Phân tích dao động phi tuyến bằng cách tiếp cận trung bình có trọng số TT

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ - Đặng Văn Hiếu PHÂN TÍCH DAO ĐỘNG PHI TUYẾN BẰNG CÁCH TIẾP CẬN TRUNG BÌNH CĨ TRỌNG SỐ Chun ngành: Cơ học vật rắn Mã số: 9440107 TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ NGÀNH CƠ HỌC Hà Nội, 2021 Cơng trình hồn thành tại: Học viện Khoa học Cơng nghệ - Viện Hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam Người hướng dẫn khoa học 1: PGS.TS Ninh Quang Hải Người hướng dẫn khoa học 2: TS Dương Thế Hùng Phản biện 1: … Phản biện 2: … Phản biện 3: … Luận án bảo vệ trước Hội đồng đánh giá luận án tiến sĩ cấp Học viện, họp Học viện Khoa học Công nghệ - Viện Hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam vào hồi … ’, ngày … tháng … năm 20… Có thể tìm hiểu luận án tại: - Thư viện Học viện Khoa học Công nghệ - Thư viện Quốc gia Việt Nam MỞ ĐẦU Tính cấp thiết luận án Dao động tượng hay gặp tự nhiên kỹ thuật Thực tế, hầu hết tất dao động hệ kỹ thuật phi tuyến, dao động tuyến tính lý tưởng hóa tượng dao động mà ta gặp Chỉ lớp nhỏ tốn dao động phi tuyến có lời giải xác Các phương pháp giải tích gần cơng cụ hiệu để tìm nghiệm toán dao động phi tuyến Trong số phương pháp giải tích gần đúng, phương pháp tuyến tính hóa tương đương (the Equivalent Linearization method) [1], phương pháp đơn giản hiệu để phân tích toán dao động phi tuyến Tuy nhiên, phương pháp giải tích gần khác, phương pháp tuyến tính hóa tương đương với trung bình cổ điển thường có nhược điểm tính phi tuyến toán tăng dẫn đến kết phương pháp thường khơng xác, đơi chấp nhận Nhiều tác giả cố gắng cải thiện nhược điểm phương pháp tuyến tính hóa tương đương, năm 2015, GS Nguyễn Đông Anh [2] đề xuất phương pháp lấy trung bình hàm tiền định thay sử dụng giá trị trung bình cổ điển, phương pháp trung bình gọi trung bình có trọng số Giá trị trung bình có trọng số khắc phục phần nhược điểm phương pháp tuyến tính hóa tương đương với trung bình cổ điển Với phân tích trên, tác giả lựa chọn đề tài “Phân tích dao động phi tuyến cách tiếp cận trung bình có trọng số” để làm đề tài nghiên cứu 2 Mục tiêu nghiên cứu luận án Luận án phát triển kỹ thuật kết hợp phương pháp tuyến tính hóa tương đương trung bình có trọng số để phân tích đáp ứng số hệ dao động phi tuyến tự khơng cản Các nội dung nghiên cứu luận án Nội dung nghiên cứu Luận án trình bày bốn Chương Cụ thể, Chương trình bày tổng quan dao động phi tuyến số phương pháp giải tích gần giải tốn dao động phi tuyến Chương trình bày ý tương phương pháp tuyến tính hóa tương đương cho hệ dao động tiền định, giá trị trung bình có trọng số số tính chất trung bình có trọng số Chương 3, Luận án áp dụng phương pháp đề xuất để phân tích đáp ứng số hệ dao động phi tuyến tự không cản bậc tự Chương trình bày hai tốn dao động phi tuyến hệ liên tục dao động phi tuyến dầm micro tựa đàn hồi dao động phi tuyến