- TiÕp tuyÕn chung cña hai ®êng trßn: lµ ®êng th¼ng tiÕp xóc víi c¶ hai ®êng trßn ®ã:1. TiÕp tuyÕn chung ngoµi TiÕp tuyÕn chung trong.[r]
(1)tổng hợp kiến thức
và cách giải dạng tập toán 9
A KiÕn thøc cÇn nhí.
1 Điều kiện để thức có nghĩa. A có nghĩa A
2 Các công thức biến đổi thức. a
2
A A
b AB A B (A0;B0)
c
( 0; 0)
A A
A B
B B
d
2 ( 0)
A B A B B
e A B A B2 (A0;B0)
trÇn hÙNG quèc
tæng hợp kiến thức
và cách giải dạng tập toán 9
Năm 2008
(2)A B A B2 (A0;B0)
f
1
( 0; 0)
A
AB AB B
B B
i
( 0)
A A B
B B
B
k
2
( )
( 0; )
C C A B
A A B
A B
A B
m
( )
( 0; 0; )
C C A B
A B A B
A B
A B
3 Hµm sè y = ax + b (a 0)
- TÝnh chÊt:
+ Hàm số đồng biến R a > + Hàm số nghịch biến R a <
- §å thÞ:
Đồ thị đờng thẳng qua điểm A(0;b); B(-b/a;0) 4 Hàm số y = ax2 (a 0)
- TÝnh chÊt:
+ Nếu a > hàm số nghịch biến x < đồng biến x > + Nếu a < hàm số đồng biến x < nghịch biến x >
- Đồ thị:
th l mt ng cong Parabol qua gốc toạ độ O(0;0) + Nếu a > đồ thị nằm phía trục hồnh
+ Nếu a < đồ thị nằm phía dới trục hồnh 5 Vị trí tơng đối hai đờng thẳng
Xét đờng thẳng y = ax + b (d) y = a'x + b' (d') (d) (d') cắt a a'
(d) // (d') a = a' vµ b b' (d) (d') a = a' vµ b = b'
6 Vị trí tơng đối đờng thẳng đờng cong. Xét đờng thẳng y = ax + b (d) y = ax2 (P)
(d) (P) cắt hai điểm (d) tiếp xúc với (P) điểm (d) (P) điểm chung 7 Phơng trình bậc hai.
Xét phơng trình bậc hai ax2 + bx + c = (a 0)
C«ng thøc nghiƯm C«ng thøc nghiÖm thu gän = b2 - 4ac
NÕu > : Phơng trình có hai nghiệm phân biÖt:
x1=− b+√Δ
2a ; x2=
− b −√Δ
2a
NÕu = : Phơng trình có nghiệm kép : x1=x2= b
2a
Nếu < : Phơng trình vô nghiệm
' = b'2 - ac víi b = 2b'
- Nếu ' > : Phơng trình có hai nghiƯm ph©n biƯt:
x1=− b
'
+√Δ'
a ; x2=
− b'−
√Δ'
a
- NÕu ' = : Ph¬ng tr×nh cã nghiƯm kÐp: x1=x2=− b
'
a
- Nếu ' < : Phơng trình vô nghiệm 8 Hệ thức Viet ứng dụng.
(3)Nếu x1, x2 nghiệm phơng tr×nh bËc hai ax2 + bx + c = (a0) th×:
1
1
b
S x x
a c P x x
a
- Mét sè øng dơng:
+ T×m hai sè u vµ v biÕt u + v = S; u.v = P ta giải phơng trình: x2 - Sx + P = 0
(§iỊu kiƯn S2 - 4P 0)
+ Nhẩm nghiệm phơng trình bậc hai ax2 + bx + c = (a0)
NÕu a + b + c = phơng trình cã hai nghiÖm: x1 = ; x2 =
c a
NÕu a - b + c = phơng trình có hai nghiệm: x1 = -1 ; x2 =
c a
9 Gi¶i toán cách lập phơng trình, hệ phơng trình
Bớc 1: Lập phơng trình hệ phơng trình
Bớc 2: Giải phơng trình hệ phơng trình
Bớc 3: Kiểm tra nghiệm phơng trình hệ phơng trình nghiệm
nào thích hợp với toán kết luận B dạng tập
Dạng 1: Rút gọn biểu thức
Bài toán: Rót gän biĨu thøc A
Để rút gọn biểu thức A ta thực bớc sau: - Quy đồng mẫu thức (nếu có)
- §a bít thừa số thức (nếu có) - Trục thức mẫu (nếu có)
- Thc hin phép tính: luỹ thừa, khai căn, nhân chia - Cộng trừ số hạng đồng dạng
D¹ng 2: Bài toán tính toán
Bài toán 1: Tính giá trÞ cđa biĨu thøc A.
