chuyen de vecto trong mat phang hay

+ Dùng các qui tắc, công thức trong hình học phẳng để tính độ dài của chúng... 2/ Cho hình bình hành ABCD.[r]

1

Các dạng toán vectơ hình học phẳng A/ Kiến thức cần nhớ - Một số qui tắc

1/ I trung điểm AB IA IB   0

2/ I trung điểm AB, với điểm M MA MB  2MI 3/ G trọng tâm tam giác ABC GA GB GC     0

4/ G trọng tâm tam giác ABC, với điểm M MA MB    MCMG 5/ Qui tắc điểm ( Qui tắc tam giác)   ABBC AC hay   ABMBMA

6/ Qui tắc hình bình hành : ABCD hình bình hành   ABADAC hay  ADBC hay AB DC

7/ Hai vectơ a b ; không phương vectơ c 0  ! , (k l k2l2 0) cho ck a lb  Giải hệ phương trình tìm số k, l

8/ Hai vectơ a b ; phương  !k 0 cho a kb ( k>0: hai vectơ hướng; k<0: hai vectơ ngược hướng)

9/ Chứng minh hệ thức vectơ cho trước dùng phương pháp chèn nhiều điểm vào đẳng thức vectơ dùng qui tắc để biến đổi thành đẳng thức

VD: Cho hai tam giác ABC A’B’C’ có trọng tâm G G’ Chứng minh:

' ' ' '

AA BB CC  GG    

Giải: Chèn G G’ vào vế trái Ta có: VT = (ĐPCM)

(Do   AGBG CG  (GA GB GC    )0 G trọng tâm tam giác ABC; Do G A   ' 'G B' 'G C' '0 G’ trọng tâm tam giác A’B’C’)

10/ Tìm vectơ độ dài chúng:

+ Dựa vào qui tắc để biểu diễn vectơ cần tìm theo vectơ biết + Dùng qui tắc, cơng thức hình học phẳng để tính độ dài chúng 11/ Dùng định nghĩa

; cung huong a b

a b

a b 



  

 

    

  12/ Nếu a b b c a c

B/ Cho u



u u1; 2



,v



v v1; 2



Khi đó:



1; 2



u  v u v u v



1; 2



u v   u v u v



1; 2



; ku  ku ku k

1

2

u v

u v

u v

    

   

C/ Cho đểm A x



A;yA



;B x



B;yB



;C x



C;yC



;D x



D;yD



1/ Tọa độ vectơ AB



xB xA;yByA



2/ Tọa độ I trung điểm AB: ; ( ; )

A B

I

I I

A B

I

x x x

I x y y y

y

 

   



 

2

3/ Tọa độ G trọng tâm tam giác ABC: ; ( ; )

A B C

G

G G

A B C

G

x x x x

G x y y y y

y             

4/ Chứng minh A, B, C không thẳng hàng A, B, C lập thành tam giác   AB AC; không phương:

; B A B A

C A C A

x x y y AB k AC k

x x y y

 

   

 

 

5/ Chứng minh A, B, C thẳng hàng đường thẳng qua A, B qua C   AB AC; phương:

: B A B A

C A C A

x x y y k AB k AC

x x y y

 

     

 

 

 hay tìm B để A, B, C thẳng hàng

6/ Tọa độ điểm M OxM a( ; 0) Tọa độ điểm M OyM(0; )b Tọa độ điểm M tổng quát M x( M;yM)

7/ a/ Đường thẳng qua A, B cắt Ox M, tìm tọa độ M : Do MOxM a( ; 0)

Mà M thuộc đường thẳng qua A; B A, M, B thẳng hàng  M A M A A A

B A B A B A B A

x x y y a x y

x x y y x x y y

   

  

   

Tìm a M a( ;0)

b/ Đường thẳng qua A, B cắt Oy N, tìm tọa độ N : Do MOyM(0; )b Mà N thuộc đường thẳng qua A; B A, N, B thẳng hàng  N A N A A A

