+ Tính chất 2 : Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì giao điểm này cách đều hai tiếp điểm và tia kẻ từ giao điểm đó qua tâm đường tròn là tia phân giác của gó[r]
(1)ƠN TẬP HÌNH HỌC 9 Phần : HÌNH HỌC PHẲNG A LÝ THUYẾT:
I.Đường tròn: 1,Định nghĩa:
Tập hợp điểm cách điểm cho trước khoảng cách R > khơng đổi gọi đường trịn tâm bán kính R Kí hiệu : ( ; R)
2, Vị trí tương đối:
* Của điểm với đường tròn : xét (0 ; R ) điểm M
vị trí tương đối Hệ thức
M nằm ( O ; R ) OM > R
M nằm ( O ; R ) hay M thuộc ( O ; R) OM = R
M nằm ( O ; R ) OM < R
* Của đường thẳng với đường tròn :
xét ( O ; R ) đường thẳng a ( với d khoảng cách từ tâm O đến đường thẳng a )
vị trí tương đối Số điểm chung Hệ thức
a cắt ( O ; R ) d < R
a tiếp xúc ( O ; R ) d = R
a ( O ; R ) không giao
nhau d > R
* Của hai đường tròn :
xét ( O;R) (O’; R’) ( với d = O O’ )
Vị trí tương đối Số điểm chung Hệ thức
Hai đường tròn cắt R – r < d < R- r
Hai đường tròn tiếp xúc : + tiếp xúc :
+ tiếp xúc :
1
d = R + r d = R – r Haiđường trịn khơng giao :
+ hai đường trịn ngồi :
+ đường tròn lớn đựng đường tròn nhỏ :
0
(2)a Định nghĩa :
đường thẳng d gọi tiếp tuyến đường trịn có điểm chung với đường
b, Tính chất :
+ Tính chất : Nếu đường thẳng tiếp tuyến đường trịn vng góc với bán kính đI qua tiếp điểm
+ Tính chất : Nếu hai tiếp tuyến đường tròn cắt điểm giao điểm cách hai tiếp điểm tia kẻ từ giao điểm qua tâm đường trịn tia phân giác góc tạo hai tiếp tuyến
c, Cách chứng minh :
Cách : chứng minh đường thẳng có điểm chung với đường trịn
Cách : chứng minh đường thẳng vng góc với bán kính đường trịn
một điểm điểm thuộc đường trịn Quan hệ đường kính dây cung :
* Định lí : Đường kính vng góc với dây cung chia dây cung thành hai phần
* Định lí : Đường kính đI qua trung điểm dây cung khơng qua tâm vng góc với dây cung
5 Quan hệ dây cung khoảng cách đến tâm :
* Định lí : Trong đường tròn hai dây cung chúng cách tâm
* Định lí : Trong hai dây cung khơng đường tròn, dây cung lớn gần tâm
II Góc đường trịn:
1, Các loại góc đường trịn: - Góc tâm
- Góc nội tiếp
- Góc có đỉnh bên hay bên ngồi đường trịn - Góc tạo tia tiếp tuyến dây cung
2, Mối quan hệ cung dây cung:
* Định lí 1: Đối với hai cung nhỏ đường tròn: a, Hai cung căng hai dây
b, Đảo lại, hai dây trương hai cung * Định lí 2: Đối với hai cung nhỏ đường tròn: a, Cung lớn căng dây lớn
(3)a, Định nghĩa:
Tứ giác nội tiếp đường trịn tứ giác có bốn đỉnh nằm đường trịn Đương trịn gọi đường tròn ngoại tiếp tứ giác
b, Cách chứng minh :
* Cách 1: Chứng minh bốn đỉnh tứ giác thuộc đường tròn * Cách 2: Chứng minh tứ giác có tổng hai góc đối diện 1800
* Cách 3: Chứng minh tứ giác có hai đỉnh kề nhìn cạnh đối diện góc B BÀI TẬP:
Bài 1: Cho tam giác ABC ( Â= 1v ), đường cao AH Đường trịn đường kính AH cắt cạnh AB, AC E F
a CM: tứ giác AEHF hình chữ nhật b CM: tứ giác EFCB nội tiếp
c Đường thẳng qua A vng góc với EF cắt BC I Chứng minh I trung điểm BC
d CMR: Nếu S ABC = S AEHF tam giác ABC vuông cân
Bài 2: Cho tam giác ABC ( AB> AC ) nội tiếp (O) Vẽ đường phân giác góc  cắt (O) M Nối OM cắt BC I
a.Chứng minh tam giác BMC cân b.Chứng minh: góc BMA < góc AMC
c.Chứng minh: góc ABC + góc ACB = góc BMC
d.Đường cao AH BP tam giác ABC cắt Q Chứng minh OH // AH e.Trên AH lấy điểm D cho AD = MO Tứ giác OMDA hình gì?
