãy Chọn tính  theo dx hay dy để  dễ tính tốn hay D bị chia cắt

Cần giải hệ phương trình tọa độ giao điểm

Cần biết vẽ đồ thị hình thường gặp : hàm bản, đường tròn, (E) , (H), (P), hàm lượng giác, hàm mũ, hàm .

Cần biết rút y theo x hay x theo y từ công thức f(x,y) = biết chọn  hay 

y  :trên,y  :dưới,x  :phải,x  :trái

6. Tính thể tích vật thể trịn xoay :

a D 5.a/ xoay quanh (Ox) :

 



 

b a

2dx ) x ( f V

x=b x=a

f(x)

g(x)

y=af(y) y=b g(y)

a b

f(x)

a

b      b a 2dy ) y ( f V c     b a

2(x) g (x)]dx f [ V d     b a

2(y) g (y)]dy f

[ V

e  

    b c c a

2(x)dx g (x)dx f

V

f  

    b c c a

2(y)dy f (y)dy g

V

Chú ý : xoay quanh (Ox) :  dx ; xoay quanh (Oy) :  dy V- KHẢO SÁT HÀM SỐ

1. Tìm lim dạng 0 0

, dạng 1 :

a Phân thức hữu tỷ :

1 a x 1 a x a x Q P lim ) x ( Q ) a x ( ) x ( P ) a x ( lim ) 0 / 0 daïng ( ) x ( Q ) x ( P lim       

b Hàm lg :

1 u u sin lim thức công dùng ), 0 / 0 dạng ( ) x ( g ) x ( f lim u a

x  

c Hàm chứa :

) 0 / 0 daïng ( ) x ( g ) x ( f lim a x

, dùng lượng liên hiệp : a2 – b2 = (a – b)(a + b) để phá , a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2) để phá 3

d Hàm chứa mũ hay log (dạng 1) : dùng công thức

e )

u 1 (

lim 1/u

u  

2. Đạo hàm :

a Tìm đạo hàm định nghĩa : o

o o

x x

0) lim f(xx) xf(x ) x (' f    

Tại điểm xo mà f đổi cơng thức, phải tìm đạo hàm phía :

. lim ) x ( f , lim ) x ( f o x x o / o x x o /        

Nếu f (x ) f (xo)

/ o /



  f có đạo hàm x

o

b Ý nghĩa hình học :

k = tg = f/(xM)

c f/ + : f  , f/ – : f 

f// + : f lõm , f// – : f lồi

b f(x) g(x) a f(y) a g(y) b f(x) g(x 0) a b

a c b

d f đạt CĐ M    

 

0 ) x ( f

0 ) x ( f

M // M /

f đạt CT M    

 

0 ) x ( f

0 ) x ( f

M // M /

M điểm uốn f  f//(xM) = f// đổi dấu qua xM

e Tính đạo hàm công thức : C/ = 0, (x)/ = x–1 , (lnx)/ = 1/x ,  a 

1 log x

xlna

 

, (ex)/ = ex

(ax)/ = ax.lna, (sinx)/ = cosx , (cosx)/ = – sinx, (tgx)/ = 1/cos2x,

(cotgx)/ = –1/sin2x, (ku)/ = ku/ , (u

v)/ = u/ v/, (uv)/ = u/v + uv/ , (u/v)/ = (u/v – uv/)/v2

* Hàm hợp : (gof)/ = g/[f(x)] f/(x)

* Đạo hàm lôgarit : lấy log (ln : số e) vế , đạo hàm vế; áp dụng với hàm [f(x)]g(x) hay f(x) dạng tích,

thương, chứa n f Vi phân : du = u/dx

3. Tiệm cận :

 

 y

lim a

x  x = a : tcđ

b y lim

x   y = b : tcn

0 )] b ax ( y [ lim

x     y = ax + b : tcx * Vẽ đồ thị có tiệm cận :

- t c đ : y tiến  đường cong gần đường t c - t c x :khi x y tiến  đường cong gần đường t c - t c n :khi x tiến  đường cong gần đường t c * Xét Q(x)

) x ( P y

 Có tcđ x = a Q(a) = 0, P(a) 

 Có tcn bậc P  bậc Q : với x , tìm lim y cách lấy số hạng bậc cao P chia số hạng bậc cao Q

