Điều khiển tối ưu lý thuyết và ứng dụng trong kinh tế

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI TRẦN NAM TRUNG TRẦN NAM TRUNG TOÁN TIN ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU LÝ THUYẾT VÀ ỨNG DỤNG TRONG KINH TẾ LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC CHUYÊN NGHÀNH: TOÁN TIN 2009-2011 Hà Nội – 2012 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI TRẦN NAM TRUNG ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU LÝ THUYẾT VÀ ỨNG DỤNG TRONG KINH TẾ LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Chuyên ngành: TOÁN TIN NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS NGUYỄN PHƯƠNG ANH Hà Nội – 2012 LỜI CẢM ƠN Trước trình bày nội dung luận văn, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Nguyễn Phương Anh người tận tình bảo, hướng dẫn giúp đỡ em suốt trình hồn thành luận văn Em xin chân thành cảm ơn tập thể cán Viện Toán ứng dụng Tin học, Viện Đào Tạo Sau Đại học, Trường Đại học Bách khoa Hà Nội, tạo điều kiện thuận lợi cho em trình học tập nghiên cứu Nhân dịp em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè bên em cổ vũ, động viên, giúp đỡ em suốt trình học tập thực luận văn Xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 26 tháng 03 năm 2012 Học viên Trần Nam Trung Mục lục Danh mục hình vẽ LỜI MỞ ĐẦU Bài toán điều khiển tối ưu với ràng buộc điều khiển 1.1 Phát biểu toán điều khiển tối ưu 1.2 Phương trình Hamilton - Jacobi - Bellman 1.3 Phương trình đồng trạng thái 10 1.4 Nguyên lý cực đại 11 1.5 Điều kiện đủ 12 1.6 Ý nghĩa kinh tế nguyên lý cực đại 14 1.6.1 Biến đồng trạng thái 14 1.6.2 Hàm Hamilton triển vọng lợi nhuận 15 1.6.3 Phương trình đồng trạng thái 16 1.6.4 Điều kiện hoành 17 Bài toán điều khiển tối ưu có ràng buộc hỗn hợp trạng thái điều khiển 18 2.1 Bài toán với ràng buộc bất đẳng thức hỗn hợp 19 2.2 Điều kiện đủ 21 2.3 Công thức giá trị thời 23 2.4 Ví dụ ứng dụng: Mơ hình Eisner - Strotz 26 Bài toán điều khiển tối ưu có ràng buộc trạng thái ràng buộc hỗn hợp 28 3.1 3.2 Ràng buộc bất đẳng thức trạng thái 28 3.1.1 Điều kiện nhảy 30 3.1.2 Ví dụ 30 Bài tốn có ràng buộc trạng thái kết hợp với ràng buộc trạng thái hỗn hợp 32 3.3 Điều kiện đủ 35 3.4 Ví dụ áp dụng: Bài tốn số dư tài khoản 36 3.4.1 Mơ hình 36 3.4.2 Giải nguyên lý cực đại 37 3.4.3 Một mở rộng số tiền bội chi bán ngắn hạn 39 Phương pháp số giải toán điều khiển tối ưu 4.1 41 Phát biểu toán 41 4.1.1 Rời rạc hóa tốn 42 4.1.2 Thuật toán 43 4.2 Ví dụ áp dụng: Mơ hình William Nordhaus 44 4.3 Ví dụ áp dụng: Bài toán tối ưu tiêu dùng đầu tư chiều 48 KẾT LUẬN 