Tài liệu trình bày các đáp án môn Lý thuyết xác suất thống kê: biến cố ngẫu nhiên và xác suất; biến ngẫu nhiên và quy luật phân bố xác suất; một số quy luật phân phối xác suất quan trọng; cơ sở lý thuyết mẫu; ước lượng tham số; kiểm định giả thuyết thông kê; tương quan hồi quy.
Đáp án – Lý thuyết xác suất thống kê ĐÁP ÁN Bài 1: BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN VÀ XÁC SUẤT Tình dẫn nhập STT câu hỏi Nội dung câu hỏi Tính diện Gươm? tích Những ý kiến thường gặp Học viên Kiến thức liên quan (Giải đáp cho vấn đề) Hồ Học viên sử dụng khái Hàm biểu diễn bờ hồ niệm tích phân để tính gươm gì? → khơng dùng Học viên chia hồ thành ô vuông nhỏ đếm số lượng ô vuông Học viên sử dụng Diện tích hồ diện phương pháp tính xác tích hình chữ nhật bao suất quanh mặt hồ nhân với xác suất để gieo điểm hình chữ nhật rơi Hồ Sho = Shcn × P ( A ) Tính thê tích 01 núi Những chỗ bên rìa hồ khơng vng diện tích tính nào? → gặp khó khăn để tính Bao núi hình hộp chữ nhật dùng định nghĩa xác suất để tính Bài tập trắc nghiệm 1-b 2-a 3-d 4-a 5-d 6-d 7-c 8-d 9-c 10-b Bài tập a • Cả ba lần mua sản phẩm tốt • Hai lần đầu mua sản phẩm tốt, lần thứ ba mua sản phẩm xấu • Mua sản phẩm tốt • Mua sản phẩm xấu • Ba lần mua sản phẩm xấu b • Biến cố A = A1 + A2+ A3 = A1A2A3 • Biến cố B = A1A2 A3 + A1A2 A3 + A1A2 A3 199 Đáp án – Lý thuyết xác suất thống kê • Biến cố C = A1A2 A3 + A1A2A3 + A1A2 A3 + A1A2 A3 • Biến cố D = A1A2 A3 a – Dùng cách liệt kê để mô tả {NNN, NNS, NSN, NSS, SNN, SNS, SSN, SSS}hoặc dùng sơ đồ VENN để mô tả b = 36 b P(B) = 36 14 = c P(C) = 36 18 d P(D) = 10 e P(E) = 36 = f P(F) = 36 30 = g P(G) = 36 a P(A) = a Gọi A biến cố tầng có khách hàng vào Ta có: Số trường hợp đồng khả phép thử n = 412 = 16777216 Số trường hợp thuận lợi cho biến cố A xảy ra: 3 3 mA = C12 C9C6C3 = 369600 Æ P(A) = 369600 = 0, 022 16777216 1 C6C2C1 = 27720 b mB = C12 Æ P(A) = P(A) = 27720 = 0, 0016 16777216 = = 0, 044 90 45 Sử dụng định lý cộng xác suất để chứng minh: P(A + B + C) = P(A) + P(B) + P(C) − P(AB) − P(AC) − P(BC) + P(ABC) = 1.062 Ỉ vơ lý a Sai E1: biến cố tung xúc xắc mặt chấm E2: biến cố tung xúc xắc mặt chấm E1 E2 biến cố xung khắc 200 Đáp án – Lý thuyết xác suất thống kê P(E1 ) = ; P(E2 ) = P(E1 + E2 ) = ; P(E1E2 ) = ; b Đúng A1: biến cố tung xúc xắc thứ mặt chấm B1: biến cố tung xúc xắc thứ hai mặt chấm A1 B1 hai biến cố độc lập Ỉ hai biến cố khơng xung khắc phép thử c Đúng AC: biến cố tung xúc xắc mặt chẵn chấm AL: biến cố tung xúc xắc mặt lẻ chấm AC = A L AC AL hai biến cố