Tính A mà khơng có điều kiện kèm theo đồng nghĩa với toỏn Rỳt gn biu thc A
Bài toán 2: Tính giá trị biểu thức A(x) biết x = a
Cách giải:
- Rút gọn biểu thøc A(x)
- Thay x = a vµo biĨu thøc rót gän
Dạng 3: Chứng minh đẳng thức
Bài toán: Chứng minh đẳng thức A = B
Một số phơng pháp chứng minh: - Phơng pháp 1: Dựa vào định nghĩa A = B A - B =
- Phơng pháp 2: Biến đổi trực tiếp A = A1 = A2 = = B
(4)A = A1 = A2 = = C
B = B1 = B2 = = C
- Phơng pháp 4: Phơng pháp tơng đơng
A = B A' = B' A" = B" (*) (*) A = B
- Ph¬ng pháp 5: Phơng pháp sử dụng giả thiết - Phơng pháp 6: Phơng pháp quy nạp
- Phơng pháp 7: Phơng pháp dùng biểu thức phụ
Dng 4: Chứng minh bất đẳng thức
Bài toán: Chứng minh bất đẳng thức A > B
Một số bất đẳng thức quan trọng:
- Bất đẳng thức Cosi:
a1+a2+a3+ .+an
n ≥
n
√a1.a2.a3 an (víi a1.a2.a3 an≥0 )
Dấu = xảy khi: a1=a2=a3= =an
- Bất đẳng thức BunhiaCơpxki:
Víi mäi sè a1; a2; a3;…; an; b1; b2; b3;…bn (a1b1+a2b2+a3b3+ +anbn)
2
≤(a12+a22+a32+ .+an2)(b12+b22+b32+ +bn2)
DÊu “=” xảy khi: a1
b1 =a2
b2 =a3
b3
= =an
bn
Một số phơng pháp chứng minh:
- Phơng pháp 1: Dựa vào định nghĩa A > B A - B > - Phơng pháp 2: Biến đổi trực tiếp
A = A1 = A2 = = B + M2 > B nÕu M
- Phơng pháp 3: Phơng pháp tơng đơng
A > B A' > B' A" > B" (*) (*) A > B
- Phơng pháp 4: Phơng pháp dùng tính chất bắc cầu A > C C > B A > B
- Phơng pháp 5: Phơng pháp phản chứng
chng minh A > B ta giả sử B > A dùng phép biến đổi tơng đ-ơng để dẫn đến điều vơ lí ta kết luận A > B
- Phơng pháp 6: Phơng pháp sử dụng giả thiết - Phơng pháp 7: Phơng pháp quy nạp
- Phơng pháp 8: Phơng pháp dùng biểu thức phụ
Dạng 5: toán liên quan tới phơng trình bậc hai
Bài toán 1: Giải phơng trình bậc hai ax2 + bx + c = (a0)
Các phơng pháp giải:
- Phơng pháp 1: Phân tích đa phơng trình tích - Phơng pháp 2: Dùng kiến thức bậc hai
x2 = a x =
√a
- Phơng pháp 3: Dùng công thức nghiệm Ta có = b2 - 4ac
+ NÕu > : Phơng trình có hai nghiệm phân biệt:
x1=
− b+√Δ
2a ; x2=
− b −√Δ
2a
+ NÕu = : Phơng trình có nghiệm kép x1=x2=
− b
2a
+ NÕu < : Phơng trình vô nghiệm
- Phơng pháp 4: Dïng c«ng thøc nghiƯm thu gän Ta cã ' = b'2 - ac víi b = 2b'
(5)+ Nếu ' > : Phơng trình có hai nghiƯm ph©n biƯt:
x1=− b
'
+√Δ'
a ; x2=
− b'−
√Δ'
a
+ NÕu ' = : Ph¬ng tr×nh cã nghiƯm kÐp x1=x2=− b
'
a
+ NÕu ' < : Ph¬ng trình vô nghiệm
- Phng phỏp 5: Nhm nghim nhờ định lí Vi-et
NÕu x1, x2 lµ nghiƯm phơng trình bậc hai ax2 + bx + c = (a0) th×:
¿
x1+x2=−b
a x1.x2=c
a
¿{
¿
Chó ý: Nếu a, c trái dấu tức a.c < phơng trình có hai nghiệm phân biệt
Bài toán 2: Biện luận theo m có nghiệm phơng trình bậc
hai ax2 + bx + c = ( a, b, c phụ thuộc tham số m ).
