chuyen de cac phuong phap giai he phuong trinh

- Năng suất (NS) là số sản phẩm làm được trong một đơn vị thời gian (t). Hai công nhân phải làm theo thứ tự 810 và 900 dụng cụ trong cùng một thời gian. Mỗi ngày người thứ hai làm được n[r]

Chuyên đề: CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Ngày dạy:

A Kiến thức bản 1 Phương pháp thế

1 Quy tắc

- từ phương trình hệ biểu diễn x theo y (hoặc y theo x) - dùng kết cho x (hoặc y) pt lại thu gọn

2 Cách giải hệ phương trình phương pháp

- dùng quy tắc biến đổi hệ phương trình cho để đc hpt có pt ẩn - giải pt ẩn vừa tìm đc, suy nghiệm hpt cho

1 Phương pháp cộng đại số

1 Quy tắc cộng đại số: gồm bước

- Cộng hay trừ vế pt hpt cho để đc pt

- Dùng pt thay cho pt hệ (giữ nguyên pt kia) Tóm tắt cách giải hệ phương trình phương pháp cộng đại số - Giải theo quy tắc: “Nhân bằng, đổi đối, cộng, chia

Thay vào tính nốt ẩn thành” - Nghĩa là:

+ nhân cho hệ số ẩn hai phương trình + đổi dấu vế pt: hệ số ẩn đối

+ cộng vế với vế pt hệ, rút gọn tìm ẩn + thay vào tính nốt ẩn cịn lại

B Các dạng tốn

Dạng 1: Giải hệ phương trình pp cộng đại số Bài 1: Giải hpt sau phương pháp

2

3 11 2

) ) ô ê ) 13

2 19

2

2 6

) ) )

3 22 5 5 2

1 )

3

x y x

x y x x y

a b y hpt v nghi m c

x y y x x y y

x y x x y x x y x

d e g

x y y x y y x y y

x y h

x

  

 

    

    

  

    

        

    

          

     

  

     

         

     

 

109

2 106 13 15 48

) )

2 12 11 45 29 11

53 x

x x y x y x

i k

y y x y x y y

y 

 

     

     

  

     

        

      

 

1 1

6 17 10

) ) )

5 23 12

5 11

x y x x y x x y x

l m n

x y y y y

x y x y

 

         

     

  

     

    

         

 

Bài 2: giải hpt phương pháp

 

5 3 15

) )

5 3 3

2 3 21

x y x x y x

a b

y x y y

x y

           

   

 

   

    

  

     

 

   

   

2 5 7

) )

5 5 7 7

5

)

3

2

4 3 48 45

)

25 20 75

3 4 48

x y x x y x

c d

x y y x y y

x y x

e

y x y

x y x y x y x

f

x y y

x y x y

                                                                                                   

6

)

8

5 1

29

2 1,5 0,5 10

)

3 0,5 21

11,5

10

x y x y x y x

g

x y

y x x y y

x

x y x x y

h

x y

x y x y

                                                                 

Bài 3: Giải hệ phương trình sau phương pháp cộng đại số

5 19

) )

3 12 3

19

7

3 3

) )

7 23 1

3 x

x y x y x

a b

x y x y y

y

x

x y x x y

c d

x y y x y

y                                                             Bài 4: Giải hệ phương trình phương pháp cộng đại số

                 2

2 3 5 4 15 7

) 9 3 ) 7

3

3

2 2

29

5 8

) ) ê ô ê

33

2 12

40

6

)

5

x x

x y x y

a b

x y

x y y y

x

x y y x y x

c d h v nghi m

x x y y x y x

x y x y

e

y x x y

                                                                                      

1 2

2

)

23

1

2

x y x x

x

g

y x y x y

                                        )

Bài 5: Giải hpt phương pháp cộng đại số

   

   

   

   

2 2

2 2

1

) )

3

3

x x y x x x y x

a b

y y

y y x y y x

2 Dạng 2: Tìm tham số m, n để hệ có nghiệm (a;b)

Bài 1: Tìm giá trị m, n cho hpt ẩn x, y sau

a) hpt

 

   

2 1

1

mx n y m n

m x m n y

     

 

   



 có nghiệm (2; 1); đáp số:

2

;

9

m n

b) hpt

 

 

2

1

x m y m n

nx m y

     

 

  



 có nghiệm (-3; 2); đáp số: m1;n1

c) hpt

 

3 93

4

mx n y

nx my         

 có nghiệm (1; -5); đáp số: m1;n17

d) hpt

 

 

2 25

2

m x ny

mx n y

   

 

  



 có nghiệm (3; -1); đáp số: m2; n5 Bài 2: Tìm a, b trường hợp sau:

a) đg thg d1: ax + by = qua điểm A(-2; 1) B(3; -2)

b) đg thg d2: y = ax + b qua điểm M(-5; 3) N(3/2; -1)

c) đg thg d3: ax - 8y = b qua điểm H(9; -6) qua giao điểm đường thẳng (d):

5x – 7y = 23; (d’): -15x + 28y = -62

d) đt d4: 3ax + 2by = qua điểm A(-1; 2) vng góc với đt (d’’): 2x + 3y = đáp số

8

56

3 13 7

) ; ) ; ) ; )

5 120

13

a a

a a

a b c d

b b b b                                 

Bài 3: xác định a, b để đồ thị hs y = ax + b qua điểm A B trường hợp sau: a) A(4; 3), B(-6; -7) đáp số: a = 1; b = -1

b) A(3; -1), B(-3; -2) đáp số: a = 1/6; b = -3/2 c) A(2; 1), B(1; 2) đap số: a = -1; b =

d) A(1; 3), B(3; 2) đáp số: a = -1/2; b = 7/2

Bài 4: Tìm m để nghiệm hệ phương trình:

 

2

1

3

3 x y x y x y y x                

 nghiệm của

phương trình: 3mx – 5y = 2m +

- ta có:

 

2

1

4 10 11

3

15 28

3

2

4

x y

x y

x y x

x y y

x y y x                               

- thay x = 11; y = vào phương trình ta đc: 11 5.6 2m   m 1 31m31 m1

LG

- gọi A giao điểm đường thẳng (d1) (d2) Tọa độ điểm A nghiệm hpt :

2

3 13

x y x

x y y

  

 



 

  

  => A(5 ; -1)

- đg thg (d) qua điểm A nên tọa độ điểm A thỏa mãn đth (d) thay x = ; y = -1 vào (d) ta đc :  

24

1 5 5 24

5

m m m m

       

Bài 6 : Tìm m để đường thẳg sau đồng quy :

(d1) : 5x + 11y = ; (d2) : 4mx + (2m – 1)y = m + ; (d3) : 10x – 7y = 74 LG

- gọi A giao điểm đường thẳng (d1) (d3) Tọa độ điểm A nghiệm hpt :

5 11

10 74

x y x

x y y

  

 



 

  

  => A(6 ; -2)

- để đg thg đồng quy đg thg (d2) phải qua điểm A, tức tọa độ điểm A thỏa mãn

đth (d2) thay x = ; y = -2 vào (d2) ta đc : 6m 2m1 2     m 19m 0 m0 3 Dạng : Giải hệ phương trình pp đặt ẩn phụ

*D¹ng thø tử thức pt số

a) 1 x y x y            b) 10 x y x y            c)

1 1

4 10 1 x y x y            d)

1 1

24 x y x y           e) 1 2 x y x y                f)

5 29

3 20

x y x y                g) 1 12 12 x y x y              h)

2 1

3 13

2 1

x y x y                i) 1 2 x y y x                j) 2

7 13 39

5 11 33

x y x y        k) 2 2

2 36

3 37

x y x y        l) 2 2 x y x y        m)

2 18

x y x y          n)

3

4,5 x y x y          o)

3 2

2

x y x y              p)

7

3

7

5

2 x y x y               

a) 2 1 1 x y x y x y x y                b)

2 3

3

21

3

x y x y

x y x y

               c)

7

2

3

4

2

x y x y

x y x y

                   12 12 x x y y x x y y              e) 1

x y x y x y x y                f) 5

2

3

1

x y x y

x y x y

                    g) 10 x y xy

xy x y x y xy

xy x y                h) 1 1 x

y x y

y x x y                i) 2 2

x y x y

x y x y

               4 Dạng : Giải biện luận hệ phương trình

Bài 1: Cho hệ phương trình : (I)

1 (1) 3(2) mx y x y       

giải biện luận số nghiệm hệ theo m Giải :

Ta có (I) 

2 ( 2) (3)

2 3 (4)

mx x m x

x y x y

              

Phương trình (3) có nghiệm hệ có nghiệm

Vậy số nghiệm hệ (I) phụ thuộc vào số nghiệm Phương trình (3) + Nếu m + = m = -2 phương trình (3) có dạng 0x = ( vơ lý ) => phương trình (3) vơ nghiệm

> hệ phương trình vơ nghiệm

+ Nếu m + 0m-2 => từ (3) ta có : x =

4 m

Thay x =

2

m vào phương trình (4) ta có

y =

2.4

3 2 m m m      Tóm lại:

+) Với m -2 hệ phương trình có nghiệm

(x =

2

m ; y =

3 2   m m )

Bài : Cho hệ Phương trình

3 (1) (2) mx y

x my   



 

 (II) xác định giá trị m để hệ (II) có nghiệm Giải :

Từ (1) đ y = - mx (3) Thay (3) vào (2) ta có : (2) Û x + m ( - mx) = Û x + 3m - m2x =

Û x - m2x = - 3m Û ( m2 - 1)x = 3(m - 1) (4)

+Nếu m2 -1 = đ m = 1

- Với m = đ (4) có dạng 0x = ( với x )

đ Phương trình (4) có vơ số nghiệm đ hệ Phương trình có vơ số nghiệm

- Với m = -1 đ (4) có dạng : 0x = ( vơ lý ) đ Phương trình (4) vơ nghiệm đ hệ Phương trình vơ nghiệm

