SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO BÌNHĐỊNHĐềsố7 KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 Năm học 2007 – 2008 Thời gian làm bài 120 phút Ngày thi: 25/7/2007 Câu 1: (2,0 điểm). a) Rút gọn biểu thức: A = 51 55 + + . b) Chứng minh đẳng thức: 1 2 = − − + − − ba b ba b ba a với a ≥ 0, b ≥ 0 và a ≠ b. Câu 2: (1,5 điểm). Giải phương trình: x x 2 3 108 0+ − = . Câu 3: (2,0 điểm). Một ca nô chạy trên sông, xuôi dòng 120 km và ngược dòng 120 km, thời gian cả đi và về hết 11 giờ. Hãy tìm vận tốc của ca nô trong nước yên lặng, biết rằng vận tốc của nước chảy là 2 km/giờ. Câu 4: (3,5 điểm). Cho tam giác đều ABC có đường cao AH, M là điểm bất kỳ trên cạnh BC (M không trùng với B và M không trùng với C). Gọi P, Q theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ M đến AB và AC, O là trung điểm của AM. Chứng minh rằng: a) Các điểm A, P, M, H, Q cùng nằm trên một đường tròn. b) Tứ giác OPHQ là hình gì? c) Xác định vị trí của M trên cạnh BC để đoạn PQ có độ dài nhỏ nhất. Câu 5: (1,0 điểm). Cho a, b là các số dương. Chứng minh rằng: ba ab ab ba ba + ≤ + + + + + 4 32 32 32 32 33 22 33 22 . --------------------Hết------------------- Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . SBD :. . . . . . . . . . 1 HƯỚNG DẪN CHẤM THI ------------------------------- Câu 1: (2,0 điểm). a) Ta có A = 51 55 + + = ( ) 51 155 + + (0,5 điểm). = 5 . (0,5 điểm). b) Với a ≥ 0, b ≥ 0 và a ≠ b ta có: ( ) ( ) ba bbabbaa ba b ba b ba a − −−−+ = − − + − − 22 (0,25 điểm). = ba bbababa − −+−+ 2 (0,25 điểm). = ba ba − − (0,25 điểm). = 1 (đpcm). (0,25 điểm). Câu 2: (1,5 điểm). Giải phương trình: x x 2 3 108 0+ − = ( a = 1, b = 3, c = –108 ) ∆ = 3 2 – 4. 1. (–108) = 9 + 432 = 441 (0,25 điểm). 21441 ==∆ (0,25 điểm). Vậy phương trình có hai nghiệm: 9 2 213 1 = +− =x (0,5 điểm). 12 2 213 2 −= −− =x (0,5 điểm). Chú ý: - Nếu học sinh không tính ∆ nhưng tính nghiệm đúng vẫn cho điểm tối đa. - Đối với nghiệm x 1 , nếu học sinh sinh mới viết được 2 213 1 +− =x còn kết quả x 1 = 9 chưa tính hoặc tính sai thì phần này cho 0,25 điểm. Tương tự đối với nghiệm x 2 , nếu học sinh sinh mới viết được 2 213 2 −− =x còn kết quả 12 2 −=x chưa tính hoặc tính sai thì cho 0,25 điểm phần này. Câu 3: (2,0 điểm). Gọi vận tốc của ca nô trong nước yên lặng là x km/giờ (0,25 điểm). (điều kiện x >2) (0,25 điểm). Thời gian của ca nô lúc xuôi dòng là: 2 120 + x giờ (0,25 điểm). Thời gian của ca nô lúc ngược dòng là: 2 120 − x giờ (0,25 điểm). Theo bài ra ta có phương trình: 2 120 + x + 2 120 − x = 11 (1) (0,25 điểm). Biến đổi phương trình (1) về phương trình: x x 2 11 240 44 0− − = (2) (0,25 điểm). Giải phương trình (2) được 2 nghiệm x 1 = 22, x 2 = 11 2 − (0,25 điểm). Đối chiếu với điều kiện ban đầu và kết luận: Vận tốc của ca nô trong nước yên lặng là 22 km/giờ. ( 0,25 điểm). Chú ý: Nếu học sinh không đặt điều kiện x > 2 hoặc đặt điều kiện sai thì trừ điểm phần này và không chấm phần kết luận, còn các phần khác vẫn chấm bình thường Câu 4: (3,5 điểm). 