Phần I - Đặt vấn đề Lí chọn đề tài: a) Cơ sở lí luận: Để phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động học sinh nhằm bồi d-ỡng phát triển trí tuệ lực hoạt động học sinh nhiệm vụ trọng tâm trình dạy học nội dung việc đổi ph-ơng pháp dạy học Dạy học toán dạy cho học sinh ph-ơng pháp học toán giải toán để vận dụng kiến thức đà học vào giải toán thực tế sống Nội dung kiến thức toán học đ-ợc trang bị cho học sinh THCS việc dạy lí thuyết phải trọng tới việc dạy học sinh ph-ơng pháp giải số toán, nh-ng để nắm vững cách giải dạng toán đòi hỏi học sinh phải biết vận dụng kiến thức đà học cách linh hoạt, sáng tạo, tính cẩn thận, kết hợp với khéo léo kinh nghiệm đà tích luỹ đ-ợc để giải tập có liên quan Thông qua việc giải tập em đ-ợc rèn luyện kĩ vận dụng kiến thức đà học vào giải tập, kĩ trình bày, kĩ sử dụng máy tính bỏ túi, đồ dùng dạy học Do nâng cao lực t- duy, óc t-ởng t-ợng, sáng tạo, rèn khả phán đoán, suy luận học sinh b) Cơ sở thực tiễn: Các toán úng dụng hệ thức Vi ét có vị trí quan trọng ch-ơng trình dạy học toán THCS Học sinh vận dụng ứng dơng cđa hƯ thøc Vi - Ðt nh-: NhÈm nghiƯm ph-ơng trình bậc hai tr-ờng hợp a + b + c = ; a - b + c = , tr-ờng hợp mà tổng tích hai nghiệm số nguyên với giá trị tuyệt đối không lớn Tìm đ-ợc hai số biết tổng tích chúng Biết cách biểu diễn tổng bình ph-ơng, lập ph-ơng hai nghiệm qua hệ số ph-ơng trình lúng túng, khó khăn trình vận dụng vào giải toán có liên quan Các toán vỊ nh÷ng øng dơng hƯ thøc Vi - et rÊt ph-ơng phú đa dạng, đòi hỏi phải vận dụng nhiều kiến thức, cách linh hoạt, sáng tạo, độc đáo; yêu cầu học sinh phải có óc quan sát nhạy bén, giúp học sinh phát triển t- Những ứng dơng cđa hƯ thøc Vi – Ðt ®èi víi häc sinh THCS khó em th-ờng gặp khó khăn việc tìm lời giải toán này; có toán em đâu? Vận dụng kiến thức ch-ơng trình đà học? Làm để tìm đ-ợc giá trị tham số m thỏa mÃn điều kiện toán ấy? Đặc biệt mang nội dung sâu sắc việc giáo dục t- t-ởng qua môn toán; hình thành cho học sinh thói quen tìm giải pháp tối -u cho công việc cụ thể sống sau Chính toán th-ờng xuyên có mặt kì thi học sinh giỏi lớp 9, nh- kì thi tuyển sinh vào lớp 10 Qua số năm giảng dạy toán THCS đ-ợc giao công tác bồi d-ỡng học sinh lớp quan tâm vấn đề mạnh dạn nghiên cứu hoàn thành đề tài Với thời gian hạn chế mong muốn nghiên cứu sâu nên đề tài tập trung vào vấn đề: Những ứng dụng hệ thức Vi et 2) Đối t-ợng ph-ơng pháp nghiên cứu: a, Đối t-ợng nghiên cứu: Là học sinh lớp b, Ph-ơng pháp nghiên cứu: - Nghiên cứu tài liệu SGK; SBT Toán 9, sách nâng cao - đề thi vào tr-ờng THPT, chuyên đề đại số PHần II - giải vấn ®Ị A Mét sè vÊn ®Ị lÝ thut: 1) HƯ thøc Vi –Ðt: - NÕu x1 ; lµ hai nghiƯm ph-ơng trình bậc hai : x2 x1 a a a - Nếu ph-ơng trình bậc ba: x1 x2 x1 x a ax + bx + cx + d = cã nghiƯm lµ x1 ; ; x2 x3 b x3 a x2 x3 c x x1 I a d x1 x x a Và ng-ợc lại số tr×nh bËc ba + bx + c = c x1 x b x2 th× th× ax x1 ; ; x2 lµ tháa m·n hƯ thøc x3 a ax + bx + cx + d = ax + bx + c = ph-ơng trình có nghiệm +) Hệ 2: Nếu ph-ơng trình x1 x x1 ; x ; x nghiệm ph-ơng 3 x1 a nÕu nÕu a a b c d a b c d c x2 cã nghiÖm Ax +Bx + C a cã a - b + c = 0 ax + bx + cx + d = c x2 cßn nghiƯm lµ x -x cã a + b + c = 0 