B A B A B A B A

x x y y x b y

x x y y x x y y

   

  

   

Tìm b M(0; )b

c/ Đường thẳng qua A, B cắt đường thẳng qua C, D M, tìm tọa độ M: Gọi M x( M;yM)

+ A, M, B thẳng hàng  M A M A ( )













 

1

B A M B A M B A A B A A

B A B A

x x y y

y y x x x y y y x x x y x x y y

 

        

 

+ C, M, D thẳng hàng  M C M C ( )













 

2

D C M D C M D C C D C C

D C D C

x x y y

y y x x x y y y x x x y

x x y y

 

        

 

Giải hệ phương trình (1) (2) Tìm tọa độ M x( M;yM)

8/ Tìm tọa độ D cho ABCD hình bình hành D A C B ( D, D)

D A C B

x x x x

AD BC D x y

y y y y

             

9/ Tìm tọa độ điểm M thỏa mãn hệ thức vectơ MAMBMC 0

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

A M B M C M

A M B M C M

x x x x x x

y y y y y y

                     

A B C

M

A B C

M

x x x

x

y y y

y                              

( M; M) M x y 

10/ Chứng minh hai đường thẳng qua A, B đường thẳng qua C, D song song hay ABCD hình thang, ta chứng

minh  AB CD; phương  AB AC; không phương hay

D C D C

B A B A

C A C A

B A B A

x x y y x x y y x x y y x x y y

                

3 BÀI TẬP

1/ Cho hình bình hành ABCD ABEF, dựng vectơ EH FG ; vectơ AD CMR: CDGH hình bình hành

2/ Cho hình bình hành ABCD Gọi P, Q, R, S trung điểm cạnh AB, BC, CD, DA a/ Chứng minh: PQRS hình bình hành

b/ Cho AB = BC Chứng minh: PQRS hình chữ nhật

3/ Cho tam giác ABC, M N trung điểm AB, AC Vẽ MEBC NF; BC Chứng minh: ME NF

4/ Cho tứ giác ABCD khơng phải hình bình hành, AC cắt BD O, OB = OD Gọi M N trung điểm AB CD; cắt AC I Chứng minh: MI IN

5/ Cho hình thang ABCD có đáy AB CD với AB = 2CD Từ C vẽ CI DA Chứng minh: a/ I trung điểm AB

b/ BC ID

6/ Cho tam giác ABC Gọi H trực tâm I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC A’ điểm đối xứng A qua I Chứng minh:

a/ BH A C' b/ BA 'HC

7/ Cho tam giác ABC cân A, AB lấy điểm D không trùng với A, B Trên tia đối tia CA lấy điểm E cho BD = CE, DE cắt BC F Chứng minh:  DFFE

8/ Cho hai tam giác ABC AEF có chung trung tuyến AM Chứng minh: CE FB

NC

9/ Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O Gọi H trực tâm tam giác ABC B’ điểm đối xứng với B qua tâm O Chứng minh:    AH B C AB' '; 'HC

10/ Chứng minh với hai vectơ a b , không phương Ta có a b  a b   a  b (HD: áp dụng bất đẳng thức tam giác)

11/ Cho tam giác ABC Gọi M trung điểm BC G trọng tâm tam giác Kéo dài GM đoạn MD = GM Chứng minh: BD   GC BG; DC

12/ Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O Gọi H trực tâm tam giác AH cắt BC I cắt đường tròn M khác A

a/ Chứng minh: HI IM

4 13/ Cho ABC Tìm M cho

a/ MA2MB3MC 0 b/ MA2MB3MC 0

14/ Cho tứ giác ABCD Tìm M cho a/ MA2MB MC2MD 0 b/ MA2MB5MC2MD 0 15/ Cho vectơ a b , không phương

a/ Chứng minh

1/ u2a b  ; v3a4b 2/ ua b  ; v  a b 3/ u2a b  ; v  a 2b b/ Tìm x để hai vectơ u v , :