 Có tcx P Q bậc, chia đa thức ta có : Q(x)

) x ( P b ax ) x (

f   

, tcx y = ax + b Nếu Q = x – , chia Honer

* Biện luận tiệm cận hàm bậc / bậc :

c y ax b

dx e

  

 ( d  )  a  0, c  : có tcđ, tcx

 a = 0, c  : có tcn, tcđ

 c = : (H) suy biến thành đt, khơng có tc

4 Đồ thị hàm thường gặp :

a/ y = ax + b : b/ y = ax2 + bx + c

c/ y = ax3 + bx2 + c + d

a> :

f ( x )

a > 0 a < 0

a = 0 a > 0

a < 0

> 0 < 0

= 0

x a

y  

x    y b b

a < :

d/ y = ax4 + bx2 + c

a > a <

e/ y = (ax + b) / (cx + d) (c  0)

ad - bc > ad - bc <

f/ y = dx e

c bx ax2

  

(ad  0) ad >

ad <

5 ĐỐI XỨNG ĐỒ THỊ :

g(x) = f(–x) : đx qua (Oy) g(x) = – f(x) : đx qua (Ox)

(C/) : y = f(x) : giữ nguyên phần (C) bên y = 0, lấy phần (C) bên y = đối xứng qua (Ox).

(C/) : y = f(x) : giữ nguyên phần (C) bên phải x = 0, lấy phần (C) bên phải x = đối xứng qua (Oy).

6 ĐIỂM ĐẶC BIỆT CỦA (Cm) : y = f(x, m)

a/ Điểm cố định : M(xo, yo)  (Cm), m  yo = f(xo, m), m  Am + B = 0, m (hay Am2 + Bm + C = 0, m)

   

 

0 B

0 A

(hay    

  

0 C

0 B

0 A

) Giải hệ, M

b/ Điểm (Cm) không qua, m : M(xo, yo)  (Cm), m  yo f(xo,m), m  yo = f(xo, m) VN m  Am + B

= VN m (hay Am2 + Bm + C = VN m)  

 

 

0 B

0 A

(hay    

  

 

 

  

0 0 A 0

C 0 B

0 A

) Giải hệ , M Chú ý :

C B A



VN  B =    

 

VN BC A

0 B

c/ Điểm có n đường cong họ (Cm) qua : Có n đường (Cm) qua M(xo, yo)  yo = f(xo, m) có n nghiệm m

Cần nắm vững điều kiện có n nghiệm loại phương trình : bậc 2, bậc có điều kiện x , bậc 3, trùng phương

7 TIẾP XÚC, PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN :

ab < 0 ab > 0

< 0 > 0 = 0

x < a x > a a x = a

y < b y > b

a (C) : y = f(x), tx (C/) : y = g(x) hệ phương trình sau có nghiệm : 

 

 

/ C / C /

/ C C

y y

y y

Nghiệm x hệ hoành độ tiếp điểm

b Tìm tiếp tuyến với (C) : y = f(x) * Tại M(xo, yo) : y = f'(xo)(x – xo) + yo

* Qua M (xo, yo): viết phương trình đường thẳng qua M : (d) : y = k(x – xo) + yo Dùng điều kiện tx tìm k Số

lượng k = số lượng tiếp tuyến (nếu f bậc hay bậc / bậc số nghiệm x hệ phương trình đk tx = số lượng tiếp tuyến)

* // () : y = ax + b : (d) // ()  (d) : y = ax + m Tìm m nhờ đk tx *  () : y = ax + b (a  0) : (d)  ()  (d) : y = a

1



x + m Tìm m nhờ đk tx

c Bài tốn số lượng tiếp tuyến : tìm M  (C/) : g(x, y) = cho từ M kẻ đến (C) n tiếp tuyến (n = 0, 1, 2, ), M(xo,yo)  (C/)  g(xo,yo) = 0; (d) qua M : y = k(x – xo) + yo; (d) tx (C) : 

 

 

k y

y y

C / d C

(1) Thế k vào (1) phương trình ẩn x, tham số xo hay yo Đặt đk để phương trình có n nghiệm x (số nghiệm x = số tiếp

tuyến), tìm xo hay yo

8 TƯƠNG GIAO :

* Phương trình hđ điểm chung (C) : y = f(x) (C/) : y = g(x) : f(x) = g(x) Số nghiệm pt = số điểm

chung

* Tìm m để (Cm) : y = f(x, m) (C/m) : y = g(x, m) có n giao điểm : Viết phương trình hồnh độ điểm chung;