54 TÀI LIỆU THAM KHẢO 54 PHỤ LỤC 56 Danh mục hình vẽ Hình 1.1: Đường tối ưu khơng gian thời gian trạng thái Hình 3.1: Đường cong đồng trạng thái trạng thái Hình 3.2: Chính sách tối ưu khơng gian λ1 , λ2 Hình 3.3: Chính sách tối ưu khơng gian (t, λ2 /λ1 ) Hình 4.1: Quỹ đạo tối ưu mơ hình William Nordhaus ví dụ Hình 4.2: Quỹ đạo tối ưu mơ hình William Nordhaus ví dụ Hình 4.3: Quỹ đạo tối ưu tốn tiêu dùng đầu tư chiều ví dụ Hình 4.3: Quỹ đạo tối ưu tốn tiêu dùng đầu tư chiều ví dụ 4 Lời mở đầu Lý thuyết điều khiển tối ưu lĩnh vực toán học ứng dụng quan trọng xuất phát triển thập kỷ gần Phát triển từ toán tối ưu hóa cổ điển tốn biến phân, toán quy hoạch động , tốn điều khiển tối ưu tốn tìm q trình tối ưu cho hệ điều khiển mơ tả phương trình tốn học Cơng cụ lý thuyết điều khiển tối ưu mô hình phương pháp tốn học ứng dụng để giải vấn đề định tính hệ thống điều khiển Cho đến nay, lý thuyết điều khiển tối ưu phát triển thu nhiều kết quan trọng việc ứng dụng vào kỹ thuật, kinh tế tài Mục đích luận văn nghiên cứu số phương pháp giải tốn điều khiển tối ưu khơng ràng buộc có ràng buộc trạng thái, đưa ứng dụng kinh tế tài Bố cục luận văn gồm chương sau: • Chương 1: Giới thiệu phương pháp giải tốn điều khiển tối ưu có ràng buộc điều khiển • Chương 2: Giới thiệu phương pháp giải toán điều khiển tối ưu với ràng buộc hỗn hợp gồm biến điều khiển biến trạng thái • Chương 3: Giới thiệu phương pháp giải toán điều khiển tối ưu với ràng buộc bất đẳng thức kết hợp với ràng buộc hỗn hợp • Chương 4: Trình bày phương pháp số giải toán điều khiển tối ưu, ứng dụng cho mơ hình William Nordhaus tốn tối ưu tiêu dùng với đầu tư chiều Chương Bài toán điều khiển tối ưu với ràng buộc điều khiển Mục đích chương trình bày toán điều khiển tối ưu với ràng buộc điều khiển, xây dựng phương trình Hamilton - Jacobi - Bellman phương trình đồng trạng thái Sau ta phát biểu điều kiện cần điều kiện đủ tìm nghiệm toán Cuối cùng, ta đưa ý nghĩa kinh tế phần tử nguyên lý cực đại Nội dung chương tham khảo [6], [9], [10] 1.1 Phát biểu toán điều khiển tối ưu Bài toán (P1 ) đặt chương tìm hàm điều khiển u∗ liên tục khúc cực đại hàm mục tiêu: T F (x(t), u(t), t)dt + S[x(T ), T ], J= (1.1) đó, F : Rn × Rm × R1 → R1 S : Rn × R1 → R1 hàm có đạo hàm riêng liên tục thỏa mãn:     x(t) ˙ = f (x(t), u(t), t), x(0) = x0 , (1.2)   u(t) ∈ Ω ⊂ Rm , t ∈ [0, T ], đó, x(t) biến trạng thái, u(t) biến điều khiển, t biến thời gian x0 giá trị biến trạng thái thời điểm đầu Các giá trị T , x0 biết Ta giả thiết x(t) hàm liên tục khả vi khúc Điều khiển u∗ gọi điều khiển tối ưu