Phân tích dao động phi tuyến bằng cách tiếp cận trung bình có trọng số

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ - Đặng Văn Hiếu PHÂN TÍCH DAO ĐỘNG PHI TUYẾN BẰNG CÁCH TIẾP CẬN TRUNG BÌNH CĨ TRỌNG SỐ LUẬN ÁN TIẾN SĨ NGÀNH CƠ HỌC Hà Nội – 2021 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ - Đặng Văn Hiếu PHÂN TÍCH DAO ĐỘNG PHI TUYẾN BẰNG CÁCH TIẾP CẬN TRUNG BÌNH CÓ TRỌNG SỐ Chuyên ngành: Cơ học vật rắn Mã số: 9440107 LUẬN ÁN TIẾN SĨ NGÀNH CƠ HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS Ninh Quang Hải TS Dương Thế Hùng Hà Nội – 2021 i LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan công trình nghiên cứu riêng tơi Các số liệu kết trình bày Luận án trung thực chưa công bố cơng trình khác Nghiên cứu sinh Đặng Văn Hiếu ii LỜI CẢM ƠN Luận án hoàn thành hướng dẫn khoa học PGS TS Ninh Quang Hải TS Dương Thế Hùng Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Thầy, người tận tâm giúp đỡ tơi q trình nghiên cứu Tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến GS TSKH Nguyễn Đông Anh, người động viên, định hướng tận tình bảo tơi q trình thực Luận án Tôi xin cảm ơn GS TS Lê Minh Quý, người nhiệt tình giúp đỡ bảo tơi q trình thực Luận án Trong q trình thực Luận án, tơi nhận nhiều giúp đỡ, tạo điều kiện Học viện Khoa học Công nghệ, Viện Cơ học, Viện Hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam Tơi xin bày tỏ lịng cảm ơn chân thành giúp đỡ Tơi xin bày tỏ cảm ơn tới Ban Giám Hiệu - Trường Đại học Kỹ thuật Công nghiệp – Đại học Thái Nguyên đặc biệt tới đồng nghiệp tơi Khoa Kỹ thuật Ơ tơ & Máy động lực, tạo điều kiện tốt cho q trình học tập hồn thiện Luận án Tơi xin cảm ơn gia đình, bạn bè người thân động viên suốt thời gian hoàn thành Luận án Tác giả luận án Đặng Văn Hiếu iii MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN i LỜI CẢM ƠN ii MỤC LỤC iii DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT vii DANH MỤC CÁC BẢNG xii DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ VÀ ĐỒ THỊ xiii MỞ ĐẦU CHƯƠNG TỔNG QUAN 1.1 Giới thiệu dao động phi tuyến số phương pháp giải tích gần 1.1.1 Giới thiệu dao động phi tuyến 1.1.2 Một số phương pháp giải tích gần 1.1.2.1 Phương pháp nhiễu 1.1.2.2 Phương pháp cân điều hòa 1.1.2.3 Phương pháp khai triển tham số 1.1.2.4 Phương pháp lượng 10 1.2 Tình hình nghiên cứu dao động phi tuyến dầm micro nano .11 1.3 Phương pháp tuyến tính hóa tương đương .14 1.3.1 Phương pháp tuyến tính hóa tương đương điều chỉnh 15 1.3.2 Tiêu chuẩn cực tiểu sai số 16 1.3.3 Tiêu chuẩn tuyến tính hóa phần 16 1.3.4 Phương pháp tuyến tính hóa tương đương có 17 1.3.5 Tiêu chuẩn đối ngẫu 17 1.4 Trung bình có trọng số 18 1.5 Tình hình nghiên cứu dao động phi tuyến nước 20 iv 1.6 Định hướng nghiên cứu 21 Kết luận Chương 22 CHƯƠNG PHƯƠNG PHÁP TUYẾN TÍNH HĨA TƯƠNG ĐƯƠNG CHO HỆ DAO ĐỘNG TIỀN ĐỊNH VÀ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH CĨ TRỌNG SỐ 23 2.1 Phương pháp tuyến tính hóa tương đương cho hệ dao động tiền định 23 2.2 Trung bình có trọng số 25 2.2.1 Trung bình cổ điển 25 2.2.2 Trung bình có trọng số 26 2.2.3 Một số tính chất trung bình có trọng số 28 2.2.3.1 Liên hệ với trung bình cổ điển 28 2.2.3.2 Tính bảo tồn trung bình có trọng số 28 2.2.3.3 Liên hệ với phép biến đổi Laplace 29 Kết luận Chương 31 CHƯƠNG DAO ĐỘNG PHI TUYẾN CỦA HỆ MỘT BẬC TỰ DO .32 3.1 Dao động phi tuyến Duffing 32 3.1.1 Dao động Duffing bậc 35 3.1.2 Dao động Duffing bậc 38 3.1.3 Dao động Duffing bậc 40 3.1.4 Dao động Duffing bậc cao .44 3.2 Dao động phi tuyến mở rộng 44 3.2.1 Dao động Duffing – điều hòa 47 3.2.4 Dao động Duffing với dạng giếng đôi 49 3.2.5 Dao động phi tuyến với số mũ hữu tỉ 54 3.3 Dao động phi tuyến với không liên tục 56 3.3.1 Trường hợp 56 v 3.3.2 Trường hợp 58 Kết luận Chương 61 CHƯƠNG DAO ĐỘNG PHI TUYẾN CỦA DẦM MICRO VÀ NANO 62 4.1 Dao động phi tuyến dầm micro tựa đàn hồi .62 4.1.1 Lý thuyết ứng suất cặp sửa đổi .62 4.1.2 Phương trình chuyển động dầm micro tựa đàn hồi 63 4.1.3 Phân tích dao