XÐt hÖ sè a: Có thể có khả
a Trng hợp a = với vài giá trị m Giả sử a = m = m0 ta cú:
(*) trở thành phơng trình bậc nhÊt ax + c = (**) + NÕu b víi m = m0: (**) cã mét nghiƯm x = -c/b
+ Nếu b = c = với m = m0: (**) vô định (*) vô định
+ NÕu b = c với m = m0: (**) vô nghiệm (*) vô nghiệm
b Trờng hợp a 0: TÝnh hc ' + TÝnh = b2 - 4ac
NÕu > : Phơng trình có hai nghiệm phân biệt:
x1= b+
2a ; x2=
− b −√Δ
2a
Nếu = : Phơng trình có nghiÖm kÐp : x1=x2=− b 2a
NÕu < : Phơng trình vô nghiệm + Tính ' = b'2 - ac víi b = 2b'
Nếu ' > : Phơng trình có hai nghiệm ph©n biƯt:
x1=− b
'
+√Δ'
a ; x2=
− b'−√Δ' a
NÕu ' = : Phơng trình có nghiệm kép: x1=x2= b
'
a
NÕu ' < : Phơng trình vô nghiệm - Ghi tóm tắt phần biện luận
Bi toỏn 3: Tỡm iu kiện tham số m để phơng trình bậc hai
ax2 + bx + c = ( a, b, c phụ thuộc tham số m ) có nghiệm.
Có hai khả để phơng trình bậc hai ax2 + bx + c = có nghiệm:
1 Hc a = 0, b
2 Hc a 0, '
Tập hợp giá trị m toàn giá trị m thoả mÃn điều kiện điều kiện
Bài tốn 4: Tìm điều kiện tham số m để phơng trình bậc hai
(6)Điều kiện có hai nghiệm phân biệt
¿
a≠0
Δ>0
¿{
¿
hc
¿
a ≠0
Δ'>0
¿{
¿
Bài tốn 5: Tìm điều kiện tham số m để phơng trình bậc hai
ax2 + bx + c = ( a, b, c phụ thuộc tham số m ) có nghiệm.
§iỊu kiƯn cã mét nghiÖm:
¿
a=0
b≠0
¿{
¿
hc
¿
a ≠0
Δ=0
¿{
¿
hc
¿
a ≠0
Δ'
=0
¿{
¿
Bài tốn 6: Tìm điều kiện tham số m để phơng trình bậc hai
ax2 + bx + c = ( a, b, c phụ thuộc tham số m ) có nghiệm kép.
§iỊu kiƯn cã nghiƯm kÐp:
¿
a ≠0
Δ=0
¿{
¿
hc
¿
a ≠0
Δ'
=0
¿{
¿
Bài tốn 7: Tìm điều kiện tham số m để phơng trình bậc hai
ax2 + bx + c = ( a, b, c phụ thuộc tham số m ) vơ nghiệm.
§iỊu kiƯn cã mét nghiÖm:
¿
a≠0
Δ<0
¿{
¿
hc
¿
a ≠0
Δ'
<0
¿{
¿
Bài toán 8: Tìm điều kiện tham số m để phơng trình bậc hai
ax2 + bx + c = ( a, b, c phụ thuộc tham số m ) có nghiệm.
§iỊu kiƯn cã mét nghiƯm:
¿
a=0
b≠0
¿{
¿
hc
¿
a ≠0
Δ=0
¿{
¿
hc
¿
a ≠0
Δ'
=0
¿{
¿
Bài tốn : Tìm điều kiện tham số m để phơng trình bậc hai
ax2 + bx + c = ( a, b, c phô thuéc tham sè m ) cã hai nghiƯm cïng dÊu.
§iỊu kiƯn cã hai nghiÖm cïng dÊu:
¿
Δ≥0
P=c
a>0
¿{
¿
hc
¿
Δ'≥0
P=c
a>0
¿{
¿
Bài tốn 10 : Tìm điều kiện tham số m để phơng trình bậc
hai ax2 + bx + c = (a, b, c phơ thc tham sè m) cã nghiƯm d¬ng.
