Nghiệm suy rộng của phương trình Monge Amperer Elliptic

Nghiệm suy rộng của phương trình Monge Amperer Elliptic Nghiệm suy rộng của phương trình Monge Amperer Elliptic Nghiệm suy rộng của phương trình Monge Amperer Elliptic luận văn tốt nghiệp,luận văn thạc sĩ, luận văn cao học, luận văn đại học, luận án tiến sĩ, đồ án tốt nghiệp luận văn tốt nghiệp,luận văn thạc sĩ, luận văn cao học, luận văn đại học, luận án tiến sĩ, đồ án tốt nghiệp

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TẠ MINH TRUNG NGHIỆM SUY RỘNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH MONGE-AMPERE ELLIPTIC LUẬN VĂN THẠC SỸ TỐN HỌC Hà Nội - Năm 2012 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TẠ MINH TRUNG NGHIỆM SUY RỘNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH MONGE-AMPERE ELLIPTIC Chuyên ngành: TỐN GIẢI TÍCH Mã số: 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS HÀ TIẾN NGOẠN Hà Nội - Năm 2012 Mục lục Mở đầu Dạng biến phân phương trình Monge-Ampere 1.1 Phương trình Monge-Ampere elliptic dạng biến phân 1.1.1 1.2 1.3 Công thức độ cong Gauss mặt cong không gian ba chiều 1.1.2 Phương trình Monge-Ampere elliptic hai chiều 1.1.3 Phương trình Monge-Ampere n-chiều 1.1.4 Dạng biến phân phương trình Monge-Ampere 1.1.5 Ánh xạ chuẩn tắc R-độ cong hàm lồi Phiếm hàm toán Dirichlet biến dạng 12 1.2.1 Phiếm hàm IH (u) 12 1.2.2 Các tính chất phiếm hàm ΦH , τH IH 18 Sự tồn nghiệm toán biến phân 19 1.3.1 Ước lượng hai chiều cho IH (u) 20 1.3.2 Định lý phiếm hàm IH (u) 23 Bài toán Dirichlet biến dạng 2.1 25 Thể tích hỗn tạp Minkowski 26 2.1.1 Hàm tựa 26 2.1.2 Thể tích hỗn tạp Minkowski khối đa diện lồi 28 2.1.3 2.2 2.3 Thể tích hỗn tạp Minkowski cho thể lồi bị chặn tổng quát Đối ngẫu siêu mặt lồi hàm lồi 30 34 2.2.1 Ánh xạ đặc biệt bán cầu 34 2.2.2 Siêu mặt lồi đối ngẫu 35 Sự tồn nghiệm toán biên Dirichlet biến dạng 39 2.3.1 2.3.2 Biểu thức phiếm hàm IH (u) biểu diễn theo nghĩa siêu mặt lồi đối ngẫu 39 Biểu thức biến đổi IH (u) 43 Kết luận 47 Tài liệu tham khảo 48 MỞ ĐẦU Phương trình Monge-Ampere phương trình vi phân đạo hàm riêng phi tuyến, Monge đưa vào năm 1775 Đối với nhiều phương trình vi phân đạo hàm riêng mà ta nghiên cứu có phương trình Monge-Ampere, nghiệm cổ điển khơng phải tồn tại, người ta cố gắng xây dựng lý thuyết nghiệm suy rộng nghiệm yếu chúng Luận văn giới thiệu cách tìm nghiệm suy rộng tốn Dirichlet cho phương trình Monge-Ampere elliptic Nội dung luận văn chủ yếu dựa vào chương IV Convex Analysis and Nonlinear Geometric Elliptic Equations Ilya J.Bakelman Cơ sở lý thuyết để nghiên cứu toán định