TỰ HỌC TOÁN 7

HỆ THỐNG KIẾN THỨC TOÁN Kiến thức JHSMATH.COM Lời nói đầu Các em học sinh lớp thân mến! Mong muốn nắm vững kiến thức Tốn để học học giỏi mơn Tốn nguyện vọng nhiều học sinh Series Tự học Toán giúp em thực mong muốn Series Tự học Tốn viết theo tương ứng với chương trình Sách giáo khoa Tốn hành Mỗi gồm mục • Kiến thức hệ thống kiến thức cần thiết mà em phải nắm vững • Sai lầm cần tránh lưu ý em lỗi phổ biến thường mắc phải học làm tốn • Câu hỏi trắc nghiệm giúp em vận dụng lí thuyết tự kiểm tra mức độ nắm kiến thức • Ví dụ minh họa chọn lọc phù hợp với Chuẩn kiến thức kĩ Tất em cần nắm vững kiến thức móng kĩ thiết yếu ví dụ Tuy nhiên thời gian có hạn nên tài liệu trình bày phần Kiến thức Ba phần lại em xem trực tuyến Series Tự học Tốn Ngồi cịn có ví dụ minh họa mức nâng cao giúp em đào sâu kiến thức rèn luyện kĩ mức độ cao Trong series ví dụ giải mẫu giúp em biết cách trình bày tốn cho ngắn gọn rõ ràng Ở số ví dụ có lưu ý phương pháp giải tốn giúp em định hướng suy luận, trau dồi phương pháp kinh nghiệm giải Toán, mở rộng thêm hiểu biết toán Trong phạm vi series sử dụng kí hiệu để song song kí hiệu ∼ để đồng dạng Các kí hiệu khác sử dụng giống sách giáo khoa Toán THCS hành Mục lục Số hữu tỉ Số thực 1.1 Tập hợp Q số hữu tỉ 1.2 Cộng, trừ số hữu tỉ 1.3 Nhân, chia số hữu tỉ 1.4 Giá trị tuyệt đối số hữu tỉ Cộng, trừ, nhân, chia 1.5 Lũy thừa số hữu tỉ 1.6 Tỉ lệ thức 1.6.1 Định nghĩa 1.6.2 Tính chất 1.7 Tính chất dãy tỉ số 1.8 Số thập phân hữu hạn Số thập phân vô hạn tuấn hồn 1.9 Làm trịn số 1.10 Số vô tỉ Khái niệm bậc hai 1.11 Số thực số thập phân 6 7 8 8 9 10 Hàm số đồ thị 2.1 Đại lượng tỉ lệ thuận 2.1.1 Định nghĩa 2.1.2 Tính chất 2.2 Một số toán đại lượng 2.3 Đại lượng tỉ lệ nghịch 2.3.1 Định nghĩa 2.3.2 Tính chất 2.4 Một số toán đại lượng 2.5 Hàm số 2.6 Mặt phẳng tọa độ 2.7 Đồ thị hàm số y = ax 11 11 11 11 11 12 12 12 12 12 12 13 15 15 15 15 15 15 16 16 tỉ lệ thuận tỉ lệ nghịch Thống kê 3.1 Thu thập số liệu thống kê Tần số 3.1.1 Bảng số liệu thống kê 3.1.2 Dấu hiệu 3.1.3 Tần số giá trị 3.2 Bảng “tần số” giá trị dấu hiệu 3.3 Biểu đồ 3.4 Số trung bình cộng Biểu thức đại số 17 4.1 Khái niệm biểu thức đại số 17 4.2 Giá trị biểu thức đại số 17 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 Đơn thức Đơn thức đồng dạng Đa thức Cộng, trừ đa thức Đa thức biến Cộng, trừ đa thức biến Nghiệm đa thức biến 17 18 18 18 18 19 19 Đường thẳng vng góc Đường thẳng song song 5.1 Hai góc đối đỉnh 5.1.1 Định nghĩa 5.1.2 Tính chất 5.2 Hai đường thẳng vng góc 5.2.1 Định nghĩa 5.2.2 Tính đường vng góc 5.2.3 Đường trung trực đoạn thẳng 5.3 Các góc tạo đường thẳng cắt hai đường thẳng 5.3.1 Tính chất 5.4 Hai đường thẳng song song 5.4.1 Định nghĩa 5.4.2 Dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song 5.5 Tiên