Điều kiện có hai nghiệm dơng:
Δ≥0
P=c
a>0 S=−b
a>0
¿{ {
¿
hc
¿
Δ'≥0
P=c
a>0 S=−b
a>0
¿{ {
¿
Bài tốn 11 : Tìm điều kiện tham số m để phơng trình bậc
(7)Điều kiện có hai nghiệm âm:
¿
Δ≥0
P=c
a>0 S=−b
a<0
¿{ {
¿
hc
¿
Δ'≥0
P=c
a>0 S=−b
a<0
¿{ {
¿
Bài tốn 12 : Tìm điều kiện tham số m để phơng trình bậc
hai ax2 + bx + c = ( a, b, c phô thuéc tham sè m) cã nghiệm trái dấu.
Điều kiện có hai nghiệm trái dấu: P < a c trái dÊu
Bài tốn 13 : Tìm điều kiện tham số m để phơng trình bậc
hai ax2 + bx + c = (*) ( a, b, c phơ thc tham sè m) cã mét nghiƯm x = x 1.
Cách giải:
- Thay x = x1 vào phơng trình (*) ta có: ax12 + bx1 + c = m
- Thay giá trị m vào (*) x1, x2
- Hc tÝnh x2 = S - x1 hc x2 =
P x1
Bài toán 14 : Tìm điều kiện tham số m để phơng trình bậc
hai ax2 + bx + c = ( a, b, c phô thuéc tham sè m) cã nghiệm x
1, x2 thoả mÃn
các ®iỊu kiƯn:
a αx1+βx2=γ b x1
+x2
=k
c x1
1 +
x2=n d x1
2 +x2
2
≥h e x1
3 +x2
3 =t
Điều kiện chung: ' (*) Theo định lí Viet ta có:
¿
x1+x2=−b
a =S(1) x1.x2=c
a=P(2)
¿{
a Trờng hợp: x1+x2=
Giải hÖ
¿
x1+x2=−b
a αx1+βx2=γ
¿{
¿
Thay x1, x2 vµo (2) m
Chọn giá trị m thoả mÃn (*) b Trêng hỵp: x1+x2¿
2
−2x1x2=k
x1
+x2
=k ↔¿ Thay x1 + x2 = S = − b
a vµ x1.x2 = P = c
a vµo ta cã:
S2 - 2P = k Tìm đợc giá trị m thoả mãn (*)
c Trêng hỵp: x1
1 +
x2=n ↔ x1+x2=nx1.x2↔− b=nc
(8)Giải phơng trình - b = nc tìm đợc m thoả mãn (*) d Trờng hợp: x12+x22≥h S22P h 0
Giải bất phơng trình S2 - 2P - h chän m tho¶ m·n (*)
e Trêng hỵp: x13+x23=t ↔ S3−3 PS=t
Giải phơng trình S3
3 PS=t chọn m thoả mÃn (*)
Bài toán 15 : Tìm hai số u vµ v biÕt tỉng u + v = S vµ tÝch u.v = P
cđa chóng.
Ta có u v nghiệm phơng tr×nh: x2 - Sx + P = (*)
(§iỊu kiƯn S2 - 4P 0)
Giải phơng trình (*) ta tìm đợc hai số u v cn tỡm Ni dung 6:
giải phơng trình
bằng phơng pháp đặt ẩn số phụ
Bài toán1: Giải phơng trình trùng phơng ax4 + bx2 + c = 0
Đặt t = x2 (t0) ta có phơng trình at2 + bt + c = 0
Giải phơng trình bậc hai ẩn t sau thay vào tìm ẩn x Bảng tóm tắt
at2 + bt + c = 0 ax4 + bx2 + c = 0
v« nghiƯm v« nghiƯm
2 nghiệm âm vô nghiệm
nghiệm kép âm v« nghiƯm
1 nghiệm dơng nghiệm đối nghiệm dơng 2 cặp nghiệm đối nhau4 nghiệm
Bài toán 2: Giải phơng trình A(x2+
x2)+B(x+
1
x)+C=0
Đặt x+1
x = t x2 - tx + =
Suy t2 = ( x+1
x )2 = x
2 +
x2+2 x
2 +
x2=t
2−2
Thay vào phơng trình ta có:
A(t2 - 2) + Bt + C = 0
At2 + Bt + C - 2A = 0
Giải phơng trình ẩn t sau vào x+1
x = t giải tìm x