1/ u(x2)a b  ; v(2x1)a b  phương 2/ ua(2x1)b ; vxa b  hướng 3/ u3axb ; (1 )

3

v x a b

  

ngược hướng

Hệ trục tọa độ

1 Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A(1;-2); B(3;2); C(0;4) Tìm tọa độ M trường hợp sau:

a/ CM2AB3AC b/ AM 2BM4CM

c/ ABCM hình bình hành

2 Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A(1;4); B(3;1); C(-1;2).Tìm tọa độ M trường hợp sau:

a/ AM 2BM5CM b/ 2MA3MB 0

c/ ABMC hình bình hành

3 Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác A(1;1); B(2;4); C(3;2)

a/ Tìm tọa độ trọng tâm G tam giác ABC

b/ Tìm tọa độ trung điểm M, N, P trung điểm cạnh BC, AB, AC Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác A(6;-3); B(1;0); C(3;2)

a/ Tìm tọa độ trọng tâm G tam giác ABC

b/ Tìm tọa độ trung điểm M, N, P trung điểm cạnh BC, AB, AC c/ Tìm D để ABCD hình bình hành Tìm tọa độ tâm I hình bình hành

5 Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A(-2;1); B(0;2); C(4;4)

a/ Chứng minh điểm A, B, C thẳng hàng

5

6 Trong mặt phẳng Oxy cho A(3;4); B(2;5)

a/ Tìm a để C(a;1) thuộc đường thẳng AB b/ Tìm M để C trung điểm AM

7 Trong mặt phẳng Oxy cho A(1;3); B(0;1); C(0;3); D(2;7) Chứng minh AB // CD

8 Trong mặt phẳng Oxy cho A(-1;1); B(1;3); C(-2;0)

a/ Chứng minh C nằm đường thẳng qua A, B b/ Tìm giao điểm đường thẳng AB trục Oy c/ Chứng minh: A, B, O không thẳng hàng

9 Trong mặt phẳng Oxy cho A(1;-1); B(3;1); C(y;2)

a/ Tìm y để A, B, C thẳng hàng b/ Tìm giao điểm AB Ox c/ Tìm giao điểm AB Oy

10 Trong mặt phẳng Oxy cho B(4;5); C(-2;1)

a/ Tìm tọa độ trung điểm I đoạn BC b/ Chứng minh: O, B, C khơng thẳng hàng c/ Tìm M để OBMC hình bình hành

11 Cho A(-1;5) , B(3;-3)

a/ Tìm tọa độ trung điểm M AB

b/ Tìm tọa độ N cho A trung điểm NB c/ Tìm tọa độ P cho B trung điểm AP

d/ Đường thẳng qua A, B cắt Ox K Tìm tọa độ K e/ Đường thẳng qua A, B cắt Oy L Tìm tọa độ L f/ Tìm tọa độ điểm C cho OC AB

g/ Tìm tọa độ D cho DA3 DBAB 12 Cho A(1,2); B(2; 4); C(3,-3)

a/ Chứng minh A, B, C lập thành tam giác b/ Xác định trọng tâm G tam giác ABC

c/ Tìm tọa độ E cho O trọng tâm tam giác ABE d/ Tìm tọa độ D để ABCD hình bình hành

e/ Tìm tọa độ F cho OABF hình bình hành

f/ Cho H(a, 1) Xác định tọa độ H để B, C, H thẳng hàng g/ Xác định KOx để ABKC hình thang

h/ Tìm tọa độ giao điểm đường thẳng qua A,B đường thẳng qua O,C

13.Cho điểm A’(-2;1); B’(4;2); C’(-1;-2) trung điểm cạnh BC, CA, AB tam giác ABC Tìm tọa độ định tam giác ABC Chứng minh trọng tâm tam giác ABC A’B’C’ trùng

14 Cho a (3;1) ; b(1; 1) . Hãy biểu diễn vectơ c(6; 2) theo hai vectơ a b ;