BT Dao Ham (Full)

1. Đònh nghóa đạo hàm tại một điểm • Cho hàm số y = f(x) xác đònh trên khoảng (a; b) và x 0 ∈ (a; b): 0 0 0 x x 0 f(x) f(x ) f '(x ) lim x x → − = − = x 0 y lim x ∆ → ∆ ∆ (∆x = x – x 0 , ∆y = f(x 0 + ∆x) – f(x 0 ) • Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x 0 thì nó liên tục tại diểm đó. 2. Ý nghóa của đạo hàm • Ý nghóa hình học: + f ′ (x 0 ) là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thò hàm số y = f(x) tại ( ) 0 0 M x ;f(x ) . + Khi đó phương trình tiếp tuyến của đồ thò hàm số y = f(x) tại ( ) 0 0 M x ;f(x ) là: y – y 0 = f ′ (x 0 ).(x – x 0 ) • Ý nghóa vật lí: + Vận tốc tức thời của chuyển động thẳng xác đònh bởi phương trình s = s(t) tại thời điểm t 0 là v(t 0 ) = s ′ (t 0 ). + Cường độ tức thời của điện lượng Q = Q(t) tại thời điểm t 0 là I(t 0 ) = Q ′ (t 0 ). 3. Qui tắc tính đạo hàm • (C)' = 0 (x)′ = 1 (x n )′ = n.x n–1 n N n 1   ∈  ÷ >   ( ) 1 x 2 x ′ = • (u ± v)′ = u′ ± v′ (uv)′ = u′v + v′u 2 u u v v u v v ′   ′ − ′ =  ÷   (v ≠ 0) (ku)′ = ku′ 2 1 v v v ′   ′ = −  ÷   • Đạo hàm của hàm số hợp: Nếu u = g(x) có đạo hàm tại x là u ′ x và hàm số y = f(u) có đạo hàm tại u là y ′ u thì hàm số hợp y = f(g(x) có đạo hàm tại x là: x u x y y .u′ = ′ ′ 4. Đạo hàm của hàm số lượng giác • x 0 sinx lim 1 x → = ; 0 x x sin u(x) lim 1 u(x) → = (với 0 x x lim u(x) 0 → = ) • (sinx)′ = cosx (cosx)′ = – sinx ( ) 2 1 tanx cos x ′ = ( ) 2 1 cot x sin x ′ = − 5. Vi phân • dy df(x) f (x). x= = ′ ∆ • 0 0 0 f(x x) f(x ) f (x ). x+ ∆ ≈ + ′ ∆ 6. Đạo hàm cấp cao • [ ] f ''(x) f '(x) ′ = ; [ ] f '''(x) f ''(x) ′ = ; (n) (n 1) f (x) f (x) − ′   =   (n ∈ N, n ≥ 4) • Ý nghóa cơ học: Gia tốc tức thời của chuyển động s = f(t) tại thời điểm t 0 là a(t 0 ) = f ′′ (t 0 ). Trang 1 CHƯƠNG V đạo hàm CHƯƠNG V đạo hàm VẤN ĐỀ 1: Tính đạo hàm bằng đònh nghóa Để tính đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x 0 bằng đònh nghóa ta thực hiện các bước: B1: Giả sử ∆ x là số gia của đối số tại x 0 . Tính ∆ y = f(x 0 + ∆ x) – f(x 0 ). B2: Tính x 0 y lim x ∆ → ∆ ∆ . Bài 1: Dùng đònh nghóa tính đạo hàm của các hàm số sau tại điểm được chỉ ra: a) 2 y f(x) 2x x 2= = − + tại 0 x 1= b) y f(x) 3 2x= = − tại x 0 = –3 c) 2x 1 y f(x) x 1 + = = − tại x 0 = 2 d) y f(x) sinx= = tại x 0 = 6 π e) 3 y f(x) x= = tại x 0 = 1 f) 2 x x 1 y f(x) x 1 + + = = − tại x 0 = 0 Bài 2: Dùng đònh nghóa tính đạo hàm của các hàm số sau: a) 2 f(x) x 3x 1= − + b) 3 f(x) x 2x= − c) f(x) x 1, (x 1)= + > − d) 1 f(x) 2x 3 = − e) f(x) sinx= f) 1 f(x) cosx = VẤN ĐỀ 2: Tính đạo hàm bằng công thức Để tính đạo hàm của hàm số y = f(x) bằng công thức ta sử dụng các qui tắc tính đạo hàm. Chú ý qui tắc tính đạo hàm của hàm số hợp. Bài 1: Tính đạo hàm của các hàm số sau: a) 4 3 1 y 2x x 2 x 5 3 = − + − b) 2 3 2 y x x x. 3 x = − + c) 3 2 y (x 2)(1 x )= − − d) 2 2 2 y (x 1)(x 4)(x 9)= − − − e) 2 y (x 3x)(2 x)= + − f) ( ) 1 y x 1 1 x   = + −  ÷   g) 3 y 2x 1 = + h) 2x 1 y 1 3x + = − i) 2 2 1 x x y 1 x x + − = − + k) 2 x 3x 3 y x 1 − + = − l) 2 2x 4x 1 y x 3 − + = − m) 2 2 2x y x 2x 3 = − − Bài 2: Tính đạo hàm của các hàm số sau: a) 2 4 y (x x 1)= + + b) 2 5 y (1 2x )= − c) 3 2x 1 y x 1   + =  ÷ −   d) 2 3 (x 1) y (x 1) + = − e) 2 2 1 y (x 2x 5) = − + f) ( ) 4 2 y 3 2x= − Bài 3: Tính đạo hàm của các hàm số sau: a) 2 y 2x 5x 2= − + b) 3 3 y x x 2= − + c) y x x= + d) 2 y (x 2) x 3= − + e) 2 4x 1 y x 2 + = + f) 2 4 x y x + = g) 3 x y x 1 = − h) 3 y (x 2)= − i) ( ) 3 y 1 1 2x= + − Trang 2 Bài 4: Tính đạo hàm của các hàm số sau: a) 2 sinx y 1 cosx   =  ÷ +   b) y x.cosx= c) 3 y sin (2x 1)= + d) y cot 2x= e) 2 y sin 2 x= + f) y sinx 2x= + g) 3 5 2 1 y tan2x tan 2x tan 2x 3 5 = + + h) 2 3 y 2sin 4x 3cos 5x= − i) 2 3 y (2 sin 2x)= + k) ( ) 2 2 y sin cos x tan x= l) 2 x 1 y cos x 1   + =  ÷  ÷ −   Bài 5: Cho n là số nguyên dương. Chứng minh rằng: a) n n 1 (sin x.cosnx)' nsin x.cos(n 1)x − = + b) n n 1 (sin x.sinnx)' n.sin x.sin(n 1)x − = + c) n n 1 (cos x.sinnx)' n.cos x.cos(n 1)x − = + d) n n 1 (cos x.cosnx)' n.cos x.sin(n 1)x − = − + VẤN ĐỀ 3: Phương trình tiếp tuyến của đồ thò hàm số y = f(x) 1. Phương trình tiếp tuyến tại điểm M(x 0 , y 0 ) (C)∈ là: 0 0 0 y y f '(x )(x x )− = − (*) 2. Viết phương trình tiếp tuyến với (C), biết tiếp tuyến có hệ số góc k: + Gọi x 0 là hoành độ của tiếp điểm. Ta có: 0 f (x ) k′ = (ý nghóa hình học của đạo hàm) + Giải phương trình trên tìm x 0 , rồi tìm 0 0 y f(x ).= + Viết phương trình tiếp tuyến theo công thức (*) 3. Viết phương trình tiếp tuyến (d) với (C), biết (d) đi qua điểm A(x 1 , y 1 ) cho trước: + Gọi (x 0 , y 0 ) là tiếp điểm (với y 0 = f(x 0 )). + Phương trình tiếp tuyến (d): 0 0 0 y y f '(x )(x x )− = − (d) qua A 1 1 1 0 0 1 0 (x , y ) y y f '(x ) (x x ) (1)⇔ − = − + Giải phương trình (1) với ẩn là x 0 , rồi tìm 0 0 y f(x )= và 0 f '(x ). + Từ đó viết phương trình (d) theo công thức (*). 4. Nhắc lại: Cho ( ∆ ): y = ax + b. Khi đó: + d (d) ( ) k a⁄⁄ ∆ ⇒ = + d 1 (d) ( ) k a ⊥ ∆ ⇒ = − Bài 1: Cho hàm số (C): 2 y f(x) x 2x 3.= = − + Viết phương trình tiếp với (C): a) Tại điểm có hoành độ x 0 = 1. b) Song song với đường thẳng 4x – 2y + 5 = 0. c) Vuông góc với đường thẳng x + 4y = 0. d) Vuông góc với đường phân giác thứ nhất của góc hợp bởi các trục tọa độ. Bài 2: Cho hàm số 2 2 x x y f(x) x 1 − + = = − (C). a) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M(2; 4). b) Viết phương trình ttiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến có hệ số góc k = 1. Bài 3: Cho hàm số 3x 1 y f(x) 1 x + = = − (C). a) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm A(2; –7). b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) với trục hoành. Trang 3 c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) với trục tung. d) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến song song với d: 1 y x 100 2 = + . e) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến vuông góc với ∆: 2x + 2y – 5 = 0. Bài 4: Cho hàm số (C): 3 2 y x 3x .= − a) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thò (C) tại điểm I(1, –2). b) Chứng minh rằng các tiếp tuyến khác của đồ thò (C) không đi qua I. Bài 5: Cho hàm số (C): 2 y 1 x x .= − − Tìm phương trình tiếp tuyến với (C): a) Tại điểm có hoành độ x 0 = 1 . 2 b) Song song với đường thẳng x + 2y = 0. VẤN ĐỀ 4: Tính đạo hàm cấp cao 1. Để tính đạo hàm cấp 2, 3, 4, . ta dùng công thức: (n) n 1 / y (y ) . − = 2. Để tính đạo hàm cấp n: • Tính đạo hàm cấp 1, 2, 3, . từ đó dự đoán công thức đạo hàm cấp n. • Dùng phương pháp quy nạp toán học để chứng minh công thức đúng. Bài 1: Cho hàm số f(x) 3(x 1)cosx= + . a) Tính f '(x),f ''(x) b) Tính f ''( ), f '' ,f ''(1) 2   π π  ÷   Bài 2: Tính đạo hàm của các hàm số đến cấp được chỉ ra: a) y cosx, y'''= b) 4 3 2 y 5x 2x 5x 4x 7, y''= − + − + c) x 3 y , y'' x 4 − = + d) 2 y 2x x , y''= − e) y xsinx, y''= f) y xtan x, y''= g) 2 3 y (x 1) ,y''= + h) 6 3 (4) y x 4x 4, y= − + i) (5) 1 y , y 1 x = − Bài 3: Cho n là số nguyên dương. Chứng minh rằng: a) (n) n n 1 1 ( 1) n! 1 x (1 x) +   − =  ÷ + +   b) (n) n. (sinx) sin x 2   π = +  ÷   c) (n) n. (cosx) cos x 2   π = +  ÷   Bài 4: Tính đạo hàm cấp n của các hàm số sau: a) 1 y x 2 = + b) 2 1 y x 3x 2 = − + c) 2 x y x 1 = − d) 1 x y 1 x − = + e) 2 y sin x= f) 4 4 y sin x cos x= + Bài 5: Chứng minh các hệ thức sau với các hàm số được chỉ ra: a) y xsinx xy'' 2(y' sinx) xy 0  =  − − + =  b) 2 3 y 2x x y y'' 1 0   = −  + =   c) 2 2 2 y xtanx x y'' 2(x y )(1 y) 0  =  − + + =  d) 2 x 3 y x 4 2y (y 1)y''  − =   +  ′ = −  Trang 4 VẤN ĐỀ 5: Tính giới hạn dạng 0 x x sinu(x) lim u(x) → Ta sử dụng các công thức lượng giác để biến đổi và sử dụng công thức 0 x x sinu(x) lim 1 u(x) → = (với 0 x x lim u(x) 0 → = ) Bài 1: Tính các giới hạn sau: a) x 0 sin3x lim sin2x → b) 2 x 0 1 cosx lim x → − c) 2 x 2 1 sinx lim x 2 π → −   π −  ÷   d) x 4 cosx sin x lim cos2x π → − e) x 0 1 sinx cosx lim 1 sin x cosx → + − − − f) x 0 tan2x lim sin5x → g) x 2 lim x tan x 2 π →   π −  ÷   h) x 6 sin x 6 lim 3 cosx 2 π →   π −  ÷   − VẤN ĐỀ 6: Các bài toán khác Bài 1: Giải phương trình f '(x) 0= với: a) f(x) 3cosx 4sinx 5x= − + b) f(x) cosx 3 s ón 2x 1= + + − c) 2 f(x) sin x 2cosx= + d) cos4x cos6x f(x) sinx 4 6 = − − e) 3 x f(x) 1 sin( x) 2cos 2 π + = − π + + f) f(x) sin3x 3 cos3x 3(cosx 3sin x)= − + − Bài 2: Giải phương trình f '(x) g(x)= với: a) 4 f(x) sin 3x g(x) sin6x  =  =  b) 3 f(x) sin 2x g(x) 4cos2x 5sin4x  =  = −  c) 2 2 2 x f(x) 2x cos 2 g(x) x x sinx  =    = −  d) 2 x f(x) 4xcos 2 x g(x) 8cos 3 2xsinx 2  =     = − −   Bài 3: Giải bất phương trình f '(x) g'(x)> với: a) 3 2 f(x) x x 2, g(x) 3x x 2= + − = + + b) 2 3 2 3 x f(x) 2x x 3, g(x) x 3 2 = − + = + − c) 3 2 f(x) , g(x) x x x = = − Bài 4: Xác đònh m để các bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x ∈ R: a) 3 2 mx f '(x) 0 với f(x) 3x mx 5 3 > = − + − b) 3 2 mx mx f '(x) 0 với f(x) (m 1)x 15 3 2 < = − + + − Trang 5