- Biết tính bằng số các biểu thức có chứa tổ hợp, hoán vị, chỉnh hợp sử dụng máy tính bỏ túi - Biết tính các hệ số của trong khai triển nhị thức Niu -tơn và giải các bài toán liên quan..[r]
(1)Đại Số Tổ Hợp Bao gồm: Phép đếm, hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp Nhị thức Niu Tơn Xác suất Các bài toán Đại số tổ hợp - Xác suất là dạng toán mà học sinh thường gặp kỳ thi vào các trường Đại học, Cao đẳng Việc dạy cho học sinh nắm các khái niệm các công thức và áp dụng trực tiếp các công thức này thì không có gì khó khăn Tuy nhiên chúng ta nhận thấy đây là vấn đề mà học sinh tỏ quan tâm tính đa dạng các bài toán và khó định hướng giải các bài toán thuộc mảng kiến thức này.Chẳng hạn, các bài toán, học sinh thường có cách giải khác nhau, cách nào cảm thấy "có lý "nhưng lại cho kết khác A/ Kiến thức : - Hai quy tắc đếm bản: quy tắc cộng và quy tắc nhân - Các khái niệm hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp; mối liên hệ và khác tổ hợp và chỉnh hợp Nhớ các công thức tính số hoán vị, số tổ hợp và số chỉnh hợp - Công thức khai triển nhị thức Niu -tơn - Phép thử, không gian mẫu, các kết có thể phép thử, các kết thuận lợi cho biến cố - Quy tắc cộng và nhân xác suất B/ Kỹ : - Biết vận dụng quy tắc cộng, quy tắc nhân, các công thức tính số hoán vị, số tổ hợp và số chỉnh hợp để giải số bài toán tổ hợp đơn giản - Biết tính số các biểu thức có chứa tổ hợp, hoán vị, chỉnh hợp (sử dụng máy tính bỏ túi) - Biết tính các hệ số khai triển nhị thức Niu -tơn và giải các bài toán liên quan - Trình bày rõ ràng mạch lạc các lập luận giải số bài toán tổ hợp - Biết vận dụng các kiến thức tổ hợp để tính xác suất theo định nghĩa cổ điển(Biết thiết lập không gian mẫu phép thử, biết thiết lập tập hợp mô tả biến cố A liên quan tới phép thử, biết tính xác suất biến cố theo định nghĩa cổ điển) điển - Biết vận dụng quy tắc cộng và nhân xác suất để giải số bài toán xác suất đơn giản C/ Các dạng toán : Dạng 1: Giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình chứa Pn , A ❑kn ,Cnk 21 x Bài 1.1 Giải bất phương trình: A ❑3x + 5A ❑2x (1) (2) Giải: ĐK: (*) (1) <=> x ≤− ¿ 0≤x ≤4 ¿ ¿ ¿ ¿ x! (x − 3)! ¿ x≥3 x∈N ¿{ ¿ x! + ( x − 2)! 21x < => x (x2+ 2x - 24) < => Vì điều kiện (*)nên phương trình có nghiệm làn: x = 3; x = Nhận xét: Sai lầm học sinh thường là thiếu điều kiện (*)hoặc có điều kiệnh, dẫn đến tập nghiệm bất phương trình lấy là: (- ∞ ;- 6] [0; 4] , là [3; 4] Bài 1.2 Giải pt HD : 2Cxx C xx Cx2x2 Pt C xx 2Cxx Cxx Cx2x2 C xx1 Cxx11 C x2x2 Cxx C x2x2 x 2 x x 3 x ( x 2) (2 x 3) Bài 1.3 Giải bất PT hai ẩn n, k với n, k Pn 5 60 Ank32 (n k )! Bài 1.4 Tính giá