De tuyen sinh lop 10 mon Toan va dap an Thanh HoaNgheAn Ha Nam Phu Tho

Đường thẳng đi qua D và vuông góc với BC luôn đi qua một điểm cố định khi M di động trên đường tròn (O).. * Gọi chân đường vuông góc hạ từ D tới BC là H.?[r]

SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO KỲ THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN LAM SƠN

THANH HOÁ NĂM HỌC 2012 - 2013

Môn thi : TỐN

(Đề gồm có 01 trang) (Mơn chung cho tất cảc thí sinh)

Thời gian làm :120 phút (Không kể thời gian giao đề) Ngày thi : 17 tháng năm 2012

Câu 1: (2.0 điểm ) Cho biểu thức :

1 1

4

1

a a

P a

a a a a

   

   

 

  , (Với a > , a 1)

1 Chứng minh :

2 P

a 

 Tìm giá trị a để P = a

Câu (2,0 điểm ) : Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho Parabol (P) : y = x2 đường thẳng (d) : y = 2x +

1 Chứng minh (d) (P) có hai điểm chung phân biệt

2 Gọi A B điểm chung (d) (P) Tính diện tích tam giác OAB ( O gốc toạ độ)

Câu (2.0 điểm) : Cho phương trình : x2 + 2mx + m2 – 2m + = 0 Giải phương trình m =

2 Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt

Câu (3.0 điểm) : Cho đường trịn (O) có đừờng kính AB cố định, M điểm thuộc (O) ( M khác A B ) Các tiếp tuyến (O) A M cắt C Đường tròn (I) qua M tiếp xúc với đường thẳng AC C CD đường kính (I) Chứng minh rằng:

1 Ba điểm O, M, D thẳng hàng Tam giác COD tam giác cân

3 Đường thẳng qua D vng góc với BC qua điểm cố định M di động đường tròn (O)

Câu (1.0 điểm) : Cho a,b,c số dương không âm thoả mãn : a2 b2c2 3

Chứng minh : 2

1 3

a b c

BÀI GIẢI

CÂU NỘI DUNG ĐIỂM

1

1 Chứng minh :

2 P a  

1 1

4

1

a a

P a

a a a a

                          2

1 1 1

1

a a a a a

P a a a a             

2 4

1

a a a a a a a

P a a a a          

4

1

a a P

a a a a

 

  (ĐPCM)

1.0

2 Tìm giá trị a để P = a P = a

=>

2

2 a a a

a     

Ta có + + (-2) = 0, nên phương trình có nghiệm a1 = -1 < (không thoả mãn điều kiện) - Loại

a2 = 2 c a   

(Thoả mãn điều kiện) Vậy a = P = a

1.0

2 Chứng minh (d) (P) có hai điểm chung phân biệt

Hoành độ giao điểm đường thẳng (d) Parabol (P) nghiệm phương trình x2 = 2x + => x2 – 2x – = có a – b + c = 0

Nên phương trình có hai nghiệm phân biệt

x1 = -1 x2 =

3 c a   

Với x1 = -1 => y1 = (-1)2 = => A (-1; 1) Với x2 = => y2 = 32 = => B (3; 9)

Vậy (d) (P) có hai điểm chung phân biệt A B

1.0

2 Gọi A B điểm chung (d) (P) Tính diện tích tam giác OAB ( O gốc toạ độ)

Ta biểu diễn điểm A B mặt phẳng toạ độ Oxy hình vẽ

1

D C

B

A

3 -1

1

.4 20

2

ABCD

AD BC

S   DC  

9.3 13,5

2

BOC

BC CO

S   

1.1 0,5

2

AOD

AD DO

S   

Theo công thức cộng diện tích ta có: S(ABC) = S(ABCD) - S(BCO) - S(ADO)

= 20 – 13,5 – 0,5 = (đvdt)

3

1 Khi m = 4, ta có phương trình

x2 + 8x + 12 = có ’ = 16 – 12 = > 0 Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 = - + = - x2 = - - = -

1.0 Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt

x2 + 2mx + m2 – 2m + = 0

Có D’ = m2 – (m2 – 2m + 4) = 2m – 4

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt D’ > => 2m – > => 2(m – 2) > => m – > => m > Vậy với m > phương trình có hai nghiệm phân biệt

4

1 2

N K

H

D I

C

O

A B

M

1 Ba điểm O, M, D thẳng hàng:

Ta có MC tiếp tuyến đường tròn (O)  MC  MO (1)

Xét đường trịn (I) : Ta có CMD 900  MC  MD (2) Từ (1) (2) => MO // MD  MO MD trùng  O, M, D thẳng hàng

1.0

2 Tam giác COD tam giác cân

CA tiếp tuyến đường tròn (O)  CA AB(3)

Đờng tròn (I) tiếp xúc với AC C  CA  CD(4)