x∗ gọi đường tối ưu hay quỹ đạo tối ưu xác định phương trình trạng thái u = u∗ Giá trị tối ưu hàm mục tiêu ký hiệu J(u∗ ) J ∗ Bài toán điều khiển tối ưu viết dạng công thức Bolza hàm mục tiêu có dạng: T J= F (x(t), u(t), t)dt + S[x(T ), T ] Bài toán có dạng Lagrange S ≡ có dạng Mayer F ≡ 1.2 Phương trình Hamilton - Jacobi - Bellman Ta gọi V (x, t) : Rn × R1 → R1 hàm lấy giá trị cực đại hàm mục tiêu cho toán điều khiển tối ưu, bắt đầu thời điểm t trạng thái x Ta có: T V (x, t) = max F (x(s), u(s), s)ds + S(x(T ), T ), u(s)∈Ω (1.3) t với s ≥ t, dx = f (x(s), u(s), s), x(t) = x ds Đầu tiên, ta giả sử hàm giá trị V (x, t) tồn với x t tập xác định Nguyên lý tối ưu Bellman có nội dung sau: "Mỗi đoạn cuối quỹ đạo trạng thái tối ưu quỹ đạo trạng thái tối ưu" Ta dùng nguyên lý tối ưu Bellman để suy điều kiện hàm giá trị V (x, t) Hình 1.1 biểu đồ thành phần tối ưu x∗ (t) không gian thời gian - trạng thái, hai điểm liền kề (x, t) (x + δx, t + δt), với δt số gia nhỏ thời gian x + δx = x(t + δt) Hàm giá trị thay đổi từ V (x, t) tới V (x + δx, t + δt) hai điểm Sự thay đổi hàm mục tiêu hình thành hai phần: Đầu tiên, thay đổi hàm J từ t tới t + δt; thứ hai, hàm giá trị V (x + δx, t + δt) thời điểm t + δt Điều khiển u(τ ) chọn để nằm Ω, τ ∈ [t, t + tτ ], để cực đại tổng hai tốn tử Ta có: x Thành phần tối ưu x∗ x + δx V (x + δx, t + δt) x V(x,t) t t + δt t Hình 1.1: Đường tối ưu mặt phẳng thời gian trạng thái t+δt V (x, t) = max F [x(τ ), u(τ ), τ ]dτ + V [x(t + δt), t + δt] , u(τ )∈Ω,τ ∈[t,t+δt] (1.4) t với δt biểu diễn số gia nhỏ t Và so sánh với phương trình định nghĩa (1.3): T V (x, t) = max F (x(s), u(s), s)ds + S(x(T ), T ), u(s)∈Ω t F hàm liên tục [t, t + δt], tồn τ ∈ [t, t + δt] cho: F (τ ) = δt t+δt F (x(t), u(t), t)dt t Ta viết lại (1.4) sau: V (x, t) = max{F (x, u, t)δt + V [x(t + δt), t + δt]} + o(δt), u∈Ω (1.5) o(δt) kí hiệu vơ bé bậc cao bậc δt Bây giờ, ta giả sử thêm hàm giá trị V hàm có đạo hàm riêng liên tục với đối số Dùng xấp xỉ Taylor với V theo đối số δt, ta có: V [x(t + δt), t + δt] = V (x, t) + [Vx (x, t)x˙ + Vt (x, t)]δt + o(δt), với Vx Vt đạo hàm riêng V (x, t) theo x t Thay x(t) ˙ = f (x(t), u(t), t) vào phương trình (1.6), sau vào (1.5) ta được: V (x, t) = max{F (x, u, t)δt + V (x, t) + Vx (x, t)f (x, u, t)δt + Vt (x, t)δt} + o(δt) u∈Ω (1.6) Hàm mục tiêu rời rạc tính sau: iT /n n J(u1 , u2, , un ) = (4.24) F (xi , ui , t)dt + S(xn ) i=1 (i−1)T /n iT /n n (−u2i − hj + hkui − haxi )ert dt + = i=1 µ (xn − xT )2 (4.25) (i−1)T /n iT /n ∂J(u) = Và r i = ∂ui F + λf ′ dt u (i−1)T /n iT /n γe−δt uγ−1 − λ dt với i= 1, ,n = (4.26) (i−1)T /n Giới thiệu chương trình Mục đích đưa quỹ đạo điều khiển theo thời gian cho tổng lượng giảm chi phí sản xuất lớn Số liệu nhập từ bàn phím bao gồm thơng số sau: - Số khoảng chia n, - Vốn đầu tư ban đầu x0 , - Các giá trị xT , ξ, β, m, γ, - Tỷ lệ chiết khấu δ, - Sai số ǫ, - Lượng tiêu dùng ban đầu u0 , Ví dụ 3: Giải tốn với liệu sau: n = 4, T = 1, ǫ = 0.3, u0 = (2, 2, 2, 2), ξ = 2, η = 0.5, β = 0.5, m = 3, δ = 0.5, γ = 0.5, x0 = 3, xT = Kết thu sau: 50 Bước lặp 0.4334 0.4476 0.4619 0.4762 0.4905 0.8693 0.8809 0.8925 0.9043 0.9161 0.8693 0.8809 0.8925 0.9043 0.9161 0.4334 0.4476 0.4619 0.4762 0.4905 0.8826 1.9476 1.8948 1.8417 1.7881 1.7343 0.2654 1.9736 1.9471 1.9203 1.8934 1.8663 1.9736 1.9471 1.9203 1.8934 1.8663 1.9476 1.8948 1.8417 1.7881 1.7343 r 0.4147 0.4179 0.4209 0.4236 0.4259 max J -3.3754 -3.3410 -3.3067 -3.2724 -3.2383 x u 34 0.8826 1.2464 1.2464 1.0833 1.0833 0.2654 0.3109 -2.3626 Quỹ đạo tối ưu thu hình 4.3 −2 −3 Gia tri ham muc tieu, u toi uu, x toi uu va chuan rk −4 10 15 20 25 Value of Objective Function 30 35 0.5 Value of Normal rk 1.5 0.5 1.5 2.5 Value of x 3.5 1.5 2.5 Value of u 3.5 Hình 4.3: Quỹ đạo tối ưu cho ví dụ Ví dụ 4: Giải tốn với liệu sau: n = 10, T = 1, ǫ = 0.03, u0 = (2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2), ξ = 2, η = 0.5, β = 0.5, m = 3, δ = 0.5, γ = 0.5, x0 = 3, xT = Kết thu sau: 51 Bước lặp 0.2434 0.2508 0.2583 0.2658 0.2733 1.1216 0.3663 0.3722 0.3780 0.3839 0.3899 1.1444 0.5051 0.5100 0.5149 0.5198 0.5248 1.1932 0.6692 0.6735 0.6778 0.6822 0.6866 1.2776 0.8687 0.8728 0.8770 0.8812 0.8855 0.8687 0.8728 0.8770 0.8812 0.8855 0.6692 0.6735 0.6778 0.6822 0.6866 1.2776 0.5051 0.5100 0.5149 0.5198 0.5248 1.1932 0.3663 0.3722 0.3780 0.3839 0.3899 1.1444 0.2434 0.2508 0.2583 0.2658 0.2733 1.1216 1.9793 1.9583 1.9372 1.9158 1.8942 0.0581 1.9827 1.9652 1.9475 1.9297 1.9118 0.0875 1.9860 1.9720 1.9577 1.9434 1.9289 0.1310 1.9892 1.9783 1.9672 1.9561 1.9449 0.2176 1.9920 1.9839 1.9758 1.9675 1.9592 1.9920 1.9839 1.9758 1.9675 1.9592 1.9892 1.9783 1.9672 1.9561 1.9449 0.2176 1.9860 1.9720 1.9577 1.9434 1.9289 0.1310 1.9827 1.9652 1.9475 1.9297 1.9118 0.0875 1.9793 1.9583 1.9372 1.9158 1.8942 0.0581 r 0.2350 0.2374 0.2398 0.6094 0.2443 max J -10.6008 -10.5614 -10.5219 -10.4823 -10.4426 x u Quỹ đạo tối ưu thu hình 4.4 52 189 1.4243 1.4243 0.4755 0.4755 0.0304 -6.4118 −5 −10 Gia tri ham muc tieu, u toi uu, x toi uu va chuan rk −15 50 100 150 Value of Objective Function 200 0.4 0.2 Value of Normal rk 1.5 1 Value of x 10 Value of u 10 