trị ĐS: (0; 0), (1; 0), (1;1), (2;2), (3; 3) M An41 An3 2 2 (n 1)! Cn 1 2Cn 2 2Cn 3 Cn 4 149 ĐS: Bài 1.5 Cho tập hợp A gồm n phần tử (n 4) Biết số tập hợp gồm phần tử A 20 lần số tập hợp gồm phần tử A ĐS: A có 18 phần tử Dạng 2: Tìm hệ số (hoặc tìm số hạng) khai triển nhị thức Niu tơn - Yêu cầu học sinh phải phân biệt rõ loại câu hỏi: (1) - Tìm hệ số số hạng thứ k khai triển (2) - Tìm hệ số số hạng chứa xk nào đó khai triển (3) - Tìm số hạng thứ k khai triển - Cơ sở để khai thác dạng bài tập này chính là số hạng tổng quát (a + b)n : Tk + = c ❑kn an-k.bk Bài 2.1 Cho nhị thức Niu tơn (2x3 + xy)15 a Tìm hệ số khai triển số hạng chứa x25y10 nhị thức trên b Tìm hệ số số hạng chứa x25y10 c Tìm số hạng chứa x25y10 (3) 15 Giải: Ta có: (2x3 + xy)15 = c ❑15k (2x3)15 - k (xy)k = ∑❑ c ❑15k 215 - k.x 45 - k=0 2k k .y Số hạng chứa x25 y10 ứng với k = 10 a Hệ số khai triển số hạng chứa x25 y10 là c ❑10 15 10 25 10 b Hệ số số hạng chứa x y là c ❑15 25 10 c Số hạng chứa x25y10 là 25 c ❑10 y 15 x Bài 2.2 1/ Xác định số hạng không phụ thuộc x khai triển (2x3 - 20 ) x2 2/ Biết tổng tất các hệ số khai triển nhị thức (x 2+ 1)n 1024 Tìm hệ số a số hạng a.x12 khai triển đó HD: Tổng các hệ số khai triển dạng (a+b) n chính là: n ∑ C kn k=0 = c ❑0n + c ❑ln + + c ❑nn = (1+ 1)n = 2n (n = 10) Ngoài ra, số học sinh thường vấp phải sai lầm nghĩ thứ tự các số hạng khai triển (a + b)n và (b + a)n là nhau, vì thực ta có: n n (a + b) = (b + a) n nên ∑C k=0 n k n k n n n -k k a b = ∑ C kn bn -k ak k=0 n-k k số hạng thứ k +1 (a+b) là c ❑ a k ❑n bn - kak b khác với số hạng thứ k +1 (b+a) n là c 4 ví dụ : Số hạng thứ khai triển (2+x) 12 là C12 x không phải là C12 x Nhưng các em đã đổi chỗ cho số hạng này, dẫn đến kết sai các em nghĩ là mình đúng Vì giảng dạy bài “Công thức nhị thức Niu tơn’’, giáo viên cần nhấn mạnh điều này Dạng 3: Chứng minh đẳng thức, các bất đẳng thức tính tổng chứa các số C k ❑n k1 k k Dạng toán này thường sử dụng công thức Cn Cn Cn 1 , khai triển hai nhị thức Bài 3.1/ Chứng minh rằng: ∀ k , n∈ N ,3 ≤ k ≤ n ta có: c kn +3 c kn −1 +3 c kn −2 +c kn −3 =c kn+3 −1 k −1 +c n+ VT = ( c kn +c kn −1 ) + ( c kn −1 +c kn − ) + c kn −2 +c kn − = c kn+1 +2 c kn+1 C/m: −1 k−2 k k−1 k +c n +1 ) = c n+2 +c n +2 =c n+3 = VP = ( c kn+2 +c kn −+11 )+ ( c kn+1 Bài 3.2/ Chứng minh C20n C22n C24n C22nn C21n C23n C25n C22nn 22 n 2n 2n HD: Dùng các khai triển (1 1) và (1 1) cộng, trừ vế theo vế Bài 3.3/ Tính tổng HD: C100 2C101 22 C102 23 C103 210 C1010 10 10 Tổng (1 2) 3 (4) Sau học sinh học Đạo hàm, Tích phân , giáo viên nên áp dụng kiến thức học vào số bài toán nhị thức Niutơn dạng đơn giản