Từ (3) (4)  CD // AB => DCO COA  (*)

( Hai góc so le trong)

CA, CM hai tiếp tuyến cắt (O)  COA COD  (**)

Từ (*) (**)  DOC DCO  Tam giác COD cân D

1.0

3 Đường thẳng qua D vng góc với BC qua điểm cố định M di động đường tròn (O)

* Gọi chân đường vng góc hạ từ D tới BC H CHD 900  H  (I) (Bài tốn quỹ tích)

DH kéo dài cắt AB K

Gọi N giao điểm CO đường tròn (I)

=>

 900 can tai D CND

NC NO COD

 



 

   

Ta có tứ giác NHOK nội tiếp

Vì có H2 O1 DCO ( Cùng bù với góc DHN)  NHO NKO  1800(5) * Ta có : NDH NCH (Cùng chắn cung NH đường tròn (I))

     CBO HND HCD

DHN COB (g.g)

HN OB HD OC

OB OA HN ON

OC OC HD CD

OA CN ON OC CD CD

               

 Mà ONH CDH  NHO DHC (c.g.c)

 NHO 900 Mà NHO NKO  1800(5) NKO900,  NK  AB  NK // AC  K trung điểm OA cố định  (ĐPCM)

5 Câu (1.0 điểm) : Cho a,b,c số dương không âm thoả mãn : a2 b2 c2 3    Chứng minh : 2

1 3

a b c

a  b b  c c  a 

* C/M bổ đề:

 2

2 a b

a b

x y x y

  



 2

2 2 a b c

a b c

x y x x y z

       Thật          2 2

2 0

a b a b

a y b x x y xy a b ay bx

x y x y



         

 (Đúng)  ĐPCM

Áp dụng lần , ta có:

 2

2 2 a b c

a b c

x y x x y z

    

 

* Ta có : a22b 3 a22b  1 2a2b2, tương tự Ta có: … 

2 2 3 2 3 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2

a b c a b c

A

a b b c c a a b b c c a

     

           

1

(1)

2 1

B

a b c

A

a b b c c a

 

     

                  

Ta chứng minh 1 1

a b c

a b  b c  c a  

                 

2 2

3

1 1

1 1

1 1

2

1 1

1 1

2

1 1

1 1

2 (2)

1 1 1

B

a b c

a b b c c a

b c a

a b b c c a

b c a

a b b c c a

b c a

a b b b c c c a a

                                                                                  * Áp dụng Bổ đề ta có:

               3

1 1 1

a b c B

a b b b c c c a a

    

          

 2

2 2

3

3 (3)

3( ) a b c

B

a b c ab bc ca a b c                * Mà:    

2 2

2 2

2 2 2

2 2

2 2

3( )

2 2 2 6 6

2 2 2 6 6 ( : 3) 2 6

3

3

3( ) a b c ab bc ca a b c

a b c ab bc ca a b c

a b c ab bc ca a b c Do a b c

a b c ab bc ca a b c

a b c

a b c

a b c ab bc ca a b c

                                                     

        32 (4) Từ (3) (4)  (2)

Kết hợp (2) (1) ta có điều phải chứng minh Dấu = xảy a = b = c =

Sở GD – ĐT NGHỆ AN Đề thi vào THPT năm học 2012 - 2013

Môn thi: Toán

Thêi gian 120 phót Ngày thi 24/ 06/ 2012 Câu 1: 2,5 điểm:

Cho biểu thức A =

1

2

x

x x x

         

a) Tìm điều kiện xác định rút gọn A

b) Tìm tất giá trị x để A

c) Tìm tất giá trị x để B A

đạt giá trị nguyên Câu 2: 1,5 điểm:

Quảng đường AB dài 156 km Một người xe máy tử A, người xe đạp từ B Hai xe xuất phát lúc sau gặp Biết vận tốc người đI xe máy nhanh vận tốc người xe đạp 28 km/h Tính vận tốc xe?

Câu 3: điểm:

Chjo phương trình: x2 – 2(m-1)x + m2 – =0 ( m tham số). a) Giải phương trình m =

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn x12x22 16 Câu 4: điểm

Cho điểm M nằm ngồi đường trịn tâm O Vẽ tiếp tuyến MA, MB với đường tròn (A, B tiếp điểm) Vẽ cát tuyến MCD không đI qua tâm O ( C nằm M D), OM cắt AB (O) H I Chứng minh

a) Tứ giác MAOB nội tiếp b) MC.MD = MA2

c) OH.OM + MC.MD = MO2 d) CI tia phân giác góc MCH

ĐÁP ÁN

Câu Nội dung

1

a

ĐKXĐ: x 0, x 4 

A =    

1 x x x x

x x x x x x

    

 

 

 

 

   

 

2 x

x

x x

 

 

b

1

A x x x

2 x 2

         



Kết hợp với ĐKXĐ ta có x 4 

c 7 14

B A

3 x x

  

 

Do x > => x 0  => <

14 x 6 <

7

Với B = => x =

1

9; Với B = => x =

64

Vậy

1 64

x ;

9

 

  

  B số nguyên.