độc lập P(ACAL ) = a A B hai biến cố độc lập A B hai biến cố độc lập P( A B) = P(B) P(A B) = P(B) [1 – P(A B) ] Mà A B hai biến cố độc lập nên P(A B) = P(A) Ỉ P( A B) = P(B) [1 – P(A) ] = P(B) P(A) Ỉ A B hai biến cố độc lập b A B (tương tự) c A B (tương tự) Gọi A biến cố có thẻ xếp vị trí Ta có A biến cố khơng có thẻ xếp vị trí Số cách xếp n thẻ đánh số từ Ỉ n thành hàng n! Số cách xếp thuận lợi cho biến cố A (n–1).(n–1)! P( A ) = (n − 1) × (n − 1)! n −1 = n! n Ỉ P(A) = − n −1 = n n 10 a Đúng b Sai c Sai 11 a 14 33 12 a 0,64 b 14 33 b 0,64 13 0,3169 201 Đáp án – Lý thuyết xác suất thống kê 14 0,0271 15 a ≈ 0.4802 m m+n m c m+n 16 a 17 a 0,00217 b ≈ 0.503 n m+n m d , m+n b n , m+n b ≈ 0, 4839 c 0,00274 ≈ 0, 3832 18 a 0,2096 c 0,768 b 0,057 0,943 19 0,363 20 a 0,4 21 a 63 b 0,9 b 21 22 0,4573 23 0,29787 24 a 0,18 b 0,62 c 0,38 d 0,36 e 0,24 25 a 0,175 b 0,057 26 a 0,175 b 0,057 30 0,247 202 m m+n Đáp án – Lý thuyết xác suất thống kê Bài 2: BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ QUY LUẬT PHÂN BỐ XÁC SUẤT Tình khởi động STT câu hỏi Nội dung câu hỏi Biểu diễn bảng phân phối xác suất tiền lãi bảo hiểm khả nhận lãi? Kiến thức liên quan Những ý kiến thường gặp Học viên (Giải đáp cho vấn đề) X 100 -900 P 0,5 0,05 E ( X ) =100 × 0,95 − 900 × 0,05 = 50 Số tiền lãi trung bình bao nhiêu? nghìn 50.000 x 10.000 Nếu bán bảo hiểm cho 10.000 khách hàng số tiền lãi trung bình thu bao nhiêu? = 500.000.000 VNĐ Bài tập trắc nghiệm 1-b 2-c 3-d 4-c 5-a 6-c 7-b 8-a 9-b 10-a 11.1-a 11.2-a 12.1-a 12.2-a 13.1-a 13.2-a 14.1-a 14.2-a 15-a 16-a Bài tập Một đề thi trắc nghiệm có câu, nội dung câu độc lập, câu có hai thang điểm điểm cịn sai điểm Khả làm câu thứ 0,7 khả làm câu thứ hai 0,6 a Tính xác suất để sinh viên dự thi đạt điểm b Gọi X số điểm sinh viên đạt Lập bảng phân phối xác suất X c Tính E(X), V(X) Giải Gọi A biến cố thí sinh làm câu 1, B biến cố thí sinh làm câu Thí sinh đạt điểm thí sinh phải làm câu câu P(A + B) = P(A) + P(B) − P(AB) = 0.88 Một thiết bị gồm phận hoạt động lập với nhau, xác suất để phận bị hỏng khoảng thời gian t tương ứng 0,2; 0,3; 0,25 Gọi X số phận bị hỏng khoảng thời gian t a Tìm phân phối xác suất X b Tính xác suất để thời gian t có phận bị hỏng 203 Đáp án – Lý thuyết xác suất thống kê Giải a) Gọi Ai = {Bộ phận thứ i bị cố}, i=1,2,3 P(A1 ) = 0,2; P(A2 ) = 0, 3; P(A3 ) = 0,25 Gọi X1 biến cố phận bị hỏng ta có X1 = A1 A2 A3 ∪ A1A2 A3 ∪ A1 A2A3 = 0.4250 Tương tự ta bảng phân phối xác suất X X 0.42 0.425 0.14 0.015 b) B={Có phận bị cố) B = A1 ∪ A2 ∪ A3 P(B) = P(A1 ) + P(A2 ) + P(A3 ) = 0.2 + 0.3 + 0.25 = 0.75 2.5 Một xạ thủ đem theo viên đạn để bắn kiểm tra trước ngày thi bắn Anh ta bắn viên vào bai với xác suất trúng vòng 10 lần bắn 0,85 Nếu bắn viên liên tiếp trúng vịng 10 thơi khơng bắn a Tính xác suất để người phải sử dụng ba viên b Gọi X số viên đạn phải sử dụng Lập bảng phân phối xác suất X Giải a) P(X = 3) = 0.108375 X P 0.7225 0.1083 0.16912 2.6 Số tủ lạnh có khả bán tuần cách hàng biến ngẫu nhiên có bảng phân phối xác suất sau: X P 0,05 0,15 0,2 0,3 0,2 0,1 a Tính xác suất để tuần bán tủ lạnh b Khi bán tủ lạnh cửa hàng lãi 300 nghìn đồng, chi phí cửa hàng tuần 500 nghìn Tính tiền lãi trung bình cửa hàng tuần Giải P(X ≤ 4) = P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4) = 0, 05 + 0,15 + 0,2 + 0, + 0,2 = 0, Số tủ lạnh trung bình bán tuần E(X) = * 0.15 + * 0.2 + * 0.3 + * 0.2 + * 0.1 = 2.75 Gọi Y số tiền lãi trung bình Tiền lãi trung bình E(Y) = E(300X) = 300 * E(X) = 300 * 2.75 − 500 = 325 (nghìn đồng) 204 Đáp án – Lý thuyết xác suất thống kê Lợi nhuận (%) đầu tư vào hai ngành A B năm biến ngẫu nhiên độclập có bảng phân phối xác suất sau: X A P −5 10 20 XB -3 10 18 0,05 0,35 0,4 0,2 P 0,1 0,5 0,4 a Muốn có lợi nhuận cao nêu đầu tư vào ngành nào? b Muốn ổn định nên đầu tư vào ngành nào? c Một người chia vốn đầu tư vào hai ngành A B Tính xác suất để người có lợi nhuận 10%? Lợi nhuận trung bình phương án Giải a) E(X A ) = −5 * 0.05 + 10 * 0.4 + 20 * 0.2 = 7.75 E(X B ) = −3 * 0.1 + 10 * 0.5 + 18 * 0.4 = 11.9 Muốn có lợi nhuận cao nên đầu tư vào ngành A b) V(X) = [ (-5)2 *0.05+02 *0.35+102 *0.4+202 *0.2 ] − (7.75)2 = 61.1875 V(X B ) = (−3)2 * 0.1 + 102 * 0.5 + 182 * 0.4 = 38.89 Như muốn ổn định nên đầu tư vào ngành B c) Gọi Z lợi nhuận đầu tư vào hai ngành A B P(Z ≥ 10) = 0.6 Lợi nhuận trung bình phương án E(Z) = 14.3 Biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ xác suất sau: ; x ∈ ( 0;2 ) ⎧⎪kx + f ( x) = ⎨ ⎪⎩0 ; x ∉( 0;2 ) a Tìm k Tính P(X>1) b Tính E(X), V(X) c Tìm hàm phân phối xác suất biến ngẫu nhiên X Giải ⎧ ⎪ x +1 − ⎪ a) k = − , f ( x ) = ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ b) P(X > 1) = ; x ∈ ( 0;2 ) ; x ∉ ( 0;2 ) ∫ (− x + 1)dx = c) E(X) = 2 ∫ xf(x)dx = , V(X) = Hàm phân phối 205 Đáp án – Lý thuyết xác suất thống kê ;x < ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ F ( x )=⎪ ; x ∈ ( 0;2 ) ⎨− x + x ⎪ ⎪ ⎪ ;x > ⎪ ⎪ ⎩ 2.9 Biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm phân phối xác sau: ⎪⎧⎪ ⎪ F ( x ) = ⎪⎨ kx ⎪⎪ ⎪⎪1 ⎪⎩ ;x ≤ ;0