đặt đk để pt có n nghiệm Nếu pt hoành độ điểm chung tách m sang vế : F(x) = m : đặt điều kiện để (C) : y = F(x) (d) : y = m có n điểm chung

* Biện luận tương giao (Cm) (C/m) :

 Nếu pt hđ điểm chung dạng : F(x) = m : lập BBT F; số điểm chung (Cm) (C/m) = số điểm chung

của (C) (d)

 PThđ điểm chung, không tách m, dạng f(x) = ax2 + bx + c = (x ) hay dạng bậc : x =  f(x) = : lập , xét dấu , giải pt f(x) = để biết m  nghiệm f, với m đó, số nghiệm bị bớt

9 CỰC TRỊ :

* f có n cực trị  f/ đổi dấu n lần * f đạt cực đại xo 

 

 

0 ) x ( f

0 ) x ( f

o // o /

f đạt cực tiểu xo 

 

 

0 ) x ( f

0 ) x ( f

o // o /

* f bậc (hay bậc / bậc 1) có cực trị  f có CĐ CT 

/

f



> * f bậc (hay bậc / bậc 1) có cực trị :

 Bên phải (d) : x =  y/ = có nghiệm  < x1 < x2

 Bên trái (d) : x =  y/ = có nghiệm x1 < x2 < 

 bên (Ox) 

0 0

/

f CD CT

y y

 

  

 



 bên (Ox) 

0 0

/

f CD CT

y y

 

  

 



* Với hàm bậc / bậc 1, điều kiện yCĐ.yCT < (>0) thay y = VN (có nghiệm.)

* Tính yCĐ.yCT :

 Hàm bậc : y = y/ (Ax + B) + (Cx+ D)

yCĐ.yCT = (CxCĐ + D).(CxCT + D), dùng Viète với pt y/ =

 Hàm bậc 2/ bậc : v

u y

yCĐ.yCT = v (x ).v (x )

) x ( u ). x ( u

CT / CÑ

/ CT

/ CÑ /

, dùng Viète với pt y/ = 0.

 Hàm bậc : y = Cx + D  Hàm bậc / bậc : y = u/ / v/

* y = ax4 + bx2 + c có cực trị  ab  0, cực trị  ab < 0

10 ĐƠN ĐIỆU :

a Biện luận biến thiên hàm bậc :

i) a > y’ = vô nghiệm  hàm số tăng R (luôn tăng)

ii) a < y’ = vô nghiệm  hàm số giảm (nghịch biến) R (luôn giảm) iii) a > y’ = có nghiệm phân biệt x1, x2 với x1 < x2

 hàm số đạt cực đại x1 đạt cực tiểu x2

Ngồi ta cịn có :

+ x1 + x2 = 2x0 với x0 hoành độ điểm uốn

+ hàm số tăng (, x1)

+ hàm số tăng (x2, +)

+ hàm số giảm (x1, x2)

iv) a < y’ = có nghiệm phân biệt x1, x2 với x1 < x2

 hàm đạt cực tiểu x1 đạt cực đại x2 thỏa điều kiện x1 + x2 = 2x0 (x0 hoành độ điểm uốn) Ta

có :

+ hàm số giảm (, x1)

+ hàm số giảm (x2, +)

+ hàm số tăng (x1, x2)

b Biện luận biến thiên y = baäc1

2 baäc

i) Nếu a.m > y/ = vơ nghiệm hàm tăng ( đồng biến) khỏang xác định.

ii) Nếu a.m < y/ = vơ nghiệm hàm giảm ( nghịch biến) khỏang xác định.

iii) Nếu a.m > y/ = có nghiệm phân biệt x

1, x2 hàm đạt cực đại x1 đạt cực tiểu x2 thỏa x1 < x2

1

x x p

2 m

 

iv) Nếu a.m < y/ = có nghiệm phân biệt x

1, x2 hàm đạt cực tiểu x1 đạt cực đại x2 thỏa x1 < x2

1

x x p

2 m

 

c Tìm m để hàm số bậc 3, bậc 2/bậc đồng biến (nghịch biến) miền x  I : đặt đk để I nằm miền đồng biến (nghịch biến) BBT trên; so sánh nghiệm pt bậc y/ = với .