Gọi x (km/h) vận tốc người xe máy ( x > 0) Vận tốc người xe đạp y (km/h) (y > 0) Ta có pt: x – y = 28 (1)

Quãng đường người xe máy 3x (km) Quảng đường người xe đạp 3y (km)

Do hai xe ngược chiều gặp sau nên ta có phương trình: 3x+ 3y = 156 (2)

x – y 28 3x 3y 156

 



 

 <=>

40 12 x y

  



 (T/M)

Vậy vận tốc người xe máy 40 km/h vận tốc người xe đạp 12 km/h

3

a

Khi m=3 ta có phương trình x2 4x 0 

Do a+b+c=1+(-4)+3=0, suy x11, x2 3

Vậy với m=3 phương trình có hai nghiệm x11, x2 3

b

Để phương trình có hai nghiệm  

2

' 0 (m 1) (m2 6) 0

        

2

m 2m m 2m m

2

           

Theo hệ thứ Vi-ét ta có x1x2 2m 2, x x m2

Từ hệ thức    

2

2 2

1 2

x x 16 x x  2x x 16 2m 2  2(m  6) 16

2 2

4m 8m 2m 12 16 2m 8m 2m(m 4)

           

m m (loai)

 

  



Vậy m=0 phương trình trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn:

2 2

x x 16

4 Vẽ hình đúng, đẹp

I H

D A

M O

a Xét tứ giác MAOB ta có

 

MAO MBO 90  ( t/c tiếp tuyến)

  0

MAO MBO 90 90 180

    

Vậy tứ giác MAOB nội tiếp đường trịn b

Xét MAC MDA có M chung, MAC MDA  ( chắn AC )

Do MAC đồng dạng với MDA

Suy

2

MA MC

MA MC.MD

MD MA  

c

Xét MAO vng A, có AH đường cao, ta có OH.OM AO

Suy OH.OM MC.MD AO  2MA2 (1)

Xét MAO theo Pitago ta có AO2MA2 MO2 (2)

Từ (1) (2) suy OH.OM MC.MD MO 

d

Xét MAO vng A, có AH đường cao, ta có MH.MO MA

Suy

2 MC MO

MC.MD MH.MO MA

MH MD

   

Xét MCH MOD có

MC MO

MH MD, M chung

+ MCH MOD(c.g.c)  MCH MOD 

+ MOD IBD 

+ IBD MCI   (Tứ giác CIBD nội tiếp đường tròn (O))

=> MCH 2MCI   hay

 1 MCI MCH

2 

=> CI tia phân giác MCH

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NAM

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2012 – 2013

Mơn: Tốn

Thời gian làm bài: 120 phút Ngày thi : 22/06/2012 Câu (1,5 điểm) Rút gọn biểu thức sau:

a) A 45 500 12

b) B

3

  



 

 Câu 2: (2 điểm)

a) Giải phương trình: x2 – 5x + = 0

b) Giải hệ phương trình:

3x y x 2y

  



  

Câu 3: (2 điểm)

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho Parabol (P) có phương trình: y = x2 đường thẳng (d) có phương trình: y = 2mx – 2m + (m tham số)

a) Tìm toạ độ điểm thuộc (P) biết tung độ chúng

b) Chứng minh (P) (d) cắt hai điểm phân biệt với m Gọi y , y1 2là tung độ giao điểm (P) (d), tìm m để y1y29 Câu 4: (3,5 điểm)

Cho đường tròn tâm O, đường kính AB Trên tiếp tuyến đường trịn (O) A lấy điểm M ( M khác A) Từ M vẽ tiếp tuyến thứ hai MC với (O) (C tiếp điểm) Kẻ CH vng góc với AB (H AB ), MB cắt (O) điểm thứ hai K cắt CH N Chứng minh rằng:

a) Tứ giác AKNH tứ giác nội tiếp b) AM2 = MK.MB

c) Góc KAC góc OMB d) N trung điểm CH Câu 5(1 điểm)

Cho ba số thực a, b, c thoả mãn a 1; b 4;c 9   Tìm giá trị lớn biểu thức :

bc a ca b ab c P

abc

Câu (2đ)

a) Giải phương trình 2x – =1 b) Giải bất phương trình 3x – >

Câu (2đ)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÚ THỌ

KỲ THI TUYỂN SINH

VÀO LỚP 10 TRUNG HỌC PHỞ THƠNG NĂM HỌC 2012-2013

Mơn Tốn

Thời gian làm bài: 120 phút, khơng kể thời gian giao đề

Đề thi có 01 trang

a) Giải hệ phương trình

¿

3x+y=3

2x − y=7

¿{

¿ b) Chứng minh

3+√2+ 3−√2=

6

Câu (2đ)