đề Ơ-clit đường thẳng song song 5.5.1 Tiên đề Ơ-clít đường thẳng song song 5.5.2 Tính chất hai đường thẳng song song 5.6 Từ vng góc đến song song 5.6.1 Quan hệ tính vng góc tính song song 5.6.2 Ba đường thẳng song song 5.7 Định lí 20 20 20 20 21 21 21 21 22 22 23 23 23 23 23 24 24 24 25 25 26 26 26 27 27 27 27 28 28 28 29 29 29 30 30 31 31 32 32 Tam giác 6.1 Tổng ba góc tam giác 6.1.1 Tổng ba góc tam giác 6.1.2 Áp dụng vào tam giác vuông 6.1.3 Góc ngồi tam giác 6.2 Hai tam giác 6.3 Trường hợp thức tam giác: cạnh - cạnh - cạnh 6.4 Trường hợp thức hai tam giác: cạnh - góc - cạnh 6.5 Trường hợp thức ba tam giác: góc - cạnh - góc 6.5.1 Trường hợp thứ ba tam giác 6.5.2 Trường hợp cạnh huyền-góc nhọn tam giác vuông 6.6 Tam giác cân 6.6.1 Tam giác cân 6.6.2 Tam giác vuông cân 6.6.3 Tam giác 6.7 Định lí Py-ta-go 6.7.1 Định lí Py-ta-go 6.7.2 Định lí Py-ta-go đảo 6.8 Các trường hợp tam giác vuông Quan hệ yếu tố tam giác Các đường đồng quy tam giác 7.1 Quan hệ góc cạnh đối diện tam giác 7.2 Quan hệ đường vng góc đường xiên, đường xiên hình chiếu 7.3 Quan hệ ba cạnh tam giác Bất đẳng thức tam giác 7.4 Tính chất ba đường trung tuyến tam giác 7.5 Tính chất tia phân giác góc 7.6 Tính chất ba đường phân giác tam giác 7.7 Tính chất đường trung trực đoạn thẳng 7.8 Tính chất ba đường trung trực tam giác 7.9 Tính chất ba đường cao tam giác 33 33 34 34 34 35 36 36 37 38 Chương Số hữu tỉ Số thực 1.1 Tập hợp Q số hữu tỉ 1.2 Cộng, trừ số hữu tỉ 1.3 Nhân, chia số hữu tỉ 1.4 Giá trị tuyệt đối số hữu tỉ Cộng, trừ, nhân, chia số thập phân 1.5 Lũy thừa số hữu tỉ 1.6 Tỉ lệ thức 1.7 Tính chất dãy tỉ số 1.8 Số thập phân hữu hạn Số thập phân vơ hạn tuấn hồn 1.9 Làm tròn số 1.10 Số vô tỉ Khái niệm bậc hai 1.11 Số thực 1.1 10 Tập hợp Q số hữu tỉ • Số hữu tỉ số viết dạng phân số a với a, b số nguyên b = b Tập hợp số hữu tỉ kí hiệu Q • Ta biểu diễn số hữu tỉ trục số Trên trục số điểm biểu diễn số hữu tỉ x gọi điểm x • Ta so sánh hai số hữu tỉ cách viết chúng dạng phân số so sánh hai phân số Nếu x < y điểm x bên trái điểm y • Số hữu tỉ lớn gọi số hữu tỉ dương Số hữu tỉ nhỏ gọi số hữu tỉ âm Số hữu tỉ không số hữu tỉ âm không số hữu tỉ dương 1.2 Cộng, trừ số hữu tỉ • Ta cộng, trừ hai số hữu tỉ cách viết chúng dạng phân số có mẫu dương rối áp dụng quy tắc cộng trừ, phân số • Phép cộng số hữu tỉ có tính chất phép cộng phân số: giao hoán, kết hợp, cộng với số Mọi số hữu tỉ có số đối • Khi chuyển hạng tử từ vế sang vế đẳng thức ta phải đồi dấu số hạng x + y = z ⇒ x = z − y 1.3 Nhân, chia số hữu tỉ • Ta nhân, chia hai số hữu tỉ cách viết chúng dạng phân số rối áp dụng quy tắc nhân, chia phân số • Phép nhân số hữu tỉ có tính chất phép nhân phân số: giao hốn, kết hợp, nhân với số 1, tính chất phân phối phép nhân phép cộng Mỗi số hữu tỉ khác có số