nghiệm ph-ơng trình phân tich đ-ợc thành x a ax + bx + c = ph-ơng trình cã mét nghiƯm +) Cã nghiƯm +) Cã nghiƯm th× +) Hệ 1: Nếu ph-ơng trình +) Hệ 3: Nếu ph-ơng trình I a x0 = Tìm hai số biết tổng tích chóng: NÕu sè u vµ v cã tỉng u + v = S vả tích u.v = P hai số u v hai nghiệm ph-ơng tr×nh bËc hai: x - Sx + P = Thật vậy: Các số u; v tồn nghiệm ph-ơng trình: x - u x - v = x - u + v x + u v = x - Sx + P = Nh- vËy biÕt tæng tích hai số ta tìm đ-ợc hai số thông qua việc giải ph-ơng trình bậc hai Điều kiện để có hai số là: S - P Vị trí t-ơng đối đ-ờng thẳng - Số giao điểm đ-ờng thẳng y mx nghiệm hệ ph-ơng trình - d cắt - d tiÕp xóc víi P y mx n ax y mx điểm m d đồ thị hàm số y đồ thị hàm số y ax a ax a P y điểm phân biệt P m n n ph-ơng trình ax ph-ơng trình ax 2 mx n cã nghiƯm ph©n biƯt mx n có nghiệm kép - d không cắt (không có điểm chung) P ph-ơng trình ax mx n nghiệm Chú ý: Số nguyên lớn không v-ợt x phần nguyên x ký hiệu Ví dô: Cho b = 2,134 b ; a = - 2,7544 a x vô Khái niệm giá trị lớn - Giá trị nhỏ nhất: Cho hàm số f ( x ) xác định miền D 1) m đ-ợc gọi giá trị lớn G T L N sau đây: a, f ( x ) m víi x D trªn miền D thoả mÃn điều kiện f (x) b, x0 D cho f ( x ) m ; KÝ hiÖu m = max f ( x ) , x D 2) m đ-ợc gọi giá trÞ nhá nhÊt G T N N cđa f ( x ) miền D thoả mÃn điều kiện sau đây: a, f ( x ) m với x D b, Víi x2 x0 D cho f (x) 2n f (x) Hc M - f ( x0 ) m víi x 2n R, n f (x) , x M (M giá trị nhỏ nhất) 2n M (M giá trị lớn nhất) x y = k x + y = D Z +M f (x) *HƯ qu¶: - NÕu x > 0, y > vµ - NÕu x > 0, y > ; Kí hiệu m = (không đổi) tổng x + y đạt GTNN k (không đổi) tích x.y đạt GTLN x=y x=y B mét sè vÝ dơ vỊ nh÷ng øng dơng cđa hƯ thøc Vi- Ðt I D¹ng I: øng dơng hƯ thøc Vi et vào việc nhẩm nghiệm ph-ơng trình bậc hai ax + bx + c = a biÕt c¸c hƯ sè a; b; c Hệ 1: Nếu ph-ơng trình ax + bx + c = ph-ơng trình có nghiệm Hệ 2: Nếu ph-ơng trình ax + bx + c = a x1 cã a + b + c = 0 a cßn nghiƯm lµ x2 = c a cã a - b + c = 0 ph-ơng trình có nghiệm x1 = - nghiệm x2 = Hệ 3: Nếu ph-ơng trình ax + bx + cx + d = ph-ơng trình phân tich đ-ợc thành x -x a cã nghiÖm Ax +Bx + C c a x0 = +) Cã nghiÖm x nÕu a b c d +) Cã nghiÖm x nÕu a b c d 1 VÝ dụ 1: Tính nhẩm nghiệm ph-ơng trình ( Bài 31 - SGK To¸n - Trang 54) a) - x + x + = b) 0 x + 0 x + = 2 c) 3x - - d) x - = m - x - 2m + x + m + = H-íng dÉn c¸ch giải: - Muốn giải ph-ơng trình ta làm nh- ? - Học sinh nêu cách làm dùng công thức nghiệm để giải ph-ơng trình - Có em đà phát cách làm vận dụng hệ thức Vi ét vào tính nhẩm nghiệm ph-ơng trình bậc hai a x + b x + c = a cã a + b + c = ph-ơng trình có nghiệm x1 nghiệm nghiệm c x2 c x2 ph-ơng trình có mét nghiÖm a - b + c = a x1 a - Khi em ®Ịu nhËn thÊy c¸ch vËn dơng hƯ thøc Vi– Ðt vào nhẩm nghiệm ph-ơng trình bậc hai em đà trình bày lời giải nh- sau: Giải: a) - 5x + 3x + = (a = - 5; b = 3; c = 2) V× a + b + c = b) 2008x V× c) +3+2=0 + 2009 x + = ph-¬ng trình có hai nghiệm x1 = 1; x2 = V× a b x - = c 3- ph-ơng trình có hai nghiệm là: a - - 3; b = - + ph-¬ng trình có hai nghiệm là: - x1 m - x - 2m + x + m + = V× a - b + c = m - - a ; x2 ph-ơng trình có hai nghiệm là: x1 + 1 ; x2 2008 m - ;b = - m + - 2m + x1 ; c = - d) (a = 2008; b = 2009; c = 