dầm nano chịu tác dụng lực tĩnh điện CHƯƠNG TỔNG QUAN Chương trình bày tổng quan dao động phi tuyến số phương pháp giải tích gần giải tốn dao động phi tuyến; tình hình nghiên cứu dao động phi tuyến giới nước Các phân tích cho thấy phương pháp tuyến tính hóa tương đương cơng cụ hiệu để phân tích toán dao động phi tuyến Được đề xuất với mục đích phân tích đáp ứng tốn dao động phi tuyến chịu kích động ngẫu nhiên, phương pháp tuyến tính hóa tương đương dễ dàng áp dụng cho hệ dao động phi tuyến tiền định Tuy nhiên, sai số phương pháp tuyến tính hóa tương đương nhiều lớn đặc biệt hệ dao động phi tuyến mạnh Trung bình có trọng số khắc phục nhược điểm trung bình cổ điển việc cải thiện độ xác phương pháp tuyến tính hóa tương đương Trên sở đó, Luận án lựa chọn đề tài nghiên cứu đề nội dung nghiên cứu cụ thể CHƯƠNG PHƯƠNG PHÁP TUYẾN TÍNH HĨA TƯƠNG ĐƯƠNG CHO HỆ DAO ĐỘNG PHI TUYẾN TIỀN ĐỊNH VÀ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH CĨ TRỌNG SỐ Trong chương này, Luận án trình bày ý tưởng phương pháp tuyến tính hóa tương đương cho hệ dao động phi tuyến tiền định giá trị trung bình có trọng số số tính chất trung bình có trọng số 1.1 Phương pháp tuyến tính hóa tương đương cho hệ dao động phi tuyến tiền định Xét dao động phi tuyến tiền định hệ bậc tự mơ tả phương trình vi phân phi tuyến sau đây: X  g ( X , X )  F (t ) (2.1) với X , X X dịch chuyển, vận tốc gia tốc; g ( X , X ) hàm phi tuyến phụ thuộc vào dịch chuyển vận tốc; cịn F (t ) lực kích động ngồi Dạng tuyến tính phương trình (2.1) giới thiệu sau: X   X   X  F (t ) (2.2) Các hệ số   xác định từ tiêu chuẩn độ lệch trung bình bình phương:  g( X , X )   X   X  e2 ( X , X )   Min  , (2.3) Theo đó:  g( X , X ) X   g( X , X ) X X  g( X , X ) X X  XX X2 X  g( X , X ) X X X  XX XX (2.6) XX (2.7) Trong biểu thức (2.3)-(2.7), ký hiệu tốn tử trung bình theo thời gian 2.2 Trung bình có trọng số Định nghĩa : Trung bình có trọng số hàm phụ thuộc thời gian x(t) xác định [2]:  x(t ) w   h(t ) x(t )dt (2.12) với h(t) hàm phụ thuộc vào thời gian, gọi hàm hệ số trọng số, hàm thỏa mãn điều kiện:   h(t )dt  (2.13) Đối với toán dao động, ta xem xét hàm tuần hoàn x(t ) , dạng hàm hệ số trọng số xét sau [2]: h(t )  s 2 2te st , s  (2.15) đó, tham số s gọi tham số điều chỉnh Giá trị trung bình có trọng số có số tính chất; cụ thể, s  , giá trị trung bình có trọng số trở thành giá trị trung bình cổ điển; giá trị trung bình có trọng số hàm tuần hồn tính thơng qua phép biến đổi Laplace; trung bình có trọng số bảo tồn đặc tính tuyến tính trung bình cổ điển; giá trị trung bình có trọng số chứa nhiều thơng tin hàm tuần hồn giá trị trung bình cổ điển Kết luận Chương Chương trình bày ý tưởng phương pháp tuyến tính hóa tương đương cho hệ dao động phi tuyến tiền định khái niệm giá trị trung bình có trọng số Các phân tích cho thấy giá trị trung bình có trọng số có ưu điểm so với giá trị trung bình cổ điển, điều tạo