Bài toán 3: Giải phơng trình A(x2+
x2)+B(x
1
x)+C=0
Đặt x 1x = t x2 - tx - = 0
Suy t2 = ( x −1
x )2 = x
2 +
x2−2 x
+
x2=t
+2
Thay vào phơng trình ta có:
A(t2 + 2) + Bt + C = 0
At2 + Bt + C + 2A = 0
Giải phơng trình ẩn t sau vào x 1
(9)Bài toán 4: Giải phơng tr×nh bËc cao
Dùng phép biến đổi đa phơng trình bậc cao dạng: + Phơng trình tớch
+ Phơng trình bậc hai
Nội dung 7: giải hệ phơng trình
Bài toán: Giải hệ phơng trình
ax+by=c
a ' x+b ' y=c '
¿{
¿
Các phơng pháp giải:
+ Phng phỏp thị + Phơng pháp cộng + Phơng pháp
+ Phơng pháp đặt ẩn phụ
Néi dung 7:
giải phơng trình vô tỉ
Bài toán 1: Giải phơng trình dạng f(x)=g(x) (1)
Ta cã
√f(x)=g(x)↔
g(x)≥0(2)
f(x)=[g(x)]2(3)
¿{
Giải (3) đối chiếu điều kiện (2) chọn nghim thớch hp nghim ca (1)
Bài toán 2: Giải phơng trình dạng f(x)+h(x)=g(x)
Điều kiện có nghĩa phơng trình
f(x)0
h(x)≥0
g(x)≥0
¿{ {
¿
Với điều kiện thoả mãn ta bình phơng hai vế để giải tìm x Nội dung 8:
giải phơng trình chứa giá trị tuyệt đối
Bài toán: Giải phơng trình dạng |f(x)|=g(x)
Phơng ph¸p 1: |f(x)|=g(x)
¿
g(x)0
[f(x)]2=[g(x)]2
{
Phơng pháp 2: XÐt f(x) f(x) = g(x)
XÐt f(x) < - f(x) = g(x) Phơng pháp 3: Với g(x) ta có f(x) = g(x)
(10)giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức
Bài toán: Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y = f(x)
Phơng pháp 1: Dựa vào luỹ thừa bậc chẵn - Biến đổi hàm số y = f(x) cho:
y = M - [g(x)]2n ,n Z y M
Do ymax = M g(x) =
- Biến đổi hàm số y = f(x) cho:
y = m + [h(x)]2k kZ y m
Do ymin = m h(x) =
Phơng pháp 2: Dựa vào tập giá trị hàm Phơng pháp 3: Dựa vào đẳng thức
Néi dung 10:
các toán liên quan đến hàm số * Điểm thuộc đờng - đờng qua điểm
Bài toán: Cho (C) đồ thị hàm số y = f(x) một
®iĨm A(xA;yA) Hái (C) có qua A không?
th (C) qua A(xA;yA) toạ độ ca A nghim ỳng
ph-ơng trình (C)
A(C) yA = f(xA)
Dó tính f(xA)
Nếu f(xA) = yA (C) qua A
Nếu f(xA) yA (C) không qua A
* tơng giao hai đồ thị
Bài toán : Cho (C) (L) theo thứ tự độ thị hàm số
y = f(x) vµ y = g(x)
Hãy khảo sát tơng giao hai đồ thị
Toạ độ điểm chung (C) (L) nghiệm phơng trình hoành độ điểm chung:
f(x) = g(x) (*)
- Nếu (*) vơ nghiệm (C) (L) khơng có điểm chung - Nếu (*) có nghiệm kép (C) (L) tiếp xúc - Nếu (*) có nghiệm (C) (L) có điểm chung - Nếu (*) có nghiệm (C) (L) có điểm chung * lập phơng trình đờng thẳng
Bài tốn 1: Lập phơng trình đờng thẳng (D) qua điểm
A(xA;yA) vµ cã hƯ sè gãc b»ng k.