ã Nếu m2 -1  đ m 1 Từ Phương trình (4) ta có :

(4) Û x =

3( 1)

1

m

m m

 

  Thay x =

1

m vào Phương trình (3) đ y = - m

1

m đ y =

1 m

Vậy hệ có nghiệm m = m  - hệ Phương trình có nghiệm Bài 3: Cho hệ Phương trình :

3

4

mx y x my

  



 

 (I)

a) Giải hệ Phương trình với m =

b) Với giá trị m hệ Phương trình có nghiệm , vơ nghiệm

Giải :

a) Với m = thay vào hệ Phương trình ta có : (I)Û

3 9 10

4 3

x y x y x

x y x y x y

    

  

 

  

     

  

Û

2

3 3.2

x x

y y

 

 



 

  

 

Vậy với m = hệ Phương trình có nghiệm (x = 2, y = - 3)

y =

3

3

2 m m

m  

 đ y =

2  

 m m

b)

+) Với m  2 hệ Phương trình có nghiệm x =

3

2 m m



 y =

2 m m  



+) Với m = 2 hệ Phương trình vơ nghiệm C Bài tập áp dụng

- Làm tập từ 16 đến 33 (Sách tập trang ;7)

Chủ đề 11 : GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH Ngày dạy: ………

A Kiến thức bản

Để giải toán cách lập hệ phương trình ta thực theo bước sau : - Bước : lập hpt (bao gồm công việc sau)

+ Chọn ẩn đặt điều kiện thích hợp cho ẩn)

+ Biểu diễn đại lượng chưa biết theo ẩn đại lượng biết + Lập hpt biểu thị tương quan đại lượng

- Bước : giải hpt vừa lập đc bước

- Bước : kết luận : so sánh nghiệm tìm đc với điều kiện đặt ban đầu B Bài tập áp dụng

Dạng 1: Tốn tìm số

- Ta phải ý tới cấu tạo số có hai chữ số , ba chữ số …viết hệ thập phân điều kiện chữ số

Bài 1: Tìm hai số biết lần số thứ hai cộng với lần số thứ 18040, lần số thứ lần số thứ hai 2002

LG - gọi số thứ x, số thứ hai y x y N,   - theo ra, ta có :

5 18040 2004

3 2002 2005

x y x

x y y

  

 



 

  

 

Bài 2 Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết số gấp lần tổng chữ số Nếu viết hai chữ số theo thứ tự ngược lại đc số lớn số ban đầu 36 đơn vị

LG

- gọi số tự nhiên cần tìm có dạng: ab a b N ,  ;0a b, 9

- theo ra, ta có:

4( )

48

36

ab a b a

ab b

ba ab

    



  

 



  

 

Bài 3 Tìm số có hai chữ số Biết viết thêm số vào bên phải số số có ba chữ số số phải tìm 577 số phải tìm số viết theo thứ tự ngược lại 18 đơn vị

LG

- gọi số tự nhiên cần tìm có dạng: ab a b N ,  ;0a9;0 b 9

- theo ra, ta có:

1 577 10 64

64

2

18

ab ab a b a

ab

a b b

ab ba

       



   

  

  

   

 

Bài 4 Tìm số có hai chữ số, biết tổng hai chữ số nhỏ số lần thêm 25 vào tích hai chữ số số viết theo thứ tự ngược lại với số phải tìm

LG

- theo ra, ta có:

 

2

25

4

6 5

4 25

25 9 20 0 5

4 a

loai a b

ab a b a b b

ab ba

ab ba b b a

thoa man b

    



 

     

    



   

  

  



  

 

      

    

- số cần tìm : 54

Dạng 2: Toán làm chung, làm riêng

- Ta coi tồn cơng việc đơn vị, gọi thời gian làm xong công việc x đơn vị thời gian làm

1

x công việc

* Ghi nhớ : Khi lập pt dạng toán làm chung, làm riêng không cộng cột thời gian, suất

và thờ i gian dòng số nghịch đảo nhau

Bài 1: Hai vòi nước chảy vào bể khơng có nước đầy bể Nếu vòi thứ chảy giờ, vòi thứ chảy

2

bể Hỏi vịi chảy đầy bể?

LG * lập bảng

V V Cả V

TGHTCV x y

Năng suất 1h

x

1 y

1

Năng suất 2h

x

2

Năng suất 3h

y

* ta có hpt:

1 1

10

2 15

5 x x y

y x y



 

  





 

     



Bài 2: Hai tổ làm chung công việc 12 xong, hai tổ làm tổ (I) đc điều làm việc khác , tổ (II) làm nốt 10 xong cơng việc Hỏi tổ làm riêng xong việc

* lập bảng

Tổ Tổ Cả tổ

TGHTCV x y 12

Năng suất 1h 1/x 1/y 1/12

Năng suất 10h 10/y

* ta có hpt:

1 1

60 12

1 10 15

1

x x y

y y



 

  





 

    

 

Bài 3: Hai vòi nước chảy vào bồn khơng có nước Nếu vịi chảy 3h dừng lại, sau vịi chảy tiếp 8h đầy bồn Nếu cho vịi chảy vào bồn khơng có nước 1h, cho vòi chảy tiếp 4h số nước chảy vào 8/9 bồn Hỏi chảy vịi chảy đầy bồn?

* lập bảng

Vòi Vòi Cả vòi

Thời gian chảy x y

1h 1/x 8/9

4h 4/x 4/y

3h 3/x 1

8h 8/y

* ta có hpt:

3

9

1 4 12

9 x x y

y x x y



 

  





 

      



Bài 4: Hai vòi nước chảy vào bể cạn

10bể Nếu vòi thứ nhất chảy giờ, vòi thứ hai chảy hai vịi chảy

4

5 bể Tính thời gian vịi chảy đầy bể

* lập bảng

Vòi Vòi Cả vòi

TGHTCV x y

Năng suất 1h 1/x 1/y 3/10

Năng suất 2h 2/y 4/5

Năng suất 3h 3/x

* ta có hpt:

1

5 10

3 10

5

x x y

y x y



 

  





 

    

 

Dạng Toán chuyển động

Bài 1 Quãng đường AC qua B dài 270km, xe tải từ A đến B với vận tốc 60km/h từ B đến C với vận tốc 40km/h, tất hết 6giờ, Tính thời gian tô quãng đường AB BC

Thời gian Vận tốc Quãng đường

AB x 60 60x

BC y 40 40y

* Ta có hệ phương trình:

3

6 2

60 40 270

2 x x y

x y

y 

   

 



 

 

  

 

Bài 2 Một ô tô xe đạp chuyển động từ hai đầu quãng đường sau gặp Nếu chiều xuất phát điểm, sau hai xe cách 28km Tính vận tốc xe đạp tơ biết quãng đường dài 180km

* Sơ đồ:

B A

XM

XD XM

XD Gnhau

* Lập bảng:

V t (đi ngược chiều) S (đi ngược chiều)

t (đi chiều)

S (đi chiều)

Xe đạp x 3x x

Xe máy y 3y y

* Ta có hệ phương trình:

3 180 60 16

28 28 44

x y x y x

x y x y y

    

  

 

  

      

  

Bài 3: ô tô qđ AB với vận tốc 50km/h, tiếp qđ BC với vận tốc 45km/h Biết tổng chiều dài qđ AB BC 165km thời gian tơ qđ AB thời gian tơ qđ BC 30ph Tính thời gian ô tô qđ?

Gọi thời gian ô tô AB, BC x, y

Ta có hệ phương trình:

50 45 165

2

2

x y

x

x y y

 

 



 



 

 

  

 

Bài 4: ca nô xi dịng qng sơng dài 12km, ngược dịng qng sơng 2h30ph Nếu qng sơng ấy, ca nơ xi dịng 4km ngược dịng 8km hết 1h20ph Tính vận tốc riêng ca nơ vận tốc dòng nước?

- gọi v ca nơ x, v dịng nước y (km/h; x > y > 0) - v xuôi: x+y

- ta có hpt

12 12

2

4

3 x y x y x y x y 

 

  

 

  

  

 giải hệ ta x = 10 ; y = (tmđk)

Bài 5: Một ca nô chạy sông xi dịng 84 km ngược dịng 44 km Nếu ca nơ xi dịng 112 km ngược dịng 110 km giờ.Tính vận tốc riêng ca nơ vận tốc dịng nước

- gọi x, y vận tốc riêng ca nơ vận tốc dịng nước (km, < y < x) - vận tốc xuôi ca nô: x + y

- thời gian xi dịng 84km là: 84/x+y - thời gian xi dịng 112km là: 112/x+y - vận tốc ngược ca nô: x - y

- thời gian ngược dòng 44km là: 44/x-y - thời gian ngược dòng 110km là: 110/x-y - theo ta có hệ phương trình:

84 44

5 112 110

9 x y x y x y x y 

 

  

 

  

  

 đặt

1

;

a b

x y  x y 

Dạng Toán liên quan tới yếu tố hình học

- Ta phải nắm cơng thức tính chu vi; diện tích tam giác, hình thang, hình chữ nhật, hình vng, định lý Pi-ta-go

Bài 1: HCN có chu vi 80m Nếu tăng chiều dài thêm 3m, tăng chiều rộng thêm 5m diện tích mảnh đất tăng thêm 195m2 Tính chiều dài, chiều rộng mảnh đất

Gọi chiều dài x, chiều rộng y

Ta có hpt

 

   

2 80 30

10

3 195

x y x

y

x y xy

 

  





 



    

 

Bài 2: ruộng HCN, tăng chiều dài thêm 2m tăng chiều rộng thêm 3m diện tích tăng thêm 100m2 Nếu giảm chiều dài chiều rộng 2m diện tích giảm đi

68m2 Tính diện tích ruộng đó?