1) a - b + c = 2008 - 2009 + = 3x - - ; m + x2 ; c = m + = m 1 m m m Sau tính đ-ợc nghiệm ph-ơng trình xong đà yêu cầu em sử dụng máy tính bỏ túi Casio giải ph-ơng trình để kiểm tra nghiệm vừa tìm đ-ợc phần a b Kết luận: - Khi giải ph-ơng trình bậc hai ta cÇn chó ý vËn dơng hƯ thøc Vi et để tính nhẩm nghiệm ph-ơng trình Nếu không tính nhẩm đ-ợc nghiệm ph-ơng trình ta dùng công thức nghiệm để giải - ViƯc vËn dơng hƯ qu¶ cđa hƯ thøc Vi et tính toán cho phép tính nhanh chóng nghiệm ph-ơng trình Các em có nhận xét ta thay đổi yêu cầu toán nh- sau: Ví dụ 2: Giải ph-ơng trình a) x - x + x - = b) x + x + x + = 3 H-ớng dẫn cách giải: HÃy vận dụng hệ thức Vi ét vào tính nhẩm nghiệm ph-ơng trình bËc ba ax + bx + cx + d = a +) Cã nghiÖm x nÕu a b +) Cã nghiÖm x nÕu a b - Khi em trình bày lời giải nh- sau: c d c d Gi¶i: a) x - x + x - = cã tỉng c¸c hƯ sè a + b + c + d = nên ph-ơng trình có nghiệm x ph-ơng trình 3 5x - 5x 2 - 5x x - x - x + - x x - x - 5x - x + 7x - = + x - = = 5x - x + 7= +) Giải ph-ơng trình +) Giải ph-ơng trình x - 1= x =1 5x - x + = Ta có ph-ơng trình 140 b) x + x + x + = có a nên ph-ơng trình có nghiệm 4x + 4x 2 4x x + x + 4x 141 141 141 ;x ; x2 141 ; 2 141 x3 141 - b + c - d = - + - 10 = x ®ã ph-ơng trình 2x +2 x + 4x +2x + 8x +10 = 10x +10 = + 10 x + = - x + 10 = x - = 4x 141 1 x1 - 2x x + x1 - 141 cã nghiÖm Vậy ph-ơng trình có nghiệm - x + 10 = +) Giải ph-ơng trình +) Giải ph-ơng trình 2 x + = 4x x = - - x + 10 = Ta cã 4 ph-ơng trình x2 5x - 6x + 8x - = x - = - + - = 41 160 164 cã nghiÖm 2 41 Vậy ph-ơng trình có nghiÖm x1 164 41 2 41 41 41 41 41 x1 ; x2 41 ; x3 Nh- vËy: - Qua vÝ dô đà h-ớng dẫn cho học sinh cách giải ph-ơng trình cách vận dụng hệ thức Vi ét vào tính nhẩm nghiệm ph-ơng trình bậc hai ph-ơng trình bậc ba ẩn - Chú ý trình giải ph-ơng trình nên vận dụng linh hoạt hệ thức vi ét để nhẩm nghiệm ph-ơng trình bậc hai bậc ba ẩn Ví dụ 3: Giải ph-ơng trình x + x + x - x - = Giải: Nhận thây x +1 x = - không nghiệm ph-ơng trình nên ta chia vế ph-ơng trình cho x ta đ-ợc ph-ơng trình: 2 x x +1 Đặt x x +1 ta d-ợc ph-ơng trình y y 5y x +1 ph-ơng pháp nhẩm nghiệm ta tính đ-ợc +) Với x y1 y2 x x x x x +1 x y2 vµ Giải ph-ơng trình ta đ-ợc nghiƯm +) Víi y1 x1 ; x2 2 6 x x Giải ph-ơng trình ta đ-ợc nghiệm x3 x 6x ; x4 x +1 VËy ph-ơng trình đà cho có nghiệm x1 ; x2 ;x 3 3 ;x 3 Qua ví dụ đà h-ớng dẫn cho học sinh cách giải ph-ơng trình cách vận dụng hệ thức Vi - ét vào tính nhẩm nghiệm ph-ơng trình bậc hai ẩn h-ớng dẫn cách biến đổi linh hoạt (đặt ẩn phụ) để đ-a ph-ơng trình bậc ph-ơng trình bậc hai ẩn nhẩm nghiệm đ-ợc qua em đ-ợc rèn luyện kĩ biến đổi trình bày lời giải, vận dụng kiến thức, khả phân tích, dự đoán Ph-ơng pháp chung: - Vận dụng hệ hệ thức Vi ét để tính nhẩm nghiệm ph-ơng trình bậc hai, bậc ba Hoặc ph-ơng trình đ-a đ-ợc dạng để tinh nhÈm nghiƯm II D¹ng II: øng dơng cđa hƯ thøc Vi et vào việc tìm số biết tổng vµ tÝch cđa chóng: NÕu hai sè u vµ v có tổng ph-ơng trình bậc hai: x u + v = S tích u v = P hai sè u vµ v lµ hai nghiƯm cđa ( SGK To¸n - Trang 52) - Sx + P = Điều kiện để có hai số là: S - 4P VÝ dơ 1: a) T×m sè biÕt tỉng cđa chóng b»ng 27 vµ tÝch cđa chóng b»ng 180 b) T×m sè