nghịch đảo • Thương phép chia số hữu tỉ x cho số hữu tỉ y (y = 0) gọi tỉ số hai số x x y Kí hiệu hay x : y y 1.4 Giá trị tuyệt đối số hữu tỉ Cộng, trừ, nhân, chia số thập phân • Giá trị tuyệt đối số hữu tỉ x kí hiệu |x| khoảng cách từ điểm x đến điểm trục số x x ≥ |x| = −x x < Với x ∈ Q ta ln có |x| ≥ |x| ≥ x • Để cộng, trừ, nhân, chia số thập phân ta viết chúng dạng phân số thập phân làm theo quy tắc phép tính biết phân số • Trong thực hành ta thường cộng trừ nhân chia hai số thập phân theo quy tắc giá trị tuyệt đối dấu tương tự với số nguyên • Khi chia số thập phân x cho số thập phân y (y = 0) ta áp dụng quy tắc Thương hai số thập phân x y thương |x| |y| với dấu + đằng trước x y dấu dấu − đằng trước x y trái dấu 1.5 Lũy thừa số hữu tỉ • Lũy thừa bậc n số hữu tỉ x tích n thừa số x xn = x.x x với x ∈ Q, n ∈ N, n > n Quy ước x1 = x x0 = với x = • Nhân hai lũy thừa số xm xn = xm+n • Chia hai lũy thừa số xn : xm = xm−n (x = 0, m ≥ n) • Lũy thừa lũy thừa (xm )n = xmn • Lũy thừa tích tích lũy thừa (x.y)n = xn y n • Lũy thừa thương thương lũy thừa 1.6 Tỉ lệ thức 1.6.1 Định nghĩa Tỉ lệ thức đẳng thức hai tỉ số x y n xn = n (y = 0) y a c = Ta viết a : b = c : d Trong a d gọi b d ngoại tỉ b c gọi trung tỉ 1.6.2 Tính chất a c = ad = bc Tức tỉ lệ thức tích ngoại b d tỉ tích trung tỉ • Tính chất • Nếu ad = bc a, b, c, d khác có có tỉ lệ thức c a b d c d b a = , = , = , = b d c d b a c a • Từ tính chất ta suy hốn vị số hạng tỉ lệ thức Trong tỉ a c lệ thức = ta b d a b = c d d c – Hoán vị ngoại tỉ cho = b a – Hoán vị trung tỉ cho – Hoán vị trung tỉ cho ngoại tỉ cho 1.7 d b = c a Tính chất dãy tỉ số • Từ a c a c a+c a−c = ta suy = = = (b = d & b = −d) b d b d b+d b−d a c m a c m a+c+m a−c+m = = ta suy = = = = (giả thiết tỉ b d n b d n b+d+n b−d+n số có nghĩa) • Từ a b c • Khi có dãy tỉ số = = ta nói số a, b, c tỉ lệ với số 2, 3, Ta viết a:b:c=2:3:7 1.8 Số thập phân hữu hạn Số thập phân vô hạn tuấn hồn • Nếu phân số tối giản với mẫu dương mẫu khơng có ước ngun tố khác phân số viết dạng thập phân hữu hạn Chẳng hạn = 0, 35 20 = 0, = 0, 12 25 • Nếu phân số tối giản với mẫu dương mà mẫu có ước nguyên tố khác phân số viết dạng thập phân vơ hạn tuần hồn Chẳng hạn = 0, 333 = 0, (3) = 0, 2666 = 0, 2(6) 15 • Mỗi số hữu tỉ biểu diễn dạng số thập phân hữu hạn vơ hạn tuần hồn Ngược lại số thập phân hữu hạn vô hạn tuần hồn biểu diễn số hữu tỉ 1.9 Làm trịn số • Để dễ nhớ, dễ ước lượng dễ tính tốn với số có nhiều chữ số (kể số thập phân vô hạn) người ta thường làm trịn số • Quy ước – Nếu chữ số chữ số bị bỏ nhỏ ta giữ ngun phận cịn lại Trong trường hợp số nguyên ta thay chữ số bị bỏ chữ số – Nếu chữ số chữ số bị bỏ lớn ta cộng thêm vào chữ số cuối phận lại Trong trường hợp số nguyên ta thay chữ số bị bỏ số 1.10 Số vơ tỉ Khái niệm bậc hai • Số vô tỉ số viết dạng số thập phân vơ hạn khơng tuần hồn Tập hợp số vơ tỉ kí hiệu I • Căn bậc hai số a không âm số x cho x2 = a • Số dương a có hai bậc hai • Số có bậc hai số • Số âm khơng có bậc hai √ √ a − a 1.11 Số thực • Số hữu tỉ số vô tỉ gọi chung số thực Tập hợp số thực kí hiệu R √ √ • Với a, b hai số thực dương ta có a > b a > b • Mỗi số thực biểu diễn điểm trục số Ngược lại điểm trục số biểu diễn số thực Như nói điểm biểu diễn số thực lấp đầy trục số 10 5.5.2 Tính chất hai đường thẳng song song Nếu đường thẳng cắt hai đường thẳng song song • Hai góc so le • Hai góc đồng vị • Hai góc phía bù Hình bên ta có a 5.6 5.6.1    A1 = B1 b⇒ A3 = B1   A + B = 180o Từ vng góc đến song song Quan hệ tính vng góc tính song song Nếu hai đường thẳng (phân biệt) vng góc với đường thẳng thứ ba chúng song song với a ⊥ b b ⊥ c ⇒ a b Nếu đường thẳng vng góc với hai đường thẳng song song vng góc với đường thẳng a b c ⊥ a ⇒ c ⊥ b 24 5.6.2 Ba đường thẳng song song Hai đường thẳng phân biệt song song với đường thẳng thứ ba chúng song song với a b b c ⇒ a b 5.7 Định lí • Một tính chất khẳng định lập luận gọi định lí Giả thuyết định lí điều cho biết kết luận điều suy • Chứng minh định lí dùng lập luận để từ giả thuyết suy kết luận 25 Chương Tam giác 6.1 Tổng ba góc tam giác 26 6.2 Hai tam giác 27 6.3 Trường hợp thức tam giác: cạnh - cạnh - cạnh 27 Trường hợp thức hai tam giác: cạnh - góc cạnh 28 6.4 6.1 6.1.1 6.5 Trường hợp thức ba tam giác: góc - cạnh - góc 28 6.6 Tam giác cân 29 6.7 Định lí Py-ta-go 31 6.8 Các trường hợp tam giác vuông 32 Tổng ba góc tam giác Tổng ba góc tam giác Tổng ba góc tam giác 180o tức ∆ABC ⇒ A + B + C = 180o 26 6.1.2 Áp dụng vào tam giác vng • Tam giác vng tam giác có góc vng • Trong tam giác vng hai góc nhọn phụ ∆ABC, A = 90o ⇒ B + C = 90o 6.1.3 Góc ngồi tam giác • Góc ngồi tam giác góc kề bù với góc tam giác • Mỗi góc ngồi tam giác tổng hai góc khơng kề với ACD = A + B 6.2 Hai tam giác Hai tam giác hai tam giác có cạnh tương ứng góc tương ứng   A=A     B=B    C=C ∆ABC = ∆A B C ⇔  AB = A B     AC = A C    BC = B C 6.3 Trường hợp thức tam giác: cạnh - cạnh - cạnh Nếu ba cạnh tam giác ba cạnh tam giác hai tam giác 27  AB = A B  AC = A C ⇒ ∆ABC = ∆A B C (c − c − c)  BC = B C 6.4 Trường hợp thức hai tam giác: cạnh - góc - cạnh Nếu hai cạnh góc xen tam giác hai cạnh góc xen tam giác hai tam giác  AB = A B  ⇒ ∆ABC = ∆A B C (c − g − c) B=B  BC = B C 6.5 6.5.1 Trường hợp thức ba tam giác: góc - cạnh - góc Trường hợp thứ ba tam giác Nếu cạnh hai góc kề tam giác cạnh hai góc kề tam giác hai tam giác 28  B=B  BC = B C ⇒ ∆ABC = ∆A B C (g − c − g)  C=C 6.5.2 Trường hợp cạnh huyền-góc nhọn tam giác vng Nếu cạnh huyển góc nhọn tam giác vng cạch huyền góc nhọn tam giác vng hai tam giác vng  A = A = 90o  BC = B C ⇒ ∆ABC = ∆A B C (cạnh huyền - góc nhọn)  B=B 6.6 Tam giác cân 6.6.1 Tam giác cân Định nghĩa Tam giác cân tam giác có hai cạnh 29 ∆ABC cân A ⇔ ∆ABC AB = AC Tính chất Trong tam giác cân hai góc đáy tức ∆ABC cân A ⇒ B = C Dấu hiệu nhận biết • Theo định nghĩa • Nếu tam giác có hai góc tam giác tam giác cân 6.6.2 Tam giác vuông cân Định nghĩa Tam giác vng cân tam giác vng có hai cạnh góc vng   ∆ABC ∆ABC vng cân A ⇔ A = 90o  AB = AC Tính chất Mỗi góc nhọn tam giác vng cân 45o tức B = C = 45o 6.6.3 Tam giác Định nghĩa Tam giác tam giác có ba cạnh 30 ∆ABC ⇔ ∆ABC AB = BC = CA Tính chất Trong tam giác góc 60o tức A = B = C = 60o Dấu hiệu nhận biết • Theo định nghĩa • Nếu tam giác có ba góc tam giác tam giác • Nếu tam giác cân có góc 60o tam giác tam giác 6.7 6.7.1 Định lí Py-ta-go Định lí Py-ta-go Trong tam giác vng bình phương cạnh huyền tổng bình phương hai cạnh góc vng ∆ABC vuông A ⇒ BC = AB + AC 31 6.7.2 Định lí Py-ta-go đảo Nếu tam giác có bình phương cạnh tổng bình phương hai cạnh tam giác tam giác vng ∆ABC có BC = AB + AC ⇒ BAC = 90o 6.8 Các trường hợp tam giác vng • Ngoài trường hợp biết hai tam giác vng cịn có trường hợp theo cạnh huyền-cạnh góc vng • Nếu cạnh huyền cạnh góc vng tam giác vng cạnh huyền cạnh góc vng tam giác vng hai tam giác vng  A = A = 90o  ⇒ ∆ABC = ∆A B C (cạnh huyền - cạnh góc vng) BC = B C  AC = A C 32 Chương Quan hệ yếu tố tam giác Các đường đồng quy tam giác 7.1 Quan hệ góc cạnh đối diện tam giác 33 7.2 Quan hệ đường vng góc đường xiên, đường xiên hình chiếu 34 Quan hệ ba cạnh tam giác Bất đẳng thức tam giác 34 7.4 Tính chất ba đường trung tuyến tam giác 34 7.5 Tính chất tia phân giác góc 35 7.6 Tính chất ba đường phân giác tam giác 36 7.7 Tính chất đường trung trực đoạn thẳng 36 7.8 Tính chất ba đường trung trực tam giác 37 7.9 Tính chất ba đường cao tam giác 38 7.3 7.1 Quan hệ góc cạnh đối diện tam giác • Quan hệ góc cạnh đối diện tam giác – Góc đối diện với cạnh lớn góc lớn – Cạnh đối diện với góc lớn cạnh lớn Cho tam giác ABC 33 • Ta có AC > AB ⇔ B > C – Trong tam giác vuông cạnh huyền cạnh lớn – Trong tam giác tù cạnh đối diện với góc tù cạnh lớn 7.2 Quan hệ đường vng góc đường xiên, đường xiên hình chiếu • Trong đường xiên đường vng góc kẻ từ điểm nằm ngồi đường thẳng đến đường thẳng đường vng góc đường ngắn • Trong hai đường xiên kẻ từ điểm nằm ngồi đường thẳng đến đường thẳng – – – – 7.3 Đường xiên có hình chiếu lớn lớn Đường xiên lớn có hình chiếu lớn Nếu hai đường xiên hai hình chiếu Nếu hai hình chiếu hai đường xiên Quan hệ ba cạnh tam giác Bất đẳng thức tam giác Độ dài cạnh nhỏ tổng độ dài hai cạnh lớn hiệu chúng mối quan hệ ba cạnh tam giác 7.4 Tính chất ba đường trung tuyến tam giác • Đường trung tuyến tam giác đoạn thẳng nối đỉnh tam giác với trung điểm cạnh đối