3 đề tuyển sinh lớp 10 môn Toán và đáp án

3 ĐỀ TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CHUN MƠN TỐN: NGHỆ AN, HÀ NAM, THANH HOÁ SỞ GIÁO DỤC- ĐÀO TẠO NGHỆ AN KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU Năm học 2009 - 2010 Mơn thi: Tốn Thời Đề thi thức gian: 150 phút, không kể thời gian giao đề Bài 1: (3.5 điểm) a) Giải phương trình x+2 + 7− x =3 b) Giải hệ phương trình  2 + x = y    x3 − =  y  Bài 2: (1.0 điểm) Tìm số thực a để phương trình sau có nghiệm nguyên x − ax + a + = Bài 3: (2.0 điểm) Cho tam giác ABC vng A có đường phân giác BE (E thuộc AC) Đường trịn đường kính AB cắt BE, BC M, N (khác B) Đường thẳng AM cắt BC K Chứng minh: AE.AN = AM.AK Bài 4: (1.5 điểm) Cho tam giác ABC có góc nhọn, trung tuyến AO có độ dài độ dài cạnh BC Đường trịn đường kính BC cắt cạnh AB, AC thứ tự M, N (M khác B, N khác C) Đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt đường thẳng AO I K Chứng minh tứ giác BOIM nội tiếp đường trịn tứ giác BICK hình bình hành Bài 5: (2.0 điểm) a) Bên đường tròn tâm O bán kính cho tam giác ABC có diện tích lớn Chứng minh điểm O nằm nằm cạnh tam giác ABC b) Cho a, b, c số thực dương thay đổi thỏa mãn: a + b + c = Tìm giá trị nhỏ biểu thức ab + bc + ca P = a + b2 + c2 + a b + b 2c + c a Hết -Họ tên thí sinh ………………………………… ……… SBD…………… * Thí sinh khơng sử dụng tài liệu * Giám thị khơng giải thích thêm SỞ GIÁO DỤC- ĐÀO TẠO NGHỆ AN KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU Năm học 2009 - 2010 Hướng dẫn chấm thi Bản hướng dẫn chấm gồm 03 trang Nội dung đáp án Điểm 3,5 đ 2,0đ Bài a x+2 + 7−x =3 ⇔ x + + − x + 3 x + − x ( ) x + + − x = 27 0.50đ ⇒ + (x + 2)(7 − x) = 27 0.25đ ⇔ (x + 2)(7 − x) = ∈ ⇔ (x + 2)(7 − x) = 0.25đ 0.25đ 0.25đ ⇔ x − 5x − =  x = −1 ⇔ ( thỏa mãn ) x = 0.50đ b 1,50đ Đặt =z y 0.25đ 2 + 3x = z3  Hệ cho trở thành  2 + 3z = x  ⇒ 3( x − z ) = z3 − x ( 0.25đ 0,25đ ) ⇔ ( x − z ) x + xz + z + = 0,25đ ⇔x=z 0,25đ 2 (vì x + xz + z + > 0, ∀x,z )  x = −1 x = Từ ta có phương trình: x − 3x − = ⇔  Vậy hệ cho có nghiệm: (x, y) = (−1; −2), ( 2,1) Bài 2: Điều kiện để phương trình có nghiệm: ∆ ≥ ⇔ a − 4a − ≥ (*) Gọi x1, x2 nghiệm nguyên phương trình cho ( giả sử x1 ≥ x2)  x1 + x = a ⇒ x1.x − x1 − x = Theo định lý Viet:   x1.x = a + 2 0,25đ 1,0 đ 0,25đ 0,25đ ⇒ (x1 − 1)(x − 1) =  x1 − = − x − = ⇒  (do x1 - ≥ x2 -1) x − =  