biÕt tỉng cđa chóng b»ng vµ tÝch cđa chóng b»ng H-ớng dẫn cách giải: Tìm số biết tổng chóng b»ng 27 vµ tÝch cđa chóng b»ng 180 Tøc ta cần tìm số x1 x2 biết nghiệm ph-ơng trình bậc hai x1 x2 x1 x 27 NÕu ¸p dơng hƯ thức Vi et đảo 180 ta có lời gi¶i nh- sau: x - 27x + 180 = Giải: a) Vì số cần tìm có tổng 27 tích 180 Nên số nghiệm ph-ơng trình: x - x Ta cã: = - 1 = - = > + 180 = ph-ơng trình cã nghiÖm x1 27 15 ; x2 27 12 VËy kh«ng cã hai số cần tìm 15 12 b) Vì số cần tìm có tổng tích 5, Nên số nghiệm ph-ơng trình: x - x + = x1 vµ x2 Ta cã: = - - = - = - < ph-ơng trình vô nghiệm Vậy hai số thoả mÃn điều kiện đề Khai thác ví dụ nêu ví dụ sau: Ví dụ 2: a) Tìm cạnh hình chữ nhật biết chu vi 100 m diện tích 621 m2 b) Tìm cạnh hình chữ nhật có chu vi 20 cm diện tích 32cm2 H-ớng dẫn cách giải - Bài toán cho biết ? cần tìm gì? a - Nếu gọi cạch hình chữ nhật a b ta có điều gì? a b - VËy a a b b 50 b 100 621 a b nghiệm ph-ơng trình bậc hai nào? ( x - 50x + 621 = ) 621 Với gợi ý cho em thảo luận phút đại diện em trình bày lời giải Giải: a a) Gọi cạch hình chữ nhật a b ta có hệ ph-ơng trình: b a b Nên a b nghiệm ph-ơng trình bậc hai: x - x ph-ơng trình có nghiÖm x ; x VËy độ dài cạnh hình chữ nhật 27 (m ) vµ 23 (m) 100 a b a b 621 50 621 + 621 = b) Gọi cạch hình chữ nhật a b ta có hệ ph-ơng trình a b a b Nên a b nghiệm ph-ơng trình bậc hai: x - x + Ta cã: ' ph-¬ng trình vô nghiệm 20 a b a b 32 10 32 32 = Vậy không tồn hình chữ nhật có chu vi 20 cm diện tích 32 cm2 Kết luận: Muốn tìm hai sè biÕt tỉng vµ tÝch cđa chóng, ta ¸p dơng hƯ thøc Vi – et ®Ĩ ®-a vỊ dạng ph-ơng trình bậc hai ẩn giải III Dạng III: ứng dụng hệ thức Vi et vào việc giải hệ ph-ơng trình đối xứng Khái niệm hệ ph-ơng trình đối xứng: Một ph-ơng trình ẩn gọi đối xứng ta thay x y y x ph-ơng trình không thay đổi Ví dụ: Ph-ơng trình đối xứng x y x y 1 y x yx 11 x y 25 y x 25 Một hệ ph-ơng trình đ-ợc gọi hệ đối xứng loại I gồm ph-ơng trình đối xứng x Ví dụ: Hệ ph-ơng trình đối xứng loại I: x 2 y y 2 25 xy y 13 y 2 x x 2 25 yx 13 Cách giải hệ ph-ơng trình đối xứng loại I +) Biểu diễn ph-ơng trình qua x y ; x y +) Đặt S x y ; P x y ta đ-ợc hệ ph-ơng trình chứa ẩn S P +) Giải hệ ph-ơng trình tìm S P +) Các số x y nghiệm ph-ơng trình t S t P (VËn dơng hƯ thøc Vi –et đảo- Tìm số biết tổng tích chúng) (Hệ đà cho có nghiệm hệ ph-ơng trình theo S vµ P cã nghiƯm tháa m·n S P ) Tùy theo yêu cầu toán ta giải biện luận ph-ơng trình theo tham số t từ suy nghiệm kết luận cần thiết cho hệ ph-ơng trình 2 Ví dụ 1: Giải hệ ph-ơng trình x a) y x c) y x xy xy y y 19 x b) xy x 35 y 18 x d) y x y 2 x x y y xy 12 H-íng dÉn cách giải: x - Em có nhận xét hệ ph-ơng trình x y xy y 19 xy 35 - Muốn giải hệ ph-ơng trình ta làm nh- ? (GV nêu cách làm cách đặt ẩn phụ S x y P bày lời giải nh- sau) Giải: a) x y x xy y xy 5S 2P S y S 15S 35 x.y Đặt x y P ta có hệ ph-ơng trình x y 35 19 3P x 19 em thảo luận trình x y 2S 6P 57 6P 13S 70 S 13 3P 35 S 1 3P S 35 P theo định lí Vi ét x; y nghiệm ph-ơng trình bậc hai 12 X X 12 12 giải ph-ơng trình ta đ-ợc nghiệm X X Vậy hệ ph-ơng trình có nghiệm ; 3; - Hoặc em biến đổi trực tiếp hệ ph-ơng trình ph-ơng pháp cộng đại số (không đặt ẩn phụ) ta tính đ-ợc