nghĩa tính chất thể lồi, siêu mặt lồi hàm lồi phương pháp biến phân để giải phương trình vi phân đạo hàm riêng Chương Luận văn giới thiệu phương trình Monge-Ampere elliptic xuất phát từ công thức độ cong Gauss không gian Euclid chiều E khái quát không gian Euclid n-chiều E n , đưa dạng biến phân phương trình Monge-Ampere, định nghĩa mơ tả số tính chất ánh xạ chuẩn tắc R-độ cong hàm lồi Từ xây dựng phiếm hàm toán Dirichlet biến dạng phương trình Monge-Ampere, tồn nghiệm tốn biến phân Chương Luận văn nghiên cứu tốn Dirichlet biến dạng cho phương trình Monge-Ampere elliptic đó: Giới thiệu định nghĩa số tính chất hàm tựa, thể tích hỗn tạp Minkowski thể lồi bị chặn E n+1 , đối ngẫu siêu mặt lồi hàm lồi Cuối tồn nghiệm toán biên Dirichlet biến dạng cho phương trình Monge-Ampere elliptic, nghiệm cực tiểu tuyệt đối toán biến phân biến dạng xét chương Em xin chân thành cảm ơn PGS TS Hà Tiến Ngoạn người ln tận tình bảo, góp ý giúp đỡ em q trình thực luận văn Em xin chân thành cảm ơn góp ý quý báu quý thầy cô hội đồng chấm luận văn Qua em xin tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Ban Giám Hiệu, Phịng Sau Đại Học, Khoa Tốn-Cơ-Tin học thầy cô tạo điều kiện giúp đỡ em thời gian em học tập trường KHTN-ĐHQG Hà Nội Cảm ơn gia đình, bạn bè người ln động viên, giúp đỡ em hồn thành luận văn Chương Dạng biến phân phương trình Monge-Ampere 1.1 Phương trình Monge-Ampere elliptic dạng biến phân 1.1.1 Công thức độ cong Gauss mặt cong không gian ba chiều Trong không gian Euclid E cho mặt cong S có phương trình u = u(x, y), u(x, y) ∈ C (B) ∩ C(B) với B tập mở bị chặn E Khi độ cong Gauss mặt S điểm (x, y, u(x, y)) có dạng: uxx uyy − u2xy K(x, y, u(x, y)) = (1 + u2x + u2y )2 1.1.2 (1.1) Phương trình Monge-Ampere elliptic hai chiều Cho B tập bị chặn không gian Euclid E ; K(x, y, p, q) hàm số nhận giá trị dương biết Bài tốn đặt tìm hàm u = u(x, y) cho mặt cong đồ thị hàm số điểm (x, y, u(x, y)) có độ cong Gauss cho trước K(x, y, u(x, y), ux (x, y), uy (x, y)) tức là: uxx uyy − u2xy = K(x, y, u, ux , uy )(1 + u2x + u2y )2 (1.2) Phương trình (1.2) gọi phương trình Monge-Ampere hai chiều 1.1.3 Phương trình Monge-Ampere n-chiều a Ký hiệu: G tập lồi, mở, bị chặn không gian Euclid E n ; x = (x1 , x2 , , xn ) ∈ G; u = u(x); ux = (ux1 , ux2 , , uxn ); uij = uxi xj (i, j = 1, , n) b Phương trình Monge-Ampere det (uij ) = f (x, u, ux ) (x ∈ G), (1.3) f (x, u, p) hàm số biết Phương trình (1.3) gọi elliptic hàm u(x) ma trận (uij (x))n×n ma trận xác định dương điểm x ∈ G Do phương trình (1.3) elliptic hàm f (x, u, p) nhận giá trị dương