Bài 3.4/ Chứng minh ∀ n∈ N ❑ , ta có: n−1 cn n−2 cn +2 n −3 +3 cn n + + n c n=n n− Hướng dẫn: áp dụng với f (x)= (3 + x)n lấy đạo hàm vế và chọn x =1 Bài 3.5/ Chứng minh c n c c n 2 c k c n 2n 1 1 k 1 n n 1 n n n Hướng dẫn áp dụng với f (x)= (1 + x)n lấy tích phân vế từ đến Dạng 4: Bài toán phép đếm (Lập số tự nhiên, phân công công việc, xếp, …) Bài 4.1/ Có bao nhiêu cách xếp đặt người Pháp, người Nga ngồi trên ghế dài cho người cùng quốc tịch ngồi gần Giải: Có 2! cách xếp đặt theo quốc tịch, sau đó có 3! cách xếp đặt chỗ cho người Pháp và có 2! cách xếp đặt chỗ cho người Nga Vậy có tất cả: 2.6.2 = 24 cách xếp đặt Bài 4.2/ a/ Có bao nhiêu số tự nhiên gồm chữ số lập từ các chữ số 0,2,4,6,8 ? b/ Có bao nhiêu số tự nhiên gồm chữ số khác lập từ các chữ số 0,2,4,6,8 ? HD : a/ 4.5.5 = 100 b/ C4 = 24 Dạng này cần yêu cầu HS nắm vững quy tắc cộng và quy tắc nhân, đồng thời phân biệt tính có lặp hay không, có thể hoán đổi vị trí hay không Dạng : Tính xác suất : - Sử dụng định nghĩa cổ điển - Sử dụng phép toán xác suất Ngoài các dạng toán đơn giản SGK, ta xét thêm bài sau Bài 5.1/ Chọn ngẫu nhiên em từ nhóm học sinh gồm 10 nữ và 20 nam Tính xác suất để chọn em là nam C1: Gọi A là biến cố chọn nam lần thứ Gọi B là biến cố chọn nam lần thứ hai (5) 20 19 38 P( AB ) P ( A).P ( B) 87 P(A) = 30 P(B) = 29 n() C302 ; Số kết thuận cho biến cố lấy em nam là C202 C2 : C20 38 Vậy P = C30 = 87 Bài 5.2/ Đôi bạn Ngân và Nga cùng tham dự kì thi Biết khả đỗ người tương ứng là 90% và 70% Tìm xác suất các biến cố sau: 1) Cả hai đỗ 2) Có ít người đỗ 3) Chỉ có Ngân đỗ còn Nga trượt ĐS: 1) 63%; 2) 97%; 3) 27% Giáo viên có thể chế biến các bài toán đếm tổ hợp thành bài toán xác suất D/ Các dạng toán nâng cao : Dạng 1: Tìm hệ số (hoặc tìm số hạng) khai triển nhị thức Niu tơn: (x 20 ) ( x3 )10 x x có bao nhiêu số Bài 1.1/ Sau khai triển và rút gọn thì A = hạng ? HD : Số số hạng 21+11- m với m là số số hạng đồng dạng khai triển Đs: 29 (m=3) 15 Bài 1.2/ Khai triển f(x) = (1 x x x ) và viết lại dạng : f(x) = a0 a1 x a15 x Tính a9 5 5 5 C5k x k C5l ( x3 )l HD: (1 x x x ) (1 x) (1 x ) k 0 l 0 k 0 k l C C x k 3l l 0 3 Giải k+3l = tìm (k,l) là (3,2) (3,0) => a9 = C5 C5 C5 C5 110 dạng này các bài toán thường gặp là: Tìm các số hạng không chứa x Tính số hạng ,hệ số nào đó Tìm hệ số lớn khai triển (hoặc đa thức khai triển) Bài 1.3/ (ĐH KB - 2007) Tìm hệ số x10 khai triển nhị thức (2+x)n , biết 3n Cn0 3n Cn1 3n Cn2 3n Cn3 ( 1) n Cnn 2048 ĐS: n = 11, hsố = 22 Bài 1.4/ (ĐH KD - 2007) Tìm hệ số x5 khai triển biểu thức sau: P = x(1-2x)5 +x2(1+3x)10 ĐS: 3320 (6) Bài 1.5/ (ĐH KA - 2006) n 7 x , khai