x y x.y x b) xy x y y x y x y x xy từ áp dụng hệ thức vi- ét để giải hệ ph-ơng trình tìm x; y 12 x y y xy xy x xy y xy x y Theo định lí Vi ét x; y nghiệm ph-ơng trình bậc hai Giải ph-ơng trình ta đ-ợc nghiệm X X Vậy hệ ph-ơng trình có nghiệm 3; ; c) y y 18 x y x x 5X 3 18 xy x y xy x y 18 xy x x 12 2 x X y 3 x y y y 12 x 12 12 18 xy 54 xy 1728 xy x 12 x y y 12 32 y 12 theo định lí Vi ét x; y nghiệm ph-ơng trình bậc hai Giải ph-ơng trình ta đ-ợc nghiệm t t Vậy hệ ph-ơng trình có nghiƯm lµ ; vµ ; t 12t 32 d) x y x 3 y xy x y x y 3 xy xy x y x y x y xy theo định lí Vi ét x; y nghiệm ph-ơng trình bậc hai: t a - b + c = - -1 + -2 = nên ph-ơng trình (1) có nghiệm t Vậy hệ ph-ơng trình có nghiệm 1; Chú ý: Nếu hệ đối xứng lo¹i I cã nghiƯm 2; x a y b x t xy t2 (1) 1 y có nghiƯm x b y a Chóng ta cÇn l-u ý điều để không bỏ xót nghiệm hệ ph-ơng trình Ví dụ 2: Giải hệ ph-ơng trình x a) x y y x c) y xy x xy z y x b) xy x yz z d) y x xz y y xy 17 xy z yz xz x e) 27 x 14 1 x y z x x y y y y 18 72 H-íng dÉn cách giải: x - Muốn giải hệ ph-ơng trình y x xy y ta lµm nh- thÕ ? xy - Học sinh nêu cách làm biến đổi hpt dạng tổng tích x y cách đặt P x y S ta cã hÖ pt P S S S x y giải hệ ph-ơng trình 12 - Khi em nhận thấy cách vËn dơng hƯ thøc Vi – et vµo nhÈm nghiƯm ph-ơng trình bậc hai em đà trình bày lêi gi¶i nh- sau: Gi¶i: a) x x y xy y xy x y xy y x y xy x y x y xy x y y Đặt x y Ta có hệ ph-ơng trình 12 S x y vµ P x y S S +) Víi S = xy x x P P = ta cã S 12 x y xy S P S 3; S theo định lí Vi ét x; y nghiệm ph-ơng trình bậc hai t t (1) v× a + b + c = + -3 + = nên ph-ơng trình (1) có nghiệm Vậy hệ ph-ơng trình có nghiƯm lµ +) Víi S = P = ta có ph-ơng trình bậc hai t x y xy 2t 1; vµ ;1 t1 t2 theo định lí Vi ét x; y nghiệm (2) Gi¶i pt (2) ta cã ' 1 3 nên ph-ơng trình (2) vô nghiệm Vậy hệ ph-ơng trình có nghiệm 1; ;1 Tôi gợi ý hpt ta biến đổi vế trái hpt thµnh tỉng cđa nh- sau: b) x x y y x 17 xy x 2 S P Giải ph-ơng trình +) Với S S1 2 17 18 12S Đặt S x 2S 3 S S 17 S ta đ-ợc ta có x y xy 2 P P P1 xy S 17 S y ;P 2 S P 35 17 12S xy xy P ®ã ta cã lêi gi¶i y ; xy 2 y 2P S 2 y S Ta có hệ ph-ơng trình 2 x S1 ; 12S 35 S S2 6S S 17 S (I) theo định lí Vi ét x; y nghiệm ph-ơng tr×nh bËc hai t t (3) 49 16 65 nên ph-ơng trình (3) có Giải ph-ơng trình (3) ta có 2 nghiƯm ph©n biƯt t1 65 65 ; t2 hệ ph-ơng trình (I) cã nghiƯm lµ S2 P2 x ta cã 65 y 65 ; 65 +) Víi 65 vµ 65 ; 65 II xy theo định lí Vi ét x; y nghiệm ph-ơng trình bậc hai t t (4) 49 16 65 nên ph-ơng trình (4) có nghiệm Giải ph-ơng trình (4) ta có 2 phân biệt t3 33 33 hệ ph-ơng trình ; t4 5 cã nghiƯm lµ II 33 33 ; 33 33 vµ 33 ; 33 VËy hệ ph-ơng trình có nghiệm là: 65 ; 65 2 x c) y yz xz 2 y y z z 65 ; x 33 ; 33 z vµ yz xz y z x y z xz xy xy yz xz 11 x yz x z y yz xz 14 x xy áp dụng hệ thức Vi ét suy x x + z 10 ; y 33 y z yz xz xy z y yz xz z xy xy ; xz 33 x yz 14 y xy ; xy ; 65 x Tõ z xy x ; y yz xz 14 7 lµ nghiệm ph-ơng trình bậc hai: +) áp dụng hệ thức Vi et cho ph-ơng trình +) Để ph-ơng trình có nghiệm thỏa mÃn điều kiện * x1 x2 x1 x1 2m x1 x x2 x1 2 x1 x x2 x1 x 2 x2 2 x1 x1 x1 ta cã * x1 x 2 x2 x2 x1 x 25 mµ 25 x1 x x1 x 2 x1 x 25 x2 x1 x 25 x1 x2 x1 x 25 2m 2m 2 8m Giải ph-ơng