Gọi chiều dài HCN x Gọi chiều rộng HCN y

Ta có hpt

   

   

2 100 22

14

2 68

x y xy x

y

x y xy

   

  





 



    

 

Dạng Tốn suất (vỵt møc %) * Chú ý:

Bài 46) Trong tháng I hai tổ sản xuất đợc 600 chi tiết máy.sang tháng II tổ vợt mức 18% tổ hai vợt mức 21% nên sản xuất đợc 720 chi tiết máy Tính số chi tiết máy tổ làm đợc tháng I

47) Trong tháng I hai tổ sản xuất đợc 300 chi tiết máy.sang tháng II tổ vợt mức 15% tổ hai vợt mức 20% nên sản xuất đợc 352 chi tiết máy Tính số chi tiết máy tổ làm đ-ợc tháng I

48) Trong tháng I hai tổ sản xuất đợc 800 chi tiết máy.sang tháng II tổ vợt mức 15% tổ hai vợt mức 20% nên sản xuất đợc 945 chi tiết máy Tính số chi tiết máy tổ làm đ-ợc tháng I

49) Trong tháng I hai tổ sản xuất đợc 720 chi tiết máy.sang tháng II tổ vợt mức 15% tổ hai vợt mức 12% nên sản xuất đợc 819 chi tiết máy Tính số chi tiết máy tổ làm đ-ợc tháng I

50) Trong tháng I hai tổ sản xuất đợc 500 chi tiết máy.sang tháng II tổ vợt mức 12% tổ hai vợt mức 25% nên sản xuất đợc 599 chi tiết máy Tính số chi tiết máy tổ làm đ-ợc tháng I

51) Trong tháng I hai tổ sản xuất đợc 900 chi tiết máy.sang tháng II tổ vợt mức 20% tổ hai vợt mức 14% nên sản xuất đợc 1050 chi tiết máy Tính số chi tiết máy tổ làm đợc tháng I

52) Trong tháng I hai tổ sản xuất đợc 700 chi tiết máy.sang tháng II tổ vợt mức 15% tổ hai vợt mức 12% nên sản xuất đợc 796 chi tiết máy Tính số chi tiết máy tổ làm đ-ợc tháng I

53) Trong tháng I hai tổ sản xuất đợc 700 chi tiết máy.sang tháng II tổ vợt mức 15% tổ hai vợt mức 20% nên sản xuất đợc 820 chi tiết máy Tính số chi tiết máy tổ làm đ-ợc tháng I

* Bài tập áp dụng

1/ Hai vòi nớc chảy vào bể sau 16 đầy Nếu để vịi thứ chảy ,vòi thứ hai chảy thỡ c

1

4 bể Hỏi vòi chảy sau đầy bĨ

2) Hai vịi nớc chảy vào bể sau đầy Nếu để hai vịi chảy vòi thứ nghỉ vịi thứ hai chảy đầy bể Hỏi vịi chảy sau đầy bể

3) Hai vịi nớc chảy vào bể sau 7giờ 12phút đầy Nếu để vòi thứ chảy ,vòi thứ hai chảy đợc

3

4 bể Hỏi vòi chảy sau đầy bể

4) Hai vũi nớc chảy vào bể sau 12 đầy Nếu để hai vòi chảy vòi thứ nghỉ vòi thứ hai chảy 10 đầy bể Hỏi vịi chảy sau đầy bể

5) Hai vòi nớc chảy vào bể sau 15 đầy Nếu để vịi thứ chảy ,vòi thứ hai chảy thỡ c

1

4 bể Hỏi vòi chảy sau đầy bể

6) Hai vòi nớc chảy vào bể sau đầy Nếu để vịi thứ chảy ,vòi thứ hai chảy đợc

2

7) Hai vòi nớc chảy vào bể sau đầy Nếu để vịi thứ chảy ,vịi thứ hai chảy c

8

15 bể Hỏi vòi chảy sau đầy bể

8) Hai vòi nớc chảy vào bể sau 12 đầy Nếu để hai vịi chảy vòi thứ nghỉ vịi thứ hai chảy 3,5 với cơng suất gấp đơi đầy bể Hỏi vịi chảy với cơng suất ban đầu sau đầy bể

9) Hai vịi nớc chảy vào bể sau đầy Nếu để vịi thứ chảy đầy bể hết vòi thứ hai Hỏi vịi chảy sau đầy bể

10) Hai vòi nớc chảy vào bể sau đầy Nếu để vịi thứ chảy đầy bể hết vòi thứ hai Hỏi vòi chảy sau đầy bể

11) Hai bạn Sơn Hùng làm công việc xong Nếu Sơn làm Hùng làm hai bạn hồn thành đợc 9/10 cơng việc Hỏi làm riêng bạn hồn thành cơng việc

12) An Bình khởi hành lúc từ hai điểm A B cách 150km ngợc chiều gặp sau giờ.Tìm vận tốc ngời biết An tăng thêm 5km/h Bình giảm 5km/h vận tốc An gấp đơi vận tốc Bình

13) An Bình khởi hành lúc từ hai điểm A B cách 210km ngợc chiều gặp sau giờ.Tìm vận tốc ngời biết An tăng thêm 10km/h Bình giảm 5km/h vận tốc An gấp đơi vận tốc Bình

14) An Bình khởi hành lúc từ hai điểm A B cách 140km ngợc chiều gặp sau giờ.Tìm vận tốc ngời biết An tăng thêm 5km/h Bình tăng 15km/h vận tốc An vận tốc Bình lµ10km/h

15) An Bình khởi hành lúc từ hai điểm A B cách 160km ngợc chiều gặp sau giờ.Tìm vận tốc ngời biết An tăng thêm 10km/h vận tốc An gấp đơi vận tốc Bình

16) Một mảnh đất hình chữ nhật ,Nếu giảm cạnh m diện tích mảnh đất giảm 84 m2 Nếu tăng chiều dài thêm m tăng chiều rộng thêm m diện tích lúc tăng

114 m2 Tìm kích thớc mảnh đất.

17) Một mảnh đất hình chữ nhật , Nếu giảm chiều dài 3m giảm chiều rộng 2m diện tích mảnh đất giảm 54 m2 Nếu tăng cạnh thêm m diện tích lúc tăng 54

m2 Tìm kích thớc mảnh đất.

18) Một mảnh đất hình chữ nhật ,Nếu tăng chiều dài 3m tăng chiều rộng 1m diện tích mảnh đất tăng 30m2 Nếu giảm chiều dài 3m giảm chiều rộng 2m diện tích lúc giảm

30m2 Tìm kích thớc mảnh đất

19) Tìm số tự nhiên có hai chữ số ,biết hai lần chữ số hàng chục lớn chữ số hàng đơn vị đổi chỗ hai chữ số cho ta đợc số có hai chữ số lớn số ban đầu 20)Tìm số tự nhiên có hai chữ số ,biết hai lần chữ số hàng đơn vị lớn chữ số hàng đơn vị đổi chỗ hai chữ số cho ta đợc số có hai chữ số nhỏ số ban đầu 27

21) Tìm số tự nhiên có hai chữ số ,biết lần chữ số hàng chục lớn lần chữ số hàng đơn vị đổi chỗ hai chữ số cho ta đợc số có hai chữ số nhỏ số ban đầu 35

22)Tìm số tự nhiên có hai chữ số ,biết lần chữ số hàng chục lớn lần chữ số hàng đơn vị chữ số hàng chục chia cho chữ số hàng đơn vị có thơng d

23) Tìm số tự nhiên có hai chữ số đổi chỗ hai chữ số cho ta đợc số có hai chữ số lớn số ban đầu 63 tổng số số ban đầu 99

24) Tìm hai số tự nhiên ,biết tỉng cđa chóng b»ng 1006 vµ sè lín chia cho số nhỏ có thơng d 124

26) Tìm số tự nhiên có hai chữ số ,biết tổng chữ số hàng chục chữ số hàng đơn vị tổng bình phơng hai chữ số 80

HÀM SỐ y ax a 2 0 ĐỒ THỊ HÀM SỐ y ax a 2 0 Ngày dạy: ………

A Kiến thức bản

1 Tính chất hàm số y ax a 2 0 a) Tính chất:

Nếu a > hàm số nghịch biến x < đồng biến x > Nếu a < hàm số nghịch biến x > đồng biến x < b) Nhận xét:

Nếu a > y > với x khác 0; y = x = giá trị nhỏ hàm số y = Nếu a < y < với x khác 0; y = x = giá trị lớn hàm số y = Tính chất đồ thị hàm số y ax a 2 0

Đồ thị hàm số y ax a 2 0 đường cong qua gốc tọa độ nhận trục Oy trục đối xứng đường cong gọi Parabol với đỉnh O

Nếu a > đồ thị nằm phía trục hồnh, O(0;0) điểm thấp đồ thị Nếu a < đồ thị nằm phía trục hồnh, O(0;0) điểm cao đồ thị B Bài tập áp dụng

1 Dạng 1: Tính giá trị hàm số Bài 1: Cho hàm số y5x2

a) Lập bảng tính giá trị y với giá trị x bằng: -2; -1; 

; 0; 2; 1; 2 b) Với giá trị x hàm số nhận giá trị tường ứng bằng: 0; -7,5; -0,05; 50; -120

LG a) Bảng giá trị tương ứng x y là:

x -2 -1

2



2

1

2

5

y x -20 -5

4



4

-5 -20

b)

+ Với y = ta có: 5x2  0 x2  0 x0

+ Với y = -7,5 ta có: 5x2 7,5 x2 1,5 x 1,5

+ Với y = -0,05 ta có: 5x2 0,05 x2 0, 01 x0,1

+ Với y = -7,5 ta có: 5x2 50 x2 10 pt vơ nghiệm

+ Với y = -7,5 ta có: 5x2120 x2 24 x2 Bài 2: Cho hàm số ym2 m x Tìm giá trị m để: a) Hàm số đồng biến với x >

b) Hàm số nghịch biến với x >

Ta có: a m 2 m m m  1

a) Hàm số đồng biến với x >

 

0

1 1

0

0

0

1

m m

m m m

a m m

m

m m

m m

   

 

 

    

 

 

        

     

 

  