động tự 70 4.1.3 Các kết số thảo luận .72 4.1.3.1 Ảnh hưởng tham số tỉ lệ chiều dài vật liệu .77 4.1.3.2 Ảnh hưởng tỉ số độ cứng chống uốn .79 4.1.3.3 Ảnh hưởng tỉ số độ mảnh 82 4.2 Dao động dầm nano chịu tác dụng lực tĩnh điện .87 4.2.1 Lý thuyết độ dốc biến dạng phi cục 87 4.2.2 Mơ hình phương trình chuyển động 89 4.2.3 Áp dụng phương pháp tuyến tính hóa tương đương .95 4.2.4 Áp dụng phương pháp biến phân 98 4.2.5 Các kết số thảo luận .99 4.2.5.1 Ảnh hưởng tham số phi cục 102 4.2.5.2 Ảnh hưởng tham số tỉ lệ chiều dài vật liệu 104 4.2.5.3 Ảnh hưởng tỉ số độ mảnh 105 4.2.5.4 Ảnh hưởng lực nén dọc trục 107 4.2.5.5 Ảnh hưởng điện tác dụng 108 Kết luận Chương 109 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ .111 DANH MỤC CÁC CƠNG TRÌNH LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN 113 vi TÀI LIỆU THAM KHẢO 115 vii DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT  Góc lệch, tỉ số độ mảnh dầm micro  Gia tốc góc lắc  Vận tốc góc lắc  Từ thông  Hệ số; biên độ ban đầu dầm micro  Hệ số, tham số phi cục không thứ nguyên  Hệ số; tỉ lệ độ mảnh dầm nano  Hệ số; mô đun trượt  Hệ số; tham số tỉ lệ chiều dài vật liệu không thứ nguyên  Hệ số; số Lamé  Tham số tỉ lệ chiều dài vật liệu không thứ nguyên  , i Các hệ số  Tần số dao động NL Tần số phi tuyến L Tần số tuyến tính ratio Tỉ số tần số  Mật độ khối lượng dầm micro  xx(1) Ứng suất cổ điển  xx(2) Ứng suất bậc cao t xx Ứng suất v Hằng số điện môi chân khơng  Tỉ số Poisson’s  Tốn tử vi phân 2 Toán tử Hamilton a Hằng số E Mơ đun đàn hồi Young viii I Bán kính qn tính w Dịch chuyển ngang ống nano, dầm micro nano x Tọa độ dọc trục; dịch chuyển m Khối lượng đơn vị chiều dài ống; số mũ dương mf Khối lượng đơn vị chiều dài chất lỏng ống V Vận tốc chất lỏng; thể tích; điện khơng thứ ngun P Lực nén dọc trục k Hệ số đàn hồi X, x, u Các dịch chuyển X , x , u, Các vận tốc X, x , u Các gia tốc p Giá trị trọng số; số mũ dương A Biên độ ban đầu; diện tích mặt cắt ngang dầm A, A Biên độ ban đầu T Chu kỳ dao động Ai , Bi , Ci Các hệ số s Tham số điều chỉnh a, c, d Các số , bi , C1, C2,  i , Bi Các hệ số m, n Số mũ dương l Tham số tỉ lệ chiều dài vật liệu Us Năng lượng biến dạng b Hằng số; chiều rộng dầm micro nano h Chiều dày dầm micro nano kL Tham số Winkler kP Tham số Pasternak 114 strain gradient theory International Journal of Mechanics and Materials in Design, 2020, 16:289–308 (SCIE Journal, Q1) 115 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] T K Caughey, Equivalent linearization technique, The Journal of the Acoustical Society of America, 1963; 35, 1706–1711 [2] N D Anh, Dual approach to averaged values of functions: A form for weighting coefcient, Vietnam Journal of Mechanics, VAST, 2015, 37(2), 145–150 [3] M Rasekh and S E Khadem, Nonlinear vibration and stability analysis of axially loaded embedded carbon nanotubes conveying fluid, Journal of Physics D: Applied Physics, 2009, 42: 135112 (8pp) [4] Nguyễn Văn Đạo, Trần Kim Chi, Nguyễn Dũng, Nhập môn Động lực học phi tuyến chuyển động hỗn độn, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, 2005 [5] Nguyễn Văn Khang, Dao động phi tuyến ứng dụng, NXB Bách Khoa Hà Nội, 2016 [6] N N Bogoliubov and Yu A Mitropolsky, Asymptotic Method in the Theory of Nonlinear Oscillations, Gordon and Breach, London, 1985 [7] A H Nayfeh and D T Mook, Nonlinear Oscillations, Wiley Classics Library, 1995 [8] N Krylov, N Bogoliubov, Introduction to nonlinear mechanics, New York: Princenton University Press, 1943 [9] N Minorsky, Introduction to Non-Linear Mechanics Part II:Analytical Methods of Nonlinear-Mechanics, The David W Taylor Model Basin, United States Navy, 1945 [10] J H He, Some new approaches to duffing equation with strongly and high order nonlinearity (ii) parametrized perturbation technique, Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, 1999, 4(1):81–83 [11] J H He, The homotopy perturbation method for nonlinear oscillators with discontinuities, Applied