f. Chứng minh AM phân giác góc OAH
g.OM kéo dài cắt (O) N Vẽ OE vng góc với NC Chứng minh OE 2MB
h.Chứng minh tứ giác OICE nội tiếp Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác
OICE
i. Chứng minh tứ giác ABHP QPCH nội tiếp
j. Từ C vẽ tiếp tuyến (O) cắt BM kéo dài K Chứng minh CM phân giác góc BCK
k.So sánh góc KMC KCB với góc A
l. Từ B vẽ đường thẳng song song với OM cắt CM S Chứng minh tam giác BMS cân M
m. 13.Chứng minh góc S = góc EOI – góc MOC n.Chứng minh góc SBC = góc NCM
o.Chứng minh góc ABF = góc AON
(4)Bài 3: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn Đường trịn tâm O đường kính BC cắt AB, AC theo thứ tự D, E Gọi I giao điểm BE CD
a.Chứng minh AI vng góc với BC b.Chứng minh góc IDE = góc IAE c.Chứng minh : AE EC = BE EI
d.Cho góc BAC = 600 Chứng minh tam giác DOE đều.
Bài 4: Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O) Đường cao AH tam giác ABC cắt (O) D , AO kéo dài cắt (O) E
a.Chứng minh tứ giác BDEC hình thang cân
b.Gọi M điểm chình cung DE, OM cắt BC I Chứng minh I trung điểm BC
c.Tính bán kính (O) biết BC = 24 cm IM = cm
Bài 5: Trên nửa đường trịn tâm O đường kính AB lấy hai điểm M N cho cung AM, MN, NB Gọi P giao điểm AM BN, H giao điểm AN với BM CMR:
a.Tứ giác AMNB hình thang cân
b.PH ┴ AB Từ suy P, H, O thẳng hàng
c.ON tiếp tuyến đường tròn đươnngf kính PH
Bài 6: Cho (O, R) , dây cung AB < 2R Gọi M điểm cung nhỏ AB Kẻ hai dây MC, MD cắt AB E F CMR:
a.Tam giác MAE MCA đồng dạng b.ME MC = MF MD
c.Tứ giác CEFD nội tiếp
d.Khi ABR 3 tam giác OAM đều.
Bài 7: Cho tam giác ABC vuông cân A ( AB > AC ), đường cao AH Vẽ đường tròn tâm I đường kính BH cắt AB E, đường trịn tâm K đường kính CH cắt AC F
a.Tứ giác AEHF hình gì?