x − = −3 0,25đ x =  x1 = ⇒   x = −2 x = Suy a = a = -2 (thỏa mãn (*) ) Thử lại ta thấy a = 6, a = -2 thỏa mãn yêu cầu tốn Bài 3: · · · ¼ ¼ Vì BE phân giác ABC nên ABM = MBC ⇒ AM = MN · · ⇒ MAE = MAN (1) Vì M, N thuộc đường trịn đường · · kính AB nên AMB = ANB = 900 · · ⇒ ANK = AME = 900 , kết hợp với (1) ta có tam giác AME đồng dạng với tam giác ANK AN AK ⇒ = AM AE ⇒ AN.AE = AM.AK (đpcm) Bài 4: · · Vì tứ giác AMIN nội tiếp nên ANM = AIM · · Vì tứ giác BMNC nội tiếp nên ANM = ABC · · ⇒ AIM = ABC Suy tứ giác BOIM nội tiếp K Từ chứng minh suy tam giác AMI đồng dạng với tam giác AOB AM AI ⇒ = ⇒ AI.AO = AM.AB (1) AO AB Gọi E, F giao điểm đường thẳng AO với (O) (E nằm A, O) Chứng minh tương tự (1) ta được: AM.AB = AE.AF = (AO - R)(AO + R) (với BC = 2R) = AO2 - R2 = 3R2 3R 3R 3R R = = ⇒ OI = ⇒ AI.AO = 3R ⇒ AI = (2) AO 2R 2 Tam giác AOB tam giác COK đồng dạng nên: OA.OK = OB.OC = R2 R2 R2 R ⇒ OK = = = (3) OA 2R Từ (2), (3) suy OI = OK Suy O trung điểm IK, mà O trung điểm BC Vì BICK hình bình hành 0,25đ 2,0 đ 0,25đ 0,50đ 0,25đ 0,50đ 0,25đ 0,25đ 1,5 đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ Bài 5: b, 2,0 đ 1,0 đ Giả sử O nằm ngồi miền tam giác ABC Khơng tính tổng qt, giả sử A O 0,25đ nằm phía đường thẳng BC Suy đoạn AO cắt đường thẳng BC K 0,25đ Kẻ AH vng góc với BC H 0,25đ Suy AH ≤ AK < AO ab + bc + ca a + b2 + c2 − (a + b + c ) 2 ⇒P≥a +b +c + 2(a + b + c2 ) 2 Suy P=a + b + c + 0,25đ Đặt t = a2 + b2 + c2, ta chứng minh t ≥ Suy P ≥ t + 9−t t t = + + − ≥ 3+ − = ⇒ P ≥ 2t 2t 2 2 0,25đ Dấu xảy a = b = c = Vậy giá trị nhỏ P Nếu thí sinh giải cách khác câu cho tối đa điểm câu SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN HÀ NAM NĂM HỌC 2009 - 2010 MƠN THI : TỐN (ĐỀ CHUNG) Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) Đề thức Bài (2 điểm) Cho biểu thức P = x ( ) +( x +1 1− x a) Tìm điều kiện xác định P b) Rút gọn P c) Tìm x để P > Bài (1,5 điểm) ( ( ) x −2 +3 x −x 1− x ) )  1+ x + y =  Giải hệ phương trình:   + x − y =1  Bài (2 điểm) 1) Tìm toạ độ giao điểm đường thẳng y = x + parabol y = x2 2) Tìm m để đồ thị hàm số y = (m + 1)x + 2m + cắt trục Ox, trục Oy điểm A , B ∆ AOB cân ( đơn vị hai trục Ox Oy nhau) Bài (3,5 điểm) Cho ∆ ABC vuông đỉnh A, đường cao AH, I trung điểm Ah, K trung điểm HC Đường trịn đường kính AH ký hiệu (AH) cắt cạnh AB, AC diểm M N