Cho phương trình x2 – 2(m – 3)x – = 0 a) Giải phương trình m =

b) Tìm m để phương trình có nghiệm x1 ; x2 mà biểu thức A = x12 – x1x2 + x22 đạt giá trị nhỏ nhất? Tìm giá trị nhỏ

Câu (3đ)

Cho tam giác ABC vuông A Lấy B làm tâm vẽ đường trịn tâm B bán kính AB.Lấy C làm tâm vẽ đường trịn tâm C bán kính AC, hai đường tròn cắt điểm thứ D.Vẽ AM, AN dây cung đường trịn (B) (C) cho AM vng góc với AN D nằm M; N

a) CMR: ABC=DBC

b) CMR: ABDC tứ giác nội tiếp c) CMR: ba điểm M, D, N thẳng hàng

d) Xác định vị trí dây AM; AN đường tròn (B) (C) cho đoạn MN có độ dài lớn

Câu (1đ) Giải Hệ PT

¿

x2−5y2−8y=3

(2x+4y −1)√2x − y −1=(4x −2y −3)√x+2y

¿{

¿

-Hết -GỢI Ý GIẢI Câu (2đ) a) Giải phương trình 2x – =

b) Giải bất phương trình 3x – > Đáp án a) x = ; b) x >

Câu (2đ) a) Giải hệ phương trình

¿

3x+y=3

2x − y=7

¿{

¿ b) Chứng minh

3+√2+ 3−√2=

6

Đáp án a) x = ; y = – b) VT = 3−√2+3+√2

9−2 =

6

Câu (2đ) Cho phương trình x2 – 2(m – 3)x – = 0 a)Giải phương trình m =

b)Tìm m để phương trình có nghiệm x1 ; x2 mà biểu thức A = x12 – x1x2 + x22 đạt giá trị nhỏ nhất? Tìm giá trị nhỏ

Đáp án: a) x1 = −2−√5 ; x2 = −2+√5

b)Thấy hệ số pt : a = ; c = –  pt ln có nghiệm

Theo Vi- ét ta có x1 + x2 =2(m – 3) ; x1x2 = –1

Mà A=x12 – x1x2 + x22 = (x1 + x2 )2 – 3x1x2 = 4(m – 3)2 + 3

 GTNN A =  m = 3

Câu (3đ) Hướng dẫn

a) Có AB = DB; AC = DC; BC chung  ABC = DBC (c-c-c)

b) ABC = DBC  ∠ BAC = ∠ BDC = 900  ABDC tứ giác nội tiếp

c) Có ∠ A1 = ∠ M1 ( ABM cân B)

∠ A4 = ∠ N2 ( ACN cân C)

∠ A1 = ∠ A4 ( phụ BÂN )

 ∠ A1 = ∠ M1 = ∠ A4 = ∠ N2

∠ A2 = ∠ N1 ( chắn cung AD (C) ) Lại có Â1+Â2 + Â3 = 900 => ∠ M1 + ∠ N1 + ∠ A3 = 900 Mà AMN vuông A => ∠ M1 + ∠ N1 + ∠ M2 = 900

=> ∠ A3 = ∠ M2 = ∠ D1 CDN cân C => ∠ CND = ∠ D4

 ∠ BDC+ ∠ D1 + ∠ D4 = ∠ BDC + ∠ D1 + ∠ CND

= ∠ BDC + ∠ M2 + ∠ N1 + ∠ N2

= 900 + ∠ M2 + ∠ N1 + ∠ M1 ( ∠ M1 = ∠ N2) = 900 + 900 = 1800

 M; D; N thẳng hàng

d) AMN đồng dạng ABC (g-g)

Ta có NM2 = AN2 +AM2 để NM lớn AN ; AM lớn nhất

Mà AM; AN lớn nhât AM; AN đường kính (B) (C) Vậy AM; AN đường kính (B) (C) NM lớn

Câu (1đ): Giải Hệ PT

¿

x2−5y2−8y

=3

(2x+4y −1)√2x − y −1=(4x −2y −3)√x+2y

¿{

¿ Hướng dẫn

¿

x2−5y2−8y

=3

(2x+4y −1)√2x − y −1=(4x −2y −3)√x+2y

¿{

¿



¿

x2−5y2−8y=3(1)

ơ[2(x+2y)−1]√2x − y −1=[2(2x − y −1)−1]√x+2y(2)

¿{

¿

2

3

2 2

1

M

D

N C B

Từ (2) đặt x +2y = a ; 2x–y –1 = b (a:b 0)

Ta có: (2a-1) √b =(2b –1) √a  ( √a −√b )(2 √ab+1¿ =  a = b  x = 3y + thay vào (1) ta