b.Chứng minh tứ giác BEFC nội tiếp c.Chứng minh AE AB = AF AC
d.Chứmg minh EF tiếp tuyến chung (O) (I)
e.Gọi Ax tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Chứng minh Ax // EF Bài 8: Cho tam giác ABC vuông cân A Điểm D thuộc AB Qua B vẽ đường thẳng vng góc với CD H, đường thẳng BH cắt CA E
a.Chứng minh tứ giác AHBC nội tiếp b.Tính góc AHE
c.Chứng minh tam giác EAH EBC đồng dạng d.Chứng minh AD = AE
(5)Bài 9: Tứ giác ABCD nội tiếp đường trịn đường kính AC ( AB > BC ; AD > CD ) Gọi E là giao điểm AB CD, F giao điểm AD BC Chứng minh rằng:
a.EF ┴ AC
b.DA DF = DC DE c.Tứ giác BDFE nội tiếp
Bài 10: Cho đường trịn tâm O đường kính BC, điểm A thuộc (O) Vẽ bán kính OK // BA ( K A nằm phía BC ) Tiếp tuyến với đường tròn (O) C cắt OK I
a.Chứng minh IA tiếp tuyến (O)
b.Chứng minh CK tia phân giác góc ACI c.Cho BC = 30 cm; AB = 18 cm Tính OI, CI
Bài 11: Cho đoạn thẳng AB O trung điểm AB Vẽ phía với AB tia Ax, By vng góc với AB Các điểm M, N theo thứ tự di chuyển Ax By cho góc MON = 900 Gọi I trung điểm MN Chứng minh :
a.AB tiếp tuyến (I ; IO) b.MO tia phân giác góc AMN
c.MN tiếp tuyến đường trịn đường kính AB
d.Khi điểm M, N di chuyển Ax, By tích AM BN khơng dổi
Bài 12: Cho (O;R) (O’; r)tiếp xúc A Gọi BC tiếp tuyến chung hai đường tròn ( B thuộc (O); C thuộc (O’) ) Tiếp tuyến chung hai đường tròn A cắt BC M
a.Chứng minh A, B, C thuộc đường trịn tâm M
b.Đường thẳng OO’ có vị trí tương đối với (M) nói trên? c.Xác định tâm đường tròn qua ba điểm O, O’ , M
d.Chứng minh BC tiếp tuyến đường tròn qua ba điểm O, O’, M
Bài 13: Cho (O) (O’)tiếp xúcngoài A Đường thẳng Ô’ cắt (O) (O’) theo thứ tự tạu B C ( khác A ) Gọi DE tiếp tuyến chung ngồi hai đường trịn ( D thuộc (O); E thuộc (O’)) M giao điểm BD CE Chứng minh :
a.Góc DME góc vng
b.MA tiếp tuyến chung hai đường tròn c.MD MB = ME MC
Bài 14: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp (O), đường cao BD, CE , M trung điểm BC
a. Chứng minh tứ giác BCDE nội tiếp
b. Chứng minh tam giác ADE ABC đồng dạng c. Kẻ tiếp tuyến Ax với (O) Chứng minh Ax // DE
d. Chứng minh góc BAC = 600 tam giác DME tam giác đều.
Bài 15: Cho (O) điểm A nằm bên (O) Vẽ tiếp tuyến AB AC , cát tuyến ADE Gọi H trung điểm DE
(6)b. Chứng minh HA tia phân giác góc BHA
c. Gọi I giao điểm BC DE Chứng minh : AB2 = AI AH. d. BH cắt (O) K Chứng minh AE // CK
Bài 16: Cho (O), đường tròn AB Vẽ tiếp tuyến xBy Gọi C,D hai điểm di động hai nửa mặt phẳng bờ AB đối Tia AC cắt Bx M, tia AD cắt By N
a. Chứng minh tam giác ACD AMN đồng dạng b. Tứ giác MNDC nội tiếp
c. Chứng minh AC AM = AD AN tích không đổi C, D di động Bài 17: Xét nửa đường trịn (O), đường kính AB Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến Ax dây AC Tia phân giác góc Cax cắt nửa đường trịn D, tia AD BC cắt E
a. Chứng minh tam giác ABE cân B
b. Các dây AC BD cắt K Chứng minh EK ┴ AB c. Tia BD cắt tia Ax F Chứng minh tứ giác AKEF hình thoi Bài 18: Cho nửa lục giác ABCD nội tiếp nửa đường tròn (O ; R) Hai tiếp tuyến B D cắt T
a. Chứng minh OT // AB
b. Chứng minh ba điểm O, C, T thẳng hàng c. Tính chu vi diện tích tam giác TBD theo R
d. Tính diện tích hình giới hạn hai cạnh TB, TD cung BCD theo R
Bài 19: Hai đườngtrịn (O) (O’) có bán kính R R’ ( R > R’) tiếp xúc C Gọi AC BC hai đường kính qua C (O) (O’) DE dây cung (O) vng góc với AB trung điểm M AB Gọi giao điểm thứ hai đường thẳng DC với (O’) F
a. Tứ giác AEBD hình gì?