a) Chứng minh ∆ ACB ∆ AMN đồng dạng b) Chứng minh KN tiếp tuyến với đường trịn (AH) c) Tìm trực tâm ∆ ABK Bài (1 điểm) Cho x, y, z số thực thoả mãn: x + y + x = Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = 1 + + 16x 4y z -Hết - Họ tên thí sinh:……………………………………… Số báo danh:……………… Chữ ký giám thị số 1: ……………………………………Chữ ký giám thị số 2:……… SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN HÀ NAM NĂM HỌC 2009 - 2010 MƠN THI : TỐN (ĐỀ CHUNG) HƯỚNG DẪN CHẤM THI MƠN TỐN Bài (2 điểm) a) (0,5 điểm) Điều kiện xác định P x ≥ x ≠ x b) (1 điểm) ( ( )= x +1 1− x ) 0.5 x 0,25 1− x x −2 +3 x −x 1− x = x −4 x +4+3 x −x 1− x 0,25 4− x 1− x Vậy P = 1− x = c) (0,5 điểm) 0,25 0,25 P>0 ⇔ − x > 0,25 0,25 ⇔ x 0) x Từ giả thiết suy ra: (x + )2 = ⇒ x + x 1 1 ) ⇒ A = x3 + =18 ) = (x + ) + (x + x x x x 1 1 ⇒ 7.18 = (x2 + )(x3 + ) = (x5 + ) + (x + ) x x x x ⇒ B = x5+ = 7.18 - = 123 x 1 1 + 2− = + 2− Từ hệ suy (2) y x x y ⇒ 21 = (x + )(x2 + Nếu 1 > x y 2− 0.25 0.25 0.25 0.25 0.5 1 > − nên (2) xảy x=y y x 0.5 vào hệ ta giải x=1, y=1 Theo Viét, ta có: x1 + x = − 0.25 c b , x1.x = a a b b − +  ÷ 2 2a − 3ab + b a  a  ( Vì a ≠ 0) Khi Q = = b c 2a − ab + ac 2− + a a + 3(x1 + x ) + (x + x ) = + (x1 + x ) + x1x 2 Vì ≤ x1 ≤ x ≤ nên x1 ≤ x1x x ≤ 0.25 0.25 0.25 ⇒ x12 + x 2 ≤ x1x + ⇒ ( x1 + x ) ≤ 3x1x + + 3(x1 + x ) + 3x1x + =3 Do Q ≤ + (x1 + x ) + x1x 0.25 Đẳng thức xảy x1 = x2 = x1 = 0, x = 0.25 0.25  b  − a =    c =  c = −b = 4a  a   ⇔  b = −2a Vậy maxQ=3 Tức   − b =  c =   a   c  =  a  0.25 ĐK: x ≥ A y ≥ - 2009, z B 2010 2, I ≥ 0.25 Phương trình cho tương đương với: O K B 0.25 y E x + y + z = x − +2 M + 2009 +2 z − 2010 D ⇔( x x x−2 - 1)2 + (My + 2009 - 1)2 + ( z − 2010 - 1)2 = A  x −D −1 =   y EC C x =  N 0.25 11 0.25 12 ... SỞ GD VÀ ĐT THANH HOÁ KỲ THI TUYỂN SINH THPT CHUYÊN LAM SƠN NĂM HỌC: 2009 - 2 010 Mơn: Tốn ( Dành cho thí sinh thi vào lớp chuyên Toán) Ngày thi: 19 tháng năm 2009 (Đáp án gồm 04 trang) 10 Câu... AN KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU Năm học 2009 - 2 010 Hướng dẫn chấm thi Bản hướng dẫn chấm gồm 03 trang Nội dung đáp án Điểm 3, 5 đ 2,0đ Bài a x+2 + 7−x =3 ⇔ x +... GD VÀ ĐT THANH HOÁ KỲ THI TUYỂN SINH THPT CHUYÊN LAM SƠN NĂM HỌC: 2009 - 2 010 Đề thức Mơn: Tốn (Dành cho thí sinh thi vào lớp chun Tốn) Thời gian làm bài: 150 phút (khơng kể thời gian giao đề)