0.5 Hình 4.4: Quỹ đạo tối ưu cho ví dụ 53 Kết luận Trong luận văn này, em tìm hiểu, trình bày phương pháp giải tốn điều khiển tối ưu có ràng buộc điều khiển, phương pháp giải toán điều khiển tối ưu với ràng buộc hỗn hợp gồm biến điều khiển trạng thái Chương giới thiệu phương pháp giải toán điều khiển tối ưu với ràng buộc bất đẳng thức kết hợp với ràng buộc hỗn hợp Và cuối cùng, em đưa ứng dụng thực tế cho mơ hình William Nordhaus dựa phương pháp Gradient liên hợp Trong trình thực luận văn chắn không tránh khỏi thiếu sót Vì vậy, em mong nhận nhận xét từ thầy cô đồng nghiệp Một lần nữa, em xin gửi lời cảm ơn chân thành TS Nguyễn Phương Anh tận tình hướng dẫn giúp em hoàn thành luận văn 54 Tài liệu tham khảo [1] A.Wayne Roberts, Dale E Varberg, Convex Functions, Academic Press, INC, 1973 [2] Daniel Léonard and Ngo Van Long, Optimal Control Theory and Static Optimization in Economics, Cambridge University Press, 1992 [3] Maitine Bergounioux, Optimisation et contrôle des systèmes linéaires, Dunod, 2001 [4] Nguyễn Doãn Phước, Lý thuyết điều khiển nâng cao, Nhà xuất Khoa học kỹ thuật, 2005 [5] Nguyễn Hữu Điển, Latex với gói lệnh phần mềm công cụ, Nhà xuất Đại học quốc gia Hà nội, 2008 [6] Nguyễn Khắc Minh, Tối ưu hóa động phân tích kinh tế, Nhà xuất Khoa học kỹ thuật, 2004 [7] Nguyễn Thị Bạch Kim, Các phương pháp tối ưu - Lý thuyết Thuật toán, Nhà xuất Đại học Bách Khoa Hà Nội, 2008 [8] Rockafellar, R.T Convex Analysis, Princeton University Press, Princeton, NJ, 1970 [9] Seierstad, A and Sydsester, K Optimal Control Theory with Economic Applications, North-Holland, Amsterdam, 1987 [10] Suresh P Sethi, Garald L Thompson, Applications to Management Science and Economics, Springer, 2000 55 Phụ lục Một số kết chứng minh Hàm bang Ta giới thiệu kí hiệu đặc biệt gọi hàm bang sau:    b1 W < 0,     bang[b1 , b2 ; W ] = không xác định W = 0,      b W > 2 Hàm Impulse Hàm Impulse cần thiết vài trường hợp điều khiển không biên áp dụng thời gian ngắn, để đưa bước nhảy không liên tục cho biến trạng thái Hàm Impulse định nghĩa sau dùng để đánh giá tích phân hàm mục tiêu Một hàm điều khiển Impulse thời điểm t thay đổi biến trạng thái từ x(t) = x1 tới giá trị tức thời x2 sau thời gian t x(t+ ) = x2 Để đánh giá tác động hàm Impulse tới hàm mục tiêu (1.1) ta dùng thủ tục sau: Cho ǫ > điều khiển u(ǫ) Tích phân (1.2) với t → t + ǫ với x(t) = x1 chọn u(ǫ) cho x(t + ǫ) = x2 Điều khiển cho đường cong x(τ, ǫ, u(ǫ)) với τ ∈ [t, t + ǫ] Ta được: t+ǫ imp(x1 , x2 , t) = lim F (x, u, τ )dτ ǫ→0 t 56 Nếu hàm Impulse áp dụng thời điểm t, ta tính (1.1) sau: t J= T F (x, u, τ )dτ + imp(x1 , x2 , t) + F (x, u, τ )dτ + S[x(T ), y(T )] t Xấp xỉ Taylor Công thức Taylor hàm hai biến có dạng sau: Nếu f (x, y) có tất đạo hàm riêng cấp n + lân cận điểm (a, b) lân cận triển khai hàm f (x, y) theo công thức Taylor: n f (x, y) = f (a, b) + i=1 i ∂ ∂ (x − a) + (y − b) f (a, b) + Rn (x, y) i! ∂x ∂y Trong đó: ∂ ∂ (x − a) + (y − b) Rn (x, y) = (n + 1)! ∂x ∂y n+1 f (a + θn (x − a), b + θn (y − b)) Hoặc viết dạng: dn f (a, b) df (a, b) +···+ + Rn (x, y) f (x, y) = f (a, b) + 1! n! Tập lồi Cho điểm x1 x2 thuộc Rn Tất điểm có dạng: x = λx1 + (1 − λ)x2 = x2 + λ(x1 − x2 ) với ≤ λ ≤ gọi đoạn thẳng nối x1 x2 , ký hiệu [x1 , x2 ] Tập M ⊂ Rn gọi tập lồi chứa trọn đoạn thẳng nói hai điểm thuộc nó, tức với x1 , x2 ∈ M ≤ λ ≤ ta có λx1 + (1 − λ)x2 ∈ M Ta gọi điểm x ∈ Rn có dạng: k k λi xi với λ1 , , λk ≥ x= i=1 λi = i=1 tổ hợp lồi điểm x1 , x2 , , xk ∈ Rn Nếu λi > với i = 1, , k ta nói x tổ hợp lồi chặt x1 , x2 , , xk ∈ Rn 57 Hàm lồi Hàm f gọi hàm lồi xác định tập lồi X ⊂ Rn f (λx1 + (1 − λ)x2 ) ≤ λf (x1 ) + (1 − λ)f (x2 ) với x1 , x2 ∈ X số thực λ ∈ [0, 1] Hàm f gọi hàm lõm −f hàm lồi Mệnh đề • Nếu hàm f xác định tập lồi X ⊆ Rn hàm lồi tập mức Lα (f ) = {x ∈ X|f (x) ≤ 0} tập lồi với α ∈ R • Nếu g hàm lõm xác định tập lồi khác rỗng X ⊆ Rn tập mức Lα (g) = {x ∈ X|g(x) ≥ 0} tập lồi với α ∈ R Chứng minh xem [7] Trang 31-32 Định lý Nếu f hàm khả vi tập lồi mở X ⊆ Rn Khi đó: • Hàm f hàm lồi X ′ f (y) ≥ f (x) + f (x)(y − x) • Hàm f hàm lõm X ′ f (y) ≤ f (x) + f (x)(y − x) Chứng minh Với < t ≤ ta ln có x + t(y − x) ∈ X Theo tính chất hàm lồi lồi Ta có: f (x + t(y − x)) ≤ (1 − t)f (x) + tf (y) Chia vế cho t Ta được: f (y) ≥ f (x) + f (x + t(y − x)) − f (x) t 58 Lấy giới hạn với t → Ta được: f (x + t(y − x)) − f (x) t (y − x)[f (x + t(y − x)) − f (x)] = f (x) + lim t(y−x)→0 t(y − x) f (y) ≥ f (x) + lim t→0 ′ ≥ f (x) + f (x)(y − x) Vì theo định nghĩa đạo hàm ta có: f (x0 + △x) − f (x0 ) △x→0 △x ′ f (x0 ) = lim Ngược lại, ta giả sử f khả vi thỏa mãn f (y) ≥ f (x) + f (x)(y − x) liên tục X ′ Cho x1 , x2 ∈ X, t ∈ (0, 1), ta đặt x0 = tx1 + (1 − t)x2 Thì: ′ f (x0 ) = f (x0 ) + f (x0 ) t(x1 − x0 ) + (1 − t)(x2 − x0 ) Dùng tính chất tuyến tính hàm f (x0 ) Ta viết lại là: ′ ′ ′ f (x0 ) = t[f (x0 ) + f (x1 − x0 )] + (1 − t)[f (x0 ) + f (x2 − x0 )] Bất phương trình f (y) ≥ f (x) + f (x)(y − x) thỏa mãn với x = x1 x = x2 , vậy: ′ f (x0 ) ≤ tf (x1 ) + (1 − t)f (x2 ) Ta suy f hàm lồi Suy điều phải chứng minh Nhận xét Tương tự với hàmf lõm ′ f (y) ≤ f (x) + f (x)(y − x) Hàm tựa lõm Định nghĩa Một