triển nhị thức Newton x Tìm hệ số số hạng chứa x 26 n 20 C C C C n n n n biết ĐS: n =10 , hsố = 210 Bài 1.6/ (ĐH KA - 2004) Tìm hệ số x8 khai triển thành đa thức biểu thức x (1 x ) P= ĐS: 238 Dạng 2: Chứng minh đẳng thức, các bất đẳng thức tính tổng chứa các số C ❑kn Cần chú ý : + Kỹ sử dụng tổng, tích khai triển nhị thức + Cách xử lý khai triển tam thức + Nhận dạng loại toán có sử dụng đạo hàm, tích phân Bài 2.1/:Chứng minh đẳng thức: 2Cnk 5Cnk 1 4Cnk 2 Cnk 3 Cnk22 Cnk33 k+ k k +1 k+1 k+ k+1 k +2 c n+1 +c n +1 Giải: Ta có: c kn +2 c k+1 n +c n =( c n + cn ) + ( c n +c n ) = k+ k+2 => c kn +2 c k+1 n +c n =c n+2 (1) k k 1 k 2 k 3 k k+1 k +1 k+2 k+2 k +3 Mặt khác ta có: Cn 3Cn 3Cn Cn = ( cn + cn ) +2 (c n + c n ) + ( c n +c n ) k+ k+3 k+2 k+ k+3 k+2 k +3 k +3 = c k+1 ( ckn +1 +1 + c n+1 ) + ( c n+1 + cn +1 ) =c n+2 +c n +2 =c n +3 n+1 +2 c n+1 + cn +1 = (2) Từ (1) và (2) ta suy kết Bài 2.2/Chứng minh rằng: n , ta có: 2 + + + n =c n 1 c c 2 n n VT = 12+22+ + n2 = Giải: k+1 Do: c kn=cnk+1 +1 − c n , 2 3 c n=cn +1 − c n n(n+1)(2 n+1) (quy nạp) ta có: ; c 2n −1=c3n − c3n− ; ; c 23=c 34 − c 33 ; c 22=c 33 => c 2n +c 2n −1 + +c 23+ c 22=c 3n+1 VP = c 2n+1 +2 c 3n+1= Bài 2.3/ c n (n+1) (n+1) n(n− 1) n(n+1)(2 n+1) +2 = =¿ VT 6 Cho n là số tự nhiên, n 2 Chứng minh đẳng thức sau: (7) 2 n 2Cn0 n 1 Cn1 n Cn2 22 Cnn 12 Cnn n(n 1)2n ( Đề thi HSG 12 Nghệ An 2008 2009) Giai: Ta có với x 0 , x 1 n n Cnk x n k n x 1 Đạo hàm hai vế (1) ta nx x 1 Suy 1 k 0 n n n (n k )Cnk x n k k 0 n n k Cnk x n k 2 k 0 Đạo hàm hai vế (2) ta n x 1 n n 1 x 1 n n n k Cnk x n k k 0 3 Thay x 1 vào (3) ta đpcm n +/ Dạng tổng liên quan đến tích hai khai triển ∑ ckn .c ❑mp− k k=0 Bài 2.4/ Chứng minh với m,n,k là các số tự nhiên, m k ≤ n , ta có: a/ b/ c/ Giải: k k −1 m k−m k c m c n +c m c n + +c m cm =cm +n ( c 0n )2+( c 1n )2+ + ( c nn )2= c n2 n ( c 02 n )2-( c 12 n )2+(c22n )2- + ( c 22 nn )2= (-1)n c n2 n a/ Xét tích (1 + x)m (1+x)n = (1 + x)m+n VT = ( c 0m +c 1m x+ .+ c mm xm).( c 0n +c 1n x + + cnn xn ) Do giả thiết m k ≤ n nên hệ số xk VT này là k k −1 m k−m c m c n +c m c n + +c m cn m +n VP = ( c 0m+ n+ c1m+n x+ .+ c m+n ) Hệ số xk khai triển VP là c km+ n => m+n x đfcm b/ Đẳng thức đã cho chính là: n n−1 n n c n c n +c n c n + + c n c n=c n ( Do ❑ k n−k c n=cn ) Bài toán hoàn toàn giống câu a/ với m = n c/ Để ý dấu vế trái đẳng thức đã cho, xét đẳng thức: (1+x) 2n(1-x)2n= (1-x2)2n (*) Tổng các số trên số hạng 2n Vậy ta cần xác định hệ số x 2n khai triển đẳng thức (*)của vế và đồng hệ số đó vếc, ta đẳng thức cần c /m (8) n +/ Tổng k C k n a n k b k k 1 có liên quan đến công cụ đạo hàm Bài 2.5/ Chứng minh đẳng thức: − 1¿ n− c nn −1=c1n + c 2n + +n 2n −1 c nn n.4 c n −( n− 1) n− c 1n +( n− 2) n− c2n − .