trình Vậy với m 26 25 ** ta đ-ợc ** m x1 x2 m1 26 26 ; m2 26 ph-ơng trình có nghiệm thỏa mÃn điều kiƯn * Chó ý: Trong bµi tËp ta đà vận dụng công thức A B A B víi A; B ; A để biến đổi kết hợp vận dụng hệ thức Vi et ta tìm đ-ợc ; A giá trị m thỏa mÃn điều kiện toán A B AB Ph-ơng pháp chung: Nh- toán tìm điều kiện tham số để thỏa mÃn điều kiện nghiệm đối xứng liên hệ với theo hệ thức cần làm nh- sau: +) Tìm điều kiện để ph-ơng trình có nghiệm (hoặc a.c < 0) +) ¸p dơng hƯ thøc Vi – Ðt ®Ĩ tÝnh tỉng vµ tÝch cđa nghiƯm +) KÕt hợp với điều kiện ( hệ thức) giải hệ ph-ơng trình gồm điều kiện với tổng tích nghiệm tìm đ-ợc tham số thỏa mÃn điều kiện toán +) So sánh với điều kiện có nghiệm để (trả lời) kêt luận toán Bài tập áp dụng: Bài 1: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho parabol y = x (P) đ-ờng thẳng (d) có ph-ơng trình: y = a - x + - a ; (a lµ tham sè) Với a = tìm toạ độ giao điểm đ-ờng thẳng (d) (P) Chứng minh với a đ-ờng thẳng (d) cắt (P) điểm phân biệt Gọi hoành độ giao điểm đ-ờng thẳng (d) (P) x1, x2 Tìm a để x + x = Bài 2: Cho ph-ơng trình x x gọi x1 ; x2 hai nghiệm ph-ơng trình Không giải ph-ơng trình hÃy tính giá trị biểu thøc sau: 2 2 2 1) x1 x2 2) x1 x1 x2 3) x2 x1 x1 Bµi 3: x2 x1 x1 x x1 x2 x2 x2 (Đề thi tuyển sinh vào THPT Năm học 2002 -2003 - Hải D-ơng) 3 x Cho ph-ơng trình x 20 Gọi x1 ; x nghiệm ph-ơng trình S 2009 x1 2009 x2 3 2008 TÝnh gi¸ trÞ cđa biĨu thøc: 2008 x1 x2 2007 2007 x1 x2 Bài 4: Cho ph-ơng trình x m x m 1) Chøng minh ph-ơng trình luôn có nghiệm với giá trị m 2) Tìm điều kiện m để ph-ơng trình có nghiệm trái dấu x x 3) Gäi x1 ; x2 lµ hai nghiƯm ph-ơng trình x x 2 2 2 (Đề thi tuyển sinh vào THPT Năm học 1999 -2000- Hải D-ơng) Bài 5: Trên mặt phẳng toạ độ Oxy cho Parabol (P) có ph-ơng trình: y = 2x2, đ-ờng thẳng (d) có hệ số góc m qua điểm I ; 1) Viết ph-ơng trình đ-ờng thẳng (d) 2) CMR: (d) cắt (P) hai điểm phân biệt A B 3) Gọi hoành độ giao ®iĨm cđa A vµ B lµ xA, xB CMR: x A - x B Bµi 6: Cho hµm sè: y = x (P) vµ y = x + m (d) 1) Chøng minh r»ng víi mäi giá trị m (d) cắt (P) điểm phân biệt 2) Gọi y1 y2 tung độ giao điểm đ-ờng thẳng (d) (P) Tìm m để y + y = 2 x Bµi 7: Cho parabol (P): 11y1y đ-ờng thẳng (d): y = y = mx - m + (m lµ tham sè) Tìm m để đ-ờng thẳng (d) (P) ®i qua ®iĨm cã hoµnh ®é b»ng x = CMR đ-ờng thẳng (d) cắt (P) điểm phân biệt với m R Giả sử (x1;y1) (x2;y2) toạ độ giao điểm (d) (P) CMR: y y Bài 8: Trên mặt phẳng tọa độ (hình vẽ), có điểm A thuộc đồ thị (P) hàm số y a x điểm B không thuộc (P) a) Tìm hệ số a vẽ (P) b) Viết ph-ơng trình đ-ờng thẳng qua điểm A B Xác định tọa độ giao điểm thứ hai (P) đ-ờng thẳng AB Bài Cho ph-ơng trình 2m x 2mx + = 2 x1 x2 2 a) Xác định m để ph-ơng trình có nghiệm thuộc khoảng b) Xác định m để nghiệm x1; x2 tháa m·n: x x 1; (Đề thi học sinh giỏi Tỉnh Hà Tây năm học 2006- 2007) 10 Bài 10 Cho ph-ơng tr×nh: x 3x x + x - = m 1) Giải ph-ơng trình m = 2) Tìm m để ph-ơng trình có nghiệm x1 ; x2; x3 ; x4 tháa m·n 1 1 x1 x2 x3 x4 V D¹ng V ứng dụng hệ thức Vi ét vào việc lập ph-ơng trình bậc hai có chứa hai biểu thức nghiệm ph-ơng trình Ví dụ 1: Lập ph-ơng trình bậc có nghiệm là: x1 ; x2 H-íng dÉn cách giải: - Muốn tìm hai số