hàm f định nghĩa tập lồi S ∈ Rn tựa lõm f (x) ≥ f (x0 ) ⇒ f (λx + (1 − λ)x0 ) ≥ f (x0 ) Với x, x0 ∈ S λ ∈ [0, 1] Định lý Một hàm f định nghĩa tập lồi U ⊆ Lα (Tập mức trên) tựa lõm với x, y ∈ U λ ∈ [0, 1] f (λx + (1 − λ)y) ≥ min{f (x), f (y)} 59 Chứng minh Cho x, y ∈ U cố định Lấy α = min{f (x), f (y)} = f (x0 ) x ∈ Lα , y ∈ Lα Do Lα lồi Ta có: λx + (1 − λ)y ∈ Lα Theo định nghĩa tập mức trên, ta có: f (λx + (1 − λ)y) ≥ α = f (x0 ) = min{f (x), f (y)} Ngược lại, giả sử Lα tập mức hàm thỏa mãn f (λx+(1−λ)y) ≥ min{f (x), f (y)} Nếu x ∈ Lα , y ∈ Lα hiển nhiên f (x) ≥ α, f (y) ≥ α Kết hợp với f (λx + (1 − λ)y) ≥ min{f (x), f (y)} ta suy ra: f (λx + (1 − λ)y) ≥ α Do đó, λx + (1 − λ)y ∈ Lα Vậy Lα tập lồi Điều phải chứng minh Định lý Một hàm f : U → R khả vi liên tục tập lồi mở U ⊆ L tựa lõm với x, y ∈ U ′ f (y) ≥ f (x) ⇒ f (x)(y − x) ≥ Chứng minh Giả sử f hàm tựa lõm f (y) ≥ f (x) Theo tính chất trên, cho < λ < : f ((1 − λ)x + λy) ≥ min{f (x), f (y)} = f (x) hay f (x + λ(y − x)) − f (x) ≥ chia vế cho 1/λ cho λ → Ta có: f (x + λ(y − x)) − f (x) ≥0 λ→0 λ (y − x)[f (x + λ(y − x)) − f (x)] ≥0 lim λ(y−x)→0 λ(y − x) lim hay f (x)(y − x) ≥ ′ 60 Điều cần suy Ngược lại, nghiên cứu hàm thỏa mãn f (y) ≥ f (x) ⇒ f (x)(y − x) ≥ Lấy hai điểm ′ cố định tùy ý x1 , x2 ∈ U để f (x1 ) ≥ f (x2 ), định nghĩa hàm khả vi φ : [0, 1] → R sau: φ(λ) = f ((1 − λ)x1 + λx2 ) = f (x1 + λ(x2 − x1 )) Vấn đề để thấy φ(λ) ≥ φ(1) với λ ∈ (0, 1) Bằng phản chứng ta giả sử φ(λ) < φ(1) với vài λ Thì tồn λ0 ∈ (0, 1) cho φ(λ0 ) < φ(1) φ (λ0 ) < ′ Ta có: ′ ′ φ (λ0 ) = f (x1 + λ0 (x2 − x1 ))(x2 − x1 ) ′ = f (x0 )(x2 − x1 ) với x0 = x1 + λ0 (x2 − x1 ) Bây f (x0 ) = φ(λ0 ) < φ(1) = f (x2 ) Theo φ (λ0 ) = ′ ′ f (x0 )(x2 − x1 ) ′ f (x0 )(x2 − x1 ) = ′ f (x0 )(x2 − x0 ) ≥ − λ0 Ta suy φ (λ0 ) ≥ trái với điều kiện giả thiết φ < ′ ′ Vậy ta có φ(λ) ≥ φ(1) hay f ((1 − λ)x1 + λx2 ) ≥ min{f (x1 ), f (x2 )} ≥ f (x2 ) Vậy hàm f hàm tựa lõm Ta có điều phải chứng minh Hàm bậc thang Hàm số f xác định [a, b] gọi hàm bậc thang, đoạn [a, b] chia thành hữu hạn khoảng △1 , △2, , △n đôi không giao nhau, cho khoảng △i , hàm số f nhận giá trị không đổi αi ,(i=1, ,n) Phương pháp Runge - Kutta Xét toán: y ′ = f (x, y) y(x0 ) = y0 với x0 < x < x0 + X 61 Giả sử, biết giá trị nghiệm nghiệm y(x) điểm x, mục đích tìm nghiệm gần y(x + h) điểm x + h thuộc miền xét Theo công thức khai triển Taylor: y(x + h) = y(x) + hy ′ (x) + hm m hm+1 (m+1) h2 ′′ y (x) + · · · + y (x) + y (c) 2! m! (m + 1)! với c ∈ (x, x + h) Rõ ràng với m lớn y(x + h) xác việc tính tốn lại phức tạp Ta đưa thuật toán