11 BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM PT BẰNG ĐỒ THỊ :

a Cho pt : F(x, m) = 0; tách m sang vế : f(x) = m; lập BBT f (nếu f khảo sát dùng đồ thị f), số nghiệm = số điểm chung

b Với pt mũ, log, , . , lượng giác : đổi biến; cần biết biến t biến cũ x; cần biết đk t để cắt bớt đồ thị f

12 QUỸ TÍCH ĐIỂM DI ĐỘNG M(xo, yo) :

Dựa vào tính chất điểm M, tìm đẳng thức chứa xo, yo, m; khử m, F(xo, yo) = 0; suy M  (C) : F(x, y) =

0; giới hạn quỹ tích : M tồn  m ?  xo ? (hay yo ?)

 Nếu xo = a M  (d) : x = a

 Nếu yo = b M  (d) : y = b

13 TÂM, TRỤC, CẶP ĐIỂM ĐỐI XỨNG :

a CM hàm bậc có tâm đx (điểm uốn), hàm bậc 2/bậc có tâm đx (gđ tc) I : đổi tọa độ : x = X + xI, y = Y + yI; vào hàm số : Y = F(X), cm :

F(–x) = – F(x), suy F hàm lẻ, đồ thị có tđx gốc tọa độ I

b CM hàm bậc có trục đx // (Oy) : giải pt y/ = 0; x = a nghiệm nghiệm 3

nghiệm : đổi tọa độ x = X + a, y = Y; vào hàm số : Y = F(X); cm F(–X) = F(X); suy F hàm chẵn, đồ thị có trục đối xứng trục tung X = 0, tức x = a

c Tìm (C) : y = f(x) cặp điểm M, N đối xứng qua I : giải hệ pt ẩn :

M N I

M N I

M M

N N

x x 2x

y y 2y

y f(x )

y f(x )

 



  

 

 

 



(d') : y = – a

1

x + m; lập pt hđ điểm chung (C) (d'); giả sử pt có nghiệm xA, xB, tính tọa độ trung điểm I

AB theo m; A, B đối xứng qua (d)  I  (d)

 m?; thay m vào pthđ điểm chung, giải tìm xA, xB, suy yA, yB

14 Tìm điểm M  (C) : y = ax + b + dx e

c

 có tọa độ nguyên (a, b, c, d, e  Z) : giải hệ

          Z y ,

x dx e

c b ax y M M M M M               Z e dx c , x e dx c b ax y M M M M M             c của số ước e dx , Z

x dx e

c b ax y M M M M M

15 Tìm min, max hàm số y = f(x)

Lập BBT, suy miền giá trị min, max

16 Giải bất phương trình đồ thị :

f < g  a < x < b, f > g       x b a x

f  g  a  x  b , f  g       b x a x

VI- HÌNH HỌC GIẢI TÍCH

1. Tọa độ , vectơ :

* (a,b)  (a/, b/) = (a  a/, b  b/) k(a, b) = (ka, kb)

(a, b) = (a/, b/)

      / / b b a a

(a, b).(a/,b/) = aa/ + bb/

2 b a ) b , a (   / / / v.v cos( v ,v )

v v

       AB AB ), y y , x x (

AB B A B A 

M chia AB theo tỉ số k  MAkMB

 1 k

ky y y , k 1 kx x

x A B

M B A M      

(k  1) M : trung điểm AB  2

y y y , 2 x x

x A B

M B A

M    

M : trọng tâm ABC             3 y y y y 3 x x x x C B A M C B A M

(tương tự cho vectơ chiều)

* Vectơ chiều có thêm tích có hướng tích hỗn hợp :

)' c ,' b ,' a ( v ), c , b , a (

v / 

a b

     

  

 / / / / / /

/

b b a a , a a c c , c c b b v

, v 



/ / /

[ v ,v ]  v v sin( v ,v )   

/ /] v,v v

, v

[     * vv/  v.v/

 

= ; v // v/  [ v ,v ]/

   

= ; v,v/,v// đồng phẳng [v,v ].v 0

// /  

 

AB,AC

2 1 S ABC 



AB,AC.AS 6

1 VS.ABC 

/ '

D ' C ' B ' A

ABCD [AB,AD].AA

V 

A, B, C thẳng hàng  AB // AC

                           