b. Chứng minh ba điểm B, E, F thẳng hàng c. Chứng minh tứ giác MDBF nội tiếp
d. DB cắt (O’) G Chứng minh DF, EG, AB đồng qui
e. Chứng minh MF 2DE
MF tiếp tuyến (O’)
Bài 20: Cho đường trịn tâm O, đường kính AC Trên đoạn OC lấy điểm B vẽ đường tròn tâm O’ đường kính BC Gọi M trung điểm AB Từ M kẻ dây cung DE vng góc với AB, DC cắt (O’) I
a. Tứ giác ADBE hình ? sao? b. Chứng minh BI // AD
c. Chứng minh ba điểm I, B, E thẳng hàng MD = MI
d. Xác định giải thích vị trí tương đối đường thẳng MI với (O’)
(7)a. Chứng minh điểm A,B,I,O,C nằm đường trịn
b. Nếu AB = OB tứ giác ABOC hình ? Tại sao? Tính diện tích hình trịn độ dài đường trịn ngoại tiếp tứ giác ABOC theo bán kính R (O)
Bài 22: Cho tam giác ABC nội tiếp (O) Tia phân giác góc A cắt BC D, cắt (O) E. Tiếp tuyến đường tròn A cắt đường thẳng BC M
a. Chứng minh MA = MD
b. Gọi I điểm đối xứng với D qua M, gọi F giao điểm IA với (O).Chứng minh E, O, F thẳng hàng
Bài 23: Cho tam giác ABC vuông A Trên cạnh AC lấy điểm M, dựng (O) đường kính MC Đường thẳng BM cắt (O) D Đường thẳng AD cắt đường tròn (O) S
a. Chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp CA tia phân giác góc SCB
b. Gọi E giao điểm BC với (O) Chứng minh đường thẳng BA, EM, CD đồng qui
c. Chứng minh DM phân giác góc ADE
d. Chứng minh M tâm đường tròn nội tiếp tam giác ADE Bài 24: Cho tam giác ABC vuông A.
a. Nêu cách dựng (O) qua A tiếp xúc với BC B Nêu cách dựng (O’) qua tiếp xúc với BC C
b. Hai đường trịn (O) (O’) vị trí tương đối nào?
c. Gọi M trung điểm BC Chứng minh AM tiếp tuyến chung (O) (O’) d. Cho AB = 36cm, AC = 48 cm Tính độ dài BC bán kính (O) , (O’)
Bài 25: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB, bán kính OC vng góc với AB Gọi M là điểm di động cung BC ( M ≠ B, M ≠ C) AM cắt OC N
a. Chứng minh tích AM AN không đổi
b. Vẽ CD ┴ AM Chứng minh tứ giác MNOB AODC nội tiếp c. Xác định vị trí điểm M cung BC để tam giác COD cân D
Bài 26: Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O), H trực tâm tam giác ABC, M điểm cung BC không chứa điểm A
a. Xác định vị trí M để tứ giác BHCM hình bình hành
b. Gọi N E điểm đối xứng M qua AB AC Chứng minh ba điểm N H , E thẳng hàng
c. Xác định vị trí M để NE có độ dài lớn
Bài 27: Cho (O,R) (O’,r) tiếp xúc M ( R > r ) Đường thẳng OO’ cắt (O) C, cắt (O’) D Tiếp tuyến chung ngồi AB (A(O),B(O') ) cắt đưịng thẳng OO’ H Tiếp tuyến chung hai đường tròn M cắt AB I
a. Chứng minh tam giác OIO’ AMB tam giác vuông b. Chứng minh AB2 R.r
(8)d. Gọi N N’ giao điểm AM với OI BM với O’I Tính độ dài đoạn thẳng MI, AB, OI, O’I, OH, O’H theo R r
Bài 28: Cho đường trịn (O) đường kính AB, điểm C ( khác A, B ) nằm đường tròn Tiếp tuyến Cx (O) cắt tia AB I Phân giác góc CIA cắt OC O’
a. Chứng minh (O’, O’C) vừa tiếp xúc với (O) vừa tiếp xúc với đường thẳng AB
b. Gọi D,E theo thứ tự giao điểm thứ hai CA, CB với (O’) Chứng minh D, O’, E thẳng hàng
