Điều khiển hệ thống 1 - Chapter 2

Điều khiển hệ thống 1 System and Control Thạc sĩ Ngô Quang Hiếu Bộ môn Kỹ Thuật Cơ Khí Khoa Công Nghệ - Đại học Cần Thơ Email: nqhieu@ctu.edu.vn Mobile: 0918.727808 System and Control Ngo Quang Hieu LOGO Điều khiển hệ thống 1 Chương 2 Mô tả toán học hệ thống điều khiển System and Control Ngo Quang Hieu LOGO Điều khiển hệ thống 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 1 2 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 , 1 , . s a bj j s a b j s a b j s s a a b b j s s a a b b a b a b j a b j a b j a a b b a b a b j s s a b j a b j a b = + = − = + = + ⇒ ± = ± + ± ⇒ = − + + + − + + + ⇒ = = + − + Số phức và hàm phức System and Control Ngo Quang Hieu LOGO Điều khiển hệ thống 1 cos sin x r y r ϕ ϕ =   =  Số phức trong tọa độ cực  Chuyển tọa độ: Tọa độ cực – tọa độ vuông góc (Cartesian)  Chuyển tọa độ: Tọa độ vuông góc (Cartesian) – tọa độ cực System and Control Ngo Quang Hieu LOGO Điều khiển hệ thống 1 Bài tập 1 Cho: 1 2 ,s a bj s c dj= + = +  Xác định mối quan hệ của a, b, c, d để: 1 2 1 2 1 2 1 2 ) ) 7 ) 5 ) 6 a s s b s s c s s d s s j = = + = − = 1 2 2 2 1 2 1 2 ) 1 ) 1 ) 3 e s s f s s s g j s = − + = = +  Xác định biên độ và góc pha của các số phức sau: ) 2 3 ) 7 5 ) 3 5 ) 3 a s j b s j c s j d s j = − = + = − + = ) 1 ) 1 ) 3 2 e s j f s j g s j = − + = − = − − System and Control Ngo Quang Hieu LOGO Điều khiển hệ thống 1 Phép biến đổi Laplace  Chuyển đổi Laplace của hàm số f(t) với mọi giá trị thực t>0 là hàm F(s) được định nghĩa như sau: với s=x+jy là biến phức  Quá trình xác định hàm số f(t) từ hàm chuyển đổi Laplace F(s) được gọi là chuyển đổi Laplace ngược. System and Control Ngo Quang Hieu LOGO Điều khiển hệ thống 1 Phép biến đổi Laplace  Chuyển đổi Laplace của hàm mũ (exponential function):  Chuyển đổi Laplace của hàm nấc (step function): 0, 0 ( ) , 0 t t f t Ae t α − <  =  ≥  ( ) 0 0 t t st s t A Ae Ae e dt A e dt s α α α α ∞ ∞ − − − − +   = = =   + ∫ ∫ l 0, 0 ( ) , 0 t f t A t <  =  ≥  [ ] 0 st A A Ae dt s ∞ − = = ∫ l System and Control Ngo Quang Hieu LOGO Điều khiển hệ thống 1 Phép biến đổi Laplace  Chuyển đổi Laplace của hàm dốc (ramp function):  Chuyển đổi Laplace của hàm sin (sinusoidal function): 0, 0 ( ) , 0 t f t At t <  =  ≥  [ ] 2 0 st A At Ate dt s ∞ − = = ∫ l 0, 0 ( ) sin , 0 t f t A t t ω <  =  ≥  [ ] 2 2 sin A A t s ω ω ω = + l System and Control Ngo Quang Hieu LOGO Điều khiển hệ thống 1 Bảng chuyển đổi Laplace System and Control Ngo Quang Hieu LOGO Điều khiển hệ thống 1 Tính chất phép biến đổi Laplace  Phép biến đổi vi phân ( ) ( ) (0) (0 ) (0 ) ( ) ( ) (0 ) ( ) ( ) (0 ) d f t sF s f dt if f f then d f t sF s f dt d f t sF s f dt + −   = −     + ≠ −    = − +           = − −       l l l [...]... ( s )    s = 1 = ( s 2 + 2s + 3) s = 1 = 2 d d 2 3 b = ( s + 1) F ( s )    s = 1 = ds  s + 2s + 3 s = 1 = [ 2s + 2 ] s = 1 = 0   ds 1 d2 1 d ( s + 1) 3 F ( s )  a= 2   s = 1 = 2 ds [ 2s + 2] s = 1 = 1 2 ds Vì vậy f (t ) = l 1 [ F ( s )] f (t ) = l 1  1  1  0  1  2   s + 1  + l  ( s + 1) 2  + l  ( s + 1) 3        f (t ) = e − t + t 2e − t = (1 + t 2 )e − t System and... F(s) có thể viết lại như sau: 2 s +1 F (s) = 5 +2 ( s + 1) 2 + 22 ( s + 1) 2 + 22 trong đó ω  e −α t sin ωt  = l  (s + α )2 + ω 2 s +α l  e −α t cosωt  =   (s + α )2 + ω 2 Vì vậy     2 s +1 f (t ) = 5l 1  + 2l 1  2 2 2 2  ( s + 1) + 2   ( s + 1) + 2  ⇒ f (t ) = 5e − t sin 2t + 2e −t cos2t , t ≥ 0 System and Control Ngo Quang Hieu LOGO Điều khiển hệ thống 1 Ví dụ 3  Xác định chuyển... ( s + 1) = =2   ( s + 1) ( s + 2)  s = 1  s + 2  s = 1  Vì vậy   s+3  s + 3 b =  ( s + 2) = = 1   ( s + 1) ( s + 2)  s = 1  s + 1  s = 2   2  1  1  f (t ) = l 1   + l s + 2  s + 1   ⇒ f (t ) = 2e −t − e −2t , t ≥ 0 System and Control Ngo Quang Hieu LOGO Điều khiển hệ thống 1 Ví dụ 2  Xác định chuyển đổi Laplace ngược của F(s) 2 s + 12 F ( s) = 2 s + 2s + 5 Hàm F(s)... s 2 + 2s + 3 F ( s) = ( s + 1) 3 Hàm F(s) có thể viết lại như sau: B( s) a b c F (s) = = + + A( s ) ( s + 1) ( s + 1) 2 ( s + 1) 3 trong đó ⇒ ( s + 1) 3 F ( s ) = a( s + 1) 2 + b( s + 1) + c ( s + 1) 3 F ( s )    s = 1 = c d ( s + 1) 3 F ( s )    s = 1 = b ds d2  ( s + 1) 3 F ( s)  2   s = 1 = 2a ds System and Control Ngo Quang Hieu LOGO Điều khiển hệ thống 1 Ví dụ 3 (tiếp theo) c =  ( s + 1) 3... f 2 (t ) + + f n (t ) trong đó l 1 [ F1 ( s ) ] = f1 (t ), l 1 [ F2 ( s ) ] = f 2 (t ), , l 1 [ Fn ( s) ] = f n (t ) là các chuyển đổi Laplace ngược của hàm Fi(s) System and Control Ngo Quang Hieu Điều khiển hệ thống 1 Ví dụ 1  Xác định chuyển đổi Laplace ngược của F(s) s+3 F (s) = ( s + 1) ( s + 2) Hàm F(s) có thể viết lại như sau: a b F ( s) = + s +1 s + 2 trong đó   s+3  s +3 a = ( s + 1) ... (s) = 2 = − s + 3s + 2 s +1 s + 2 Chuyển đổi Laplace ngược của X(s) ta được hàm x(t) x(t ) = (2a + b)e − t − (a + b)e −2t System and Control Ngo Quang Hieu LOGO Điều khiển hệ thống 1 Bài tập 2  Giải phương trình vi phân &+ 2 x + 5 x = 3, x(0) = 0, x(0) = 0 & & & x  Xác định chuyển đổi Laplace ngược của F(s) 5( s + 2) F (s) = 2 s ( s + 1) ( s + 3)  Xác định chuyển đổi Laplace ngược của F(s) s 4 + 2s... LOGO Điều khiển hệ thống 1 Bảng tính chất phép biến đổi Laplace System and Control Ngo Quang Hieu LOGO Điều khiển hệ thống 1 LOGO Phép biến đổi Laplace ngược  Giả định rằng: biến đổi Laplace của f(t) là F(s) thì f (t ) = l 1 [ F ( s ) ] được gọi là phép biến đổi Laplace ngược của F(s)  Nếu F(s) được phân rã thành các đa thức con như sau: F ( s ) = F1 ( s ) + F2 ( s ) + + Fn ( s ) thì f (t ) = f1 (t... LOGO Điều khiển hệ thống 1 Ví dụ 4  Giải phương trình vi phân &+ 3x + 2 x = 0, x(0) = a, x(0) = b; a, b : const & & & x Chuyển đổi Laplace của các hàm vi phân & l [ x ] = sX ( s ) − x(0) & & l [ & = s 2 X ( s ) − sx(0) − x(0) x] Biến đổi Laplace phương trình vi phân  s 2 X ( s ) − sx(0) − x(0)  + 3 [ sX ( s ) − x(0) ] + 2 X ( s ) = 0 &   ( ) ⇒ s 2 + 3s + 2 X ( s) = as + b + 3a as + b + 3a 2a +.. .Điều khiển hệ thống 1 Tính chất phép biến đổi Laplace  Định lý giá trị cuối lim f (t ) = lim sF ( s ) t →∞ s →0 ∞ d  lim ∫  f (t ) e − st dt = lim [ sF ( s) − f (0) ] s →0 s →0 dt  0  lim e − st = 1 s →0 ∞ ∞ d  f (t ) dt = f (t ) 0 = f (∞) − f (0) ∫  dt  0  System and Control Ngo Quang Hieu LOGO Điều khiển hệ thống 1 Tính chất phép biến đổi Laplace ... 2 x + 5 x = 3, x(0) = 0, x(0) = 0 & & & x  Xác định chuyển đổi Laplace ngược của F(s) 5( s + 2) F (s) = 2 s ( s + 1) ( s + 3)  Xác định chuyển đổi Laplace ngược của F(s) s 4 + 2s 3 + 3s 2 + 4s + 5 F (s) = s ( s + 1) System and Control Ngo Quang Hieu LOGO . Điều khiển hệ thống 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 1 2 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2. Điều khiển hệ thống 1 Ví dụ 3 (tiếp theo) [ ] [ ] 3 2 1 1 3 2 1 1 1 2 3 2 1 1 ( 1) ( ) ( 2 3) 2 ( 1) ( ) 2 3 2 2 0 1 1 ( 1) ( ) 2 2 1 2 2 s s s s s s s c