biết tổng vµ tÝch cđa chóng ta lµm ntn? (NÕu hai sè u vµ v cã tỉng u + v = S tích u v = P hai số u v hai nghiệm ph-ơng trình bậc hai: x - S x + P = ; §/K 21 S 4P ) Gi¶i: Ta cã x1 x2 5 2 2 x1 x 3 5 5 2 4 V× x x x x Nên x ; x nghiệm ph-ơng trình bậc hai: x x Vậy ph-ơng trình cần tìm là: x x Nhận xét: Để lập đ-ợc ph-ơng trình bậc hai có nghiệm nhận số cho tr-ớc nghiệm ta vận dụng hệ thức Vi et đảo (tìm hai số biÕt tỉng vµ tÝch cđa chóng) ta lµm nh- sau: - B-íc 1: TÝnh tỉng vµ tÝch cđa hai sè ®ã - B-íc 2: ¸p dơng hƯ thøc Vi – et đảo để tìm ph-ơng trình cần lập Ví dụ 2: Cho ph-ơng trình x x x ; x hai nghiệm ph-ơng trình 1) Không giải ph-ơng trình hÃy tính giá trị c¸c biĨu thøc sau: a) x x ; x x b) x x 2) Xác định ph-ơng trình bậc hai nhËn x x vµ x x lµ nghiƯm 2 2 2 1 2 3 2 2 (Đề thi tuyển sinh vào THPT Tỉnh Hải D-ơng - Năm học 2005 -2006) Giải: 1) Xét ph-ơng trình x 4 Ta cã: 7x 49 32 17 x1 áp dụng đinh lí Vi ét ta có: Ph-ơng trình có nghiệm phân biệt = x1 x2 x1 x1 x1 x2 2 3 x1 x ; x2 x1 x b) Ta cã: x1 x2 = x1 x1 x1 x x1 x2 x1 x x1 x2 = VËy 3 x1 2) Đặt u = x2 x1 = = 343 42 2 343 168 175 8 175 vµ v = x2 Ta cã: u + v = x1 x2 x1 + x2 x2 x1 = - x1 x2 = x1 x2 16 14 x1 x2 x1 x - x1 x2 = 2 Mµ: u v = x1 = 22 - 49 = x2 175 x2 x1 -2= =x 175 - x 3 x2 -x 175 = x x1 x 47 X 159 Ví dụ 3: Cho ph-ơng trình 2x x2 -x x 159 X 47 x1 Nªn u ; v nghiệm ph-ơng trình bậc hai: X - u.v 159 Vậy ph-ơng trình cần tìm là: tích u 47 u+v 159 47 47 x1 16 V× sè u vµ v cã tỉng u + v 49 9x X 159 8 gäi x1 ; x2 hai nghiệm ph-ơng trình 22 Xác định ph-ơng trình bậc hai nhận x1 x2 x2 nghiệm x1 Giải: - Xét ph-ơng trình - Ta có: 2x 9x 6 81 48 ¸p dơng đinh lí Vi ét ta có: Ph-ơng trình có nghiệm phân biệt 33 x1 x2 - Mà: u v x1 u v x1 x2 x2 x2 x2 x1 Đặt u = x2 x1 vµ v = x2 x2 x1 3 x1 x1 x2 =4 x - ; x1 x - Ta cã: x1 x +2 x -9 x x1 x1 x2 =- x1 u v 2 = x = x2 x1 x x1 x2 = 81 21 84 81 4 V× sè u vµ v cã tỉng u + v = u.v vµ tÝch u v Nên u; v nghiệm ph-ơng trình bËc hai: X X VËy ph-¬ng trình cần tìm là: X X 4 VÝ dơ 4: Gäi y1 vµ y2 hai nghiệm ph-ơng trình: y ph-ơng trình cã hai nghiƯm lµ: x + ax + b = 0 x1 = y1 + 3y 2 T×m a; b cho 3y + 5y +1 = x2= y2 + (Đề thi tuyển sinh vào THPT Tỉnh Hải D-ơng - Năm học 2005 -2006) Giải: - Xét ph-ơng trình Ta cã: y 2 + 5y +1 = 1 25 21 y1 - ¸p dơng đinh lí Vi ét ta có: Ph-ơng trình có nghiƯm ph©n biƯt y2 y1 y - Ta cã: x1+ x = 2 y1 + 3y Đặt y + 3y1 y1 + y 2 3y1 y1 + y Mµ: x x y1 =1 y2 2 y1y 3y vµ ; y2 x = y + 3y1 2 y1y y1 + 3y y + 3y1 = x1 = y1 + 3y y1 y1y 3 y1 + y x1+ x y1y 3 y1 +y y1y y1+y y1y 3 -5 -5 = -1 45 70 x x 70 V× sè x ; x cã tæng x + x tích x x 70 Nên x ; x nghiệm ph-ơng trình bậc hai: X 8X 70 Vậy ph-ơng trình cần tìm là: X X 0 VÝ dô 5: a) LËp ph-ơng trình bậc hai có hai nghiệm x1; x2 thoả m·n: 1 2 2 x x = x1 vµ x1 x2 x2 a a 2 b) Lập ph-ơng trình bậc hai có hệ số nguyên vµ cã mét nghiƯm lµ : 5 H-ớng dẫn cách giải: - Đối với phần a ta đà biết đ-ợc tích hai số 23 x x = nên ta cần tính x1+ x = ? - Từ h-ớng dÉn cho häc sinh t×m tỉng x1+ x = ? x1 tõ biÓu thøc x2 x1 x1 x2 x2 a a 2 ta cã lêi gi¶i nh- sau Gi¶i: x1 a) Ta cã: x1 x x1 x1 x1 x x1 x x2 x1 x1 x2 §iỊu kiƯn: a 3a S a a 2 x1 x 4P x1 a x1 x2 a X x1 x2 x2 x1 x1 x VËy lµ nghiệm ph-ơng trình: x1 x2 x1 a a x2 a x2 x2 x2 x1 x1 x2 x2 a a a x2 x2 a x1 a 4 x1 x2 a x1 a x2 a 7 a a 2 X a víi hc a a hc a Nhận xét: Để lập đ-ợc ph-ơng trình bậc hai biết tích hai ẩn hệ thức cần tìm tổng hai ẩn để áp dụng định lí Vi et b) Ph-ơng trình bậc hai cần tìm có dạng tổng quát x px q với p; q th× ta Z Ta cã: 31 +) NÕu 8 5 15 15 p 4p q p 15 p p q 15 31 15 cã mét nghiƯm lµ : p +) Nếu 2 Vì ph-ơng trình 31 q 15 15 ta có: 15 (vô lí) Vì 15 p 15 R ; p 31 4 p 15 q q Z p tøc lµ p q Cho nên ph-ơng trình cần tìm là: x x NhËn xÐt: Khi lËp ph-¬ng trình bậc hai biết tr-ớc nghiệm hệ số số nguyên Ta cần thay nghiệm ph-ơng trình vào ph-ơng trình ban đầu xét hệ số nguyên p Ph-ơng pháp chung: +) Muốn lập ph-ơng trình bậc hai có nghiƯm lµ hai sè cho tr-íc ta lµm nh- sau: - B-íc 1: TÝnh tỉng vµ tÝch cđa hai sè ®ã - B-íc 2: ¸p dơng hƯ thøc Vi – et đảo để tìm ph-ơng trình cần lập ta tính tổng tích chúng áp dụng hệ thức Vi ét đảo để xác định ph-ơng trình cần lập +) Trong tr-ờng hợp ph-ơng trình bậc hai cần lập biết tr-ớc nghiệm hệ số số nguyên ta thay nghiệm vào ph-ơng trình ban đầu tìm hệ số Bài tập áp dụng: Bài 1: Cho ph-ơng trình x x gäi x1 ; x2 lµ hai nghiệm ph-ơng trình 1) Không giải ph-ơng trình hÃy tính giá trị biểu thức sau: a) x x ; x x b) x x x x 2) Xác định ph-ơng trình bậc hai nhận x vµ x lµ nghiƯm 2 2 2 2 2 24 Bài 1) Lập ph-ơng trình bậc hai với hệ số nguyên có nghiệm là: x1 2) TÝnh: P 4 5 Bài Cho ph-ơng trình: m x + m - x + m - = (1) a) Tìm m để (1) có hai nghiệm trái dấu ; b) Xác định m để (1) có hai nghiệm trái dấu cho nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn c) Lập ph-ơng trình bậc hai nhận nghiệm VI Dạng VI: ứng dụng hệ thức Vi ét vào việc xét mối quan hệ nghiệm ph-ơng trình bậc hai Ví dụ 1: Cho ph-ơng trình a x + b x + c = cã nghiệm d-ơng x , x CMR: ph-ơng trình 2 cịng cã hai nghiƯm d-¬ng, gäi nghiệm x , x CMR: x x x x H-ớng dẫn giải: - Để chứng minh ph-ơng trình c x + b x + a = có nghiệm d-ơng ta cần chứng minh cx + bx + a = 4 điều gì? ( Vì ph-ơng trình b x1 4ac 4ac ax + bx + c = x3 a b 0 ; c a x3 x Gi¶i cã nghiƯm d-¬ng a c 0 b 4ac ) c x1 , x nªn tõ b c trái dấu, a c tr¸i dÊu 2 a x3 x b x4 0 c a Nh- vËy c¸c nghiƯm BÊt đẳng thức Cô si: x3 , ph-ơng trình x4 cx + bx + a = Víi hai số không âm A B ta có: A áp dơng cho sè d-¬ng b x4 a cx ;x a c x1 x 2 b x2 b x1 , x x A B (dÊu b»ng x¶y A = B) nghiệm ph-ơng trình a x + b x B , cịng d-¬ng AB x4 + c = vµ + bx + a = ta cã: x1 x2 VËy x3 x1 x4 x2 x3 x1 x2 x3 x4 x4 (®pcm) x1 x 2 x3 x4 c a a c c a a c NhËn xÐt: - Qua ví dụ đà vận dụng điều kiện để ph-ơng trình bậc hai có nghiệm phân biệt d-ơng ( ;x x ; x x ) - ¸p dơng hƯ thøc Vi – et cho ph-ơng trình bậc hai đồng thời vận dụng linh hoạt Bất đẳng thức Cô si cho hai số d-ơng ta đà chứng minh đ-ợc x x x x Ví dụ 2: Tìm m để ph-ơng tr×nh x + x + m = 1 2 25 2 x + 3x - 2m = cã nghiệm phân biệt nghiệm ph-ơng trình xen kẽ H-ớng dẫn giải: - Ph-ơng trình x + x + m = vµ x - x - m = cã nghiệm phân biệt nào? ( - Khi hai nghiệm ph-ơng trình xen kẽ nhau? Giải Gọi vế trái ph-ơng trình f x g x f x cã nghiƯm ph©n biƯt x1 g x có nghiệm phân biệt x3 có nghiệm ngoµi x1 ; x g x1 g x2 < m , x xen kÏ c¸c nghiƯm , ) m