BÀI 2 HE DOI XUNG LOAI II

CHỦ ĐỀ: HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ LỚP 10 Vấn đề : HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI II Định nghĩa  F ( x; y ) =   F ( y; x ) = Hệ đối xứng loại II hệ có dạng: Trong F ( x; y ) biểu thức khơng đối xứng Hay nói cách khác hệ đối xứng loại II hệ mà ta đổi vai trò trình hệ chuyển thành phương trình x, y cho phương Phương pháp giải Trừ vế theo vế hai phương trình hệ ta nhân tử chung ( x − y) : x = y F ( x; y ) − F ( y; x ) = ⇔ ( x − y ) f ( x; y ) = ⇔   f ( x; y ) = Áp dụng Câu Giải hệ phương trình:   x − 3x = y    y − 3y = 2x Lời giải Trừ vế với vế hai phương trình, ta được: x = y ⇔ x − y − 3x + y = y − x ⇔ ( x − y ) ( x + y − 1) =  x + y −1 = 2 Do hệ cho tương đương với:  x − 3x = y  x − y = Trường hợp 1: Trường hợp 2:  x − 3x = y  x + y −1 =   x − 3x = y x = y =  x ( x − 5) = ⇔ ⇔   x = y = x − y = x = y   x − 3x = y  x2 − x − =  x = −1  x − 3x = ( − x ) ⇔ ⇔ ⇔     y = x + y −1 =  y = 1− x  y = 1− x Vậy hệ có bốn nghiệm ( 0;0 ) ( 5;5) ( −1; ) ( 2; −1) , Nhận xét: Nếu hệ có nghiệm , ( x0 ; y0 ) , có nghiệm ( y0 ; x0 ) x =   y = −1 Câu Giải hệ phương trình sau:   y x − 3y = 4 x ÷      y − 3x =  x   ÷   y Lời giải Điều kiện: x, y ≠ Hệ tương đương:  x − xy = y  x − xy = y  x − 3xy = y ⇔ ⇔  2 ( x − y ) ( x + y + ) =  x − y + ( x − y ) =  y − 3xy = x Xét Xét x= y x2 + 2x = ⇔ x = x + y + = ⇒ y = −4 − x x = −2 Chọn x = y = −2 x + 3x ( + x ) = −4 ( + x ) ⇔ x + 16 x + 16 = ⇔ ( x + ) = ⇔ x = −2 ⇒ y = −2 Vậy hệ có nghiệm ( −2; −2 ) Câu Giải hệ phương trình sau:   x = 3x + y    y = y + 8x Lời giải  x = 3x + y  x = 3x + y  x = 3x + y ⇔ ⇔  3 2  y = y + x ( x − y ) + ( x − y ) = ( x − y ) ( x − xy + y + ) =  x3 = 3x + y x = y x = y  x = y       ⇔ ⇔ ⇔ ⇔  x = y  3y 2  x − 11x = ( x − y )  x − ÷ + + 5 =   x = ± 11  x ( x − 11) =         Do hệ có bốn nghiệm Câu Giải hệ phương trình sau: ( 0;0 ) , (− 11; − 11  x + x = y   y + y = x ) ( 11; 11 , ) Lời giải Điều kiện: x, y ≥ Trừ hai phương trình hệ cho ta thu được: ( ) x2 + x − y + y = ( y − x ) ⇔ Vì ( x+ y ) ( x + y) +1+ 2( ( )( x− y   ) x+ y ) ( x + y ) + 1+ ( ) x+ y =0  x+ y >0 nên phương trình cho tương đương với: x2 − x + x = ⇔ x2 + x = 2x ⇔ x Hay ( )( ) x −1 x + x −1 =   x =0 x =   ⇔  x =1 ⇔ x =    x + x − = x = −   3− 3−  ; ÷ ÷   ( x; y ) = ( 0;0 ) , ( 1;1) ,  Vậy hệ có cặp nghiệm: Câu Giải hệ phương trình sau: ( x − 1) ( y + ) = y ( x + 1)   2 ( y − 1) ( x + ) = x ( y + 1) Lời giải Hệ cho 2   xy + x − y − = yx + y ⇔ 2   yx + y − x − = xy + x Trừ vế theo vế hai phương trình hệ ta được: xy ( y − x ) + ( x − y ) + ( x − y ) ( x + y ) = ⇔ ( x − y ) ( x + y − xy + ) = x = y ⇔  x + y − xy + = + Nếu + Nếu x= y thay vào hệ ta có: x = y = x2 − 5x + = ⇔  x = y = x + y − xy + = ⇔ ( − x ) ( − y ) = 15 Mặt khác cộng hai phương trình hệ cho ta được: x + y − x − x + 12 = ⇔ ( x − ) + ( y − 5) = 2 Đặt a = x − 5, b = y − x= y  a + b =  a + b = ( a + b ) − 2ab = ab = −1 ⇔ ⇔   ab + ( a + b ) = −1  a + b = −8 ( a + ) ( b + ) = 15   ab = 31 Ta có: 2 Trường hợp 1: Trường hợp 2: a + b = ⇔ ( x; y ) = ( 3; ) , ( 2;3)  ab = −1  a + b = −8   ab = 31 vô nghiệm Vậy nghiệm hệ cho là: Câu Giải hệ phương trình sau: ( x; y ) = ( 2; ) , ( 3;3) , ( 2;3) , ( 3; )  x + x − + x + = y   y + y − + y + = x Lời giải Điều kiện: 1 x≥− ;y≥− 2 x= y=− Để ý Ta xét trường hợp nghiệm x + y ≠ −1 Trừ hai phương trình hệ cho ta thu được: ( ) x3 + x − + x + − y + y − + y + = y − x ⇔ ( x − y )  x + xy + y  + 4( x − y ) + 2( x − y) 2x +1 + y + =0   ⇔ ( x − y )  x + xy + y + + =0⇔ x= y x + + y +   Khi x= y xét phương trình: ⇔ x( x + 1) + x3 + x − + x + = ⇔ x3 + x + x + − = 2x   = ⇔ x  x2 + 1+ =0⇔ x=0 2x +1 +1 x + + 1  Tóm lại hệ phương trình có nghiệm nhất: x= y=0 Câu Giải hệ phương trình  y2 + y =  x2   3 x = x +  y2  Lời giải ĐK: Hệ xy ≠ 3x y = y +  ⇔ 2  3 y x = x + (1) (2) Trừ hai phương trình hệ cho ta được: x − y = x y − xy = y − x ⇔ xy ( x − y ) + ( x − y )( x + y ) = ⇔  3xy + x + y = TH1: TH2: x− y =0⇔ y = x 3xy + x + y = 3y = Từ Suy ra: vào (1) ta y2 + ⇒ y>0 x2 3xy + x + y > 3x = ; x2 + ⇒x>0 y2 Giải hệ phương trình: Do TH2 khơng xảy Vậy hệ phương trình có nghiệm Câu 3x3 − x − = ⇔ x = ( 1;1)  x + + − y = (1)   y + + − x = (2) Lời giải  −3  ≤ x ≤   −3 ≤ y ≤  ● Điều kiện: ( 1) − ( ) Lấy , hệ phương trình cho tương đương với hệ :  x + + − y =  ( x + − y + 3) + ( − y − − x ) =  2x + + − y =  ⇔ 2( x − y ) ( x − y)  2x + + y + + − x + − y =   2x + + − y =  ⇔ ( x − y )( x + + y + + − x + − y ) =   2x + +  ⇔ x − y =  4− y =     + > 0÷ ÷ 2x + + y + 4− x + 4− y   x + + − y = ⇔  x = y x = y =  x + + (2 x + 3)(4 − y ) = 16 ⇔  11 ⇔ x= y=   x = y    11 11  S = ( 3;3) ,  ; ÷  9   ● So với điều kiện, hệ có hai nghiệm: Câu Giải hệ phương trình:  x + + x = + y ( 1)    y + + y = + x ( ) Lời giải Điều kiện ( 1) − ( ) x2 + − y + + ta được: Nhận thấy ( 3) ⇔ x ≥  y ≥ x= y=0 ( ) x − y = ( 3) không nghiệm hệ, với  x− y + 3  x+ y x2 + + y2 +  x2 − y2 x > 0, y > ta có:  =0 ÷ ÷    x+ y ÷= ⇔ ( x − y)  +  x2 + + y + ÷ x + y     ⇔ x = y  x+ y x2 + + y2 + +  > 0, ∀x, y ∈ R ÷ ÷ x+ y  Thay vào phương trình ( 1) hệ ta x2 + + x − = ⇔ x2 + − + x − =  x +1  ⇔ ( x − 1)  + =0 x + 1  x +3+2   x +1 ⇔ x =  + > 0, ∀x, y ∈ R ÷ x +1 x2 + +   Vậy hệ có nghiệm ( x; y ) = ( 1;1) Câu 10 Tìm tất giá trị tham số m để hệ phương trình sau có nghiệm nhất: 3x = y ( y − y + m ) (1)   2 3 y = x ( x − x + m ) (2) (I) Lời giải Điều kiện cần: Giả sử hệ phương trình có nghiệm ( x0 ; y0 ) hệ phương trình sau có nghiệm Thay x0 = y0 vào hệ ta được: ( y0 ; x0 ) x0 = y0 nghiệm hệ (I) Vì vậy, để  x0 = x03 − x02 + mx0 = ⇔   x0 − x0 + m = (*) Để hệ phương trình sau có nghiệm pt(*) vơ nghiệm có nghiệm kép  ∆ = 25 − 4m < 25  ⇔  ∆ = 25 − 4m = ⇔ m >  5 = Điều kiện đủ: m> Với (I) 25 , ta có 3x = y ( y − 1) + m − 1 3 x = y ( y − y + m ) (1)     ⇔ ⇔ ⇒ x, y ≥ 2 3 y = x ( x − x + m ) (2) 3 y = x ( x − 1) + m − 1    cộng vế với vế (1) (2), ta được: x ( x2 − 5x + m ) + y ( y2 − y + m ) = x0 = 2   5 25  5 25  ⇔ x   x − ÷ + m −  + y  y − ÷ + m −  = ⇔ x = y = 2  2    m> Vậy hệ phương trình cho có nghiệm Bài tập tự luyện  x − 3x = y     y − 3y = x Câu Giải hệ phương trình Câu Giải hệ phương trình Câu Giải hệ phương trình  x = y − y +1    y = x − x +1  1− y2 x =  + y2    y = 1− x  + x2 Câu Giải hệ phương trình: Câu Giải hệ phương trình sau: Câu Giải hệ phương trình : Câu Giải hệ phương trình : 1  x = y + x 1  = x + 5y  y Câu Giải hệ phương trình sau: Câu Giải hệ phương trình 2 x + y − =  2 y + x − = ìï x - x = y - ( ) ïí ïï y - y = x - ( ) ỵ y   x − y = x   y − 3x = x y   x + + y − =   y + + x − = 25 ( 1) ( x, y ≥ ) ( 2)  x + x + x + = y + 11 + y y +  2  y + y + y + = x + 11 + x x + Câu 10 Tìm tất giá trị tham số m để hệ phương trình sau có nghiệm nhất:  xy + x = m ( y − 1)   xy + y = m ( x − 1) HƯỚNG DẪN GIẢI VÀ ĐÁP SỐ ( 0;0 ) ( 4;4 ) Câu ĐS: Có bốn nghiệm Câu ĐS: Câu ĐS: ( 1;1) , , ( 1+ , 3;1 + , ) x ≠ 0; y ≠ Câu Điều kiện 1  x = y + x 5 x + xy = 5 x + xy = ⇔ ⇔ 1   5 y + xy = ( x − y)( x + y ) =  = x + 5y  y Ta có 1  x= ;y=−  5 x + xy = 4 x = 2 ⇔ ⇔  x = − ; y = ( x − y )( x + y ) =  y = −x  2 x≠ y Do Câu Điều kiện : Ta có : nên x, y ≥ 2 x + y − = ⇒ 2( x − y) +  2 y + x − = ⇒ x − y + y − − x − =  ⇒ ( x − y)  −   x= y y−x y −1 + x −1 =  ÷= y − + x −1 ÷    x ≤ x ≤ ⇔ ⇔ x −1 = ( 1− 2x ) 2  2x + x −1 = ⇒ x −1 = 1− 2x  4 x − x = ⇔ x = y −1 + x −1 = Khi ) ( 1− ( 1;0 ) ( 0;1) Khi 3;1 − 2x + y + = 2⇒ x+ y = (vô nghiệm x, y ≥ ) Vậy hệ phương trình có nghiệm ( 1) ( 0;0 ) ( 2) Câu Lấy trừ vế với vế ta được: 3x − y − (3 x − y ) = ⇔ ( x − y )( x + y ) − ( x − y ) = x − y = x = y ⇔ ( x − y )( x + y − 1) = ⇔  ⇔  x + y −1 = x = 1− y Với x=y thay vào (*) ta có: x = x = y = x − 3x = x − ⇔ x − 3x − = ⇔  ⇔ x = x = y = Với x = 1- y thay vào (*) ta có: y − y = (1 − y ) − ⇔ y − y + = (vô nghiệm) Vậy hệ phương trình cho có nghiệm (1; 1) (2; 2) Câu ĐS: (x;y) = (-2;-2) Câu ĐS: (x;y) = (7;7) Câu Điều kiện Lấy x ≥  y ≥ ( 1) − ( ) theo vế ta được: x3 − y + ( x − y ) + x − y = y + 11 − x + 11 + y y + − x x +  x + xy + y + ( x + y )  2 ⇔ ( x − y )  x + xy + y + ( x + y ) + + +2 =0 x + 11 + y + 11 x x + + y y +   ⇔x= y Thay (do y=x x, y ≥ ) vào phương trình thứ hệ ta được: x + x + x + = x + 11 + x x + ( ) ( ) ⇔ x + − x + 11 + x x + − x + = ⇔ x2 + 2x − x2 + 2x − + x2 =0 x + + x + 11 x + 3+ x +   x2 ⇔ ( x + 2x − 7)  + ÷=  x + + x + x + + x + 11   x2 + 2x − = ⇔  x2 + = ( 3)  x + + x + x + + x + 11 Với điều kiện x≥0 , phương trình ( 3) vơ nghiệm  x = −1 − 2 x2 + x − = ⇔   x = −1 + 2 Với điều kiện x≥0 , ta chọn nghiệm ( x; y ) = ( −1 + 2; −1 + 2 ) Câu 10 Điều kiện cần: Giả sử hệ phương trình có nghiệm ( x0 ; y0 ) phương trình sau có nghiệm Thay x0 = y0 vào hệ ta được: x0 = y0 x02 − mx0 + m = ( y0 ; x0 ) nghiệm hệ Vì vậy, để hệ (*) Để hệ phương trình sau có nghiệm pt(*) có nghiệm kép m = ⇔ ∆ = m − 8m = ⇔  m = Điều kiện đủ: + Với hpt m=0 , ta có  xy + x =  ⇔   xy + y = ta thấy hệ có vơ số nghiệm thỏa mãn + Với m =8 , ta có y = −x Vậy giá trị m=0 (loại)  x = y  xy + x = ( y − 1)   xy + x = ( y − 1)  2 x − x + = ⇔ ⇔  x = y ⇔  ⇔x= y=2 y = − x −   xy + y = ( x − 1)  y = − x −    72 = hpt Vậy hệ phương trình cho có nghiệm m=8 ... x + − x + 11 + x x + − x + = ⇔ x2 + 2x − x2 + 2x − + x2 =0 x + + x + 11 x + 3+ x +   x2 ⇔ ( x + 2x − 7)  + ÷=  x + + x + x + + x + 11   x2 + 2x − = ⇔  x2 + = ( 3)  x + + x + x + + x... ⇔ ⇔ ⇒ x, y ≥ 2 3 y = x ( x − x + m ) (2) 3 y = x ( x − 1) + m − 1    cộng vế với vế (1) (2) , ta được: x ( x2 − 5x + m ) + y ( y2 − y + m ) = x0 = 2   5 25  5 25  ⇔ x   x −... x2 + + y + ÷ x + y     ⇔ x = y  x+ y x2 + + y2 + +  > 0, ∀x, y ∈ R ÷ ÷ x+ y  Thay vào phương trình ( 1) hệ ta x2 + + x − = ⇔ x2 + − + x − =  x +1  ⇔ ( x − 1)  + =0 x + 1  x +3+2