Mathematics and Computation, 2004, 151, 287–292, 116 [12] J H He, Iteration perturbation method for strongly nonlinear oscillations, Journal of Vibration and Control, 2001, 7(5), 631 [13] A Beléndez, C Pascual, S Gallego, M Ortufio, C Neipp, Application of a modified He’s homotopy perturbation method to obtain higher-order approximations of an x1/3 force nonlinear oscillator, Physica Letters A, 2007, 371, 421–426 [14] R E Mickens, A generalization method of harmonic-balance, Journal of Sound and Vibration, 1986, 111, 515–518 [15] R E Mickens and D Semwogerere, Fourier analysis of a rational harmonic balance approximation for periodic solutions, Journal of Sound and Vibration, 1996, 195, 528–530 [16] R E Mickens, Oscillations in an x4/3 potential, Journal of Sound and Vibration, 2001, 246(2), 375–378 [17] R E Mickens, Analysis of non-linear oscillators having non-polynomial elastic terms, Journal of Sound and Vibration, 2002, 255(4), 789–792 [18] R E Mickens, Iteration method solutions for conservative and limit-cycle x1/3 force oscillators, Journal of Sound and Vibration, 2006, 292, 964–968 [19] R E Mickens, Harmonic balance and iteration calculations of periodic solutions to y  y 1  , Journal of Sound and Vibration, 2007, 306, 968–972 [20] H Hu, J H Tang, Solution of a duffing-harmonic oscillator by the method of harmonic balance, Journal of Sound and Vibration, 2006, 294 (3), 637–639 [21] Md A Razzak, A simple harmonic balance method for solving strongly nonlinear oscillators, Journal of the Association of Arab Universities for Basic and Applied Sciences, 2016, 21, 68-76 [22] A Beléndez, A Hernández, T Beléndez, M L Álvarez, S Gallego, M Ortuño, C.Neipp, Application of the harmonic balance method to a nonlinear oscillator typified by a mass attached to a stretched wire, Journal of Sound and Vibration, 2007, 302(4–5), 1018-1029 [23] A Beléndez, E Gimeno, M L Álvarez , M S Yebra & D I Méndez, Analytical approximate solutions for conservative nonlinear oscillators by modified rational 117 harmonic balance method, International Journal of Computer Mathematics, 2010, 87(7), 1497–1511 [24] W S Stupnicka, The generalized harmonic balance method for determining the combination resonance in the parametric dynamic systems, Journal of Sound and Vibration, 1978, 58(3), 347-361 [25] Md A Hosen , M S H Chowdhury, G M Ismail & A Yildirim, A modified harmonic balance method to obtain higher-order approximations to strongly nonlinear oscillators, Journal of Interdisciplinary Mathematics, 2020, https://doi.org/10.1080/09720502.2020.1745385 [26] B S Wu, W P Sun, C W Lim, Analytical approximations to the double-well Duffing oscillator in large amplitude oscillations, Journal of Sound and Vibration, 2007, 307, 953–960 [27] J H He, Bookkeeping parameter in perturbation methods, International Journal of Nonlinear Sciences and Numerical Simulation, 2001, 2, 257–264 [28] J H He, Modified Lindstedt–Poincare methods for some strongly non-linear oscillations, Part I: expansion of a constant, International Journal of Non-Linear Mechanics, 2002, 37(2), 309-314 [29] J H He, Modified Lindstedt–Poincare methods for some strongly non-linear oscillations, Part II: a new transformation, International Journal of Non-Linear Mechanics, 2002, 37(2), 315–320 [30] J H He, Modified Lindsted-Poincare methods for some strongly nonlinear oscillations, Part III: double series expansion, International Journal of Nonlinear Sciences and Numerical Simulation, 2001, 2(4), 317-320 [31] T Ozis, A Yildirm, Determination of periodic solution for a u1/3 force by He’s modified Lindstedt–Poincare method, Journal of Sound and Vibration, 2007, 301,415–419 [32] J H He, Preliminary report on the energy balance for nonlinear oscillations, Mechanics Research Communications, 2002, 29(2-3), 107–111 118 [33] J H He, Variational approach for nonlinear oscillators, Chaos, Solitons & Fractals, 2007, 34(5), 1430–1439 [34] J H He, Hamiltonian