nên tín hiệu tích cực sử dụng giá trị trung bình có trọng số để phân tích tốn dao động phi tuyến Một số kết Chương công bố báo [T1] mục “Danh mục cơng trình liên quan tới Luận án” việc làm rõ số tính chất trung bình có trọng số ưu điểm so với trung bình cổ điển CHƯƠNG DAO ĐỘNG PHI TUYẾN CỦA HỆ MỘT BẬC TỰ DO Trong Chương 3, phương pháp tuyến tính hóa tương đương với trung bình có trọng số áp dụng để phân tích số hệ dao động phi tuyến bậc tự không cản Kết thu hệ dao động kiểm chứng với kết công bố kết số 3.1 Dao động phi tuyến Duffing Xét dao động phi tuyến Duffing dạng tổng quát mô tả bởi: X  1 X  3 X  5 X  7 X     n 1 X 2n 1  (3.4) đó, 1 , 3 , 5 , 7 , ,  2n 1 số, n số tự nhiên, phương trình (3.4) thỏa mãn điều kiện đầu: X (0)  A, X (0)  (3.5) Sử dụng phương pháp tuyến tính hóa tương đương, bình phương tần số xấp xỉ dao động tìm được:   1   X4 X2  5 X6 X2  7 X8 X2     n 1 X 2n X2 (3.9) Dựa nghiệm điều hòa phương trình tuyến tính X  A cos(t ) , giá trị trung bình biểu thức (3.9) tính tốn theo định nghĩa giá trị trung bình có trọng số Chương phép biến đổi Laplace 3.1.1 Dao động Duffing bậc Khi n = 1, ta có dao động Duffing bậc 3: X  1 X  3 X  (3.15) Tần số xấp xỉ dao động cho bởi: Luân án  1  s8  28s  248s  416s  1536  A2 ( s  2s  8)( s  16)2 (3.16) Sai số tương đối (%) EBM Luận án, s=2 Luận án, s=1 Luận án, s=3 0 10 15 20 Biên độ ban đầu, A Hình 3.1 Sự thay đổi sai số tương đối tần số xấp xỉ theo biên độ ban đầu dao động Duffing bậc với α1=10 α3=10 4.45 Luận Án EBM Chính Xác 4.4 Tần số, ω 4.35 4.3 4.25 4.2 4.15 4.1 Tham số điều chỉnh, s 10 Hình 3.3 Sự thay đổi tần số dao động theo tham số điều chỉnh s dao động Duffing bậc với α1=10, α3=10 A=1 Hình 3.1 3.2 khảo sát thay đổi sai số tương đối tần số xấp xỉ thu Luận án ( Luânán ) tần số xấp xỉ thu nhờ phương pháp cân lượng ( EBM ) [35] theo biên độ ban đầu dao động A Một số giá trị tham số điều chỉnh s lựa chọn (s = 1, 3) Từ hình vẽ này, ta thấy với giá trị s = s = 2, tần số xấp xỉ thu Luận án tốt nhiều so với tần số xấp xỉ thu nhờ phương pháp cân lượng Cụ thể, biên độ ban đầu tăng lên, sai số phương pháp cân lượng lên tới 2.2%, sai số phương pháp sử dụng Luận án 1.18% với s = 0.15% với s = Tuy nhiên, s tăng lên chẳng hạn s = 3, sai số xấp xỉ phương pháp sử dụng Luận án lại lên tới 4.4% Với α1 = 10, α3 = 10 A = 1, Hình 3.3 thể thay đổi tần số xấp xỉ dao động theo tham số điều chỉnh s Từ hình vẽ ta thấy tần số xấp xỉ thu từ Luận án với tần số xác ( Chính xác  4.1672 ) [43] ứng với giá trị tham số điều chỉnh s = 0.5 s = 2.5 Qua khảo sát thấy giá trị tối ưu tham số điều chỉnh s thay đổi theo hệ, với mong muốn lựa chọn s số tự nhiên, Luận án sử dụng giá trị s = với mục đích so sánh Hơn nữa, từ hình vẽ ta thấy tham số s tăng, tần số xấp xỉ dao động tăng dẫn tới xác nghiệm thu giảm 3.1.2 Dao động Duffing bậc Khi n = 2, ta có dao động Duffing bậc 5: X  1 X  3 X  5 X  (3.19) Với s = 2, tần số xấp xỉ dao động phi tuyến Duffing bậc cho bởi: Luân án  1  0.723 A2  0.5755 A4 (3.20) So sánh tần số xấp xỉ thu Luận án tần số xấp xỉ thu nhờ phương pháp cân lượng với tần số xác 14 Hình 3.23 So sánh nghiệm giải tích với nghiệm số dao động phi tuyến với không liên tục với   10 ,   10 A  10 Kết luận Chương Trong Chương 3, Luận án áp dụng phương pháp tuyến tính hóa tương đương trung bình có trọng số để phân tích đáp ứng số hệ dao động phi tuyến khơng cản bậc tự Sự xác nghiệm giải tích xấp xỉ thu Luận án kiểm chứng so sánh kết thu với kết xác, kết công bố sử dụng phương pháp gần khác kết số sử dụng giải thuật Runge-Kutta bậc Kết thu khẳng định trung bình có trọng số khắc phục nhược điểm phương pháp tuyến tính hóa tương đương với trung bình cổ điển Phương pháp sử dụng Luận án khơng có hiệu lực hệ phi tuyến yếu, mà cịn có hiệu lực hệ phi tuyến trung bình mạnh Các kết Chương công bố báo [T1], [T2], [T3], [T4], [T5] mục “Danh mục cơng trình liên quan tới Luận án” 15 CHƯƠNG DAO ĐỘNG PHI TUYẾN CỦA DẦM MICRO VÀ NANO Trong Chương này, Dao động phi tuyến dầm micro tựa đàn hồi theo lý thuyết ứng suất cặp sửa đổi dao động phi tuyến dầm nano chịu tác dụng lực tĩnh điện (dao động phát sinh hệ vi điện tử) sử dụng lý thuyết độ dốc biến dạng phi cục khảo sát 4.1 Dao động phi tuyến dầm micro tựa đàn hồi Xét dầm micro đẳng hướng với chiều dài L kích thước mặt cắt ngang b  h Hình 4.1 Dầm micro tựa đàn hồi phi tuyến với tham số kL, kP kNL tương ứng với lớp tuyến tính Winkler, lớp cắt Pasternak lớp phi tuyến Hình 4.1 Mơ hình dầm micro tựa đàn hồi Dựa lý thuyết ứng suất cặp sửa đổi lý thuyết dầm EulerBernoulli, phương trình chuyển động dầm micro theo dịch chuyển ngang w cho bởi: 16  L   w   EI   Al  xw   EA    L  x  4  2w dx    x  w 2 w k L w  k P  k NL w3   A  q x t (4.29) Để thuận tiện cho việc tính tốn, biến khơng thứ ngun sau giới thiệu: x w I  AL4 l 6 , w , r  ,tt ,   ,   1 , L r A EI h  k r L4 k L4 k L2 qL4 K L  L , K P  P , K NL  NL ,q EI EI EI EIr x (4.33) Sử dụng phương trình (4.33), phương trình chuyển động (4.29) đưa dạng không thứ nguyên sau:   2 w  w   w  2 w 2 w  dx  K w  K  K w   q   L P NL   x  0  x  x t  x (4.34) Sử dụng phương pháp tuyến tính hóa tương đương trung bình có trọng số, tần số phi tuyến xấp xỉ dầm micro cho bởi: - Với dầm micro hai đầu tựa lề: 4   K NL    4  NL  (    K P  K L )  0.72  (4.55) - Với dầm micro hai đầu ngàm:   35   16  NL       K P  K L   0.72   K NL   (4.56)    48  17 So sánh tỉ số tần số NL / L (tỉ số tần số phi tuyến NL tần số tuyến tính L ) dầm vĩ mô (macrobeams) sử dụng phương pháp khác thể Bảng 4.1 Có thể thấy kết thu Luận án tốt kết Şimşek (đặc biệt dầm hai đầu ngàm) Bảng 4.1 So sánh tỉ số tần số dầm vĩ mô Biên độ ban đầu α Dầm hai đầu tựa lề Dầm hai đầu ngàm Azrar vcs [49] Simsek [65] (sai số %) Luận án (sai số %) Azrar vcs [49] Simsek [65] (sai số %) Luận án (sai số %) 1.0891 1.3177 1.6256 - 1.0863 (0.26) 1.3114 (0.48) 1.6186 (0.43) 1.9697 (-) 1.0221 1.0897 (0.06) 1.3228 (0.39) 1.6393 (0.84) 2.0000 (-) 1.0231 (0.09) 1.0897 (0.37) 1.1924 (0.79) 1.3228 (1.26) 1.0222 (0.01) 1.0862 (0.06) 1.1853 (0.19) 1.3115 (0.39) 1.0856 1.1831 1.3064 Hình 4.5 Sự thay đổi tỉ số tần số tần số phi tuyến dầm micro hai đầu tựa lề theo tham số chiều dài vật liệu với KL = 50, KP = 30 KNL=50 Ảnh hưởng tham số tỉ lệ chiều dài vật liệu đến đáp ứng dao động phi tuyến dầm micro thể Hình 4.5 4.6 18 Ta thấy tham số tỉ lệ chiều dài vật liệu làm giảm tỉ số tần số dầm micro tần số tuyến tính tần số phi tuyến dầm micro tăng tham số tỉ lệ chiều dài vật liệu tăng Hình 4.6 Sự thay đổi tỉ số tần số tần số phi tuyến dầm micro hai đầu ngàm theo tham số chiều dài vật liệu với KL = 50, KP = 30 KNL=50 Ảnh hưởng tỉ số độ cứng chống uốn (    Al EI ) đến tỉ số tần số dầm micro thể Hình 4.10 Có thể thấy tỉ số độ cứng chống uốn làm giảm tỉ số tần số dầm micro, ảnh hưởng tương tự ảnh hưởng tham số tỉ lệ chiều dài vật liệu Hình 4.10 Sự thay đổi tỉ số tần số dầm micro theo tỉ số độ cứng chống uốn với KL = 10, KP = 10, KNL = 10 S=20; (a) - hai đầu lề, (b) - hai đầu ngàm 19 Hình 4.14 Sự thay đổi tỉ số tần số dầm micro theo tỉ số độ mảnh với KL=30, KP =50, KNL =30 θ =6; (a) - hai đầu lề, (b) - hai đầu ngàm Hình 4.14 thể thay đổi tỉ số tần số dầm micro theo tỉ số độ mảnh ( S  AL / I ) với vài giá trị khác biên độ ban đầu Có thể kết luận tỉ số tần số dầm micro tăng đơn điệu theo tỉ số độ mảnh Có thể ước lượng tỉ số độ mảnh tăng 33%, tỉ số tần số tăng khoảng 31% dầm micro hai đầu tựa lề 33% dầm micro hai đầu ngàm 4.2 Dao động dầm nano chịu tác dụng lực tĩnh điện Hình 4.18 Mơ hình dầm nano đặt hai tích điện 20 Một dầm nano với hai đầu ngàm (một đầu ngàm đầu ngàm trượt) đặt hai tích điện Hình 4.18 Dầm nano có chiều dài L, kích thước mặt cắt ngang b  h , mật độ khối lượng  , mô đun đàn hồi Young E mơ men qn tính mặt cắt ngang I Dầm chịu tác dụng lực nén dọc trục P0 Khoảng cách ban đầu từ hai tích điện đến dầm nano g0, dịng điện với điện V0 tác dụng lên hai tích điện Dựa lý thuyết độ dốc biến dạng phi cục lý thuyết dầm Euler-Bernoulli, phương trình mô tả chuyển động ngang dầm cho bởi: L   2 w  2  4 w  EA  w   w EI 1  l 2    P0     dx    (ea )  L  x  x  x x     x   2 w 4 w  2 f   A   (ea) 2   f  (ea) 2 x t  x  t (4.89) đó, f lực tĩnh điện, cho bởi: f ( x, t )   v bV02   1    2   g0  w  g0  w   (4.76) với  v  8.85pF / m số điện môi chân không Sử dụng phương pháp Galerkin, phương trình chuyển động dầm nano đưa phương trình vi phân thường sau đây: q  c1  c2 q  c3 q  c4 q  c5 q8  c6 q  c7 q3  c8 q5  c9 q  c10 q9  c11q11  0, (4.96) Áp dụng phương pháp tuyến tính hóa tương đương trung bình có trọng số, tần số xấp xỉ dầm nano biểu diễn bởi: 21 Luân án  c6  0.72c7  0.575c8  0.4836c9    10  0.4198c10  0.3722c11  0.4198c5  0.4836c4     0.575c3  0.72c2  c1  (4.124) Khi   l / L    ea / L  , mơ hình nghiên cứu Luận án trở thành mơ hình nghiên cứu Fu cộng [78], Qian cộng [79] dựa lý thuyết đàn hồi cổ điển Các tần số xấp xỉ thu phương pháp giải tích khác tần số xác liệt kê Bảng 4.8 với vài giá trị khác biên độ ban đầu  , lực nén dọc trục P điện tác dụng V Ta quan sát xác nghiệm xấp xỉ thu Luận án Luân án so với nghiệm xấp xỉ thu phương pháp cân lượng EBM phương pháp biến phân VA Bảng 4.8 So sánh tần số xấp xỉ với tần số xác MEMS α P V Chính xác [79] EBM [78] Luân án VA 0.3 0.3 0.6 0.6 10 10 10 10 20 10 20 26.8372 16.6486 28.5382 18.5902 26.3867 16.3829 26.5324 17.5017 26.7577 16.5865 28.2199 18.5507 26.3644 16.3556 26.1671 17.0940 22 Hình 4.21 Sự thay đổi tần số phi tuyến (a) tỉ số tần số (b) theo tham số phi cục với vài giá trị khác biên độ ban đầu Ảnh hưởng tham số phi cục (   ea / L ) đến tần số phi tuyến tỉ số tần số dầm nano thể Hình 4.21 với giá trị tham số chọn   0.3 , P  ,   0.2 , V  10 ,   40 Có thể thấy tăng giá trị tham số phi cục  , tần số phi tuyến giảm, tỉ số tần số lại tăng Điều hoàn toàn phù hợp với lý thuyết đàn hồi phi cục [59, 60], tham số phi cục làm giảm độ cứng dầm nano, tần số phi tuyến giảm tăng giá trị tham số phi cục Hình 4.24 Sự thay đổi tần số phi tuyến (a) tỉ số tần số (b) theo tham số tỉ lệ chiều dài vật liệu với vài giá trị khác biên độ ban đầu Ảnh hưởng tham số tỉ lệ chiều dài vật liệu (   l / L ) đến tần số phi tuyến tỉ số tần số dầm nano thể Hình 4.24 tương ứng với hai trường hợp chọn tham số   0.2, P  ,   0.2 , V  10   60 Tham số tỉ lệ chiều dài vật liệu có ảnh hưởng làm tăng độ cứng dầm nano, vậy, tần số phi tuyến dầm nano tăng tăng giá trị tham số tỉ lệ chiều dài vật liệu; điều phù hợp với lý thuyết độ dốc biến dạng [61-63] Tốc độ tăng tần số tuyến tính nhanh so với tốc độ tăng tần số 23 phi tuyến tham số tỉ lệ chiều dài vật liệu tăng, vậy, tỉ số tần số dầm nano giảm Với giá trị tham số chọn   0.2 ,   0.2 , P  10 ,   0.1 V  10 , Hình 4.26 thể thay đổi tần số phi tuyến tỉ số tần số dầm nano theo tỉ số độ mảnh với vài giá trị khác biên độ ban đầu Có thể thấy tần số phi tuyến tỉ số tần số dầm nano tăng tăng giá trị tỉ số độ mảnh Hình 4.26 Sự thay đổi tần số phi tuyến (a) tỉ số tần số (b) theo tỉ số độ mảnh với vài giá trị khác biên độ ban đầu Hình 4.28 Sự thay đổi tần số phi tuyến (a) tỉ số tần số (b) theo lực nén dọc trục với vài giá trị khác biên độ ban đầu 24 Các Hình 4.28 4.30 thể ảnh hưởng lực nén dọc trục P điện tác dụng V đến đáp ứng dao động dầm nano, tương ứng Trong đó, Hình 4.28 vẽ với giá trị   0.2 ,   0.2 ,   0.2 ,   30 V  15 ; cịn Hình 4.30 vẽ với giá trị   0.2 ,   0.2 ,   0.2 ,   30 , P  20 Có thể kết luận lực nén dọc trục điện tác dụng làm giảm tần số phi tuyến làm tăng tỉ số tần số dầm nano Hình 4.30 Sự thay đổi tần số phi tuyến (a) tỉ số tần số (b) theo điện tác dụng với vài giá trị khác biên độ ban đầu Kết luận Chương Phương pháp tuyến tính hóa tương đương trung bình có trọng số