+ ¿ n-1 Xét khai triển: Lấy đạo hàm vế ta được: n −1 2n(2x - 1)n-1 = 2n c 0n n− −1 ¿ c n x ¿n − − .+ ¿ n-1 (2x) - 2(n-1) x ¿n − 2+2(n− 2) c ¿ n cn¿ Cho x = , ta đfcm n Nếu cần chứng minh có liên quan đến tổng ∑❑ k=2 đạo hàm cấp +/ Tính tổng nhờ sử dụng tích phân : Bài 2.6/ Chứng minh rằng: 2 1+(− 1¿ ) n n+1 n − 1¿ c n= ¿ n+1 n+1 1 c n − c n + cn − +¿ n n Giải: Ta có: (1 - x) = n − 1¿ c n x 2 c n − c n x +c n x − .+ ¿ Lấy tích phân vế (từ đến 2) ta có: 1− x ¿ ¿ n n −1 ¿ c n n ∫ x n dx ¿ ∫¿ k(k-1) c kn an-k.bk-2 ta phải dùng đến (9) −1 ¿n ¿ ¿ 1 c n − c n + cn − +¿ =2 (1) Mặt khác ta có: Đặt - x = u => du = -dx Đổi cận: −1 x =0 ¿ x=2 ¿ <=> ¿ u=1 ¿ u=− ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ 1− x ¿ n ¿ dx=− ∫ un du= ¿ ¿ ¿ (u n+1) n+ 1+(− 1¿ n) = ¿ n+1 (2) ∫¿ So sánh (1) và (2) ta có đpcm Dạng 3: Bài toán phép đếm (Lập số tự nhiên, phân công công việc, xếp, …) Bài 3.1/ Một hộp đựng viên bi đỏ, viên bi trắng và viên bi vàng Người ta chọn viên bi từ hộp đó Hỏi có bao nhiêu cách chọn để số bi lấy không có đủ màu ? Giải : Số cách chọn bi 15 bi là C15 = 1365 1 Các trường hợp chọn bi đủ màu là : đỏ, trắng, vàng có C4 C5 C6 = 180 1 đỏ, trắng, vàng có C4 C5 C6 = 240 1 đỏ, trắng, vàng có C4 C5 C6 = 300 Do đó số cách chọn bi đủ màu là : 180+240+300= 720 Vậy số cách chọn để bi lấy không đủ màu là 1365-720=645 (cách chon) (10) * Có thể giải bài toán trên cách tính trực tiếp cách xét hết tất các trường hợp: đỏ + 1đỏ, trắng + đỏ, trắng + 1đỏ trắng + … Bài 3.2/ Người ta xếp ngẫu nhiên lá phiếu có ghi số thứ tự từ đến cạnh a/ Có bao nhiêu cách xếp để các phiếu số chẵn luôn cạnh ? b/ Có bao nhiêu cách xếp để các phiếu phân thành nhóm chẵn lẻ riêng biệt ? Giải : a/ Xếp các phiếu số 1,2,3,5 có 4! = 24 cách Sau đó xếp phiếu số vào cạnh số có cách => có thảy 2.24 = 48 cách xếp thỏa mãn yc b/ Có cách xếp vị trí cho nhóm chẵn và nhóm lẻ Với cách xếp trên, có 2! cách xếp số chẵn và 3! cách xếp số lẻ Vậy có thảy 2.2!3! = 24 cách xếp thỏa mãn yêu cầu Bài 3.3/ Một thầy giáo có 12 sách đôi khác đó có sách toán, sách lý và sách hóa Ông muốn lấy và tặng cho học sinh A,B,C,D,E,F em a/ Giả sử thầy giáo muốn tặng cho các học sinh trên sách thuộc thể loại toán và lý Hỏi có bao nhiêu cách tặng ? b/ Giả sử thầy giáo muốn sau tặng sách xong, loại sách trên còn lại ít Hỏi có bao nhiêu cách chọn ? Giải : a/ Có C9 cách lấy từ toán và lý ; Với cách lấy đó có 6! cách trao sách cho học sinh khác Vậy có thảy C9 6! = 60480 cách tặng b/ Lời giải sai: Thầy giữ lại thể loại