approach to nonlinear oscillators, Physics Letters A, 2010, 374(23), 2312–2314 [35] D Younesian, H Askari, Z Saadatnia, M K Yazdi, Frequency analysis of strongly nonlinear generalized Duffing oscillators using He's frequency-amplitude formulation and He's energy balance method, Computers and Mathematics with Applications, 2010, 59, 3222-3228 [36] M Momeni, N Jamshidi, A Barari & D D Ganji, Application of He's energy balance method to Duffing-harmonic oscillators, International Journal of Computer Mathematics, 2010, 88(1), 135-144 [37] Z Saadatnia, N Safaie, M A Ahmadpour and H Askari, Higher-order energy balance method for a serious of nonlinear oscillatory systems, Asian-European Journal of Mathematics, 2013, 6(4), 1350054 [38] D H Shou, Variational approach for nonlinear oscillators with discontinuities, Computers & Mathematics with Applications, 58(11-12):2416–2419, 2009 [39] A Yildirim, Z Saadatnia, and H Askari Application of the hamiltonian approach to nonlinear oscillators with rational and irrational elastic terms, Mathematical and Computer Modelling, 2011 [40] A Yildirim, Z Saadatnia, H Askari, Y Khan, and M K Yazdi, Higher order approximate periodic solutions for nonlinear oscillators with the hamiltonian approach, Applied Mathematics Letters, 2011 [41] L Cveticanin, Vibrations of a coupled two-degree-of-freedom system, Journal of Sound and Vibration, 2001, 247(2), 279– 292 [42] L Cveticanin, The motion of a two-mass system with non-linear connection, Journal of Sound and Vibration, 2002,252(2), 361–369 [43] M Bayat, I Pakar, G Domairry, Recent developments of some asymptotic methods and their applications for nonlinear vibration equations in engineering 119 problems: A review, Latin American Journal of Solids and Structures, 2012, 9, 145234 [44] S A Emam, Ali H Nayfeh, Postbuckling and free vibrations of composite beams, Composite Structures, 2009, 88, 636–642 [45] A Fallah, M M Aghdam, Nonlinear free vibration and post-buckling analysis of functionally graded beams on nonlinear elastic foundation, European Journal of Mechanics A/Solids, 2011, 30, 571-583 [46] A Fallah, M M Aghdam, Thermo-mechanical buckling and nonlinear free vibration analysis of functionally graded beams on nonlinear elastic foundation, Composites: Part B, 2012, 43, 1523–1530 [47] M Şimşek, Non-linear vibration analysis of a functionally graded Timoshenko beam under action of a moving harmonic load, Compos Struct., 2010; 92(10), 2532– 2546 [48] J B Gunda, R K Gupta, G R Janardhan, G V Rao, Large amplitude vibration analysis of composite beams: simple closed-form solutions, Compos Struct., 2010, 93, 870-879 [49] L Azrar, R Benamar, R G White, Semi-analytical approach to the non-linear dynamic response problem of S–S and C–C beams at large vibration amplitudes part i: general theory and application to the single mode approach to free and forced vibration analysis, Journal of Sound and Vibration, 1999, 224(2), 183–207 [50] H M Sedighi, A Reza, The effect of quintic nonlinearity on the investigation of transversely vibrating bulked Euler Bernoulli beams, Journal of Theoretical and Applied Mechanics, 2013, 51(4), 959-968 [51] N A Fleck, G M Muller, M F Ashby, J W Hutchinson, Strain gradient plasticity: theory and experiment, Acta Metallurgica et Materialia, 1994, 42(2), 475– 487 [52] J S Stolken, A G Evans, A microbend test method for measuring the plasticity length scale, Acta Materialia, 1998, 46(14), 5109–5115 120 [53] A C M Chong, F Yang, D C C Lam, P Tong, Torsion and bending of micron-scaled structures, Journal of Materials Research, 2001, 16(04), 1052–1058 [54] R A Toupin, Elastic materials with couple stresses, Archive for Rational Mechanics and Analysis, 1962, 11 (1), 385-414 [55] R D Mindlin, H F Tiersten, Effects of couple-stresses in linear elasticity, Archive for Rational Mechanics and Analysis, 1962, 11(1), 415-448 [56] R D Mindlin, Influence of couple-stresses on stress