 

 

vậy m > m < hàm số đồng biến với x > b) Hàm số nghịch biến với x >

 

0

1 1

0 0

ô

0

1

m m

m m m

a m m m

kh ng m

m m

m m

   

 

 

     

 

 

           

     

 

  

 

 

2 Dạng 2: Xác định hệ số a hàm số:

Bài 3: Cho hàm số y ax 2 Xác định hệ số a trường hợp sau:

a) Đồ thị qua điểm A(3; 12) b) Đồ thị qua điểm B(-2; 3)

LG

a) Vì đồ thị hs qua điểm A nên tọa độ điểm A thỏa mãn hs, ta có:

2

12

3

a a

  

b) Vì đồ thị hs qua điểm B nên tọa độ điểm B thỏa mãn hs, ta có:  

2

3

4

a a

   

Bài 4: Cho hàm số y ax

a) Xác định hệ số a, biết đồ thị hàm số qua điểm A(2; 2) b) Vẽ đồ thị hàm số với giá trị a vừa tìm

LG

a) Vì đồ thị hs qua điểm A nên tọa độ điểm A thỏa mãn hs, ta có:

2

2

2

a a

  

b) Với a = ½ ta có hàm số sau:

2

1 y x

14

12

10

8

6

4

2

-2

-15 -10 -5 10 15

f x  =

3 Dạng 3: Vễ đồ thi hàm số y ax a 2 0

Bài 5: Cho hàm số y0, 4x2 Các điểm sau đây, điểm thuộc đồ thị hàm số, điểm nào

không thuộc đồ thị hàm số: A(-2; 1,6), B(3; 3,5), C( 5; 0,2) LG

PP: muốn kiểm tra xem điểm thuộc hay không thuộc đồ thị hs ta làm sau: thay hoành độ điểm vào hàm số, giá trị hs với tung độ điểm thuộc đồ

thị hs; giá trị hs khơng với tung độ điểm khơng thuộc đồ thị hs

- Điểm A(-2; 1,6)

Thay x = -2 vào hàm số ta có:  

0, 1,

y   , điểm A thuộc đồ thị hs

- Điểm B(3; 3,5)

Thay x = vào hs ta có: y0, 4.32 3,6 3,5 điểm B khơng thuộc đồ thị hs

- Điểm C( 5; 0,2)

Thay x = vào hs ta có:  

0, 0,

y  

điểm C khơng thuộc đồ thị hs Bài 6: Cho hàm số

2

1 y x

y = 2x –

a) Vẽ đồ thị hàm số trên mặt phẳng tọa độ b) Tìm tọa độ giao điểm đồ thị

LG a) Vẽ đồ thị

14

12

10

8

6

4

2

-2

-15 -10 -5 10 15

g x  = 2x-2 f x  =

2

 x2

b) pt hoành độ giao điểm đồ thị:

1

1

2 2

2x  x  x x 

thay x = vào hs ta được: y = 2.2 – = Vậy tọa độ giao điểm đồ thị M(2; 2)

Bài 7: Cho hàm số y ax

a) Xác định a biết đồ thị hàm số cắt đường thẳng y = -3x + điểm A có hồnh độ -2

c) Tìm tọa độ giao điểm đồ thị

LG

a) tung độ điểm A là: y = -3.(-2) + = 10 Vậy tọa độ điểm A(-2; 10)

vì đồ thị hs y ax 2 qua điểm A nên tọa độ điểm A thỏa mãn hs, ta có:  

2

10

2

a a

   

Khi hs có dạng:

2

5 y x

b) vẽ đồ thị hs mặt phẳng tọa độ

10

-2 -4 -6

-10 -5 10 15 20

q x  = -3x+4 h x  =

2

 x2

c) pt hoành độ giao điểm đồ thị:

1

5

3 ;

2x  x  x 5 x 

+ Với 1

4

3

5 5

x   y   

tọa độ điểm A(

; 5) + Với x12 y13 2  4 10 tọa độ điểm B(-2; 10)

Bài 8: Cho hàm số y ax

a) Xác định a biết đồ thị hàm số cắt đường thẳng y = -2x + điểm A có hoành độ

b) Với giá trị a vừa tìm được, vẽ đồ thị hàm số mặt phẳng tọa độ c) Tìm tọa độ giao điểm đồ thị

LG

a) tung độ điểm A là: y = -2.1 + = 1, tọa độ điểm A A(1; 1)

vì đồ thị hs y ax 2 qua điểm A nên tọa độ điểm A thỏa mãn hs, ta có: 1 a.12 a 1

   Khi

đó hs có dạng: y x

14

12

10

8

6

4

2

-2

-15 -10 -5 10 15

g x  = -2x+3

f x  = x2

c) pt hoành độ giao điểm đồ thị: x2 2x 3 x11; x2 3 + Với x1  1 y1 2.1 1  tọa độ điểm A(1; 1)

+ Với x1  3 y12 3  3 tọa độ điểm B(-3; 9)

Bài 9: Cho hàm số (P): yx2 (d): y = 2x + 1.

a) Vẽ mặt phẳng tọa độ đồ thị hàm số b) Xác định tọa độ giao điểm (P) (d)

c) Tìm hàm số (d1): y = ax + b biết đồ thị qua điểm A(-2; -1) song song với

(d)

LG a) vẽ đồ thị hs

6

4

2

-2

-4

-6

-8

-10

-15 -10 -5 10 15

q x  = 2x+1

h x  = -x2

b) pt hoành độ giao điểm đồ thị: x2 2x 1 x1x2 1

+ Với  

2

1 1 1

x   y    tọa độ điểm A(-1; -1)

c) (d1) // (d) nên a = (d1) có dạng: y = 2x + b

mặt khác (d1) qua A nên tọa độ A thỏa mãn (d1), ta có: -1 = 2.(-2) + b => b =

vậy hàm số (d1): y = 2x +

Bài 10: Trên mặt phẳng tọa độ, cho Parabol (P): y x 2 đường thẳng (d): yx2

b) Tìm tọa độ giao điểm (P) (d)

c) Tìm hàm số (d1): y = ax + b biết đồ thị song song với (d) cắt (P) điểm M

có hồnh độ

LG a) vẽ đồ thị

14 12 10

-2

-15 -10 -5 10 15

s x  = -x+2 r x  = x2

b) pt hoành độ giao điểm đồ thị: x2  x 2 x11;x2 2

+ Với  

2

1 1 1

x   y   tọa độ điểm A(1; 1)

+ Với x1 2 y1  22 4 tọa độ điểm A(-2; 4) c) d1 // d nên a = -1, d1 có dạng: y = -x + b

+ tung độ điểm M là: y = 22 = Tọa độ điểm M(2; 4)

+ mặt khác d1 qua M nên ta có: = -2 + b => b =

Vậy pt d1: y = -x + *Bài tập áp dụng:

- Làm tập 3;4;6;7;8;9;10;11;12 (SBT/tr37, 38)

PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN, CÁCH GIẢI Ngày dạy: ………

A Kiến thức bản

1 Định nghĩa: pt bậc hai ẩn pt có dạng: ax2bx c 0a0 (1), x ẩn; a, b, c số cho trước

2 Cách giải

a) Khuyết c (c = 0): pt (1) trở thành:

 

2

0

0

0 x x

ax bx x ax b b

ax b x

a   

 

       



  





b) Khuyết b (b = 0): pt (1) trở thành:

2 2

0 c

ax c ax c x

a      

(2) -

c a  

pt (2) vơ nghiệm, suy pt (1) cung vô nghiệm -

c c

x

a a

    

c) đầy đủ: ax2bx c 0a0 Công thức nghiệm

2 4

b ac   

+ Nếu  0 pt có nghiệm phân biệt:

1 ;

2

b b

x x

a a

     

 

+  0 pt có nghiệm kép:

1

2 b x x

a   

+  0 pt vơ nghiệm

Công thức nghiệm thu gọn

' b'2 ac

  

+ Nếu  ' 0 pt có nghiệm phân biệt:

' ' ' '

1 ;

b b

x x

a a

     

 

+  ' 0 pt có nghiệm kép:

'

1

b x x

a   

+  ' 0 pt vơ nghiệm d) Cho pt: ax2bx c 0a0 Điều kiện để phương trình:

- Vơ nghiệm:  0 ( ' 0)

- Nghiệm kép:  0 ( ' 0)

- Có nghiệm phân biệt:  0 ( ' 0) a.c < 0

- Có nghiệm dấu:

 '

1

0

x x    

   

- Có nghiệm dấu âm:

 '

1

1

0

0 x x x x    

  

   

- Có nghiệm dấu dương:  ' 2 0 x x x x            

- Có nghiệm khác dấu:

 ' x x        

3 Hệ thức Vi-ét ứng dụng

- Định lý: Nếu x1; x2 nghiệm pt  

2 0 0

ax bx c  a

1

1

b x x a c x x a          

- Ứng dụng nhẩm nghiệm hệ thức Vi-ét:

+ pt ax2bx c 0a0 có a b c  0 pt có nghiệm là: 1; c

x x

a

 

+ pt ax2bx c 0a0 có a b c  0 pt có nghiệm là: 1; c

x x

a  

+

u v S u v P

  

 

 suy u, v nghiệm pt: x2 Sx P 0 (điều kiện để tồn u, v là

2 4 0

S P

    )

B Các dạng tốn

I Dạng 1: Giải phương trình bậc hai khuyết b c. Bài 1: Giải phương trình sau:

 

2

1 2

2

1 2

2

1

6 2

) 0; ) ;

5 2

5

) 0; ) 0;

8

) 42 21; 21

a x x x x b x x x

c x x x x d x x x x

e x x x

                                            

Bài 2: Giải phương trình sau:

 

 

2

1 2

2

1 2

2

1

1

) 1; ) 10 39 3; 13

3

14

) 55 11; ) 70 5;

3

) 2;

2

a x x x x b x x x x

c x x x x d x x x x

e x x x x

                                          