cuốn, học sinh nhận từ có thảy + 9.8.7.6.5.4 = 60480 cách ??? - ( TS Bùi Quang Trường) + 1 Số cách giữ lại là C5 C4 C3 = 60 cách Số cách chọn từ còn lại là C9 cách Sau đó trao cho học sinh nên có thảy 60 C9 6! = 3628800 cách !!! ( Trong đó có C12 6! = 665280 cách lấy tùy ý để tặng em ) Lời giải đúng : Để ý thầy giáo không thể chọn để tặng cùng hết loại sách Ta tính xem có bao nhiêu cách chọn sách mà hết tất thể loại nào đó Số cách chọn từ 12 sách là C12 cách Số cách chọn cho không còn sách toán là C5 C7 (11) Số cách chọn cho không còn sách lý là C4 C8 3 Số cách chọn cho không còn sách hóa là C3 C9 3 Số cách chọn thỏa mãn yêu cầu là : C12 - ( C5 C7 + C4 C8 + C3 C9 ) = 805 Đem đó tặng cho học sinh có 6! cách Vậy có thảy 6!805 = 579600 cách tặng thỏa mãn yêu cầu Bài 3.4/ Một đội văn nghệ có 10 người đó có nữ nam Có bao nhiêu cách chia đội văn nghệ thành nhóm có số người và nhóm có số nữ ? Lời giải : Chia đội văn nghệ thành nhóm có số người và nhóm có số nữ tức là chia nhóm người đó có nữ nam Suy số cách chia là C6 C4 = 120 cách Lời giải sai đâu ? Bài 3.5/ Có người Việt gồm nam nữ và người Lào là nam Cần lập nhóm gồm người mà có nam và nữ, có Việt và Lào Hỏi có cách lập ? Đề nghị các thầy cô xem xét hộ lời giải sau đây và tìm lời giải đúng Lời giải 1: + Có C4 4 cách chọn người Lào từ người Lào => có giới tính nam, có Lào + Có C3 3 cách chọn nữ từ nữ Việt => có giới tính nữ, có Việt + Có C10 10 cách chọn người tùy ý từ 10 người còn lại Vậy có thảy 4.3.10 = 120 cách lập nhóm thỏa mãn yêu cầu Lời giải 2: + Có C3 C4 12 cách chọn nữ Việt và nam Lào + Có C3 C4 18 cách chọn nữ Việt và nam Lào 1 + Có C3 C4 C5 60 cách chọn nữ Việt , nam Lào và nam Việt Vậy có thảy 12 + 18 + 60 = 90 cách lập nhóm thỏa mãn yêu cầu BàI TậP THÊM: 3.6/ Cho chữ số 0,1,2,3,4,5,6,7 Hỏi có thể lập bao nhiêu số tự nhiên gồm chữ số khác nhau, đó thiết phải có mặt chữ số ? 3.7/ Cho A là tập hợp có 20 phần tử Có bao nhiêu tập hợp khác rỗng A mà có số phần tử là số chẵn ? 3.8/ Một đội niên tình nguyện có 15 người, gồm 12 nam nữ Hỏi có bao nhiêu cách phân công đội niên đó giúp đỡ tỉnh miền núi, cho tỉnh có nam và nữ ? (12) 3.9/ Một đội văn nghệ gồm 10 nam và 10 nữ Hỏi có bao nhiêu cách chọn nhóm người cho đó có ít nam và ít nữ ? 