Runge – Kutta sau: Đặt y(x + h) ≈ z(h) = y(x) + q r=1 pr kr (h) Trong đó: k1 (h) = hf (x, y(x)) k2 (h) = hf (x + α2 h; y(x) + β21 k1 (h)) kq (h) = hf (x + αq h; y(x) + βq1 k1 (h) + · · · + βq,q−1 kq−1 (h)) số pr , αj , βij cho: ϕ(h) = y(x + h) − z(h) đạt sai số Chỉ số q gọi bậc công thức Runge– Kutta Theo giả thiết ta có: y ′ = f (x, y) y ′′ = fx′ + fy′ yx′ = fx′ + fy′ f ′′ ′′ + f fyy + [fx′ + f.fy′ ].fy′ y ′′′ = fx′′2 + 2f.fxy Thế vào phương trình Taylor ta được: y(x + h) = y(x) + hf + + h2 ′ [f + f.fy′ ] 2! x h3 ′′ ′′ ′′ + f fyy + [fx′ + f.fy′ ].fy′ ] + [f + 2f.fxy 3! x 62 Ta suy ra: k1 (h) = hf f (x, y(x)) = h.f k2 (h) = hf (x + α2 h; y + β21 k1 (h)) = h[f + α2 hfx′ + β21 k1 (h)fy′ ] + = h[f + α2 hfx′ + β21 hf fy′ ] + Thay vào ϕ(h) = y(x + h) − z(h) đồng ta công tác Runge– Kutta khác Sau đây, ta mô tả phương pháp Runge– Kutta bậc Phương pháp cho sai số cấp O(h5): k1 = hf (x, y) h k2 = hf (x + , y + h k3 = hf (x + , y + k1 ) k2 ) k4 = hf (x + h, y + k3 ) y(xh ) ≈ z(h) = y(x) + (k1 + 2k2 + 2k3 + k4 ) Để áp dụng công thức dạng Runge – Kutta ta xuất phát từ điều kiện ban đầu y(x0 ) = y0 Tính y1 điểm x1 = x0 + h1 Kết tiếp sử dụng y1 = y(x0 + h1 ) để tính y2 điểm x2 = x1 + h2 , tiếp tục Trong trường hợp h1 = h2 = · · · = h cơng thức có dạng Nội suy tuyến tính Phép nội suy tuyến tính thường dùng để xấp xỉ giá trị f điểm chưa biết qua hai giá trị biết Nội suy tuyến tính hai điểm Nếu ta biết hai điểm (x0 , y0 ) (x1 , y1) Phép nội suy tuyến tính cho ta đường thẳng nối hai điểm Cho giá trị x thuộc đoạn (x0 , x1 ) giá trị y nằm đường thẳng cho phương trình: y − y0 x − x0 = y1 − y0 x1 − x0 63 Hay: y = y0 + (x − x0 ) y1 − y0 x1 − x0 cơng thức cho nội suy tuyến tính đoạn (x0 , x1 ) Nội suy tuyến tính với tập liệu Phép nội suy tuyến tính cho tập liệu bao gồm nhiều phép nội suy tuyến tính cho đoạn Với hàm sai số là: RT = f (x) − p(x) Trong đó: p là ký hiệu đa thức hồi quy tuyến tính: p(x) = f (x0 ) + f (x1 ) − f (x0 ) (x − x0 ) x1 − x0 64 ... toán điều khiển tối ưu Trong chương trước ta có điều kiện cần toán điều khiển tối ưu Các điều kiện biểu thị qua nguyên lý cực đại Đối với toán điều khiển tối ưu tổng quát, việc tính tốn điều khiển. .. tốn tối ưu hóa cổ điển tốn biến phân, toán quy hoạch động , toán điều khiển tối ưu toán tìm trình tối ưu cho hệ điều khiển mơ tả phương trình tốn học Cơng cụ lý thuyết điều khiển tối ưu mơ... pháp tốn học ứng dụng để giải vấn đề định tính hệ thống điều khiển Cho đến nay, lý thuyết điều khiển tối ưu phát triển thu nhiều kết quan trọng việc ứng dụng vào kỹ thuật, kinh tế tài Mục đích