concentrations, Experimental Mechanics, 1963, 3(1), 1–7 [57] W T Koiter, Couple-stresses in the theory of elasticity: I and II, Philosophical Transactions of the Royal Society of London B, 1964, 67, 17-44 [58] R D Mindlin, Micro-structure in linear elasticity, Archive for Rational Mechanics and Analysis, 1964, 16, 51-78 [59] A C Eringen, D G B Edelen, On nonlocal elasticity, International Journal of Engineering Science, 1972, 10(3), 233-248 [60] A C Eringen, On differential equations of nonlocal elasticity and solutions of screw dislocation and surface waves, Journal of Applied Physics, 1983, 54, 47034710 [61] F Yang, A C M Chong, D C C Lam, P Tong, Couple stress based strain gradient theory for elasticity, International Journal of Solids and Structures, 2002, 39(10), 2731-2743 [62] R D Mindlin, Second gradient of strain and surface-tension in linear elasticity, International Journal of Solids and Structures, 1965, 1, 417-438 [63] E C Aifantis, On the role of gradients in the localization of deformation and fracture, International Journal of Engineering Science, 1992, 30, 1279–1299 [64] C W Lim, G Zhang, & J N Reddy, A higher-order nonlocal elasticity and strain gradient theory and its applications in wave propagation, Journal of the Mechanics and Physics of Solids, 2015, 78, 298–313 121 [65] M Şimşek, Nonlinear static and free vibration analysis of microbeams based on the nonlinear elastic foundation using modified couple stress theory and He’s variational method, Composite Structures, 2014, 112(1), 264–272 [66] M Şimşek and J N Reddy, Bending and vibration of functionally graded microbeams using a new higher order beam theory and the modified couple stress theory, International Journal of Engineering Science, 2013, 64, 37–53 [67] H M Ma, X L Gao, J N Reddy, A microstructure-dependent Timoshenko beam model based on a modified couple stress theory, Journal of the Mechanics and Physics of Solids; 2008, 56, 3379–3391 [68] S Kong, S Zhou, Z Nie, K Wang, The size-dependent natural frequency of Bernoulli–Euler micro-beams, International Journal of Engineering Science, 2008, 46, 427–437 [69] H M Ma, X L Gao, J N Reddy, A nonclassical Reddy–Levinson beam model based on a modified couple stress theory, International Journal for Multiscale Computational Engineering; 2010, 8, 167–180 [70] B Wang, J Zhao, S Zhou, A micro scale Timoshenko beam model based on strain gradient elasticity theory, European Journal of Mechanics - A/Solids; 2010, 29, 591-599 [71] B Akgưz, Ư Civalek, Analysis of micro-sized beams for various boundary conditions based on the strain gradient elasticity theory, Archive of Applied Mechanics; 2012, 82, 423–443 [72] B Akgưz, Ư Civalek, A size-dependent shear deformation beam model based on the strain gradient elasticity theory, International Journal of Engineering Science; 2013, 70, 1–14 [73] J A Ruiz, J Loya, and J F Sáez, Bending vibrations of rotating nonuniform nanocantilevers using the Eringen nonlocal elasticity theory, Composite Structures, 2012, 4(9), 2990–3001 122 [74] M Şimşek, Nonlinear free vibration of a functionally graded nanobeam using nonlocal strain gradient theory and a novel Hamiltonian approach, International Journal of Engineering Science, 2016, 105, 12–27 [75] L Li, Y Hu Nonlinear bending and free vibration analyses of nonlocal strain gradient beams made of functionally graded material International Journal of Engineering Science, 2016, 107, 77–97 [76] L Lu, X Guo, J Zhao, Size-dependent vibration analysis of nanobeams based on the nonlocal strain gradient theory, International Journal of Engineering Science, 2017, 116, 12–24 [77] R C Batra, M Porfiri and D Spinello, Review of modeling electrostatically actuated microelectromechanical systems, Smart Materials and Structures, 2007, 16(6) [78] Y Fu, J Zhang, L Wan, Application of the energy balance method to a nonlinear oscillator arising in the microelectromechanical system (MEMS), Current Applied Physics, 2011, 11, 482-485 [79] Y H Qian, D X Ren, S K Lai, S M Chen, Analytical approximations to nonlinear vibration of an electrostatically actuated microbeam, Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, 2012, 17, 1947–1955 [80] S Sadeghzadeh and A Kabiri, Application of Higher Order Hamiltonian Approach to the Nonlinear Vibration of Micro Electro Mechanical Systems, Latin American Journal of Solids and Structures, 2016, 13, 478-497 [81] A C J Luo, F Y Wang, Chaotic motion in a Micro-Electro-Mechanical System with nonlinearity from capacitors, Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, 2002, 7, 31–49 [82] M I Younis, E M Abdel-Rahman, A Nayfeh, A reduced-order model for electrically actuated microbeam-based MEMS, Journal of Microelectromechanical Systems, 2003, 12(5), 672–680 123 [83] S Chaterjee, G Pohit, A large deflection model for the pull-in analysis of electrostatically actuated microcantilever beams, Journal of Sound and Vibration, 2009, 322(4–5), 969-986 [84] S Krylov, Lyapunov exponents as a criterion for the dynamic pull-in instability of electrostatically actuated microstructures, International Journal of Non-Linear Mechanics, 2007, 42(4), 626-642 [85] J B Ma, L Jiang and S F Asokanthan, Influence of surface effects on the pullin instability of NEMS electrostatic switches, Nanotechnology, 2010, 21(50) [86] Y Fu, J Zhang, Size-dependent pull-in phenomena in electrically actuated nanobeams incorporating surface energies, Applied Mathematical Modelling, 2011, 35, 941–951 [87] J S Duan, R Rach, A pull-in parameter analysis for the cantilever NEMS actuator model including surface energy, fringing field and Casimir effects, International Journal of Solids and Structures, 2013, 50(22–23), 3511-3518 [88] J Abdi, A Koochi, A S Kazemi and M Abadyan, Modeling the effects of size dependence and dispersion forces on the pull-in instability of electrostatic cantilever NEMS using modified couple stress theory, Smart Materials and Structures, 2011, 20:05501, 9pp [89] E M Miandoab, A Y Koma & H N Pishkenari, Nonlocal and strain gradient based model for electrostatically actuated silicon nanobeams, Microsystem Technologies, 2015, 21, 457-464 [90] H M Sedighi, Size-dependent dynamic pull-in instability of vibrating electrically actuated microbeams based on the strain gradient elasticity theory, Acta Astronautica, 2014, 95, 111–123 [91] S Esfahani, S E Khadem, A E Mamaghani, Nonlinear Vibration Analysis of an Electrostatic Functionally Graded Nano-Resonator with Surface Effects Based on Nonlocal Strain Gradient Theory, International Journal of Mechanical Sciences, 2019, 151, 508-522 124 [92] W D Iwan and I M Yang, Application of statistical linearization techniques to nonlinear multi-degree-of-freedom systems, Journal of Applied Mechanics, 1972, 39(2), 545–550 [93] W D Iwan, A generalization of the concept of equivalent linearization, International Journal of Non-Linear Mechanics, 1973, 8(3), 279–287 [94] T S Atalik, and S Utku, Stochastic linearization of multi-degreeof-freedom non-linear systems, Earthquake Engineering and Structural Dynamics, 1976, 4(4), 411–420 [95] Y J Park, Y K Wen and A H Ang, Random vibration of hysteretic systems under bi-directional ground motions, Earthquake Engineering and Structural Dynamics, 1986, 14(4), 543–557 [96] C Su, H Huang and H Ma, Fast Equivalent Linearization Method for Nonlinear Structures under Nonstationary Random Excitations, Journal of Engineering Mechanics, 2016, 142 (8) [97] A Younespour, H Ghaffarzadeh and B F Azar, An equivalent linearization method for nonlinear Van der Pol oscillator subjected to random vibration using orthogonal functions, Control Theory and Technology, 2018, 16, 49–57 [98] N D Anh, M Di Paola, Some Extensions of Gaussian Equivalent Linearization, International Confernce on Nonlinear Stochastic Dynamics, Hanoi, Vietnam, 1995, 5–16 [99] I Elishakoff, L Andriamasy and M