Bài 3: Giải phương trình sau: a)      

2 2

b)    

2 2

1

10

4 14 20 0;

7 x  x x    x  x x  x  

 

c)    

2

1

11

3 20 22 2;

3 x x   x  x   x  x  

 

d)    

2

1

15

4 3 19 15 1;

4 x x    x  x   x  x  

 

Bài 4: Chứng tỏ với m phương trình sau ln ln có nghiệm phân biệt. a) x22 1  m x m  0

Ta có:

2

' 1 0,

2

m m m  m

          

  , đenta dương với m nên pt có nghiệm

phân biệt với giá trị m b) x2mx m 2 0

Ta có:   ' m2 4m21   5m2 4 0,m, đenta dương với m nên pt có nghiệm phân biệt với giá trị m

Bài 5: Cho pt mx2 2m1x 2 Tìm m để pt có nghiệm kép Pt có nghiệm kép:

1

2

1

0

0 2 2

;

3 2 2

0 12 ; 2

2

m m

a

m m

m m m m

  

 

   

          

        

  



Bài 6: Cho pt sau: x2mx 2  1 ; x22x m 0  2 Với giá trị m pt có nghiệm chung

- đk để pt (1) có nghiệm là:

'

1

2

2 m

m

m        



 (*)

- đk để pt (2) có nghiệm là:   '2 m 0 m1 (**) - từ (*) (**) suy để pt có nghiệm m2 - giả sử x0 nghiệm chung pt trên, ta có :

   

2

0 0 0 0

2

2 2 2

2 m

x mx x x m mx x m m x m x

m 

                 

 (vì m

khác m2 2)

- thay x0 = vào (1) (2) ta được:

2

1 m  2 m3 Vậy m = -3 pt có nghiệm chung

Bài 7: Tìm m để pt sau có nghiệm chung?

   

   

2

4

2

x m x m

x m x m

    

- đk để pt (1) có nghiệm là:

2

2 2

4

2 2 m

m m

m

         

 

 (*)

- đk để pt (2) có nghiệm là:  2 m2 0,m (**) - từ (*) (**) suy để pt có nghiệm

2 2 2 m

m

   

 

 (***)

- giả sử x0 nghiệm chung pt trên, ta có :

       

2

0 4

x  m x m x  m x m   m m x   x 

- thay x0 = vào (1) ta được: ( m4).2m  5 m1 (thỏa mãn (***))

Vậy m = pt có nghiệm chung Bài 8: Tìm m để pt sau có nghiệm chung?

   

2

2 1

2

x mx mx x

     

- đk để pt (1) có nghiệm là:  1 m2 8 0,m (*) - đk để pt (2) có nghiệm là:

1

1

8

m m

     

(**) - từ (*) (**) suy để pt có nghiệm

1 m

(***) - giả sử x0 nghiệm chung pt trên, đó:

     

2 2

0 0 0

2x mx 1mx  x 2 0  m x  m1 x  3 Ta có:  m210m25m 52  0  m  5 m (vì

1 m

), nên pt có nghiệm phân

biệt:      

 

 

1

0

2

1 5

;

2 2 2 2 2

m

m m m m m

x x

m m m m m



      

     

    

- thay 01

3 x

m 

 vào (1) ta được:

   

2

2 2

3

2 18 2

2 m m m m m m

m m

 

            

 

 

  (phương trình vơ

nghiệm có  m 27 0 )

- thay x02 1 vào (1) ta được:

2

2.1 m.1 0   m1 (thỏa mãn (***)) Vậy m = -1 pt có nghiệm chung

Bài 9: Cho pt x2 4x m  1 a) xác định m để pt có nghiệm

b) Tìm m để pt có nghiệm thỏa mãn: x12x2210 LG

b) với m3 giả sử pt có nghiệm x1 ; x2 theo Vi-ét ta có: 2 x x x x m

  



 

 (*)

lại có:  

2

2

1 10 2 10

x x   x x  x x  (**)

thay (*) vào (**) ta được: 42 2m1 10 m2 (thỏa mãn điều kiện) Bài 10: Cho pt 3x2 5x m 0 Xác định m để pt có nghiệm thỏa mãn

2

1

5 x  x 

Ta có:    25 12m

Pt có nghiệm

25 25 12

12 m m        (*) với 25 12 m

giả sử pt có nghiệm x1 ; x2 theo Vi-ét ta có:

  2 (1) x x m x x          

lại có:      

2

1 2 2

5 5

9 9

x  x   x x x  x   x  x   x  x 

(3)

kết hợp (1) (3) ta có hệ phương trình:

1 2 3 x x x x x x                 

 thay vào (2) ta được 2 3 m m   

(thỏa mãn đk (*)) Bài 11: Cho pt x2 2mx2m1 0

a) Chứng tỏ pt có nghiệm x1, x2 với m

b) Đặt A2x12x12 5x x1 * CMR: A8m218m9 * Tìm m để A = 27

c) Tìm m để pt có nghiệm lần nghiệm LG

a) ta có  

2

2 2 1 1 0,

m m m m

        , pt có nghiệm với giá trị m

b) + với m pt có nghiệm x1, x2 theo Vi-ét ta có:

1

1

2

x x m

x x m

  



 

 (*)

từ    

2

2

1 1 2

2

A x x  x x  A x x  x x

(**) thay (*) vào (**) ta được:    

2 2

2 18

A m  m  m  m => đpcm

+ với A = 27 suy

2

1

3

8 18 27 18 18 3;

4 m  m   m  m   m  m 

1

1 2

1 2 2

2

1 2

4

3

2

2

2

3

4 2

8 18

3

m m

x x

x x x x

m m

x x m x m x x

x x m x x m m m

m m

m

 

 

 

 

   

   

       

   

       

      

 

 

 

giải pt

1

3

8 18 ;

2

m  m   m  m 

Bµi1 Cho phương trình x2 + (a – 1)x – = (a tham số)

a)Giải phương trình với a =

b)Tìm a để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn:

2

1 2

x + x - 3x x = 34

Bµi2 Cho phơng trình : x2 + ( 2m - 1)x + m =

a) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x1 , x2 thoả mãn 3x1 - 4x2 =

b) Tìm đẳng thức liên hệ x1 x2 không phụ thuộc vo m

Bài3 Cho phơng trình:

x2 – 2mx + 2m – = 0.

a) Chứng minh phơng trình ln có hai nghiệm phân biệt với m b) Gọi hai nghiệm phơng trình x1 x2, tìm giá trị m để:

x12(1 – x22) + x22(1 – x12) = -8

Bµi4 Cho phương trình:  

2 2 1 2 3 0

x  m x m 

(1) a) Giải phương trình trường hợp m =

b)Chứng minh phương trình (1) ln có nghiệm với m.

c)Tìm m để phương trình (1) có tổng hai nghiệm Tìm nghiệm Bµi5 Cho pt Èn x: x2- 2mx + m 2- m +3 = (1)

a) Tìm m để phơng trình (1) có nghiệm kép

b) Tìm m để A=(2x2-1)x1 +(2x1 -1)x2 tgiỏ tr nh nht

c) Giải phơng trình víi m=2

Bµi6 Cho pt: x2 – (m + 3)x + m +2 = 0

a) giải pt với m = b) Tìm m để

2

1 10

x x  Bµi7 Cho pt: x2 + (m – 1)x + m - = 0

a)Tìm m để PT có nghiệm 2,và tìm nghiệm cịn lại b)Tìm GTNN A =

2

1

x x

Bµi8 Cho pt: x2 – (m - 1)x + m +5 = 0

a)Tìm m để PT nghiệm b)Tìm GTNN

2

1 2

A x x x x Bµi Cho pt: x2 – 2(m + 3)x + m +5 = 0

a)Tìm m để PT có nghiệm kép b)Tìm m để

2

1

x x  Bµi10 Cho pt: x2 +2 (m -2)x + m2 -3m - = 0

a)Tìm m để PT có hai nghiệm phân biệt b)Tìm m để

2

1 12

a)Tìm m để PT nghiệm kép b)Tìm m để

2

1 2 16

x x x x  Bµi12 Cho pt: x2 – 2(m + 3)x + m + = 0

a) Tìm m để PT có nghiệm kép b) Tìm m để

1

1 x x  Bµi13 Cho pt: x2 – 2(m - 1)x + m +5 = 0

a)Tìm m để PT nghiệm kép b)Tìm m để

2

1 2 16

x x x x  Bµi14 Cho pt: x2 – (m + 1)x + m - = 0

a)Chứng minh pt ln có hai nghiệm phân biệt b)Tìm m để

2

1 11

x x  Bµi15 Cho pt: x2 – 2(m – 1)x + m +3 = 0

a)Tìm m để PT có nghiệm tìm nghiệm cịn lại b) Tìm m để

2

1 12

x x  Bµi16 Cho pt: x2 – 2(m – 1)x + m2 – 4m +3 = 0

a)Tìm m để PT có hai nghiệm phân biệt b)Tìm m để

2

1

x x  Bµi17 cho pt: x2 + 2(m-1) +m2 + m - =

a)Tìm m để phơng trình có nghiệm

b)Tìm m để phơng trình có nghiệm x1 , x2 thoả mãn

2

1 20

x x Bài18 Cho phơng trình : x2 - ( m + 5)x - m +6 =

a) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x1 , x2 thoả mãn 2x1 +3x2 = 13

Bài19 Cho phơng trình : x2 + 3x + m -1 =

a) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x1 , x2 thoả mãn 2x1 - 3x2 =