Phơng trình tổng quát đờng thẳng (D) : y = ax + b (*) - Xác định a: ta có a = k
- Xác định b: (D) qua A(xA;yA) nên ta có yA = kxA + b b = yA - kxA
- Thay a = k; b = yA - kxA vào (*) ta có phơng tr×nh cđa (D)
Bài tốn 2: Lập phơng trình đờng thẳng (D) qua điểm
A(xA;yA); B(xB;yB)
Phơng trình tổng quát đờng thẳng (D) : y = ax + b (D) qua A B nên ta có:
¿
yA= axA+ b
yB= axB+ b
¿{
¿
Giải hệ ta tìm đợc a b suy phơng trình (D)
Bài tốn 3: Lập phơng trình đờng thẳng (D) có hệ số góc k và
tiếp xúc với đờng cong (C): y = f(x)
Phơng trình tổng quát đờng thẳng (D) : y = kx + b Phơng trình hồnh độ điểm chung (D) (P) là:
(11)Vì (D) tiếp xúc với (P) nên (*) có nghiệm kép Từ điều kiện ta tìm đợc b suy phơng trình (D)
Bài tốn 3: Lập phơng trình đờng thẳng (D) qua điểm
A(xA;yA) k tiếp xúc với đờng cong (C): y = f(x)
Phơng trình tổng quát đờng thẳng (D) : y = kx + b Phơng trình hồnh độ điểm chung (D) (P) là:
f(x) = kx + b (*)
Vì (D) tiếp xúc với (P) nên (*) cã nghiÖm kÐp
Từ điều kiện ta tìm đợc hệ thức liên hệ a b (**) Mặt khác: (D) qua A(xA;yA) ta có yA = axA + b (***)
Từ (**) (***) a b Phơng trình đờng thẳng (D)
A KiÕn thøc cÇn nhí.
1 HƯ thức lợng tam giác vuông. b2 = ab' c2 = ac'
h2 = b'c'
ah = bc a2 = b2 + c2
h2=
b2+
c2
2 TØ sè lỵng gi¸c cđa gãc nhän
0 < sin < < coss < tgα=sinα
cosα cotgα=
cosα
sinα sin2 + cos2 =
a b' c'
b c
h
H B
C A
(12)tg.cotg = 1+tg2α=
cos2α 1+cotg
α= sin2α
3 HÖ thức cạnh góc tam giác vuông.
b = asinB = acosC b = ctgB = ccotgC c = a sinC = acosB c = btgC = bcotg B 4 Đờng tròn.
- Cỏch xỏc nh: Qua ba điểm không thẳng hàng ta
vẽ đợc đờng tròn
- Tâm đối xứng, trục đối xứng: Đờng trịn có tâm đối xứng; có vơ số
trục đối xứng
- Quan hệ vng góc đờng kính dây.
Trong mt ng trũn
+ Đờng kính vuông góc với dây qua trung điểm dây + Đờng kính qua trung điểm dây không qua tâm vuông góc với dây Êy
- Liên hệ dây khoảng cách từ tâm đến dây:
Trong đờng tròn:
+ Hai dây cách tâm + Hai dây cách tâm + Dây lớn dây gần tâm + Dây gần tâm dây lớn
- Liên hệ cung dây:
Trong đờng tròn hay hai đờng tròn nhau: + Hai cung căng hai dây
+ Hai dây căng hai cung + Cung lớn căng dây lớn
+ Dây lớn căng cung lớn
- Vị trí tơng đối đờng thẳng đờng trịn:
Vị trí tơng đối Số điểm chung Hệ thức liên hệgiữa d R - Đờng thẳng đờng tròn cắt
2 d < R
- Đờng thẳng đờng tròn tiếp xúc
b a c
C B
(13)1 d = R
- Đờng thẳng đờng tròn không giao
0 d > R
- Vị trí tơng đối đờng thẳng đờng trịn:
Vị trí tơng đối Số điểmchung Hệ thức liên hệ dvà R - Hai đờng tròn cắt
2 R - r < OO' < R + r - Hai đờng tròn tiếp xúc
+ TiÕp xóc ngoµi + TiÕp xóc
1 OO' = R + r OO' = R - r - Hai đờng trịn khơng giao
+ (O) vµ (O') ë ngoµi
+ (O) đựng (O')
+ (O) (O') đồng tâm
0
OO' > R + r
OO' < R - r OO' =
5 Tiếp tuyến đờng tròn