*  mp : H trực tâm     

 

0 AC . BH

0 BC . AH

H chân đường cao ha 

 

 

BC // BH

0 BC . AH

M chân phân giác 

A 

MC AC AB MB

M chân phân giác ngòai 

A 

MC AC AB MB I tâm đường tròn ngoại tiếp  IA = IB = IC

I tâm đường tròn nội tiếp  I chân phân giác



B ABM với M chân phân giác



A

của ABC

2. Đường thẳng mp :

* Xác định điểm M(xo,yo) 1vtcp v = (a,b) hay pháp vectơ (A,B) :

(d) :  

 

  

  

b y y a

x x : ) d ( , bt y y

at x

x o o

o o

(d) : A(x – xo) + B(y – yo) =

* (d) qua A(a, 0); B(0,b) :

1 b y a x

 

* (AB) : B A

A A

B A

y y

y y x

x x x

   



* (d) : Ax + By + C = có v (B,A); n (A,B) * (d) // () : Ax + By + C =  (d) : Ax + By + C = * (d)  ()  (d) : – Bx + Ay + C/ =

* (d), (d/) tạo góc nhọn

 :

cos =

 

/

/ /

d d

d d

d d

n n

cos( n ,n ) n n 

                           

* d(M,(d)) = 2

M M

B A

C By Ax

  

* Phân giác (d) : Ax + By + C = (d/) : A/x + B/y + C/ = :

2 / /

/ / /

2 A B

C y B x A B

A

C By Ax

     

 

/ d d.n n

> : phân giác góc tù + , nhọn –

/ d d.n n

< : phân giác góc tù – , nhọn + * Tương giao : Xét hpt tọa độ giao điểm

3 Mặt phẳng không gian :

* Xác định điểm M(xo, yo, zo) pháp vectơ : n = (A, B, C) hay vtcp v, v'

(P) : A(x – xo) + B(y – yo) + C(z – zo) =

n = [ v,v']

(P) : Ax + By + Cz + D = có n = (A, B, C)

(P) qua A(a,0,0); B(0,b,0); C(0,0,c)  (P) : x/a + y/b + z/c = * Cho M(xo, yo, zo), (P) : Ax + By + Cz + D =

d(M,(P)) = 2

o o o

C B A

D Cz By Ax

 

  

* (P) , (P/) tạo góc nhọn  : cos = cos(n(P),n(P)')

* (P)  (P/)  n(P) n(P)', (P) // (P/)  n(P)//n(P)'

4 Đường thẳng không gian :

* Xác định điểm M (xo, yo, zo) vtcp v = (a, b, c) hay pháp vectơ : n,n' :

(d) :

c z z b

y y a

x x : ) d ( , ct z z

bt y y

at x x

o o

o o

o o

    

   

 

  

 

] ' n , n [ v 

* (AB) :

A A A

B A B A B A

x x y y z z

x x y y z z

  

 

  

* (d) = (P)  (P/) :

0 0 Ax By Cz D

A' x B' y C' z D'

   

 

   



* (d) qua A, vtcp v :

d(M,(d)) = v

] v , AM [

*  góc nhọn (d), (d/) : cos =

) v , v cos( d d/

(d) cắt (P)  v.n 

(d) // (P)  v.n = M  (P) (d)  (P)  v.n = M  (P) * (d) qua A, vtcp v ; (d /) qua B, vtcp v' :

(d) cắt (d/)

 [ v,v']  0 , [v,v']AB = (d) // (d/)  [ v,v'] = 0 , A  (d/)

(d) chéo (d/)  [ v,v']  0 , [v,v']AB  0

(d)  (d/)  [ v,v'] = 0 , A  (d/)

* (d) chéo (d/) : d(d, d/) = [v,v']

AB ] ' v , v [

* (d) chéo (d/) , tìm đường  chung () : tìm n [v,v']; tìm (P) chứa (d), // n ; tìm (P/) chứa (d/), // n

; () = (P)  (P/)

* (d)  (P), cắt (d/)  (d) nằm mp  (P), chứa (d/) * (d) qua A, // (P)  (d) nằm mp chứa A, // (P) * (d) qua A, cắt (d/)

 (d) nằm mp chứa A, chứa (d/) * (d) cắt (d/), // (d//)