2 - Hình vẽ đúng (0,5 điểm). (Chỉ cần vẽ được tam giác đều ABC, đường cao AH, xác định được điểm M, điểm O và vẽ được MP ⊥ AB, MQ ⊥ AC). Tùy theo yêu cầu về tính bằng nhau, tính vuông góc của các đoạn thẳng mà cho điểm tối đa 0,5 hoặc cho 0,25. - Nếu hình vẽ không phù hợp với bài làm hoặc không có hình vẽ: không chấm. a) Ta có: · APM 0 90= (vì MP ⊥ AB) (1) (0,25 điểm). · AQM 0 90 = (vì MQ ⊥ AC) (2) (0,25 điểm). · AHM 0 90 = (vì AH là đường cao của tam giác ABC) (3) (0,25 điểm). Từ (1), (2) và (3) suy ra 3 điểm P, Q, H cùng nhìn đoạn AM dưới một góc vuông nên các điểm A, P, H, M, Q cùng nằm trên đường tròn đường kính AM (0,25 điểm). Chú ý: Nếu học sinh chỉ viết kết quả · APM 0 90= , · AQM 0 90 = , · AHM 0 90 = mà không giải thích lý do thì vẫn cho điểm tối đa, nếu giải thích sai thì ứng với góc nào sẽ không cho điểm phần đó. b) Do ∆ AHM vuông tại H có HO là trung tuyến nên OH = 2 AM (4) Tương tự ta cũng có OQ = 2 AM (5) Từ (4) và (5) suy ra OH = OQ ⇒ ∆ HOQ cân (6) (0,25 điểm). Ta lại có · · HOQ HAQ2= (vì góc · HAQ là góc nội tiếp và · HOQ là góc ở tâm cùng chắn cung HQ của đường tròn đường kính AM) (7) • Xét tam giác vuông AHC có µ C 0 60= (do ∆ ABC đều) ⇒ · HAQ 0 30= (8) Từ (7) và (8) suy ra · HOQ 0 60= (9) Vậy từ (6) và (9) ta suy ra HOQ là tam giác đều (10) (0,25 điểm). • Tương tự ∆POH cũng là tam giác đều (11) (0,25 điểm). • Từ (10) và (11) ta thấy tứ giác OPHQ có OP = PH = HQ = QO = OH. Do đó tứ giác OPHQ là hình thoi. (0,25 điểm). Chú ý: Nếu học sinh chỉ viết đúng các kết quả (4), (5) rồi suy ra (6) mà không giải thích lý do thì vẫn cho điểm tối đa nhưng nếu giải thích sai thì không cho điểm phần này. Tương tự, nếu học sinh chỉ viết đúng các kết quả (7), (8) rồi suy ra (9) mà không giải thích lý do thì vẫn cho điểm tối đa nhưng nếu giải thích sai thì không cho điểm phần này. Nếu học sinh chỉ viết kết quả (10) hoặc (11) mà không giải thích thì vẫn cho mỗi kết quả 0,25 điểm như quy định trong hướng dẫn chấm, nếu giải thích sai phần nào thì không cho điểm phần đó. c) Tứ giác OPHQ là hình thoi nên: OH ⊥ PQ và PQ = 2PI = 2 3 .2 PO = 3.PO = 2 3 .AM (Với I là giao điểm của 2 đường chéo OH và PQ của hình thoi) (0,5 điểm). Do đó: PQ có độ dài nhỏ nhất ⇔ AM có độ dài nhỏ nhất . (0,25 điểm). Mặt khác ta có AM ≥ AH nên AM có độ dài nhỏ nhất ⇔ M ≡ H Vậy khi M ≡ H thì đoạn PQ có độ dài nhỏ nhất. (0,25 điểm). Câu 5: (1,0 điểm). Đặt t b a = . Do a > 0, b > 0 nên t > 0. Khi đó bất đẳng thức đã cho trở thành: 3 A B C HM P Q O 0 60 1 4 32 32 32 32 3 2 3 2 + ≤ + + + + + t t t t t (0,25 điểm). ⇔ (t + 1)(12t 5 + 13t 3 + 13t 2 + 12) ≤ 4(6t 6 + 13t 3 + 6) ⇔ 12(t 6 – t 5 – t + 1) – 13t 2 (t 2 – 2t + 1) ≥ 0 ⇔ 12(t – 1) 2 (t 4 + t 3 + t 2 + t + 1) – 13t 2 (t – 1) 2 ≥ 0 ⇔ (t – 1) 2 [12(t 4 + t 3 + t 2 + t + 1) – 13t 2 ] ≥ 0(*) (0,25 điểm). Mà: 12(t 4 + t 3 + t 2 + t + 1) – 13t 2 = 12t 4 + 12t(t – 1) 2 + 23t 2 + 12 > 0, ∀ t > 0. Do đó (*) đúng với mọi t > 0. Vậy bất đẳng thức đã cho đúng với mọi a, b dương. (0,25 điểm). Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi t = 1 ⇔ a = b. (0,25 điểm). -----------------------Hết----------------------- Ghi chú: - Mọi cách giải khác, nếu đúng mà phù hợp với chương trình thì vẫn cho điểm theo số điểm quy định dành cho từng phần (hay từng câu) trong hướng dẫn chấm này. - Điểm bài thi là tổng điểm thành phần của từng câu trong đề thi. Điểm bài thi được cho theo thang điểm từ điểm 0 đến điểm 10 và được cho lẻ đến 0,25. 4 . điểm). -- -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - Hết -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- Ghi chú: - Mọi cách giải khác, nếu đúng mà phù hợp với chương trình thì vẫn cho điểm theo số điểm. ba ab ab ba ba + ≤ + + + + + 4 32 32 32 32 33 22 33 22 . -- -- - -- - -- - -- - -- - -- - Hết -- - -- - -- - -- - -- - -- - - Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . .