Tối ưu dạng trong cơ học chất lỏng

LÊ VĂN CHIẾN BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI - LÊ VĂN CHIẾN TOÁN ỨNG DỤNG TỐI ƯU DẠNG TRONG CƠ HỌC CHẤT LỎNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGÀNH: TOÁN ỨNG DỤNG 2017B HÀ NỘI - 2018 ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI LUẬN VĂN THẠC SĨ Tối ưu dạng học chất lỏng Học viên: Giảng viên hướng dẫn: Lê Văn CHIẾN TS Tạ Thị Thanh MAI Luận văn thực chương trình Thạc sĩ Khoa học Toán ứng dụng Viện Toán ứng dụng Tin học Ngày 26 tháng năm 2018 i Lời cam đoan Tôi, Lê Văn Chiến, cam đoan luận văn thạc sĩ với tiêu đề “Tối ưu dạng học chất lỏng” cơng trình nghiên cứu khoa học riêng tơi Tơi xin xác nhận rằng: • Luận văn thực chủ yếu chương trình Thạc sĩ Khoa học Toán ứng dụng Viện Toán ứng dụng Tin học, Đại học Bách Khoa Hà Nội • Bất kỳ nội dung luận văn sử dụng tài liệu khác nêu rõ ràng • Tất tài liệu sử dụng để tham khảo trích dẫn đầy đủ Ngồi trích dẫn đó, luận văn hồn tồn kết tơi nhóm nghiên cứu • Mọi giúp đỡ q trình thực luận văn ghi nhận cảm ơn Chữ ký: Ngày: ii ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI Tóm tắt nội dung Viện Tốn ứng dụng Tin học Thạc sĩ Khoa học Toán ứng dụng Tối ưu dạng học chất lỏng Lê Văn CHIẾN Trong luận văn này, tác giả trình bày thuật toán giải số cho toán tối ưu dạng học chất lỏng Phần đầu tiên, lược đồ mơ số cho hệ phương trình dịng chảy Navier-Stokes trình bày, dựa phương pháp đặc trưng phương pháp phần tử hữu hạn Trong nội dung luận văn, tác giả nghiên cứu tốn cực tiểu hóa hàm lượng tiêu tán dịng chảy nhớt mơ tả hệ phương trình Stokes, với ràng buộc thể tích Cách tiếp cận toán dựa lý thuyết đạo hàm dạng cổ điển phương pháp biến phân Hadamard Đạo hàm dạng hàm mục tiêu tính tốn phương pháp Lagrange thơng qua nghiệm phương trình Stokes hệ phương trình liên hợp tương ứng Một số ví dụ mơ số cho hệ phương trình Navier-Stokes cho tốn tối ưu dạng học chất lỏng với hình dạng khác trình bày Mã nguồn chương trình thuật toán phát triển phần mềm Freefem++, dựa phương pháp phần tử hữu hạn Từ khóa: Tối ưu dạng, đạo hàm dạng, học chất lỏng, phương trình Navier-Stokes, phương trình Stokes, phương pháp đặc trưng, phương pháp phần tử hữu hạn, Freefem++ iii Lời cảm ơn Lời đầu tiên, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới TS Tạ Thị Thanh Mai, người tận tình hướng dẫn, giúp đỡ động viên tác giả suốt trình thực luận văn Tác giả xin trân trọng cảm ơn Viện Toán ứng dụng Tin học, Viện Đào tạo Sau đại học, Đại học Bách Khoa Hà Nội tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trình học tập nghiên cứu Xin cảm ơn thầy cô, bạn sinh viên, học viên cao học Viện Toán ứng dụng Tin học giúp đỡ, trao đổi tác giả kiến thức kinh nghiệm quý báu để giúp cho luận văn hoàn thiện Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới hai bạn Phạm Hà Thanh Trần Minh Tâm cộng tác giúp đỡ tác giả trình nghiên cứu thực đề tài Cuối cùng, tác giả xin kính tặng người thân u niềm hạnh phúc vinh dự to lớn này! iv Mục lục Tóm tắt nội dung ii Lời nói đầu Chương Mơ số phương trình dịng chảy Navier-Stokes 1.1 Phương trình Navier-Stokes khơng nén 1.2 Phương pháp đặc trưng 10 1.2.1 Công thức Lagrange-Galerkin 10 1.2.2 Rời rạc hóa thời gian 11 1.3 Công thức biến phân 13 1.4 Rời rạc hóa không gian 18 1.5 Hệ phương trình tuyến tính rời rạc 19 1.5.1 Xây dựng hệ phương trình đại số 19 1.5.2 Giải hệ phương trình tuyến tính 20 Đánh giá ổn định sai số 21 1.6.1 Ổn định không điều kiện 22 1.6.2 Đánh giá sai số 23 Các ví dụ mơ số 27 1.7.1 Ước lượng sai số với nghiệm xác 27 1.7.2 Lid-driven cavity 28 1.7.3 Flow around cylinder 30 1.7.4 Backward facing step 33 Kết luận 37 1.6 1.7 1.8 v Chương Tối ưu dạng cho dòng chảy Stokes 38 Phát biểu toán 39 2.1.1 Phương trình dịng chảy Stokes 39 2.1.2 Bài toán tối ưu dạng 40 2.2 Phương pháp Lagrange tăng cường giải tốn tối ưu có ràng buộc 43 2.3 Biểu diễn dạng đạo hàm dạng 44 2.3.1 Phương pháp biến phân Hadamard 44 2.3.2 Tính khả vi dạng 46 2.3.3 Đạo hàm dạng hàm mục tiêu 47 Thuật toán tối ưu dạng 52 2.4.1 Phương pháp gradient giải toán tối ưu 52 2.4.2 Tính tốn hướng giảm 53 2.4.3 Giải số hệ phương trình Stokes 56 2.4.4 Thuật toán tối ưu dạng cho dòng chảy Stokes 58 Các ví dụ giải số 59 2.5.1 Thí nghiệm đường ống 60 2.5.2 Bộ khuếch tán 60 2.5.3 Đường ống kép 63 2.5.4 Chướng ngại vật 63 2.5.5 Cấu trúc phân nhánh phổi người 66 Kết luận 66 2.1 2.4 2.5 2.6 Kết luận chung 68 Các hướng nghiên cứu 69 Danh mục công trình liên quan đến luận văn cơng bố 70 Tài liệu tham khảo 78 vi Danh sách hình vẽ Hình 1.1 Minh họa xấp xỉ đường cong đặc trưng 13 Hình 1.2 Hai cặp phần tử hữu hạn thỏa mãn điều kiện tương thích rời rạc 19 Hình 1.3 Sai số chuẩn H (Ω) vận tốc u theo bước thời gian ∆t với mức lưới khác 29 Hình 1.4 Sai số chuẩn H (Ω) L2 (Ω) vận tốc u theo mức lưới h 29 Hình 1.5 Lid-driven cavity: Miền tính tốn điều kiện biên 31 Hình 1.6 Lid-driven cavity: Streamlines với Re = 1000, 5000 10000 31 Hình 1.7 Lid-driven cavity: So sánh áp suất dịng chảy với Re = 10000, từ trái qua phải: kết [56], [38] kết Hình 1.8 31 Lid-driven cavity: Vận tốc u đường thẳng x = 0.5 y = 0.5 với số Reynolds khác 32 Hình 1.9 Flow around cylinder: Miền tính tốn điều kiện biên 34 Hình 1.10 Flow around cylinder: Streamlines dòng chảy t = 2s với số Reynolds khác Hình 1.11 34 Flow around cylinder: Áp suất dòng chảy t = 2s với số Reynolds khác 35 Hình 1.12 Backward facing step: Miền tính tốn điều kiện biên 36 Hình 1.13 Backward facing step: Streamlines dòng chảy t = 100s Từ xuống dưới: Re = 100, 1000 5000 Hình 1.14 36 Backward facing step: Áp suất dòng chảy t = 100s Từ xuống dưới: Re = 100, 1000 5000 36 Hình 2.1 Dịng chảy Stokes miền Ω 40 Hình 2.2 Biến phân ( I + θ ) dạng Ω cho trước 45 vii Hình 2.3 Thí nghiệm đường ống đơn: Mơ hình toán Hình 2.4 Thí nghiệm đường ống đơn: Quá trình biến dạng miền Từ trái sang phải: bước thứ 1, 46 241 Hình 2.5 61 61 Thí nghiệm đường ống đơn: Quá trình hội tụ Từ trái qua phải, từ xuống dưới: J (Ω), Vol(Ω), L(Ω, l, b) l 61 Hình 2.6 Thí nghiệm khuếch tán: Mơ hình tốn 62 Hình 2.7 Thí nghiệm khuếch tán: Q trình biến dạng miền Từ trái sang phải: bước thứ 1, 16 106 Hình 2.8 62 Thí nghiệm khuếch tán: Q trình hội tụ Từ trái qua phải, từ xuống dưới: J (Ω), Vol(Ω), L(Ω, l, b) l 62 Hình 2.9 Thí nghiệm đường ống kép: Mơ hình tốn 64 Hình 2.10 Thí nghiệm đường ống kép: Q trình biến dạng Từ trái qua phải: bước thứ 1, 46 301 Hình 2.11 64 Thí nghiệm đường ống kép: Quá trình hội tụ Từ trái qua phải, từ xuống dưới: J (Ω), Vol(Ω), L(Ω, l, b) l 64 Hình 2.12 Thí nghiệm chướng ngại vật: Mơ hình tốn 65 Hình 2.13 Thí nghiệm chướng ngại vật: Q trình biến dạng Từ trái qua phải, từ xuống dưới: bước thứ 1, 136 301 Hình 2.14 65 Thí nghiệm chướng ngại vật: Quá trình hội tụ Từ trái qua phải, từ xuống dưới: J (Ω), Vol(Ω), L(Ω, l, b) l 65 Hình 2.15 Thí nghiệm cấu trúc phổi người: Mơ hình tốn 67 Hình 2.16 Thí nghiệm cấu trúc phổi người: Quá trình biến dạng Từ trái qua phải, từ xuống dưới: bước thứ 1, 301 1111 Hình 2.17 67 Thí nghiệm cấu trúc phổi người: Quá trình hội tụ Từ trái qua phải, từ xuống dưới: J (Ω), Vol(Ω), L(Ω, l, b) l 67 viii Danh sách bảng Bảng 1.1 Sai số độ hội tụ vận tốc u thời điểm t = T Bảng 1.2 Lid-driven cavity: So sánh vị trí tâm xốy với số Reynolds Bảng 2.1 28 khác 30 Tham số mơ hình sử dụng thí nghiệm giải số 59 Chương Tối ưu dạng cho dòng chảy Stokes 1/4 Γin Γout Γ Γ 1/4 64 Ω Γ Γin Γ Γout 1.5 HÌNH 2.9: Thí nghiệm đường ống kép: Mơ hình tốn HÌNH 2.10: Thí nghiệm đường ống kép: Quá trình biến dạng Từ trái qua phải: bước thứ 1, 46 301 HÌNH 2.11: Thí nghiệm đường ống kép: Quá trình hội tụ Từ trái qua phải, từ xuống dưới: J (Ω), Vol(Ω), L(Ω, l, b) l Chương Tối ưu dạng cho dòng chảy Stokes 65 Γ 0.4 Γin Γ Γout Ω Γ 0.2 1.5 HÌNH 2.12: Thí nghiệm chướng ngại vật: Mơ hình tốn HÌNH 2.13: Thí nghiệm chướng ngại vật: Quá trình biến dạng Từ trái qua phải, từ xuống dưới: bước thứ 1, 136 301 HÌNH 2.14: Thí nghiệm chướng ngại vật: Q trình hội tụ Từ trái qua phải, từ xuống dưới: J (Ω), Vol(Ω), L(Ω, l, b) l Chương Tối ưu dạng cho dòng chảy Stokes 2.5.5 66 Cấu trúc phân nhánh phổi người Thí nghiệm cuối xem xét mơ hình đơn giản hóa cấu trúc phổi người, mở rộng nghiên cứu [80] Mơ hình tốn minh họa hình 2.15 Các dịng chảy vào có dạng parabol đặt đoạn biên đầu vào Γin , nằm hai điểm ( x1 , y1 ) ( x2 , y2 ), xác định sau: uin ( x, y) = s(1 − s) −(y2 − y1 ) , x2 − x1 đó, s= x1 − x y −y = x1 − x2 y1 − y2 Quá trình biến dạng biểu diễn hình 2.16, đồng thời trình hội tụ tương ứng mơ tả hình 2.17 Sau trình tối ưu, hình dạng thu xuất phân nhánh, kết hoàn toàn phù hợp với tiến hóa sinh học 2.6 Kết luận Trong chương này, ta xây dựng thuật toán giải số cho toán tối ưu dạng học chất lỏng Cụ thể, nội dung chương giải vấn đề sau: • Giới thiệu khái qt tốn tối ưu dạng nói chung tốn tối ưu dạng dịng chảy Stokes nói riêng • Trình bày phương pháp Lagrange tăng cường đưa tốn tối ưu có ràng buộc tốn tối ưu khơng ràng buộc • Trình bày lý thuyết biểu diễn dạng kết đạo hàm dạng dựa phương pháp biến phân Hadamard • Đề xuất lược đồ giải toán tối ưu dạng dòng chảy Stokes dựa phương pháp gradient phương pháp phần tử hữu hạn • Trình bày ví dụ giải số minh họa Chương Tối ưu dạng cho dòng chảy Stokes Γ Γ 1/3 Γout 67 Γin Γ Γ Ω Γ Γin Γ Γ Γin Γin 7/60 1/3 1.05 HÌNH 2.15: Thí nghiệm cấu trúc phổi người: Mơ hình tốn HÌNH 2.16: Thí nghiệm cấu trúc phổi người: Quá trình biến dạng Từ trái qua phải, từ xuống dưới: bước thứ 1, 301 1111 HÌNH 2.17: Thí nghiệm cấu trúc phổi người: Quá trình hội tụ Từ trái qua phải, từ xuống dưới: J (Ω), Vol(Ω), L(Ω, l, b) l 68 Kết luận chung Luận văn trình bày lược đồ giải số cho tốn tối ưu dạng học chất lỏng, dựa phương pháp biến phân Hadamard phương pháp phần tử hữu hạn Cụ thể, luận văn giải vấn đề sau: • Xây dựng lược đồ mơ số cho hệ phương trình Navier-Stokes, dựa phương pháp đặc trưng phương pháp phần tử hữu hạn • Đề xuất thuật toán giải số cho toán tối ưu dạng dịng chảy Stokes • Mơ thí nghiệm giải số minh họa Lược đồ giải số đề xuất cho toán tối ưu dạng học chất lỏng có ưu điểm sau đây: • Cho phép thực biến dạng phức tạp q trình tối ưu • Dễ dàng mở rộng để giải cho hình dạng khác nhau, hàm mục tiêu mơ hình học khác, chẳng hạn mơ hình đàn hồi tuyến tính, dịng đối lưu tự nhiên, • Chi phí thuật tốn vừa phải Tính hiệu độ tin cậy có lược đồ thể qua năm thí nghiệm giải số Tuy nhiên, thuật tốn có nhược điểm sau: • Dạng tối ưu thu phụ thuộc nhiều vào hình dạng ban đầu • Thuật tốn làm thay đổi hình dạng khơng làm thay đổi topology miền 69 Các hướng nghiên cứu Tác giả đề xuất hướng nghiên cứu liên quan tiếp tục phát triển từ nội dung luận văn này: • Mơ thí nghiệm giải số cho hệ phương trình Navier-Stokes cho tốn tối ưu dạng khơng gian ba chiều • Xây dựng thuật tốn tìm bước giảm tối ưu • Kết hợp sử dụng phương pháp tập mức (level set method) cho toán tối ưu dạng để thay đổi topology miền, trình bày nghiên cứu [27] • Mở rộng lược đồ giải số cho dòng chảy Navier-Stokes [15], xem xét hàm mục tiêu khác, chẳng hạn hàm cực tiểu bình phương sai số cực đại tính thấm, đề cập nghiên cứu [14] • Áp dụng lược đồ để giải toán ứng dụng tối ưu dạng nhiều mơ hình vật lý khác nhau, chẳng hạn cấu trúc đàn hồi [27], [72], cấu trúc truyền nhiệt [81], dòng đối lưu tự nhiên [82] Dựa cách tiếp cận thuật toán đề xuất, trình thực luận văn này, tác giả nghiên cứu xây dựng lược đồ giải số cho toán tối ưu dạng cấu trúc đàn hồi tuyến tính đạt kết định Tuy nhiên, hạn chế thời gian thực nên nghiên cứu trình tiếp tục hồn thiện 70 Danh mục cơng trình liên quan đến luận văn cơng bố L.V Chien, N.H Du, T.T.T Mai, T.M Tam “Characteristic finite element method for natural convection problems” May 2018 (đã gửi đăng) T.T.T Mai, L.V Chien, and P.H Thanh “Shape optimization for Stokes flows using sensitivity analysis and finite element method” Applied Numerical Mathematics 126 (2018), pp 160 –179 ISSN: 0168-9274 71 Tài liệu tham khảo [1] O Pironneau, “On optimum profiles in Stokes flow”, Journal of Fluid Mechanics, vol 59, no 1, pp 117–128, 1973 [2] ——, “On optimum design in fluid mechanics”, Journal of Fluid Mechanics, vol 64, no 1, pp 97–110, 1974 [3] B Mohammadi and O Pironneau, “Shape optimization in fluid mechanics”, Annual Review of Fluid Mechanics, vol 36, pp 255–279, 2004 [4] S Painchaud-Oullet, C Tribes, J Trepanier, and D Pelletier, “Airfoil shape optimization using a nonuniform rational b-spline parametrization under thickness constraint”, IAAA, vol 44, no 10, pp 2170–2178, 2006 [5] A Quarteroni and G Rozza, “Optimal control and shape optimization of aortocoronaric bypass anastomoses”, Mathematical Models and Methods in Applied Sciences, vol 13, no 12, pp 1801–1823, 2003 [6] V Agoshkov, A Quarteroni, and G Rozza, “A mathematical approach in the design of arterial bypass using unsteady Stokes equations”, Journal of Scientific Computing, vol 28, no 2-3, pp 139–161, 2006 [7] ——, “Shape design in aorto-coronaric bypass anastomoses using perturbation theory”, SIAM Journal on Numerical Analysis, vol 44, no 1, pp 367–384, 2006 [8] F Alouges, A DeSimone, and L Heltai, “Numerical strategies for stroke optimization of axisymmetric microswimmers”, Math Models Methods Appl Sci., vol 21, no 2, pp 361–387, 2011 [9] T Borrvall and J Petersson, “Topology optimization of fluids in Stokes flow”, International Journal for Numerical Methods in Fluids, vol 41, pp 77–107, 2003 Tài liệu tham khảo 72 [10] J Guest and J Prévost, “Topology optimization of creeping fluid flows using a Darcy-Stokes finite element”, International Journal for Numerical Methods in Engineering, vol 66, pp 461–484, 2006 [11] N Wiker, A Klarbring, and T Borrvall, “Topology optimization of regions of Darcy and Stokes flow”, International Journal for Numerical Methods in Engineering, vol 69, pp 1374–1404, 2007 [12] A Evgrafov, “Topology optimization of slightly compressible fluids”, ZAMM - Z Angew Math Mech, vol 86, no 1, pp 46–62, 2006 [13] L Olesen, F Okkels, and H Bruus, “A high-level programming-language implementation of topology optimization applied to steady-state Navier-Stokes flow”, International Journal for Numerical Methods in Engineering, vol 65, no 7, pp 975– 1001, 2006 [14] S Zhou and Q Li, “A variational level set method for the topology optimization of steady-state Navier-Stokes flow”, Journal of Computational Physics, vol 227, pp 10 178–10 195, 2008 [15] X Duan, Y Ma, and R Zhang, “Shape-topology optimization for Navier-Stokes problem using variational level set method”, Journal of Computational and Applied Mathematics, vol 222, pp 487–499, 2008 [16] J Haslinger and P Neittaanmăaki, Finite Element Approximation for Optimal Shape, Material and Topology Design Wiley, 1996, ISBN: 9780471958505 [17] M Bendsøe and O Sigmund, Topology Optimization, Theory, Methods and Applications, 2nd Springer Verlag, Berlin Heidelberg, 2003 [18] M Gunzburger, Perspectives in Flow Control and Optimization, ser Advances in Design and Control SIAM, 2003 [19] B Mohammadi and O Pironneau, Applied Shape Optimization for Fluids, 2nd Oxford University Press, 2010 Tài liệu tham khảo 73 [20] X Duan, Y Ma, and R Zhang, “Shape-topology optimization of Stokes flow via variational level set method”, Applied Mathematics and Computation, vol 202, pp 200–209, 2008 [21] V Braibant and C FIeury, “Shape optimal design using B-splines”, Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, vol 44, no 3, pp 247–267, 1984 [22] M Bendsøe and N Kikuchi, “Generating optimal topologies in structural design using a homogenization method”, Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, vol 71, pp 197–224, 1988 [23] M Bendsøe, “Methods for optimization of structural topology”, in Shape and Material, Springer- Verlag, New York, 1995 [24] G Allaire, E Bonnetier, G Francfort, and F Jouve, “Shape optimization by the homogenization method”, Numer Math., vol 76, pp 27–68, 1997 [25] G Allaire, Shape optimization by the homogenization method New York: Springer Verlag, 2002 [26] M Wang, X Wang, and D Guo, “A level set method for structural topology optimization”, Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, vol 192, pp 227–246, 2003 [27] G Allaire, F Jouve, and A Toader, “Structural optimization using shape sensitivity analysis and a level-set method”, Journal of Computational Physics, vol 194, pp 363–393, 2004 [28] M Kim, S Ha, and S Cho, “Level set–based topological shape optimization of nonlinear heat conduction problems using topological derivatives”, Mech Based Design Struct Machines, vol 37, pp 550–582, 2009 [29] S Ha and S Cho, “Topological shape optimization of heat conduction problems using level set approach”, Numerical Heat Transfer, Part B: Fundamentals: An International Journal of Computation and Methodology, vol 48, pp 67–88, 2005 Tài liệu tham khảo 74 [30] ——, “Level set-based topological shape optimization of nonlinear heat conduction problems”, Numerical Heat Transfer, part B, vol 54, pp 454–475, 2008 [31] F Hecht, “New development in freefem++”, J Numer Math., vol 20, no 3-4, pp 251–265, 2012, ISSN: 1570-2820 [32] R Temam, Navier-Stokes Equations: Theory and Numerical Analysis, ser Studies in mathematics and its applications North-Holland, 1979 [33] C Foias, O Manley, R Rosa, and R Temam, Navier-Stokes Equations and Turbulence, ser Encyclopedia of Mathematics and its Applications Cambridge University Press, 2001 [34] A Ern and J L Guermond, Theory and Practice of Finite Elements Springer, 2004, vol 159 [35] L Quartapelle, Numerical solution of the incompressible Navier-Stokes equations, English Basel ; Boston : Birkhăauser Verlag, 1993 [36] A Quarteroni, Numerical Models for Differential Problems, ser MS-A Springer, 2009, vol 2, ch 15 [37] J Benqué, B Ibler, A Keramsi, and G Labadir, “A finite element method for the Navier-Stokes equations”, Proceedings of the third international conference on the finite elements in flow problems, 1980 [38] M Ta, “Modélisation des problèmes bi-fluides par la méthode des lignes de niveau et l’adaptation du maillage : Application l’optimisation des formes”, PhD thesis, Université Pierre et Marie Curie - Paris VI, 2015 [39] K Morton, A Priestley, and E Suli, “Stability of the Lagrange-Galerkin method with non-exact integration”, RAIRO-Modélisation mathématique et analyse numérique, vol 22, no 4, pp 625–653, 1988 [40] G Fourestey, “Stabilité des méthodes de Lagrange-Galerkin du premier et du second ordre”, INRIA Rocquencourt, Tech Rep 4505, 2002 Tài liệu tham khảo 75 [41] V Girault and P Raviart, Finite Element Methods for Navier-Stokes Equations Springer Verlag, 1986 [42] A M Quarteroni and A Valli, Numerical Approximation of Partial Differential Equations, 1st ed 1994 2nd printing Springer Publishing Company, Incorporated, 2008, ISBN: 3540852670, 9783540852674 [43] O Pironneau, The finite element methods for fluids Wiley, 1989 [44] D Boffi, F Brezzi, L F Demkowicz, R G Durán, R S Falk, and M Fortin, Mixed Finite Elements, Compatibility Conditions, and Applications Springer, 2006 [45] K Arrow, L Hurwicz, and H Uzawa, Studies in linear and non-linear programming Stanford University Press, Stanford, Calif, 1958, vol II [46] J Shewchuk, An introduction to the conjugate gradient method without the agonizing pain, School of Computer Science, Carnegie Mellon University, Pittsburgh, 1994 [47] Y Saad, Iterative methods for sparse linear systems Philadelphia, PA: Society for Industrial and Applied Mathematics, 2003 [48] G Yang and P Jiang, “SSOR and ASSOR preconditioners for Block-Broyden method”, Applied Mathematics and Computation, vol 188, pp 194–205, 2007 [49] O Pironneau, “On the transport-diffusion algorithm and its applications to the Navier-Stokes equations”, Numerische Mathematik, vol 38, no 3, pp 309–332, 1982 [50] A Labovschii, “A defect correction method for the time-dependent navier-stokes equations”, Numerical Methods for Partial Differential Equations, vol 25, no 1, pp 1–25, 2009 [51] C S U Ghia K.N Ghia, “High-resolution for incompressible flow using the Navier-Stokes equations and a multigrid method”, Journal of Computational Physics, vol 48, no 3, pp 387–411, 1982 Tài liệu tham khảo 76 [52] E Erturk, T Corke, and C Gokcol, “Numerical solutions of 2D steady incompressible driven cavity flow at high Reynolds numbers”, International Journal for Numerical Methods in Fluids, vol 48, pp 747–774, 2005 [53] M Gorazd and B Mohammadi, “NSIKE- an incompressible Navier-Stokes solver for unstructured meshes”, INRIA Rocquencourt, Tech Rep 3644, 1999 [54] R Araya, G R Barrenechea, A H Poza, and F Valentin, “Convergence analysis of a residual local projection finite element method for the Navier-Stokes equations.”, SIAM J Numer Anal., vol 50, no 2, pp 669–699, 2012 [55] R Araya, A H Poza, and F Valentin, “An adaptive residual local projection finite element method for the Navier–Stokes equations”, Adv Comput Math, 2014 [56] E Hachem, B Rivaux, T Kloczko, H Digonnet, and T Coupez, “Stabilized finite element method for incompressible flows with high reynolds number”, Journal of Computational Physics, vol 229, no 23, 86438665, 2010 [57] M Schăafer, S Turek, F Durst, E Krause, and R Rannacher, “Benchmark computations of laminar flow around a cylinder”, in Flow Simulation with High-Performance Computers II: DFG Priority Research Programme Results 1993–1995, E H Hirschel, Ed Wiesbaden: Vieweg+Teubner Verlag, 1996, pp 547–566, ISBN : 978-3-322- 89849-4 [58] Z Si, Y He, and Y Wang, “Modified characteristics mixed defect-correction finite element method for the time-dependent navier–stokes problems”, Applicable Analysis, vol 94, no 4, pp 701–724, 2015 [59] B F Armaly, F Durst, J C F Pereira, and B Schonung, “Experimental and theoretical investigation of backward-facing step flow”, J Fluid Mech., vol 127, pp 473–496, 1983 [60] H Le, P Moin, and J Kim, “Direct numerical simulation of turbulent flow over a backward-facing step”, J Fluid Mech, vol 330, no 349-374, 1997 [61] A Henrot and M Pierre, Shape Variation and Optimization A Geometrical Analysis European Mathematical Society, 2018 Tài liệu tham khảo 77 [62] O Pironneau, Optimal Shape Design for Elliptic Systems Springer, 1984 [63] M Pierre and J Roche, “Numerical simulation of tridimensional electromagnetic shaping of liquid metals”, Numerische Mathematik, vol 65, no 1, pp 203–217, 1993, ISSN: 0945-3245 [64] M R Hestenes, “Multiplier and gradient methods”, Journal of Optimization Theory and Applications, vol 4, no 5, pp 303–320, 1969, ISSN: 1573-2878 [65] J Nocedal and S Wright, Numerical Optimization Springer, 2006 [66] J Hadamard, “Mémoire sur le problème d’analyse relatif l’équilibre des plaque élastiques encastrées”, Bull Soc Math France, Tech Rep., 1907 [67] J Sokolowski and J.-P Zolesio, Introduction to Shape Optimization; Shape Sensitivity Analysis, ser Series in Computational Mathematics Heidelberg: Springer, 1992, vol 16 [68] F Murat and S Simon, “Etudes de problèmes d’optimal design”, in Springer Verlag, Berlin, 1976, pp 54–62, Lecture Notes in Computer Science 41 [69] J Simon, “Differentiation with respect to the domain in boundary value problems”, Numer Funct Anal Optim., vol 2, pp 649–687, 1980 [70] G Allaire, Conception optimale de structures, Mathematiques et Applications Springer, Heidelberg, 2006, vol 58 [71] J Céa, “Conception optimale ou identification de formes, calcul rapide de la dérivée directionnelle de la fonction coˆut”, Math Model Num., vol 3, no 20, pp 371–420, 1986 [72] C Dapogny, “Shape optimization, level set methods on unstructured meshes and mesh evolution”, PhD thesis, Universite Pierre et Marie Curie, 2013 [73] M Burger, “A framework for the construction of level-set methods for shape optimization and reconstruction”, Interfaces and Free Boundaries, vol 5, pp 301–329, 2003 Tài liệu tham khảo 78 [74] F de Gournay, “Velocity extension for the level-set method and multiple eigenvalues in shape optimization”, SIAM J on Control and Optim, vol 45, no 1, pp 343– 367, 2006 [75] G Dogan, M Pedro, R Nochetto, and M Verani, “Discrete gradient flows for shape optimization and applications”, vol 196, pp 3898–3914, Aug 2007 [76] C Dapogny, P Frey, F Omnès, and Y Privat, “Geometrical shape optimization in fluid mechanics using freefem++, working paper or preprint”, Mar 2017 [77] Y Privat, “Quelques problèmes d’optimisation de formes en sciences du vivant”, PhD thesis, Université Henri Poincaré, Nancy-I, 2008 [78] V Challis and J Guest, “Level set topology optimization of fluids in Stokes flow”, International Journal for Numerical Methods in Engineering, vol 79, pp 1284– 1308, 2009 [79] Z Gao, Y Ma, and H Zhuang, “Drag minimization for stokes flow”, Applied Numerical Mathematics, vol 58, pp 827–844, 2008 [80] X D de La Sabloniere, B Mauroy, and Y Privat, “Shape minimization of the dissipated energy in dyadic trees”, Discrete and Continuous Dynamical Systems Series B, vol 16, pp 767–799, 2011 [81] W Yan, A Wang, and Y Ma, “The application of shape gradient for the incompressible fluid in shape optimization”, Mathematical Problems in Engineering, vol 2013, 2013 [82] A Joe, A Niels, A Schousboe, and S Ole, “Topology optimisation for natural convection problems”, International Journal for Numerical Methods in Fluids, vol 76, no 10, pp 699–721, 2014 ... trước [1], [2], tối ưu dạng học chất lỏng nhận nhiều quan tâm từ kỹ sư lẫn nhà toán học Tối ưu dạng học chất lỏng mang đến nhiều ứng dụng thực tế thú vị, kể tới thiết kế hình dạng tối ưu cánh máy... tối ưu dạng học chất lỏng với hình dạng khác trình bày Mã nguồn chương trình thuật tốn phát triển phần mềm Freefem++, dựa phương pháp phần tử hữu hạn Từ khóa: Tối ưu dạng, đạo hàm dạng, học chất. .. nghiên cứu khác tối ưu dạng, tối ưu topology ứng dụng chúng tham khảo thêm [3], [16]–[19] tài liệu tham khảo Mục đích luận văn xây dựng lược đồ giải số cho toán tối ưu dạng học chất lỏng Cho Ω miền