áp dụng để phân tích tốn dao động phi tuyến dầm micro tựa đàn hồi theo lý thuyết ứng suất cặp sửa đổi dao động phi tuyến dầm nano chịu tác dụng lực tĩnh điện theo lý thuyết độ dốc biến dạng phi cục So sánh nghiệm giải tích thu với nghiệm giải tích sử dụng phương pháp khác, nghiệm số nghiệm xác cho thấy xác kết thu Nội dung Chương công bố tài liệu [T6], [T7], [T8] [T9] “Danh mục cơng trình liên quan đến Luận án” 25 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Với mục tiêu áp dụng phương pháp tuyến tính hóa tương đương kết hợp với trung bình có trọng số phân tích đáp ứng hệ dao động phi tuyến không cản Các kết thu Luận án bao gồm: - Phát triển phương pháp hồn chỉnh kết hợp phương pháp tuyến tính hóa tương đương trung bình có trọng số để phân tích dao động phi tuyến tiền định không cản hệ bậc tự - Áp dụng phương pháp đề xuất để phân tích dao động phi tuyến số hệ dao động phi tuyến tự không cản bậc tự hệ liên tục (dầm micro nano) Theo đó, kết thu từ Luận án bao gồm: - Đã làm rõ tính chất trung bình có trọng số, liên hệ trung bình có trọng số với trung bình cổ điển, liên hệ giá trị trung bình có trọng số với phép biến đổi Laplace ưu điểm trung bình có trọng số so với trung bình cổ điển - Đã áp dụng phương pháp đề xuất để phân tích đáp ứng hệ dao động phi tuyến tự không cản bậc tự dao động phi tuyến Duffing, dao động Duffing-điều hịa, dao động Duffing với dạng giếng đơi, dao động phi tuyến với số mũ hữu tỉ dao động phi tuyến với không liên tục Độ xác nghiệm giải tích thu được kiểm chứng với nghiệm số, nghiệm xác (nếu có) nghiệm giải tích sử dụng phương pháp khác Kết cho thấy phương pháp đề xuất thu nghiệm xác nhiều so với phương pháp giải tích gần khác chẳng hạn phương pháp cân 26 lượng, phương pháp công thức biên độ - tần số, phương pháp biến phân phương pháp nhiễu đồng luân Phương pháp đề xuất không hiệu hệ phi tuyến yếu hiệu hệ phi tuyến mạnh - Đã áp dụng phương pháp đề xuất để phân tích dao động phi tuyến dầm micro tựa đàn hồi dầm nano chịu tác dụng lực tĩnh điện Sự xác lời giải thu hai mơ hình kiểm chứng việc so sánh với lời giải thu phương pháp giải tích khác, lời giải số Kết cho thấy, kết thu xác so với kết thu áp dụng phương pháp biến phân (đối với mơ hình dầm micro tựa đàn hồi), phương pháp cân lượng phương pháp biến phân (đối với mơ hình dầm nano chịu tác dụng lực tĩnh điện) Bên cạnh đó, ảnh hưởng tham số khác hệ đến đáp ứng dao động dầm micro nano khảo sát thảo luận Hướng nghiên cứu - Điểm đặc biệt trung bình có trọng số phụ thuộc vào tham số điều chỉnh s Thông qua việc khảo sát loạt dạng khác hệ dao động phi tuyến tự không cản, Luận án lựa chọn tham số điều chỉnh s=2, kết thu cho thấy xác so với phương pháp giải tích khác Tuy nhiên, kết nghiên cứu cho thấy giá trị tối ưu tham số s thay đổi theo toán khác Việc lựa chọn tham số tối ưu cho tham số điều chỉnh s vấn đề mà Luận án chưa thực cần nghiên cứu sâu liên hệ giá trị