Dolle, Application and extension of the stochastic linearization by Anh and Di Paola, Acta Mechanica, 2009, 204, 89–98 [100] X Zhang, I Elishakoff and R Zhang, A Stochastic Linearization Technique Based on Minimum Mean Square Deviation of Potential Energies, Stochastic Structural Dynamics 1, Springer, Berlin, Heidelberg, 1991 [101] I Elishakoff and G Q Cai, Approximate solution for nonlinear random vibration problems by partial stochastic linearization, Probabilistic Engineering Mechanics, 1993, 8, 233-237 125 [102] K Fujimura and A D Kiureghian, Tail-equivalent linearization method for nonlinear random vibration, Probabilistic Engineering Mechanics 22 (2007) 63–76 [103] M Broccardo, U Alibrandi, Z Wang, L Garrè, The Tail Equivalent Linearization Method for Nonlinear Stochastic Processes, Genesis and Developments, In: Gardoni P (eds) Risk and Reliability Analysis: Theory and Applications Springer Series in Reliability Engineering Springer, Cham, 2017 [104] U Alibrandi and K M Mosalam, Equivalent Linearization Methods for Stochastic Dynamic Analysis Using Linear Response Surfaces, Journal of Engineering Mechanics, 2017, Volume 143 Issue [105] N D Anh, Duality in the analysis of responses to nonlinear systems, Vietnam Journal of Mechanics, VAST, 2010, 32(4), 263–266 [106] N D Anh, N N Hieu & N N Linh, A dual criterion of equivalent linearization method for nonlinear systems subjected to random excitation, Acta Mechanica, 2012, 223, 645–654 [107] N D Anh and N N Linh, A weighted dual criterion for stochastic equivalent linearization method using piecewise linear functions, VietNam Journal of Mechanics, VAST, 2014, 36(4), 307-320 [108] N D Anh and N N Linh, A weighted dual criterion of the equivalent linearization method for nonlinear systems subjected to random excitation, Acta Mechanica, 2018, 229, 1297–1310 [109] Nguyễn Ngọc Linh, Phân tích dao động ngẫu nhiên phi tuyến phương pháp tuyến tính hóa tương đương ngẫu nhiên, Luận án tiến sĩ, Hà Nội, 2016 [110] K U Rahman, S Shang, M Shahid, Y Wen, A J Khan, Development of a novel Weighted Average Least Squares-based ensemble multi-satellite precipitation dataset and its comprehensive evaluation over Pakistan, Atmospheric Research, 2020, 246, 105133 [111] Y Wang, X Hao, C Wu, Forecasting stock returns: A time-dependent weighted least squares approach, Journal of Financial Markets, Available online 21 May 2020, 100568 126 [112] L Tang and Y Lu, Study of the Grey Verhulst Model based on the Weighted Least Square Method, Physica A: Statistical Mechanics and its Applications, 2020, 545, 123615 [113] A Momot, Methods of weighted averaging of ECG signals using Bayesian inference and criterion function minimization, Biomedical Signal Processing and Control, 2009, 4, 162–169 [114] X Liu, J M Mendel and D Wu, Analytical solution methods for the fuzzy weighted average, Information Sciences, 2012, 187, 151–170 [115] P D’Urso and J M Leski, Fuzzy clustering of fuzzy data based on robust loss functions and ordered weighted averaging, Fuzzy Sets and Systems, 2020, 389, 128 [116] N D Anh, V L Zakovorotny, N N Hieu, et al., A dual criterion of stochastic linearization method for multi-degree-of-freedom systems subjected to random excitation, Acta Mech., 2012, 223, 2667–2684 [117] N N Hieu, N D Anh, N Q Hai, Vibration analysis of beams subjected to random excitation by the dual criterion of equivalent linearizationVibration analysis of beams subjected to random excitation by the dual criterion of equivalent linearization, Vietnam Journal of Mechanics, VAST, 2016, 38(1), 49 – 62 [118] N D Anh, I Elishakoff, N N Hieu, Generalization of Seide’s problem by the regulated stochastic linearization technique, Meccanica, 2017, 52, 1003–1016 [119] N V Khang, T D Son, B T Thuy, Numerical calculating linear vibrations of third order systems involving fractional operators, Vietnam Journal of Mechanics, VAST, Vol.34, No.2 (2012), pp 91–99 [120] N V Khang, B T