c. Tìm vị trí C cho đường trịn ngoại tiếp tam giác OCI tiếp xúc với AC
Bài 29: Cho nửa đường trịn đường kính AB = 2R Kẻ tiếp tuyến Bx với nửa đường tròn C D hai điểm di động nửa đường tròn Các tia AC AD cắt Bx E F ( F nằm B E )
a. Chứng minh hai tam giác ABF BDF đồng dạng b. Chứng minh tứ giác CEFD nội tiếp
c. Khi D C di động nửa đường tròn , chứng tỏ : AC AE = AD AF = const
Bài 30: Cho (O) Vẽ hai dây AB CD vng góc M bên (O) Từ A vẽ đường thẳng vng góc với BC H, cắt CD E F điểm đối xứng C qua AB Tia AF cắt tia BD K Chứng minh rằng:
a. Góc MAH = góc MCB b. Tam giác ADE cân c. Tứ giác AHBK nội tiếp
Bài 31 Cho đoạn thẳng AB C điểm nằm A B Người ta kẻ nửa mặt phẳng bờ AB hai tia Ax By vng góc với AB Trên tia Ax lấy điểm I Tia Cz vng góc với tia CI C cắt By K Đường trịn đường kính IC cắt IK P Chứng minh:
a.Tứ giác CPKB nội tiếp b.AI.BK=AC.CB ∆APB vuông
c.Giả sử A, B, I cố định Hãy xác định vị trí điểm C cho diện tích hình thang vng ABKI lớn
Bài 32 Cho (O) điểm A nằm (O) Từ A kẻ hai tiếp tuyến AB, AC cát tuyến AMN với (O) (B, C, M, N thuộc (O); AM<AN) Gọi E trung điểm dây MN, I giao điểm thứ hai đường thẳng CE với (O)
a.Chứng minh bốn điểm A, O, E, C nằm đường tròn b.Chứng minh góc AOC=góc BIC
c.Chứng minh BI//MN
d.Xác định ví trí cát tuyến AMN để diện tích tam giác AIN lớn
Bài 33 Cho ∆ABC vuông A (AB<AC), đường cao AH Trên đoạn thẳng HC lấy D cho HD = HB Vẽ CE vuông góc với AD (EAD)
a.Chứng minh tứ giác AHCE nội tiếp
b.Chứng minh AB tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tứ giác AHCE c.Chứng minh CH tia phân giác góc ACE
(9)Bài 34 Cho (O) có đường kính BC Gọi A điểm thuộc cung BC (AB < AC ) D điểm thuộc bán kính OC Đường vng góc với BC D cắt AC E, cắt tia BA F
a.Chứng minh tứ giác ADCF nội tiếp
b.Gọi M trung điểm EF Chứng minh: góc AME=2 góc ACB c.Chứng minh AM tiếp tuyến (O)
d.Tính diện tích hình giới hạn đoạn thẳng BC, BA cung nhỏ AC (O) biết BC=8cm; góc ABC = 60o.
Bài 35 Cho đường tròn (O) đường kính AB=2R điểm M di chuyển nửa đường tròn Người ta vẽ đường tròn tâm E tiếp xúc với (O) M tiếp xúc với AB N Đường tròn cắt MA, MB điểm thứ hai C, D
a.Chứng minh CD//AB
b.Chứng minh MN tia phân giác góc AMB đường thẳng MN qua điểm K cố định
c.Chứng minh tích KM.KN cố định
e.Gọi giao điểm tia CN, DN với KB, KA C', D' Tìm vị trí M để chu vi tam giác NC'D' đạt giá trị nhỏ
Bài 36 Cho đường trịn đường kính AB, điểm C, D đường trịn cho C, D khơng nằm nửa mặt phẳng bờ AB đồng thời AD>AC Gọi điểm cung AC, AD M, N Giao điểm MN với AC, AD H, I Giao điểm MD với CN K
a.CM: NKD MAK cân
b.CM: tứ giác MCKH nội tiếp Suy KH//AD c.So sánh góc CAK với góc DAK
d.Tìm hệ thức số đo AC, số đo AD điều kiện cần đủ để AK//ND Bài 37 Cho (O1) (O2) tiếp xúc với điểm A tiếp tuyến chung Ax Một đường thẳng d tiếp xúc với (O1), (O2) B, C cắt Ax điểm M Kẻ đường kính BO1D, CO2E
a Chứng minh M trung điểm BC b Chứng minh O1MO2 vuông
c Chứng minh B, A, E thẳng hàng; C, A, D thẳng hàng