 (d) nằm mp chứa (d/), // (d//) * (d) qua A,  (d/)  (d) nằm mp chứa A,  (d/)

* Tìm hc H M xuống (d) : viết pt mp (P) qua M,  (d), H = (d)  (P) * Tìm hc H M xuống (P) : viết pt đt (d) qua M,  (P) : H = (d)  (P) * Tìm hc vng góc (d) xuống (P) : viết pt mp (Q) chứa (d),  (P);

(d/) = (P)

 (Q)

* Tìm hc song song (d) theo phương () xuống (P) : viết pt mp (Q) chứa (d) // (); (d/) = (P)  (Q)

5 Đường tròn :

* Đường tròn (C) xác định tâm I(a,b) bk R : (C) : (x – a)2 + (y – b)2 = R2

* (C) : x2 + y2 + 2Ax + 2By + C = có tâm I(–A,–B), bk R = A2B2  C

* (d) tx (C)  d(I, (d)) = R, cắt  < R, không cắt  > R * Tiếp tuyến với (C) M(xo,yo) : phân đôi t/độ (C) :

(xo–a)(x–a) + (yo–b)(y–b) = R hay xox + yoy + A(xo + x) + B(yo + y) + C =

* Cho (C) : F(x,y) = x2 + y2 + 2Ax + 2By + C = P

M/(C) = F(xM, yM) = MA.MB = MT2 = MI2 – R2 với

MAB : cát tuyến, MT : tiếp tuyến ; M  (C)  PM/(C) = , M (C)  PM/(C) < 0,  >

* Trục đẳng phương (C) (C/) :2(A – A/)x + 2(B – B/)y + (C – C/) = 0

* (C), (C/)  II/ > R + R/ : (có tiếp tuyến chung); tx  = R + R/ (3 tiếp tuyến chung); cắt 

/ R R

< II/ < R + R/ (2 tt chung); tx  =

/ R R

(1 tt chung trục đẳng phương) chứa  <

/ R R

(khơng có tt chung)

6 Mặt cầu :

* Mc (S) xđ tâm I (a, b, c) bk R : (S) : (x – a)2 + (y – b2) + (z – c)2 = R2.

* (S) : x2 + y2 + z2 + 2Ax + 2By + 2Cz + D = có tâm I(–A,–B,–C), bk R =

D C B

A2 2

  

* (P) tx (S)  d(I,(P)) = R, cắt  < R, không cắt  > R * Pt tiếp diện với (S) M : phân đôi tđộ (S)

* Cho (S) : F(x, y, z) = PM/(S) = F (xM, yM, zM); PM/(S) =  M  (S), <

 M (S), >  M (S) * Mặt đẳng phương (S) (S/) :

2(A – A/)x + 2(B – B/)y + 2(C – C/)z + (D – D/) = 0

* Tương giao (S), (S/) : (C), (C/).

* Khi (S), (S/) tx tiết diện chung mặt đẳng phương.

* Khi (S), (S/) cắt mp qua giao tuyến mặt đẳng phương.

M  (E)  MF1 + MF2 = 2a

* (E) :

2 2

b y a x



= (a > b > 0) : tiêu điểm : F1(–c,0), F2(c,0); đỉnh A1(–a,0); A2(a,0); B1(0,–b); B2(0,b); tiêu

cự : F1F2 = 2c, trục lớn A1A2 = 2a; trục nhỏ

B1B2 = 2b; tâm sai e = c/a; đường chuẩn x =  a/e; bk qua tiêu : MF1 = a + exM,

MF2 = a – exM; tt với (E) M : phân đôi tọa độ (E),

(E) tx (d) : Ax + By + C =  a2A2 + b2B2 = C2 ; a2 = b2 + c2 * (E) :

1 a y b x

2 2

 

(a > b > 0) : khơng tắc; tiêu điểm : F1(0,–c), F2(0,c); đỉnh A1(0,–a), A2(0,a), B1(–

b,0), B2(b,0), tiêu cự : F1F2 = 2c; trục lớn A1A2 = 2a; trục nhỏ B1B2 = 2b; tâm sai e = c/a; đường chuẩn y =  a/e;

bán kính qua tiêu MF1 = a + eyM, MF2 = a – eyM; tiếp tuyến với (E) M : phân đôi tọa độ (E); (E) tiếp xúc (d) :