hay nghiệm (1.3) hàm lồi G c Bài tốn Dirichlet: Tìm nghiệm u(x) ∈ C (G) ∩ C(G) phương trình (1.3) thỏa mãn: u(x) hàm lồi G, u|∂G = 1.1.4 Dạng biến phân phương trình Monge-Ampere Có liên quan toán biến phân n-chiều toán Dirichlet cho phương trình Monge-Ampere n-chiều là: cực tiểu tuyệt đối toán biến phân nghiệm suy rộng phương trình Monge-Ampere tương ứng Sau xem xét số vấn đề mối liên hệ tốn biến phân phương trình Monge-Ampere elliptic det (uij ) = f (x1 , x2 , , xn ) (1.4) Phiếm hàm In (u) = − [u(x)det(uij (x)) − (n + 1)f (x)u(x)]dx, (1.5) G G tập lồi, mở, bị chặn khơng gian Euclid E n Phiếm hàm (1.5) có phương trình Euler phương trình Monge-Ampere (1.4) Bakelman nghiên cứu toán biến phân cho phiếm hàm (1.5) chứng minh cực tiểu tuyệt đối tốn nghiệm suy rộng phương trình elliptic (1.4) 1.1.5 Ánh xạ chuẩn tắc R-độ cong hàm lồi a Một số ký hiệu: (x1 , x2 , , xn , xn+1 ) tọa độ Đề không gian Euclid (n + 1)-chiều E n+1 E n siêu phẳng xn+1 = x = (x1 , x2 , , xn ) (x, z) = (x1 , x2 , , xn , z) điểm E n E n+1 Cho G miền lồi mở bị chặn E n Ký hiệu Sz đồ thị hàm z : G → R W + (G) W − (G) tương ứng lớp tất hàm lồi hàm lõm xác định G, z(x) ∈ W + (G) z(x) ∈ W − (G) Sz gọi siêu mặt lồi hay siêu mặt lõm b Ánh xạ chuẩn tắc Định nghĩa 1.1.1 Cho không gian Rn = {p = (p1 , p2 , , pn )} với tích vô n hướng (p, q) = pi qi |p| = (p, p) độ dài véc tơ p ∈ Rn i=1 Khơng gian Rn gọi không gian Gradient Định nghĩa 1.1.2 Cho E n không gian Euclid n-chiều M tập E n Một siêu phẳng α gọi tựa tập M α ∩ M = ∅ tập M nằm phía α Vậy α siêu phẳng tựa tập M α khơng thể qua điểm M α ∩ M ⊂ ∂M Định nghĩa 1.1.3 Cho z(x) hàm lồi xác định G Cho α siêu phẳng tựa tùy ý Sz Nếu Z − z = (p0 , X − x0 ) = p01 (X1 − x01 ) + + p0n (Xn − x0n ) (1.6) phương trình α, điểm (x0 , z ) ∈ Sz ∩ α Điểm p0 = (p01 , p02 , , p0n ) ∈ Rn gọi ảnh chuẩn tắc siêu phẳng tựa α ký hiệu p0 = χz (α) (1.7) Tập χz (x0 ) = χz (α) (1.8) α gọi ảnh chuẩn tắc điểm x0 (Chính xác χz (x0 ) ảnh chuẩn tắc điểm x0 ứng với hàm z(x)), x0 điểm thuộc G, α siêu phẳng tựa Sz điểm (x0 , z(x0 )) ∈ Sz Rõ ràng χz (x0 ) tập lồi đóng khơng gian Gradient Rn Nếu χz (x0 ) chứa điểm siêu mặt lồi Sz có siêu phẳng tiếp xúc điểm (x0 , z(x0 )), điểm (x0 , z(x0 )) gọi trơn Sz Ví dụ Nếu z(x) hàm lồi, tuyến tính khúc χz (x0 ) khối đa diện lồi đóng khơng gian gradient Rn , số chiều 0, 1, 2, , n Cho e tập G, tập χz (x0 ) χz (e) = (1.9) x0 ∈e gọi ảnh chuẩn tắc e, ý χz (e) tập không gian gradient Rn Ánh xạ χz xác định gọi ánh xạ chuẩn tắc Ta thu từ (2.23) (2.26) triệt tiêu Hn+1 hội tụ tới điểm X Từ hn+1 = (OX, ν) (2.27) có