Thuy, T Q Chien, Resonance Oscillation of Third-Order Forced van der Pol System With Fractional-Order Derivative, J Comput Nonlinear Dynam Jul 2016, 11(4): 041030 (5 pages) [121] N V Khang, T Q Chien, Subharmonic Resonance of Duffing Oscillator With Fractional-Order Derivative, J Comput Nonlinear Dynam Sep 2016, 11(5): 051018 (8 pages) 127 [122] Dao Huy Bich, Nguyen Dang Bich, On a class of non-linear differential equations with exact solution, Vietnam Journal of Mechanics, VAST, 2012, Vol.34, No.1, pp –17 [123] Dao Huy Bich, Nguyen Dang Bich, A coupling successive approximation method for solving Duffing equation and its application, Vietnam Journal of Mechanics, VAST, 2014, Vol 36, No 2, pp 77 – 93 [124] Dao Huy Bich, Nguyen Dang Bich, On the convergence of a coupling successive approximation method for solving Duffing equation, Vietnam Journal of Mechanics, VAST, 2014, Vol.36, No.3, pp 185–200 [125] Dao Huy Bich, Nguyen Dang Bich, Parametric conditions and exact solution for the Duffing-Van der Pol class of equations, Vietnam Journal of Mechanics, VAST, 2018, Vol 40, No 3, pp 251 – 264 [126] N T Chung, L P Binh, Nonlinear Dynamic Analysis of Cracked Beam on Elastic Foundation Subjected to Moving Mass, International Journal of Advanced Engineering Research and Science, 2017, 4, iss [127] Lưu Xuân Hùng, Nghiên cứu ảnh hưởng kích động ngẫu nhiên lên hệ học phương pháp tuyến tính hóa tương đương, Luận án tiến sĩ, Hà Nội, 2002 [128] Dương Ngọc Hảo, Phân tích dao động phi tuyến hệ chịu kích động ngẫu nhiên tuần hoàn, Luận án tiến sĩ, Hà Nội, 2015 [129] Nguyễn Như Hiếu, Tiêu chuẩn đối ngẫu phương pháp tuyến tính hóa tương đương cho hệ phi tuyến nhiều bậc tự chịu kích động ngẫu nhiên, Luận án tiến sĩ, Hà Nội, 2018 [130] Q Zhu and M Ishitoby, Chaos and bifurcations in an on linear vehicle model, Journal of Sound and Vibration, 2004, 275, 1136–1146 [131] L Cveticanin and M Zukovic, Melnikov’s criteria and chaos in systems with fractional order deflection, Journal of Sound and Vibration, 2009, 326, 768–779 [132] Jie Fan, He's frequency-amplitude formulation for the Duffing harmonic oscillator, Computers and Mathematics with Applications, 2009, 58, 2473-2476 128 [133] J R Acton, P.T Squire, Solving Equations with Physical Understanding, Adam Hilger Ltd, Bristol, 1985 [134] R N Dean, A Luque, Applications of Microelectromechanical Systems in Industrial Processes and Services, IEEE Transactions on Industrial Electronics, 2009, 56(4) [135] K Eom, H S Park, D S Yoon, T Kwon, Nanomechanical resonators and their applications in biological/chemical detection: Nanomechanics principles, Physics Reports, 2011, 503(4–5), 115-163 [136] W C Chuang, H L Lee, P Z Chang, Y C Hu, Review on the modeling of electrostatic MEMS, Sensors (Basel); 2010, 10(6), 6149-6171 [137] K W Oh, C H Ahn, A review of microvalves, Journal of Micromechanics and Microengineering, 2006, 16 (5) [138] O Y Loh, H D Espinosa, Nanoelectromechanical contact switches, Nature Nanotechnology, 2012, 7, 283–295 [139] W M Zhang, H Y., Z K Peng G Meng, Electrostatic pull-in instability in MEMS/NEMS: A review, Sensors and Actuators A: Physical, 2014, 214, 187–218 [140] L Li, Y Hu, Buckling analysis of size-dependent nonlinear beams based on a nonlocal strain gradient theory, International Journal of Engineering Science, 2015, 97, 84–94 ... bình có trọng số áp dụng để phân tích số hệ dao động phi tuyến bậc tự không cản, chẳng hạn như: Dao động phi tuyến Duffing, dao động phi tuyến mở rộng, dao động phi tuyến Duffing-điều hòa, dao động. .. dao động phi tuyến tiền định khái niệm giá trị trung bình có trọng số Với ý tưởng thay dao động phi tuyến dao động tuyến tính, hệ số dao động tuyến tính tìm từ tiêu chuẩn độ lệch trung bình bình... trị trung bình có trọng số bước đầu cho thấy xác kết thu hệ dao động phi tuyến Duffing bậc [2] Chính điều này, Luận án lựa chọn đề tài ? ?Phân tích dao động phi tuyến cách tiếp cận trung bình có trọng