Bài20 Cho phơng trình : x2 - 2( m + 1)x + m +2 =

a) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x1 , x2 thoả mãn x1 +2x2 =

b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x1 , x2 thoả mãn x1 x2

Bài20 Cho phơng trình : x2 - 2( m - 1)x + m -3 =

a)Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x1 , x2 thoả mãn 2x1 - x2 = -1

b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x1 , x2 thoả mãn

4 x  x 

Bµi21 Cho pt: x2 – 2(m-1)x - m + = 0

a) Tìm m để PT có nghiệm kép b) Tìm m để

1

2

2 x x x x 

Bµi22 Cho pt: x2 – 2mx + 2m - = 0

a) chøng minh r»ng pt lu«n cã nghiƯm

b) Tìm m để Pt có nghiệm gấp hai lần nghiệm Bài23 Cho pt: x2 – 2(m +1)x + m2 +m -1 = 0

a)Tìm m để PT có hai nghiệm phân biệt b)Tìm m để

2

1

Bµi24 Cho phơng trình : x2 - 6x + m =

a)Tìm m để PT có hai nghiệm kép

b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x1 , x2 thoả mãn x1- x2 = Bài 25: Gọi x1 , x2 nghiệm pt: x2 - 5x +2 =0 Tính

A=(x110+x210)−5(x91+x29)+2(x18+x28)

*************************************************** Ngày dạy: ……….

CÁC GĨC VỚI ĐƯỜNG TRỊN – TỨ GIÁC NỘI TIẾP A Kiến thức bản: Tứ giác nội tiếp

1 Định nghĩa: Tứ giác có đỉnh nằm đtròn đgl tứ giác nội tiếp

2 Tính chất: Trong tứ giác nội tiếp tổng số đo góc đối diện 1800

3 Dấu hiệu: Để chứng minh tứ giác nội tiếp đtrịn ta chứng minh: - Tứ giác có đỉnh nằm đtrịn

- Tứ giác có tổng góc đối diện 1800

- Tứ giác có góc nhìn xuống cạnh B Bài tập áp dụng:

Bài 1: Cho tam giác ABC vuông A, điểm M nằm AC, đtrịn đường kính CM cắt BC E, BM cắt đròn D

a) CMR: tứ giác BADC nội tiếp b) DB phân giác góc EDA

c) CMR đường thẳng BA, EM, CD đồng quy

O 21

1

K

M E

D

C B

A

BDC 900 (góc nt chắn nửa đtrịn) Suy tứ giác BADC nt đtrịn đường kính BC b) ta có: C1D (cùng chắn cung ME)

vì tứ giác BADC nt  C1D (cùng chắn cung AB)

 

1

D D

   DB phân giác góc EDA

c) giả sử AB cắt CD K

xét tam giác KBC, ta có:

CK BK BD CK CA BD M

 



 



   M trực tâm tam giác KBC  KM BC

mặt khác  MEBC (góc nt chắn nửa đtròn), suy đthẳng KM ME trùng nhau đthẳng AB, EM, CD đồng quy K

Bài 2: Cho tam giác ABC có góc nhọn Đường trịn tâm O đường kính BC cắt AB E, cắt AC F Các tia BE cà CE cắt H CMR:

a) AH vng góc với BC

b) Gọi K giao điểm AH BC CMR: FB phân giác góc EFK c) Gọi M trung điểm BH CMR: tứ giác EMKF nt

2

2

1

1

F

H

O

2

1 K

M E

C B

A

a) ta có: BEC900 (góc nt chắn nửa đtrịn)  CEAB

 900

BFC (góc nt chắn nửa đtrịn)  BF AC

xét tam giác ABC, ta có:

CE AB BF AC BF CE H

 



 



   H trực tâm tam giác ABC  AH BC

b) xét tứ giác CKHF, có: K F 1800 tứ giác CKHF nt  C1F2 (cùng chắn cung HK) mặt khác: C1F1 (cùng chắn cung BE)

suy F1F2 , FB phân giác góc EFK

mà: B1 C (cùng chắn cung EF)

mặt khác, tứ giác CKHF nt  K1 C (cùng chắn cung HF) suy B1K1C K (1)

xét tam giác BEH, có:

 900

E

BM HM ME BME

BM HM



 

    



  cân M

do EMF 2B1 (tính chất góc ngồi tam giác) (2) từ (1) (2) EMF 2K 12K EKF  tứ giác EMKF nt

Bài 3: Cho đtrịn (O), điểm A nằm bên ngồi đtròn Qua A kẻ tiếp tuyến AB, AC với đtròn (B, C tiếp điểm) M điểm dây BC, đthẳng qua M vng góc với OM cắt tia AB AC D E CMR:

a) Các tứ giác: BDOM; ECOM nt b) M trung điểm DE

1 O

1

M

E D

C B

A

a) xét tứ giác BDOM, ta có:

 900

DMO (gt)  900

DBO (tính chất tiếp tuyến)

Suy điểm B, D, O, M nằm đtrịn đường kính DO, tứ giác BDOM nt xét tứ giác ECOM, ta có:

 900

OME (gt)  900

OCE (tính chất tiếp tuyến)

Suy OME OCE  1800 tứ giác ECOM nt

b) tứ giác BDOM nt nên B1 D (cùng chắn cung MO) (1) tứ giác ECOM nt nên C1E1 (cùng chắn cung MO) (2) mà B1C1 (vì tam giác OBC cân O)

từ (1), (2) (3) suy D1E1, tam giác ODE cân O, lại có OM DE (gt), OM đường cao đồng thời đường trung tuyến ứng với cạnh DE => MD = ME đpcm Bài 4: Cho đtròn (O) (O’) cắt A B (O O’ thuộc nửa mặt phẳng bờ AB).

Qua B kẻ cát tuyến vng góc với AB cắt đtròn (O) C, căt đtròn (O’) D, tia CA cắt (O’) ở

a) CMR: tứ giác CKID nt

b) Gọi M giao điểm CK DI Chứng minh điểm M, A, B thẳng hàng

O' I

O K

M

D

C B

A

a) ABC900 AC đường kính (O) ABD 900

  AD đường kính (O’)

Ta có: CKA 900 (góc nt chắn nửa đtrịn (O))  900

DIA (góc nt chắn nửa đtrịn (O’))

Do đó: CKA DIA   tứ giác CKID nt đường trịn đường kính CD

b) xét tam giác MCD, ta có:

CI MD

DK MC

CI DK A

 



 



   A trực tâm t.giác MCD MA CD (1)

mà AB CD (2)

từ (1) (2) suy điểm M, A, B thẳng hàng đpcm

Bài 5: Cho đtrịn (O) đường kính AB, M điểm đtròn; C điểm nằm A B. qua M kẻ đthẳng vng góc với CM, đthẳng cắt tiếp tuyến (O) kẻ từ A B E F CMR:

a) Các tứ giác: AEMC, BCMF nt b) Tam giác ECF vuông C

2

1

F

O

1

M E

C B

A

a) xét tứ giác AEMC có: A M 900900 1800, mà góc A góc M góc vị trí đối diện, tứ giác AEMC nt

b) tứ giác ACME nt  A1E1 (cùng chắn cung MC) (1) tứ giác BCMF nt  B1F1 (cùng chắn cung MC) (2) ta có: AMB 900 (góc nt chắn nửa đtrịn) A1B1900 (3) từ (1); (2) (3)  E1F1900

xét tam giác ECF, có: E1F1900  ECF 900  ECF vng C Bài 6: Cho tam giác ABC nhọn nt đtrịn (O), có đường cao BB’ CC

a) CMR: tứ giác BCB’C’ nt

b) Tia AO cắt đtròn (O) D cắt B’C’ I CMR: tứ giác BDIC’ nt

c) Chứng minh OA vng góc với B’C’

C'

B'

I O

D C

B A

a) xét tứ giác BCB’C’ có BB C BC C '  ' 900 tứ giác BCB’C’ nt

b) ta có: ACB ADB (cùng chắn cung AB) (1)

mặt khác tứ giác BCB’C’ nt  BC B ' 'ACB 1800 (2)

từ (1) (2)  BC B' 'ADB1800 hay BC I IDB'  1800, suy tứ giác BDIC’ nt

c) ta có: ABD900 (góc nt chắn nửa đtrịn)  C BD' 900

do tứ giác BDIC’ nt  C BD C ID'  ' 1800 C ID ' 900  AOB C' '

Bài 7: Cho hình vng ABCD Gọi M, N điểm cạnh BC CD cho

 450

MAN  AM AN cắt đường chéo BD P Q Gọi H giao điểm MQ NP.

CMR:

a) Tứ giác ABMQ nt

450 P

Q

N

2

1

H

2

1

M

D C

B A

a) ABCD hình vng có BD đường chéo, nên BD phân giác góc ABC

  0  

1 2

1

.90 45 45

2

B B B QAM

       

tứ giác ABMQ nt

b) tứ giác ABMQ nt  ABM AQM 1800 900AQM 1800 AQM 900  MQAN

xét tam giác AQM, có:

 

0

45 90 A

AQM



 

  

  AQM vuông cân Q

c) ta có: DB đường chéo hình vng ABCD nên DB phân giác góc ADC

  0

1

1

.90 45

D D

   

tứ giác ADNP có  DAN D 450 tứ giác ADNP nt

  1800 900  1800  900

ADN APN   APN   APN  NPAM

Xét tam giác AMN, ta có:

MQ AN

NP AM MQ NP H

 



 



   H trực tâm tam giác AMN  AH MN

**************************************************************** Ngày dạy:………

PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI A Kiến thức bản:

1 Phương trình trùng phương

- dạng tổng quát: ax4bx2 c 0a0

- cách giải: dùng phương pháp đặt ẩn phụ, đặt x2 t t 0 Khi ta có pt: at2bt c 0 (đây pt bậc hai ẩn)

2 Phương trình chứa ẩn mẫu: Các bước giải - Tìm đk xác định pt

- Kết luận: so sánh nghiệm tìm với đk xác định pt Phương trình tích

- dạng tổng quát: A B x  x 0

- cách giải:

   

   

0

0

x

x x

x

A A B

B     

 

B Bài tập áp dụng: Bài 1: Giải phương trình.

4

4

) )

) 29 100 ) 13 36

a x x b x x

c x x d x x

     

     

Bài 2: Giải phương trình.

