Các đường thẳng vuông góc với AB tại M và O cắt nửa đường tròn đã cho lần lượt tại D và C.. a) Tính AD, AC, BD và DM theo R.[r]
(1)SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO BÌNH ĐỊNH Trường THPT Chun Lê Q Đơn
Đề số 6
KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 Năm học 2007 – 2008
Thời gian làm 150 phút Ngày thi: 21/6/2007 Câu 1: (1,5 điểm).
Chứng minh đẳng thức:
3
2
Câu 2: (3,0 điểm).
Cho phương trình bậc hai: 4x22(2m1)x m 0
a) Chứng minh phương trình ln ln có hai nghiệm phân biệt x1, x2 với giá trị
tham số m
b) Tính x12x22 theo m. Câu 3: (1,5 điểm).
Cho hàm số y = ax + b Tìm a b biết đồ thị hàm số cho song song với đường thẳng y = x + qua điểm M(1; 2)
Câu 4: (3,0 điểm).
Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB = 2R, M trung điểm đoạn AO Các đường thẳng vng góc với AB M O cắt nửa đường tròn cho D C
a) Tính AD, AC, BD DM theo R b) Tính số đo góc tứ giác ABCD
c) Gọi H giao điểm AC BD, I giao điểm AD BC Chứng minh HI vng góc với AB
Câu 5: (1,0 điểm).
Tìm tất cặp số nguyên dương a, b cho a b 2 chia hết cho a b2 1.
(2)
HƯỚNG DẪN CHẤM THI -Câu 1: (1,5 điểm).
Ta có
3 3
1
2
(0,5 điểm).
=
1
24 (0,5 điểm). =
(đpcm) (0,5 điểm).
Câu 2: (3,0 điểm).
PT cho có ' = (2m + 1)2 – 4m (0,5 điểm).
= 4m2 + 4m + – 4m = 4m2 + > 0, m R (0,5 điểm).
Vậy PT ln ln có hai nghiệm phân biệt x1, x2 với giá trị m (0,5 điểm).
Ta có: x12x22 = (x1 + x2)2 – 2x
1x2 (1) (0,5 điểm).
Theo hệ thức Viét
2
2
m
x x
,
m
x x
(2) (0,5 điểm).
Từ (1) (2) suy x12x22 =
2 1
24
m m
=
2
4
4
m m m
=
4
4
m m
(0,5 điểm).
Câu 3: (1,5 điểm). Ta có:
Đồ thị hàm số song song với đường thẳng y = x + nên a = 1, b (1) (0,5 điểm). Đồ thị hàm số qua điểm M(1; 2) nên = a + b (2) (0,5 điểm). Từ (1) (2) suy
1 a b
(0,5 điểm).
Câu 4: (3,0 điểm).
a) Tính AD, AC, BD DM theo R
ADB vuông D (nội tiếp nửa đường trịn đường kính AB), DM đường cao nên: AD2 = AM AB =
R
2R = R2 AD = R (0,25 điểm).
BD2 = AB2 – AD2 = 4R2 – R2 = 3R2 BD = R (0,25 điểm).
DM2 = AM MB =
2
3
2
R R R
DM =
3
R
(0,25 điểm). ACB vuông cân C nên 2AC2 = AB2 = 4R2 AC = R (0,25 điểm). b) Số đo góc tứ giác ABCD
Vì BD = R BD cạnh tam giác nội tiếp BAD 600 (0,25 điểm).
ACB vuông cân C nên ABC450 (0,25 điểm).
Do ABCD tứ giác nội tiếp đường trịn đường kính AB có A600 B450 nên 1800 1200
C A (0,25 điểm).
1800 1350
D B (0,25 điểm).
c) Chứng minh HI vng góc với AB
(3) IH đường cao thứ ba AIB (0,5 điểm).
Vậy : IH AB. (0,25 điểm).
Câu 5: (1,0 điểm).
Theo đề a b 2k a b( 1), ( k N*)
a k b ka ( 2 b) a + k = mb (1) với số nguyên m mà m b ka 2 (2)
Từ (1) (2) ta có (m – 1)(b – 1) = mb – b – m + = a + k – ka2 + 1
Hay (m – 1)(b – 1) = (a + 1)(k + – ka) (3)
Vì m > theo (1) nên (m – 1)(b – 1) 0, từ (3) suy k + – ka k + ka k(a – 1)
( 1)
( 1)
k a k a
1
2,
a
a k
(0,25 điểm).
Nếu a = 1, từ (3) suy (m – 1)(b – 1) = nên b = b =
Ta có nghiệm (a, b) (1, 2) (1, 3) (0,25 điểm).
Nếu a = 2, k = ta có (m – 1)(b – 1) = Khi m = 1, từ (1) suy (a, b) = (2, 3) Khi b = (a, b) = (2, 1)
(0,25 điểm). Thử lại, cặp số (a, b) thỏa mãn đề (1, 2); (1, 3); (2, 3); (2, 1) (0,25 điểm).