kết ui Dn (H1 , , Hn , ν)dσ = 0, Sn i = 1, 2, , n + 1; ν = (u1 , u2 , , un+1 ), |ν| = 2.2 Đối ngẫu siêu mặt lồi hàm lồi 2.2.1 Ánh xạ đặc biệt bán cầu Cho G tập lồi mở E n Giả sử Rn+1 = {(p1 , p2 , , pn+1 )} n bán cầu đơn vị n chiều: không gian Euclide (n + 1)-chiều S− n S− = {p21 + p22 + + p2n+1 = 1, pn+1 < 0} (2.28) Rn+1 Ta xét ánh xạ n γ : S− → En p −→ x = γ(p) đó: n p = (p1 , p2 , , pn , pn+1 ) ∈ S− x = (x1 , x2 , , xn ) ∈ E n p1 p2 pn x1 = , x2 = , , xn = |pn+1 | |pn+1 | |pn+1 | (2.29) n Ta xem xét γ vi phôi đa tạp trơn S− n E n với cấu trúc vi phân tự nhiên Khi vi phơi γ −1 : E n → S− biến điểm x = (x1 , x2 , , xn ) ∈ E n thành điểm p = γ −1 (x) = x1 x2 xn , , , ,− q q q q 34 (2.30) q = (1 + x21 + x22 + + x2n )1/2 Chúng ta ký hiệu γ −1 = γ1 Tập n G∗ = γ1 (G) tập lồi đóng S− , với G bao đóng G n dist(∂S− , G∗ ) = δ0 > 2.2.2 Siêu mặt lồi đối ngẫu Cho u(x) hàm liên tục không dương G thỏa mãn điều kiện u|∂G = Hàm u(x) xác định hàm u∗ (p) G∗ công thức u∗ (p) = (1 − p21 − p22 − · · · − p2n )u(γ(p)) (2.31) n x = γ(p) Ngược lại ta với p = (p1 , p2 , , pn , pn+1 ) ∈ G∗ ⊂ S− định nghĩa u∗ (x) = u∗ (γ1 (x)) (2.32) với p = γ1 (x), u∗ (x) = 1 + x21 + x22 + + x2n u(x) (2.33) Ta ký hiệu H H tập lồi mở G bao đóng giả sử dist(H, ∂G) = hH > Khi H ∗ = γ1 (H) bao đóng H ∗ = γ1 (H) tập cầu lồi mở đóng tương ứng thực chất khoảng cách hH ∗ H ∗ ∂G∗ dương Rõ ràng hH ∗ phụ thuộc vào hH Bất đẳng thức (p, z) ≤ u∗ (p) (2.34) Ký hiệu nửa khơng gian đóng Up ⊂ Rn+1 với véc tơ cố định p ∈ G ∗ véc tơ z ∈ Rn+1 thỏa mãn bất đẳng thức (2.34) Tập Up QH (u) = p∈H (2.35) ∗ thể lồi đóng vô hạn Rn+1 Các tập ∗ K(∂G∗ ) = Vq K(G ) = q∈∂G∗ Vq q∈G 35 ∗ (2.36) nón lồi Rn+1 với đỉnh O(0, 0, , 0), Vq nửa khơng gian đóng (q, z) ≤ (2.37) ∗ với q ∈ ∂G∗ (hoặc G ) cố định véc tơ z ∈ Rn+1 Các tập PH (u) = ∂QH (u) (2.38) L(∂G∗ ) = ∂K(∂G∗ ) (2.39) siêu mặt lồi vô hạn hồn tồn Rn+1 nón lồi n chiều với đỉnh O(0, 0, 0, , 0) Định lý 2.2.1 Cho w(x) hàm lồi mở rộng u(x) ∈ C0− (G) từ phía tập H Khi QH (u) = QH (w) PH (u) = PH (w) (2.40) Hơn thể lồi QH (u) siêu mặt lồi PH (u) có hàm giống hàm tựa ∗ w∗ (p) xác định H Chứng minh Từ định nghĩa hàm w(x) suy w(x) ≤ u(x) ≤ 0, x ∈ H Khi ∗ ∗ w∗ (p) ≤ u∗ (p) ≤ 0, p ∈ H Vậy Wp ⊂ Up , với p ∈ H , Wp Up tương ứng nửa khơng gian đóng (p, z) ≤ w∗ (p) (p, z) ≤ u∗ (p) với véc ∗ tơ p cố định thuộc H véc tơ z ∈ Rn+1 Khi Wp ⊂ QH (w) = p∈H ∗ Up = QH (u) p∈H (2.41) ∗ Từ Định lý thể lồi ta biết M thể lồi đóng vô hạn ∗ n ν ∗ (p) < 0, p ∈ H ⊂ S− , hàm tựa M hàm 1/2 n ν(x) = x2i 1+ i=1 36 ν ∗ (γ1 (x)) hàm lồi âm với x ∈ H, γ1 (x) = n q = (1 + i=1 x1 x2 xn , , , ,− q q q q ∈H ∗ x2i )1/2 Bây áp dụng phần cho trường hợp M = QH (u) Cho ν ∗ (p) hàm tựa thể lồi QH (u) rõ ràng ≥ u∗ (p) ≥ ν ∗ (p), ∗ p ∈ H Do ta thu với hàm lồi, âm ν(x) ta có ≥ u(x) ≥ ν(x), x ∈ H Từ định nghĩa hàm lồi w(x) mở rộng u(x) từ H suy u(x) ≥ w(x) ≥ ν(x), x ∈ H Lập luận tương tự cho hàm w(x) ν(x) ta thu QH (w) ⊃ QH (ν) = QH (u) (2.42) Từ (2.42) suy QH (u) = QH (w) PH (u) = PH (w) Định lý chứng minh Bây ta nghiên cứu thể lồi QG (w) = Wp (2.43) ∗ p∈G + với hàm w(x) ∈ WH (G), Wp nửa khơng gian đóng định nghĩa Định lý 2.2.2 QG (w) = QH (w) ∩ K(∂G∗ ) (2.44) Chứng minh Từ định nghĩa tập QG (w) QH (w) ta suy ra: QG (w) = QH (w) ∩ QG|H (w) (2.45) QG|H (w) = Wp ∗ p∈G |H ∗ ∗ Đầu tiên ta ý khối nón tiệm cận KH (w) tới QH (w) có tập H ảnh cầu Nếu đỉnh KH (w) nằm QH (w) tồn nón KH (w) 37 nằm QH (w) Cho LH (w) biên KH (w) Ta giả sử đỉnh KH (w) trùng với điểm lân cận PH (w) với gốc O Rn+1 Khi tập λ(w) = LH (w) ∩ L(∂G∗ ) siêu mặt (n − 1) chiều đồng phôi (homeomorphic) với (n − 1)-cầu Nhắc lại L(∂G∗ ) = ∂K(∂G∗ ) K(∂G∗ ) nón lồi Rõ ràng sup {dist{O, z}} ước lượng theo ||w(x)||, hH = dist{H, ∂G} δ0 = z∈λ(w) ∗ n dist(∂S− , G ) Nếu ν(w) = PH (w) ∩ L(∂G∗ ) (2.46) ν(w) đồng phôi với (n − 1)-cầu ν(w) nằm λ(w) gốc Rn+1 Vậy sup {dist{O, z}} (2.47) z∈ν(w) ước lượng theo ||w(x)||, hH δ0 Bây tất siêu phẳng tựa tới đồ thị Sw hàm lồi w(x) điểm (x, w(x)) suy biến x chứa G|H (xem chứng minh Định lý 1.2.1) Cho a siêu phẳng tựa: a ∈ Sw thể lồi đóng, bị chặn k-chiều với ≤ k ≤ n − Chúng ta ký hiệu πa ⊂ G thể lồi đóng k-chiều biểu diễn tập a ∩ Sw Khi πa xác định điểm kỳ dị Y PH (w) với tập k-chiều siêu phẳng tựa tới PH (w), πa ∩ H = ∅ Ảnh cầu n tập siêu phẳng tựa trùng với γ1 (πa ) ⊂ S− (Định nghĩa ánh xạ γ1 ) Vì a qua điểm (x0 , 0) với x0 ∈ G, Ya thuộc vào nón L(∂G∗ ) hay xác Ya ∈ ν(w) (xem (2.45)) Rõ ràng ν(w) = Ya với a chạy qua tập tất siêu phẳng tựa tới a Sw có tiếp điểm (x, w(x)) với Sw , x ∈ G|H 38 Vì từ (2.43), (2.44), (2.45) nghiên cứu trước suy QG (w) = QH (w) ∩ K(∂G∗ ) Định lý chứng minh xong Vậy siêu mặt lồi PG (w) = ∂QG (w) (2.48) bao gồm hai phần: Phần thứ SH (w) nằm bên khối nón K(∂G∗ ) phần thứ hai T∂G (w) nằm biên L(∂G∗ ) nón K(∂G∗ ) Cả hai siêu mặt có biên ν(w) ⊂ PG (w) Ta coi ν(w) bao gồm phần SH (w) T∂G (w) xem xét hai siêu mặt siêu mặt đóng với biên Ta gọi SH (w) siêu mặt lồi đối ngẫu (với ý H ⊂ G) hàm lồi + w(x) ∈ WH (G) Hàm w∗ (p) = (1 − p21 − p22 − − p2n )1/2 w(γ(p)) (2.49) ∗ hàm tựa cho SH (w) với p ∈ G 2.3 Sự tồn nghiệm tốn biên Dirichlet biến dạng 2.3.1 Biểu thức phiếm hàm IH (u) biểu