 

2

2

2

2

1 2

) )

2 1 18

30 13 18 38

) )

1 1 2

x x x

a b

x x x x x

x x x

c d

x x x x x x x

  

   

    

  

   

      

Bài 3: Giải phương trình.

         

         

2

2 2

2

2 2

) 3 2 )

) 7 12 23 ) 10 15

a x x x x b x x x x

c x x x x x d x x x

         

           

3

) 5

e x  x  x 

Bài 4: Tìm m để pt ẩn x sau có nghiệm: x4 6x2m0 (1)

Đặt x2 t t 0 Khi pt (1) trở thành: t2 6t m 0 (2)

Để pt (1) có nghiệm pt (2) phải có nghiệm phân biệt dương '

1

1

9

6 0

m

t t m

t t m     

       

  



Bài 5: Tìm m để pt có nghiệm: x4 2m1x2m 0 (1)

Đặt x2 t t 0 Khi pt (1) trở thành: t2 2m1t m  0 (2)

Để pt (1) có nghiệm pt (2) phải có nghiệm dương (hay có nghiệm trái dấu)

   

2

'

1

3

0 3 0

3

2

3

3

3

m

m m

m m m

m m

t t m m

m  

 

                

            



       

   



Để pt (1) có nghiệm pt (2) phải có nghiệm dương phân biệt:

 

 

2

'

1

1

0

0

3

3

6 0

2 2 2

0 3

3

0

a m

m m

m m

m m m

m

t t m

m m

m t t

  

 

  



    

    

 

             

  

   

  

   

   



*************************************************************** Ngày dạy: ………

GIẢI BÀI TỐN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH – HỆ PHƯƠNG TRÌNH A Kiến thức bản:

- bước giải toán cách lập pt (hpt): bước B Bài tập áp dụng:

Bài 1: Tìm số biết tổng chúng 17 tổng bình phương chúng 157. Gọi số thứ x (x < 17)

Số thứ hai là: 17 – x

Theo ta có pt:  

2

1

17 157 34 132 11;

x   x    x  x   x  x 

Vậy số cần tìm là: 11

Bài 2: Hai tổ đánh cá tháng đầu bắt 590 cá, tháng sau tổ vượt mức 10%, tổ 2 vượt mức 15%, cuối tháng hai tổ bắt 660 cá Tính xem tháng đầu tổ bắt cá

* Cách 1: lập pt

Tháng đầu Tháng sau

Tổ x x10%.x

Tổ 590 x 590 x15% 590  x ……

Ta có pt: x10%.x590 x15% 590  x 660 x370 Vậy tổ 1: 370 cá; tổ 2: 220 cá

* Cách 2: lập pt

Tháng đầu Tháng sau

Tổ x x10%.x1,1x

Tổ y y15%.y1,5y

……… Ta có hpt:

590 370

1,1 1,5 660 220

x y x

x y y

  

 



 

  

Bài 3: Lấy số có chữ số chia cho số viết theo thứ tự ngược lại thương dư 15 lấy số trừ số tổng bình phương chữ số Tìm số này?

Gọi số cần tìm xy x y N ,  ;0x y, 9 Số viết theo thứ tự ngược lại là: yx

Vì lấy xy đem chia cho yx thương dư 15 nên ta có:

4 15 13

xy yx  x y (1)

Lấy xy trừ số tổng bình phương chữ số, nên ta có:

2 2

9 10

xy x y  x y  x y (2)

Từ (1) (2) ta có hpt: 2

2 13

91

1

10

x y x

xy y

x y x y

  

 

   

 



    



Bài 4: hai vòi nước chảy vào bể sau thời gian đầy bể Nếu vịi chảy mình lâu 2h đầy bể so với vòi, vòi chảy phải lâu 4,5h đầy bể so với vịi Hỏi chảy vịi chảy đầy bể?

Cả vòi Vòi Vòi

TGHTCV x x2 x4,5

1h chảy

x

1 x

1 4,5 x

Ta có pt:

2

1 1

2 4,5 x x

x x  x    

Nghiệm thỏa mãn x =

Bài 5: công nhân phải hoàn thành 50 sản phẩm thời gian quy định Do cải tiến kỹ thuật nên tăng suất thêm sản phẩm người hoàn thành kế hoaahj sớm thời gian quy định 1h40ph Tính số sản phẩm người phải làm theo dự định

Số sản phẩm làm TGHTCV

Dự định x 50

x

Thực tế x5 50

5 x

…… Ta có pt:

2

1

50 50

150

5

10; 15

x x

x x

x x

      



  

Nghiệm thỏa mãn x = 10

Bài 6: thuyền khởi hành từ bến sông A sau 2h40ph ca nô chạy từ A đuổi theo và gặp thuyền cách bến A 10km Hỏi vận tốc thuyền, biết vận tốc ca nô vận tốc thuyền 12km/h

Ca nô 10 x12 10 12 x

Thuyền 10 x 10

x

… ta có pt:

   

1

10 10

30 12 30 12 96 360

12

3; 15

x x x x x x

x x

x x

           



  

Giá trị thỏa mãn x =

Bài 7: khoảng cách bến sông A B 30km ca nô từ A đến B, nghỉ 40ph B, lại trở A thời gian kể từ lúc đến lúc trở A 6h Tính vận tốc ca nơ nước n lặng, biết vận tốc dòng nước 3km/h

V S T

Nước yên lặng x

xuôi x3 30 30

3 x

Ngược x 30 30

3 x

Ta có phương trình:

2

1

30 30 30 30 16

6 90 72 12;

3 3 3 x x x x

x x x x



            

   

Bài 8: phịng họp có 360 ghế xếp thành dãy số ghế dãy bằng Nếu số dãy tăng thêm số ghế dãy tăng thêm thì phịng họp có 400 ghế Tính số dãy ghế số ghế dãy lúc ban đầu

Số dãy Số ghế dãy Số ghế phòng

Ban đầu x y xy

Sau thay đổi x1 y1 x1 y1

Ta có hpt:    

360 360

1 400 39

xy xy

x y x y



  



 

 

    

 

 x, y nghiệm pt bậc hai:

2

1

39 360 24; 15

t  t   t  t 

Vậy: - Nếu số dãy ghế 24 số ghế dãy 15 - Nếu số dãy ghế 15 số ghế dãy 24

Bài 9: xuồng máy xi dịng 30km, ngược dịng 28km hết thời gian thời gian mà xuồng máy 59,5km mặt hồ yên lặng Tính vận tốc xuồng hồ yên lặng, biết vận tốc nước 3km/h

V S T

Nước yên lặng x 59,5 59,5 119

2 x  x

xuôi x3 30 30

Ngược x 28 28 x

… Ta có pt:

       

2

1

119 30 28

119 3 30 28

2 3

3 12 1071 357 17; 21

x x x x x x

x x x

x x x x x x

        

 

          

Bài 10: lâm trường dự định trồng 75ha rừng số tuần lễ Do tuần trồng vượt mức 5ha so với kế hoạch nên trồng 80ha hoàn thành sớm tuần Hỏi tuần lâm trường dự định trồng rừng?

1 tuần trồng số TGHTCV

Kế hoạch x 75

x

Thực tế x5 80

5 x

… Ta có pt:

1

75 80

1 10 375 15; 25

5 x x x x

x  x        

Bài 11: ca nô xuôi từ A đến B cách 24km, lúc từ A đến B bè nứa trồi với vận tốc dòng nước 4km/h Khi đến B ca nô quay trở lại gặp bè nứa điểm C cách A 8km Tính vận tốc thực ca nơ

B C

A

Gọi vận tốc thực ca nô là: x (km/h; x > 4) Vận tốc xuôi: x + (km/h)

Vận tốc xuôi: x - (km/h) Thời gian xuôi từ A đến B:

24 x (h)

Quãng đường BC: 24 – = 16 (km) Thời gian ngược từ B đến C:

16 x (h)

Thời gian bè nứa từ A đến C:

2 4 (h) Ta có pt:

2

1

24 16

2 40 0; 20

4 x x x x

x x       

BÀI TẬP VỀ NHÀ:

Bài Hai thành phố A B cách 50km Một người xe đạp từ A đến B Sau 1giờ 30phút xe máy từ A đến B trước người xe đạp Tính vận tốc người biết vận tốc người xe máy 2,5 lần vân tốc người xe đạp

* Lập bảng

Xe đạp 50 x 50

x

Xe máy 50 2,5x 50

2,5.x

* Ta có phương trình:

50 50

1 2,5

x  x   , nghiệm x = 12

Bài 2: Một tơ từ Hải Phịng Hà Nội, đường dài 100km, người lái xe tính tăng vận tốc thêm 10 km/h đến Hà Nội sớm nửa Tính vận tốc tơ không tăng * Lập bảng

Quãng đường Vận tốc Thời gian

Không tăng 100 x 100/x

Tăng 100 x + 10 100/x + 10

* Ta có phương trình:

100 100

10 x  x 

Bài Một ô tô quãng đường AB dài 840km, sau nửa đường xe dừng lại 30 phút nên quãng đường lại, xe phải tăng vận tốc thêm 2km/h để đến B hẹn Tính vận tốc ban đầu ô tô

+ Gọi vân tốc ban đầu ô tô x (km/h, x > 0) + Thời gian hết quãng đường AB theo dự định là:

840 x (h)

+ Nửa quãng đường đầu ô tô hết: 420

x (h)

+ Vận tốc ô tô nửa quãng đường lại là: x + (km/h) + Thời gian tơ nửa qng đường cịn lại là:

420 x (h)

+ Theo ta có phương trình sau:

840 420 420

40; 42

2 x x

x  x  x    

Bài Quãng sông từ A đến B dài 36km, ca nô xuôi từ A đến B ngược từ B A hết tổng cộng Tính vận tốc thực ca nơ biết vận tốc dịng nước 3km/h

V thực V nước V xuôi V ngược S t

Xuôi x 3 x + 36 36/x+3

Ngược x – 36/x-3

* ta có pt sau:

36 36

5 15; 0,

3 x x

x x    

Bài Lúc ô tô từ A đến B Lúc 7giờ 30 phút xe máy từ B đến A với vận tốc vận tốc tơ 24km/h Ơ tơ đến B 20 phút xe máy đến A Tính vận tốc xe , biết quãng đường AB dài 120km

* lập bảng

V S T

Xe máy x-24 120 120/x-24 - thời gian xe máy nhiều ô tô là:

4

( ) 2 6 h - ta có pt:

2

120 120

24 3456 72; 48

24 x x x x

x  x        

Bài 6: Một người đoạn đường dài 640 km với ô tô tàu hỏa Hỏi vận tốc cuả ô tô tàu hỏa biết vận tốc cuả tàu hỏa vận tốc cuả ô tô km/h

* lập bảng

V T S

ô tô x 4x

Tàu hỏa x+5 7(x+5)

* ta có pt : 4x + 7(x + 5) = 640 => x = 55

Bài Một ca nô xi từ A đến B, lúc người đi từ dọc bờ sông hướng B Sau chạy 24km, ca nô quay trở lại gặp người C cách A 8km Tính vận tốc ca nơ nước n lặng , biết vận tốc người vận tốc dịng nước 4km/h

Tốn suất * Chú ý:

- Năng suất (NS) số sản phẩm làm đơn vị thời gian (t) - (NS) x (t) = Tổng sản phẩm thu hoạch

Bài Hai công nhân phải làm theo thứ tự 810 900 dụng cụ thời gian Mỗi ngày người thứ hai làm nhiều người thứ dụng cụ Kết người thứ hoàn thành trước thời hạn ngày, người thứ hai hoàn thành trước thời hạn ngày Tính số dụng cụ người phải làm ngày

* Lập bảng

Tổng số sản phẩm cần làm Mỗi ngày làm TGHTCV

Người 810 x 810/x

Người 900 y 900/y

* Ta có hệ phtrình:

2

1

4

34 1080 20; 54

810 900

3

y x

x x x x

x y

  



      



  



 , sau tìm y

Bài Hai đội cơng nhân, đội phải sửa quãng đường dài 20km, tuần hai đội làm tổng cộng 9km Tính xem đội sửa km tuần, biết thời gian đội I làm nhiều đội II làm tuần

* Lập bảng

Tổng số quãng đường phải sửa

Mỗi tuần làm TGHTCV

Đội 20 x 20/x

Đội 20 – x 20/9 – x

* Ta có phtrình:

2

20 20

1 49 180 45;

9 x x x x

Bài Một đội cơng nhân dự định hồn thành cơng việc với 500 ngày cơng thợ Hãy tính số người đội, biết bổ sung thêm công nhân số ngày hồn thành cơng việc giảm ngày

* Lập bảng

Tổng số ngày công Số công nhân TGHTCV

Lúc đầu 500 x 500/x

Sau bổ sung 500 x + 500/ x +

* Ta có phtrình:

2

500 500

5 500 25; 20

5 x x x x

x  x        

*************************************************************** Ngày dạy: ……….

ƠN TẬP HÌNH HỌC

Bài 1: Từ điểm M (O), vẽ tiếp tuyến MA, MB với đtròn Trên cung nhỏ AB lấy 1 điểm C Vẽ CD vng góc với AB, CE vng góc với MA, CF vng góc với MB Gọi I giao điểm AC DE, K giao điểm BC DF CMR:

a) Tứ giác AECD nt; tứ giác BFCD nt b) CD2 = CE.CF

c) Tứ giác ICKD nt d) IK vng góc với CD

C

2

2

21

1

1

1 K

I

F

E D

O

B

M A

a) Ta có: AECADC BDC BFC  900 (gt)

+ xét tứ giác AECD, ta có: AEC ADC 1800, mà góc vị trí đối suy tứ giác AECD nt

+ xét tứ giác BFCD, ta có: BDC BFC  1800, mà góc vị trí đối suy tứ giác BFCD nt

+ tứ giác BFCD nt F1B1 (cùng chắn cung CD) Suy ra: F1 A1 (1)

+ tứ giác AECD nt A1D1 (cùng chắn cung CE) (2) Từ (1) (2) suy ra: F1D 1B1

Mặt khác: A2 B (cùng chắn cung BC)

+ tứ giác AECD nt A2 E2 (cùng chắn cung CD) Suy ra: E2 B (3)

+ tứ giác BFCD nt D B (cùng chắn cung CF) (4) Từ (3) (4) suy ra: E D A2

Xét tam giác CDE tam giác CDF, ta có:

 

   

1

2

D F CD CE

CDE CFD g g CD CE CF

CF CD

E D

  

      

  



c) Xét tứ giác ICKD, ta có: ICK IDK  ICK D  1D ACB B 1A 1800 (tổng góc tam giác ABC), mà ICK IDK; góc vị trí đối nhau, suy tứ giác ICKD nt

d) ta có tứ giác ICKD nt I1 D (cùng chắn cung CK), mà D A2 (cmt)

Suy I1A2, mà I A1;  góc vị trí đồng vị nên IK // AB, lại AB vng góc với CD, nên IK vng góc với CD

Bài 2: Cho tam giác ABC cân A nt đtròn (O), điểm D thuộc tia đối tia AB, CD cắt (O) E, tiếp tuyến (O) B cắt EA F CMR:

a) Tứ giác BFDE nt b) FD // BC

C

2

2

1

1

1 F

E D

O

B

A

a) ta có: B1E1 (cùng bù với E2)

suy ra: E1 C1 (1)

mặt khác: E C1B (cùng chắn cung AB) (2)

từ (1) (2) suy E1B  đỉnh B, E nhìn xuống cạnh DF dới góc nhau, suy tứ giác BFDE nt

b) tứ giác BFDE nt E D (cùng chắn cung BF), mà E2 = B2 = C1 = B1, suy  D1 = B1 (2 góc vị trí so le trong) => FD // BC

Bài 3: Cho hình vng ABCD, điểm M thuộc cạnh AD Vẽ đtrịn (O) đường kính MB, cắt AC E (khác A) Gọi giao điểm ME DC CMR:

a) Tam giác BEM vuông cân b) EM = ED

c) điểm B, M, D, K thuộc đtròn d) BK tiếp tuyến (O)

K M

C

2 2

2

1

1

1 E

D

O

B A

a) tứ giác ABEM nt => BAM + BEM = 1800 => 900 + BEM = 1800

=> BEM = 900 (1)

Mặt khác: A1 = A2 (tính chất hình vng) => sđ cung BE = sđ cung ME => BE=ME

(2)

Từ (1) (2) suy tam giác BEM vuông cân E b) xét tam giác BCE tam giác DCE, ta có:

CE: chung

C1 = C2 (tính chất hình vng)

CB = CD (gt)

Do BCEDCE (c.g.c) => BE = DE (cạnh tương ứng) (3)

Từ (2) (3) => EM = ED (= BE) (4)

c) ta có:

   

   

 

0

1

0

1 1

1

90 90

â

K M

D D K D EDK

M D EDM c n EM ED 

 

 

     



   

 cân E => ED = EK (5)

d) tứ giác BKDM nt (E)  MDK MBK  180  MBK 900 BK BM  BK tiếp

tuyến đtròn (O)

Bài 4: Cho tam giác ABC cân A có cạnh đáy nhỏ cạnh bên nội tiếp đtròn (O) Tiếp tuyến B C đtròn cắt tia AC tia AB D E CMR:

a) BD2 = AD.CD

b) Tứ giác BCDE nt c) BC // DE

j

C

2

2

1

1

1

E D

O

B

A

a) ta có: A1 = B2 (cùng chắn cung BC)

xét tam giác ABD tam giác BCD, ta có:

 

  

1 2

1

:

A B AD BD

ABD BCD g g BD AD CD

BD CD D chung



 

      

  



b) ta có:

    

    

 

 

1

1 1

1 2

E sd AC sd BC

D sd AB sd BC D E

m AB AC sd AB sd AC 

  

 

    

 

  



 điểm D E nhìn xuống cạnh BC góc

bằng => tứ giác BCDE nt

c) ta có: B1C1 (gt), mà tứ giác BCDE nt => BED = C1 (cùng bù với BCD)

do B1 = BED (2 góc vị trí đồng vị) => BC // DE

Bài 5: Cho tứ giác ACBD nt đtròn (O), đường chéo AB CD vng góc với I. trung tuyến IM tam giác AIC cắt BD K, đường cao IH tam giác AIC cắt BD N a) CMR: IK vng góc với BD

d) Chứng minh

1

;

2

OM  BD ON AC

N H

K C

1

1 I

D O

B M

A

a) ta có: B1 =C1 (cùng chắn cung AD) (1)

+ IM trung tuyến tam giác AIC => IM = MA => tam giác MAI cân M => A1= MIA

+ mà MIA = KIB (đối đỉnh) => KIB = A1 (2)

Từ (1) (2) => B1 + BIK = C1 + A1 = 900 => IKB = 900 suy IK vng góc với

BD

b) ta có: CIH = DIN (đối đỉnh), mà CIH + C1 = 900, đó: DIN + C1 = 900

+ mà C1 = B1 suy ra: DIN + B1 = 900 (*)

+ mặt khác: DIN + BIN = 900 (**)

(*) (**) suy ra: B1 = BIN => tam giác BIN cân N => NB = NI (3)

+ lại có:

IDN + B1 = 900 DIN + B1 = 900

Do đó: IDN = DIN => tam giác NID cân N => NI = ND (4)

(3) (4) => NB = ND => N trung điểm BD

c) ta có: M, N trung điểm AC BD => OM vng góc với AC; ON vng góc với BD

=> OM // IN (cùng vng góc với AC); ON // IM (cùng vng góc vói BD) Do tứ giác DMIN hình bình hành (vì có cạnh đối song song) d) tứ giác OMIN hình bình hành => OM = IN; ON = IM

mà

1

;

2

IN  BD IM  AC

nên

1

;

2