3.10/ Đội tuyển HSG trường gồm 18 em, đó có học sinh khối 12, học sinh khối 11, học sinh khối 10 Hỏi có bao nhiêu cách cử học sinh đội dự trại hè cho khối có ít em chọn ? Dạng : Tính xác suất : - Sử dụng định nghĩa cổ điển - Sử dụng phép toán xác suất Bài 4.1/ Gieo đồng xu lần Xét các biến cố : A : mặt sấp hay mặt ngửa xuất lần B : mặt ngửa xuát ít lần Tính xác suất các biến cố trên Xét tính độc lập A và B Giải : Xét không gian mẫu SSS , SSN , SNS , SNN , NSS , NSN , NNS , NNN n() 8 A SSS , NNN n( A) 2 B NNN , NNS , NSN , SNN n ( B ) 4 A.B NNN n( A.B) 1 Vậy 1 P( A) ; P ( B ) ; P ( AB) 8 1 P( A).P( B) P( A.B) => A, B độc lập Do Ví dụ này minh chứng A, B độc lập không thiết phải có A B Bài 4.2 / Môt hôp co 16 viên bi gôm bi xanhbi đo, bi đen Sau đa trôn đêuây ngâu nhiên cung môt luc viên bi Tinh xac suât đê cac bi đươc lây co đu ca ba A la biên cô đươc bi không co đu ca mau sô kêt qua thuân lơi cho biên cô ố kết thuận lợi cho biến cố A + Ca bi chi mauco cach lây bi toan mau xanh đung mau xanh va đo cach lây la ách lấy là C12 (không tinh lây bi xanh) + Co đung mau xanh va đen cach lây la cách lấy là C11 (không tinh lây bi xanh) + Co đung mau đen va đo cach lây la ách lấy là C9 7 Vây sô kêt qua thuân lơi cho y số kết thuận lợi cho A la: + C12 + C11 + C9 = 1157 Suy sô kêt qua thuân lơi cho biên cô: 11440 1157 = Vây xac suât đê cac bi đươc lây co đu ca mau băng y xác suất để các bi lấy 10283 P ( A) 11440 có đủ màu (13) Bài 4.3/ Có hộp, hộp đựng các cầu trắng và đen giống hệt kích thước và hình dạng Tổng số cầu hai hộp là 25 Từ hộp lấy cầu Biết xác suất lấy trắng là 0,54 , hãy tính xác suất để lấy cầu đen Giải : Gọi m1, m2 là số cầu hộp I và hộp II (m m2 ) => m1+ m2 = 25 (1) k1, k2 là số cầu trắng hộp I và hộp II Điều kiện là: m1, m2, k1, k2 ; k1 m1 ;0 k2 m2 k1 k2 0,54 m m2 Xác suất để lấy cầu trắng là => 50k1k2 = 27m1m2 (2) m 5 m 5 , m2 20 m1 10 , m2 15 Từ (2) m2 5 ; từ (1) (m1 m2 )5 Vậy phải có m1 5 và m2 5 P (2T ) TH1 m1= , m2 = 20 từ (2) => k1k2 = 54 Do ĐK nên suy k1 = , k2 = 18 2 0, 04 số cầu đen hộp là => XS lấy đen là 20 TH1 m1= 10 , m2 = 15 từ (2) => k1k2 = 81 Suy k1 = k2 = =>: số cầu đen tương 0, 04 ứng hộp I và II là và => XS lấy đen là 10 15 KL: Xác suất để lấy cầu đen là 0,04 Bài 4.4/ Hai máy bay ném bom mục tiêu, máy bay ném với xác suất trúng mục tiêu tương ứng là 0,7 và 0,8 Tính xác suất để mục tiêu bị trúng bom ? Giải : Gọi A là biến cố máy bay ném trúng mục tiêu B là biến cố máy bay ném trúng mục tiêu => A B là biến cố mục tiêu bị trúng bom Do hai máy bay ném bom độc lập nên P( A.B ) P( A).P ( B ) = 0,7.0,8 = 0,56 Vậy P ( A B ) P ( A) P B P AB = 0,94 Đề thu hoạch: 1/ Khai triển và rút gọn biểu thức ta thu đa thức x 2(1 x )2 3(1 x)3 n(1 x) n P ( x ) a0 a1 x a2 x an x n C C n n n Hãy tính a8 biết n là số nguyên dương thỏa mãn 2/ Có xạ thủ loại và tám xạ thủ loại 2, xác suất bắn trúng đích các loại xạ thủ theo thứ tự là 0, và 0,8 Lấy ngẫu nhiên xạ thủ và xạ thủ đó bắn viên đạn Tìm xác suất viên đạn đó trúng đích (14)