- TÝnh chÊt tiếp tuyến: Tiếp tuyến vuông góc với bán kính ®i qua
tiÕp ®iĨm
- DÊu hiƯu nhËn biÕt tiÕp tuyÕn:
+ Đờng thẳng đờng tròn có điểm chung
+ Khoảng cách từ tâm đờng trịn đến đờng thẳng bán kính
+ Đờng thẳng qua điểm đờng trịn vng góc với bán kính qua điểm
- TÝnh chÊt cđa tiÕp tun c¾t nhau
MA, MB lµ hai tiÕp tuyÕn cắt thì: + MA = MB
+ MO phân giác góc AMB
+ OM phân giác góc AOB B
O A
(14)- Tiếp tuyến chung hai đờng tròn: đờng thẳng tiếp xúc với hai đờng trịn đó:
TiÕp tun chung ngoµi TiÕp tun chung
6 Góc với đờng trịn
Lo¹i gãc Hình vẽ Công thức tính số đo
1 Góc ë t©m AOB sd AB
2 Gãc néi tiÕp
2
AMB sd AB
3 Gãc t¹o bëi tia tiếp tuyến dây cung
2
xBA sd AB
4 Góc có đỉnh bên đ-ờng trịn
1( )
2
AMB sd AB sdCD
5 Góc có đỉnh bên ngồi
đ-ờng tròn
1
( )
2
AMB sd AB sdCD
Chú ý: Trong đờng tròn
- Các góc nội tiếp chắn cung - Các góc nội tiếp chắn cung - Các góc nội tiếp chắn cung b»ng th× b»ng
- Gãc néi tiếp nhỏ 900 có số đo nửa số đo góc ở
tâm chắn mét cung d' d
O' O
d' d
O' O
B A
O
M
B A
O
x
B A
O
M
D C
B A
O
O
B A
D C
(15)- Góc nội tiếp chắn nửa đờng trịn góc vng ngợc lại góc vng nội tiếp chắn nửa đờng trịn
- Gãc tạo tia tiếp tuyến dây cung góc nội tiếp chắn cung
7 Độ dài đờng tròn - Độ dài cung tròn.
- Độ dài đờng trịn bán kính R: C = 2R = d - Độ dài cung tròn n0 bán kính R : 180
Rn l
8 Diện tích hình tròn - Diện tích hình quạt tròn - Diện tích hình tròn: S = R2
- Diện tích hình quạt tròn bán kính R, cong n0:
2
360
R n lR
S
9 Các loại đờng trũn ng trũn ngoi tip
tam giác
Đờng tròn nội tiếp tam giác
Đờng tròn bàng tiếp tam gi¸c
Tâm đờng trịn giao ba đờng trung trực
của tam giác ba đờng phân giác củaTâm đờng tròn giao
tam giác Tâm đờng trịn bàngtiếp góc A giao điểm hai đờng phân giác góc B C giao điểm đờng phân giác góc A đờng phân giác ngồi
tại B (hoặc C) 10 Các loại hình không gian.
a H×nh trơ.
- DiƯn tÝch xung quanh: Sxq = 2rh
- Diện tích toàn phần: Stp = 2rh + r2
- ThĨ tÝch h×nh trơ: V = Sh = r2h
b H×nh nãn:
- DiÖn tÝch xung quanh: Sxq = 2rl
- Diện tích toàn phần: Stp = 2rl + r2
- ThĨ tÝch h×nh trơ: V =
2
1 r h
c H×nh nãn cơt:
- DiƯn tÝch xung quanh: Sxq = (r1 + r2)l
- ThÓ tÝch: V =
2 2
1
( )
3h r r r r
d Hình cầu.
- Diện tích mặt cầu: S = 4R2 = d
O
C B
A
O
C B
A
F E
J B
C A
r: bán kính Trong
h: chiỊu cao
r: bán kính Trong l: đờng sinh
h: chiỊu cao
r1: b¸n kÝnh d¸y lín
r2: bán kính đáy nhỏ
Trong l: đờng sinh h: chiều cao
R: bán kính Trong
(16)- Thể tích hình cầu: V =
3
4 3R 11 Tø gi¸c néi tiÕp:
Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp: - Tứ giác có tổng hai góc đối 1800
- Tứ giác có góc ngồi đỉnh góc đỉnh đối diện - Tứ giác có đỉnh cách điểm
- Tứ giác có hai đỉnh kề nhìn cạnh chứa hai đỉnh cịn lại dới góc
B dạng tập.