diện 34 • Các đoạn thẳng AM, BN, CP đường trung tuyến ∆ABC Các đường thẳng AM, BN, CP gọi đường trung tuyến ∆ABC • Ba đường trung tuyến tam giác qua điểm Điểm cách đỉnh khoảng độ dài đường trung tuyến qua đỉnh • Điểm gặp ba đường trung tuyến gọi trọng tâm tam giác Ta có G trọng tam ∆ABC AG = AM 7.5 BG = BN CG = CP Tính chất tia phân giác góc • Điểm nằm tia phân giác góc cách hai cạnh góc • Điểm nằm bên góc cách hai cạnh góc nằm tia phân giác góc • Tập hợp điểm nằm bên góc cách hai cạnh góc tia phân giác góc 35 7.6 Tính chất ba đường phân giác tam giác • Trong tam giác cân đường phân giác góc đỉnh đường trung tuyến • Ba đường phân giác tam giác qua điểm Điểm cách ba cạnh tam giác • Hai đường phân giác hai góc ngồi tam giác đường phân giác góc khơng kề chúng qua điểm (điểm cách ba đường thẳng chứa cạnh tam giác đó) • Trong tam giác ABC AK đường phân giác góc A đường vng góc với AK A đường phân giác góc ngồi đỉnh A 7.7 Tính chất đường trung trực đoạn thẳng • Nhắc lại định nghĩa đường trung trực Đường trung trực đoạn thẳng đường vuông góc với đoạn thẳng trung điểm • Khi d đường trung trực đoạn thẳng AB Ta nói A B đối xứng với qua d 36 • Điểm nằm đường trung trực đoạn thẳng cách hai mút đoạn thẳng • Điểm cách hai mút đoạn thẳng nằm đường trung trực đoạn thẳng • Tập hợp điểm cách hai mút đoạn thẳng đường trung trực đoạn thẳng 7.8 Tính chất ba đường trung trực tam giác • Trong tam giác cân đường trung trực cạnh đáy đường trung tuyến đường phân giác • Ba đường trung trực tam giác qua điểm Điểm cách ba đỉnh tam giác • Hình bên điểm O giao điểm đường trung trực ∆ABC Ta có OA = OB = OC Điểm O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC • Nếu tam giác ABC nhọn O nằm tam giác Nếu tam giác ABC vuông O trung điểm cạnh huyền Nếu tam giác ABC tù O nằm ngồi tam giác 37 7.9 Tính chất ba đường cao tam giác • Ba đường cao tam giác qua điểm Điểm gọi trực tâm tam giác • Hình bên H trực tâm ∆ABC Nếu tam giác ABC nhọn H nằm tam giác Nếu tam giác ABC vng H trùng với đỉnh góc vng Nếu tam giác ABC có góc tù H nằm ngồi tam giác • Trong tam giác cân đường cao ứng với cạnh đáy đường trung tuyến, đường phân giác, đường trung trực • Trong tam giác có hai bốn loại đường (đường trung tuyến, đường phân giác, đường trung trực, đường cao) trùng tam giác tam giác cân 38 ... 34 7. 4 Tính chất ba đường trung tuyến tam giác 34 7. 5 Tính chất tia phân giác góc 35 7. 6 Tính chất ba đường phân giác tam giác 36 7. 7 Tính chất đường... Tính chất ba đường trung tuyến tam giác 7. 5 Tính chất tia phân giác góc 7. 6 Tính chất ba đường phân giác tam giác 7. 7 Tính chất đường trung... chất đường trung trực đoạn thẳng 36 7. 8 Tính chất ba đường trung trực tam giác 37 7.9 Tính chất ba đường cao tam giác 38 7. 3 7. 1 Quan hệ góc cạnh đối diện tam giác