Ax + By + C =  a2B2 + b2 A2 = C2; a2 = b2 + c2 (Chú ý : tất kết trường hợp suy từ trường hợp tắc cách thay x y, y x)

8 Hypebol :

* Cho F1, F2, F2F2 = 2c, cho < a < c

M  (H)  MF1 MF2 = 2a (H) :

2 2

b y a x



= (pt tắc)

tiêu điểm F1(–c,0), F2(c,0); đỉnh tr.thực A1(–a,0), A2(a,0); đỉnh trục ảo

B1(0,–b), B2(0,b); tiêu cự F1F2 = 2c; độ dài trục thực A1A2 = 2a; độ dài trục ảo

B1B2 = 2b; tâm sai : e = c/a; đường chuẩn : x =  a/e; bán kính qua tiêu : M  nhánh phải MF1 = exM + a , MF2 = exM

– a , M  nhánh trái MF1 = – exM – a,

MF2 = –exM + a; tiếp tuyến với (H) M : phân đôi tọa độ (H);

(H) tx (d) : Ax + By + C =  a2A2 – b2B2 = C2 > 0; tiệm cận y =  a

b

x hình chữ nhật sở : x =  a, y =  b; c2 = a2 + b2

(H) :

1 b x a y

2 2

 

(pt khơng tắc)

tiêu điểm F1(0,–c), F2(0,c); đỉnh trục thực A1(0,–a), A2(0,a); đỉnh trục ảo B1(–b,0), B2(b,0); tiêu cự F1F2 = 2c;

độ dài trục thực A1A2 = 2a; độ dài trục ảo B1B1 = 2b; tâm sai : e = c/a; đường chuẩn : y =  a/e; bán kính qua

tiêu : M  nhánh MF1 = eyM + a, MF2 = eyM – a; M  nhánh MF1 = –eyM – a, MF2 = – eyM + a; tiếp

tuyến với (H) M : phân đôi tọa độ (H);

(H) tx (d) : Ax + By + C =  a2B2 – b2A2 = C2 > 0; tiệm cận x =  a

b

y

hình chữ nhật sở : y=  a, x =  b; c2 = a2 + b2 (chú ý : tất kết trường hợp suy từ trường hợp tắc cách thay x y, y x)

9 Parabol : * Cho F, F  () M  (P)  MF = d(M,())

(P) : y2 = 2px (p > 0) (phương trình tắc).

tiêu điểm (p/2, 0), đường chuẩn x = – p/2; bán kính qua tiêu MF = p/2 + xM; tâm sai e = 1, tiếp tuyến với (P)

tại M : phân đôi tọa độ; (P) tx (d) : Ax + By + C =  pB2 = 2AC (p : hệ số x (P) với B : hệ số y (d)); tham số tiêu : p

(P) : y2 = – 2px (p > 0) (phương trình khơng tắc).

tiêu điểm (–p/2, 0), đường chuẩn x = p/2; bán kính qua tiêu MF = p/2 – xM; tâm sai e = 1, tiếp tuyến với (P)

tại M : phân đôi tọa độ; (P) tx (d) : Ax + By + C =  pB2 = – 2AC (P) : x2 = 2py (p > 0) (phương trình khơng tắc).

tiêu điểm (0, p/2), đường chuẩn y = – p/2; bán kính qua tiêu MF = p/2 + yM; tâm sai e = 1, tiếp tuyến với (P)

tại M : phân đôi tọa độ; (P) tx (d) : Ax + By + C =  pA2 = 2BC (p : hệ số y (P) với A : hệ số x (d))

(P) : x2 = – 2py (p > 0) (phương trình khơng tắc).

tiêu điểm (0, – p/2), đường chuẩn y = p/2; bán kính qua tiêu MF = p/2 – yM; tâm sai e = 1, tiếp tuyến với (P)

tại M : phân đôi tọa độ;

(P) tx (d) : Ax + By + C =  pA2 = – 2BC CHÚ Ý :

* Cần có quan điểm giải tích làm tốn hình giải tích : đặt câu hỏi cần tìm gì? (điểm mp M(xo,yo) :

dạng; mp (P) : ẩn A, B, C, D; mặt cầu (S) : ẩn a, b, c, R hay A, B, C, D; đường thẳng không gian (d) = (P)  (Q); đường trịn khơng gian (C) = (P)  (S)