trung bình có trọng số số chuẩn toán học Đây hướng nghiên cứu Luận án 27 - Phát triển phương pháp đề xuất để phân tích đáp ứng hệ dao động phi tuyến không cản nhiều bậc tự do, toán dao động phi tuyến cưỡng khơng cản chí tốn dao động phi tuyến có cản DANH MỤC CƠNG TRÌNH LIÊN QUAN TỚI LUẬN ÁN [T1] N D Anh, N Q Hai, D V Hieu The Equivalent Linearization Method with a Weighted Averaging for Analyzing of Nonlinear Vibrating Systems Latin American Journal of Solids and Structures, 2017; 14(9):1723-1740 (SCIE Journal, Q2) [T2] D V Hieu, N Q Hai, D T Hung The Equivalent Linearization Method with a Weighted Averaging for Solving Undamped Nonlinear Oscillators Journal of Applied Mathematics, Volume 2018, Article ID 7487851, 15 pages (SCOPUS Journal, Q4) [T3] D V Hieu, N Q Hai Analyzing of Nonlinear Generalized Duffing Oscillators Using the Equivalent Linearization Method with a Weighted Averaging Asian Research Journal of Mathematics, 2018; 9(1):1-14; Article no.ARJOM.40684 [T4] Dang Van Hieu A New Approximate Solution for a Generalized Nonlinear Oscillator International Journal of Applied and Computational Mathematics, 2019; 5:126 (SCOPUS Journal, Q3) [T5] Van Hieu – Dang An Approximate Solution for a Nonlinear Duffing – Harmonic Oscillator Asian Research Journal of Mathematics, 2019; 15(4):1-14; Article no.ARJOM.52367 [T6] Dang Van Hieu Postbuckling and Free Nonlinear Vibration of Microbeams Based on Nonlinear Elastic Foundation Mathematical 28 Problems in Engineering, Volume 2018, Article ID 1031237, 17 pages (SCIE Journal, Q2) [T7] Van-Hieu Dang, Dong-Anh Nguyen, Minh-Quy Le, Quang-Hai Ninh Nonlinear vibration of microbeams based on the nonlinear elastic foundation using the equivalent linearization method with a weighted averaging Archive of Applied Mechanics, 2020; 90, pages 87–106 (SCIE Journal, Q2) [T8] Dang Van Hieu, Ninh Quang Hai Analysis of a nonlinear oscillator arising in the Microelectromechanical system 10th National Conference on Mechanics, Vol 1, pp.126-133, Hanoi (2017) [T9] Van-Hieu Dang, Dong-Anh Nguyen, Minh-Quy Le, The-Hung Duong Nonlinear vibration of nanobeams under electrostatic force based on the nonlocal strain gradient theory International Journal of Mechanics and Materials in Design, 2020, 16:289–308 (SCIE Journal, Q1) ... dao động phi tuyến tiền định giá trị trung bình có trọng số số tính chất trung bình có trọng số 1.1 Phương pháp tuyến tính hóa tương đương cho hệ dao động phi tuyến tiền định Xét dao động phi tuyến. .. pháp tuyến tính hóa tương đương trung bình có trọng số để phân tích dao động phi tuyến tiền định không cản hệ bậc tự - Áp dụng phương pháp đề xuất để phân tích dao động phi tuyến số hệ dao động phi. .. tham số s gọi tham số điều chỉnh Giá trị trung bình có trọng số có số tính chất; cụ thể, s  , giá trị trung bình có trọng số trở thành giá trị trung bình cổ điển; giá trị trung bình có trọng số