diễn theo nghĩa siêu mặt lồi đối ngẫu + Cho w(x) hàm lồi chứa WH (G) SH (w) siêu mặt lồi đối ngẫu Ta ký hiệu σ(SH (w), e ) hàm mặt SH (w) (xem Phần 2.1.3) Hàm mặt σ(SH (w), e ) định nghĩa hàm không âm cộng tính hồn tồn ∗ n vành tập Borel e tập G ⊂ S− giá trị hàm diện tích tập e ⊂ SH (w) cho e chứa tất điểm SH (w) có 39 siêu phẳng tựa với pháp tuyến đơn vị thuộc e Từ suy ∗ ∗ σ(SH (w), G |H ) = (2.50) Như biết (xem Mục 2.1.3) σ(SH (wk ), e ) hội tụ yếu đến σ(SH (w0 ), e ) lim ||wk − w0 || = k→+∞ Cho VH (w) thể tích phần nón lồi K(∂G∗ ) phía siêu mặt lồi đối ngẫu SH (w) Định lý 2.3.1 Đẳng thức VH (w) = − n+1 w(x)ω(w, de) (2.51) H + với hàm lồi w(x) ∈ WH (G) + Chứng minh Nếu w(x) ∈ WH (G) thể tích VH (w) có cơng thức VH (w) = − n+1 w∗ (p)σ(SH (w), de ) (xem Phần 2.1.3) G (2.52) ∗ Nhưng hàm mặt σ(SH (w), e ) có biểu diễn: 1/2 n σ(SH (w), e ) = x2i 1+ ω(w, de) (2.53) i=1 e Trong ánh xạ γ cơng thức (2.53) chứng minh trước hết cho khối đa + diện lồi mở rộng cho tất lớp WH (G) hàm lồi xấp xỉ khối đa diện Từ (2.52), (2.53) suy w∗ (γ1 (x)) + n+1 x2i ω(w, de) i=1 ∗ G =− 1/2 n VH (w) = − n+1 w(x)ω(w, de) = − G n+1 w(x)ω(w, de) H ω(w, G|H) = Định lý chứng minh xong 40 Nhận xét: Từ khối đa diện lồi xấp xỉ C -siêu mặt (hàm) lồi với độ cong chính, độ cong chuẩn ngặt nơi, đủ để chứng minh (2.53) lớp siêu mặt (hàm) Từ Định lý Gauss suy dSp K(p) σ(SH (w), e ) = (2.54) e n với dSp vi phân diện tích S− K(p) độ cong Gauss SH (w) điểm SH (w) với pháp tuyến ngồi đơn vị p Ta tìm x2i 1+ det(wxi xj )dx (2.55) i=1 e e 1/2 n dSp = K(p) với e = γ −1 (e) Từ (2.54) (2.55) ta có kết (2.53) cho hàm (hoặc siêu mặt) lồi C với độ cong pháp tuyến, độ cong dương ngặt Định lý 2.3.2 Phiếm hàm IH (u) C0− (G) có biểu diễn là:   ∗ u∗ (p)ψH (de ) IH (u) = (n + 1) VH (FH (u)) + H∗ =− (2.56) ∗ u (p)σ(SH (w), de ) + (n + 1) ∗ Hu u ∗ ∗ (p)ψH (de ) H∗ ∗ với w(x) = FH (u(x)) hàm lồi mở rộng u(x) từ H ⊂ G; ψH (e ) hàm cộng tính khơng âm hồn toàn tập Borel e G∗ xác định công thức: n ∗ ψH (e )= x2i 1+ e 1/2 ψH (de) (2.57) i=1 Hu∗ = γ1 (Hu ) Hu tập đóng H u(x) = w(x) Chứng minh Từ định nghĩa IH (u) suy IH (u) = − uω(w, de) + (n + 1) G uψH (de) G 41 (2.58) Bây 1/2 n ∗ u(x)ψH (de) = G x2i u (p) + ψH (de) i=1 H ψH (G|H) = Do ∗ u∗ (p)ψH (de ) u(x)ψH (de) = (2.59) H∗ G sử dụng (2.57) Từ Định lý 2.3.2 Định lý 1.2.1 ta có: (n + 1)VH (FH (u)) = − w(x)ω(w, de) H =− w(x)ω(w, de) = − Hu =− u(x)ω(w, de) (2.60) Hu u∗ (p)σ(SH (w), de ) ∗ Hu Từ Định lý 1.2.1 ta có − u(x)ω(w, de) = − G u(x)ω(w, de) (2.61) Hu Bây suy từ (2.60) (2.61) ta có: − u(x)ω(w, de) = (n + 1)VH (FH (u)) G (2.62) =− ∗ u (p)σ(SH (w), de ) ∗ Hu Vậy từ (2.58), (2.59) (2.62) ta có (2.56) Định lý 2.3.2 chứng minh 42 2.3.2 Biểu thức biến đổi IH (u) Đầu tiên ta nghiên cứu biến đổi phiếm hàm ΦH (u) = − u(x)ω(w, de) (2.63) G u(x) ∈ C0− (G) w(x) hàm lồi mở rộng u(x) từ tập lồi đóng H ⊂ G Từ Định lý 2.3.2 suy ΦH (u) = (n + 1)VH (w) = − w∗ (p)σ(SH (w), de ) ∗ Hu =− (2.64) ∗ u (p)σ(SH (w), de ), ∗ Hu ∗ Hu∗ tập đóng H = γ1 (H), w∗ (p) = u∗ (p) VH (w) thể tích phần nón lồi K(∂G∗ ) phía siêu mặt lồi đối ngẫu SH (w) Bây ta muốn làm đầy SH (w) tới toàn siêu mặt lồi đóng Biên ν(w) SH (w) nằm siêu mặt nón lồi L(∂G∗ ) = ∂{K(∂G∗ )} đồng phơi với (n − 1)-cầu Chúng ta hiển nhiên tìm hai số m1 , m2 phụ thuộc vào ∗ n ||w||, dist(H, ∂G) = hH > dist(G , ∂S− ) cho < m1 ≤ dist{O, ν(w)} ≤ m2 < +∞ (2.65) n Ta ký hiệu S+ (r) bán cầu p21 + p22 + · · · + p2n+1 = r2 , pn+1 ≥ 0, (2.66) p21 + p22 + · · · + p2n+1 ≤ r2 , pn+1 ≥ (2.67) n U+ (r) tập Ta nghiên cứu hàm u(x) ∈ C0− (G) cho hàm lồi w(x) = FH (u(x)) mở rộng u(x) từ Suy bất đẳng thức m0 ≤ ||w(x)|| ≤ M0 43 (2.68) cho tập H Khi tồn số chung < m1 < m2 < +∞ cho với hàm u(x) ∈ C0− (G) có bất đẳng thức < m1 ≤ dist{O, ν(w)} ≤ m2 < +∞ (2.69) đúng, (2.68) thỏa mãn w(x) = FH (u(x)) Vậy ta xây dựng tất thể lồi bị chặn ΠH (w) Bây xem xét hàm tựa ΠH (w) Ta ký hiệu hàm hH (p), p chạy hình cầu đơn vị S n : p21 + p22 + · · · + p2n + p2n+1 = Siêu mặt lồi đóng ΛH (w) có hai ribs ν(w) ν(m1 + 2m2 ) mà biên n ba tập SH (w), Z(m1 + 2m2 ) T (w, U+ (m1 + 2m2 )) ⊂ L(∂G∗ ) Do   w∗ (p)         h∗H (p) = giá trị dương         m1 + 2m2 p ∈ G∗ p ∈ ∂G∗ ∗ m1 +2m2 Z(m1 p ∈ S n | G ∪ p ∈ ∗ Chú ý σ ΛH (w), S n | G ∪ + 2m2 ) n Z(m1 + 2m2 ) ⊂ S+ m1 + 2m2 m1 +2m2 Z(m1 + 2m2 ) = 0, thể tích ΠH (w) tìm cơng thức: V (ΠH (w)) = n+1 h∗H (p)σ(ΛH (w), de ) Sn = σ(K(∂G∗ )) (m1 + 2m2 )n+1 + n+1 n+1 w∗ (p)σ(SH (w), de) G = σ(K(∂G∗ )) − n+1 n+1 ∗ u∗ (p)σ(SH (w), de) ∗ Hu (2.70) σ(K(∂G∗ )) góc khối nón lồi K(∂G∗ ) Vậy V (ΠH (w)) = σ(K(∂G∗ )) − Φ(u) n+1 n+1 44 (2.71) Nếu ta thay đổi khoảng cách với siêu phẳng tựa tới thể lồi hàm tựa thể lồi thay đổi giá trị Nếu điểm P0 trùng với điểm bên ΠH (w) hàm tựa nhận giá trị dương hàm dương nghặt S n Minkowski, Alexandrov, Frenchel Jensen nghiên cứu biến đổi thể tích lớp thể lồi bị chặn thành lập công thức cho vi phân yếu (sự biến đổi đầu tiên) điều kiện khác Phương pháp kỹ thuật nghiên cứu Định lý Minkowski thể tích hỗn tạp bất đẳng thức Brumm-Minkowski Alexandrov chứng minh h0 (p) hàm liên tục dương nghặt hình cầu đơn vị S n : |p| = H0 thể lồi đóng xác định giao tất nửa không gian (p, z) ≤ h0 (p), p ∈ S n (2.72) V (Ht ) − V (H0 ) = t→0 t η ∗ (p)σ(H0 , de ), lim (2.73) Sn η ∗ (p) hàm liên tục S n , t tham số thực hội tụ tới 0, σ(H0 , e ) hàm bề mặt H0 Ht thể lồi đóng bị chặn xác định giao tất nửa không gian (p, z) ≤ h0 (p) + tη ∗ (p) Nhận xét: Vì h0 (p) η ∗ (p) liên tục S n h0 (p) dương nghặt nên h0 (p) + tη ∗ (p) dương với t đủ nhỏ thể lồi Ht xây dựng Từ 1) tất số hạng (2.72) độc lập nói tới siêu phẳng tựa 2) lấy hàm η = tập đóng H1 ⊂ H đó, từ (2.72), (2.73) Định lý 2.3.2 suy rằng:  IH (u + tη) − IH (u) = (n + 1)  t→0 t lim Hu 45  η[−ω(w, de) + ψH (de)] (2.74) w = FH (u) Từ (2.74) Định lý 2.3.1 suy hàm số + w0 (x) ∈ U (H, m0 , M0 ) ⊂ WH (G) mà đạt cực tiểu tuyệt đối phiếm hàm IH (u) C0− (G) nghiệm suy rộng toán Dirichlet ω(w, e) = ψH (e) (2.75) w|∂G = (2.76) Vì tốn Dirichlet (2.75)-(2.76) có nghiệm suy rộng nghiệm + chứa WH (G) nên tồn hàm thực cực tiểu tuyệt đối + phiếm hàm IH (u) tập C0− (G) hàm chứa WH (G) Do việc chứng minh định lý sau hoàn thành Định lý 2.3.3 (Định lý cho phiếm hàm IH (u)) Tồn hàm lồi thực cực tiểu tuyệt đối phiếm hàm IH (u) + tập C0− (G) Hàm wH (x) ∈ WH (G) wH (x) nghiệm suy rộng toán Dirichlet (2.75)-(2.76) 46 KẾT LUẬN Luận văn trình bày vấn đề sau đây: Trình bày dạng biến phân tốn Dirichlet cho phương trình MongeAmpere, chứng minh tồn nghiệm suy rộng toán biến phân Nghiên cứu biến dạng phương trình Monge-Ampere ban đầu với toán Dirichlet tương ứng chứng minh tồn nghiệm lồi suy rộng toán biến phân tương ứng 47 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1 ] Trần Đức Vân (2008), Lý thuyết phương trình vi phân đạo hàm riêng, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội Tiếng Anh [2 ] Ilya J Bakelman (1994), Convex Analysis and Nonlinear Geometric Elliptic Equations, Springer-Verlag Berlin New York [3 ] Rokafeller R.T (1970), Convex Analysis, Princeton, N.J [4 ] Pogorelov A.V (1964), Monge-Ampere equations of elliptic type, Groningen, Noordhoff, Groningen 48 ... phân phương trình Monge- Ampere Có liên quan toán biến phân n-chiều tốn Dirichlet cho phương trình Monge- Ampere n-chiều là: cực tiểu tuyệt đối toán biến phân nghiệm suy rộng phương trình Monge- Ampere... Monge- Ampere, nghiệm cổ điển khơng phải tồn tại, người ta cố gắng xây dựng lý thuyết nghiệm suy rộng nghiệm yếu chúng Luận văn giới thiệu cách tìm nghiệm suy rộng tốn Dirichlet cho phương trình Monge- Ampere... MỞ ĐẦU Phương trình Monge- Ampere phương trình vi phân đạo hàm riêng phi tuyến, Monge đưa vào năm 1775 Đối với nhiều phương trình vi phân đạo hàm riêng mà ta nghiên cứu có phương trình Monge- Ampere,