Dạng 1: Chứng minh hai gãc b»ng nhau. C¸ch chøng minh:
- Chøng minh hai gãc cïng b»ng gãc thø ba
- Chøng minh hai gãc b»ng víi hai gãc b»ng kh¸c
- Hai góc tổng hiệu hai góc theo thứ tự đơi - Hai góc phụ (hoặc bù) với góc thứ ba
- Hai góc nhọn tù có cạnh đơi song song vng góc
- Hai góc ó le trong, so le ngồi đồng vị - Hai góc vị trí đối đỉnh
- Hai góc mộ tam giác cân
- Hai góc tơng ứng hai tam giác đồng dạng
- Hai gãc néi tiÕp cïng ch¾n mét cung chắn hai cung Dạng 2: Chứng minh hai đoạn thẳng nhau
Cách chứng minh:
- Chứng minh hai đoạn thẳng đoạn thứ ba - Hai cạnh mmột tam giác cân tam giác - Hai cạnh tơng ứng hai tam giác
- Hai cạnh đối hình bình hành (chữ nhật, hình thoi, hình vng) - Hai cạnh bên hình thang cân
- Hai dây trơng hai cung đờng tròn hai đờng
Dạng 2: Chứng minh hai đờng thẳng song song Cách chứng minh:
- Chứng minh hai đờng thẳng song song với đờng thẳng thứ ba - Chứng minh hai đờng thẳng vng góc với đờng thẳng thứ ba - Chứng minh chúng tạo với cát tuyến hai góc nhau:
+ vị trí so le + vị trí so le ngồi + vị trí đồng vị
- Là hai dây chắn chúng hai cung đờng tròn - Chúng hai cạnh đối hình bình hành
Dạng 3: Chứng minh hai đờng thẳng vng góc Cách chứng minh:
- Chúng song song song song với hai đờng thẳng vng góc khác - Chứng minh chúng chân đờng cao tam giác
(17)- Chúng phân giác hai góc kề bù Dạng 4: Chứng minh ba đờng thẳng đồng quy. Cách chứng minh:
- Chứng minh chúng ba đờng cao, ba trung tuyến, ba trung trực, ba phân giác (hoặc phân giác phân giác ngồi hai góc kia)
- Vận dụng định lí đảo định lí Talet
D¹ng 5: Chøng minh hai tam gi¸c b»ng nhau C¸ch chøng minh:
* Hai tam gi¸c thêng:
- Trờng hợp góc - cạnh - góc (g-c-g) - Trờng hợp cạnh - góc - cạnh (c-g-c) - Trờng hợp cạnh - cạnh - cạnh (c-c-c) * Hai tam giác vuông:
- Có cạnh huyền góc nhọn b»ng
- Có cạnh huyền cạnh góc vng - Cạnh góc vng đôi
Dạng 6: Chứng minh hai tam giác đồng dạng Cách chứng minh:
* Hai tam gi¸c thêng:
- Có hai góc đơi
- Cã mét gãc xen hai cạnh tơng ứng tỷ lệ - Có ba cạnh tơng ứng tỷ lệ
* Hai tam giác vuông:
- Có góc nhọn b»ng
- Có hai cạnh góc vng tơng ứng tỷ lệ Dạng 7: Chứng minh đẳng thức hình học Cách chứng minh:
Giả sử phải chứng minh đẳng thức: MA.MB = MC.MD (*) - Chứng minh: MAC MDB MAD MCB
- Nếu điểm M, A, B, C, D cúng nằm đờng thẳng phải chứng minh tích tích thứ ba:
MA.MB = ME.MF MC.MD = ME.MF Tøc lµ ta chøng minh: MAE MFB
MCE MFD MA.MB = MC.MD
* Trờng hợp đặc biệt: MT2 = MA.MB ta chứng minh MTA MBT
D¹ng 8: Chøng minh tø gi¸c néi tiÕp C¸ch chøng minh:
Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp: - Tứ giác có tổng hai góc đối 1800
- Tứ giác có góc ngồi đỉnh góc đỉnh đối diện - Tứ giác có đỉnh cách điểm
- Tứ giác có hai đỉnh kề nhìn cạnh chứa hai đỉnh cịn lại dới góc
(18)- Chøng minh OT MT t¹i T (O;R)
- Chứng minh khoảng cách từ tâm O đến đờng thẳng MT bán kính - Dùng góc nội tiếp
Dạng 10: Các tốn tính tốn độ dài cạnh, độ lớn góc Cách tính:
- Dựa vào hệ thức lợng tam giác vuông - Dựa vào tỷ số lợng giác
- Dựa vào hệ thức cạnh góc tam giác vng - Dựa vào cơng thức tính độ dài, din tớch, th tớch
đây số kiến thức chơng trình toán 9
để ôn tập tốt em cần