115 SKKN 8 bồi dưỡng kỹ năng phân tích nhân tử

MỤC LỤC Nội dung MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài: Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu Đối tƣợng nghiên cứu Đối tƣợng khảo sát thực nghiệm Phƣơng pháp nghiên cứu Phạm vi kế hoạch nghiên cứu NỘI DUNG CHƢƠNG I CƠ SỞ LÍ LUẬN CHƢƠNG II THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU CHƢƠNG III CÁC GIẢI PHÁP VÀ KẾT QUẢ THỰC HIỆN 3.1 Các giải pháp 3.1.1 Dạy ôn tập phƣơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử chƣơng trình sách giáo khoa 3.1.2 Dạy phƣơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử khơng có chƣơng trình sách giáo khoa 3.2 Kết thực KẾT LUẬN VE KIẾN NGHỊ Kết luận Kiến nghị TÀI LIỆU THAM KHẢO Trang 2 3 3 5 6 10 18 19 19 20 MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Đại số môn học định chủ yếu đến việc học đại số em sau Đặc biệt sử dụng thành thạo đẳng thức phân tích đa thức thành nhân tử Qua số năm giảng dạy đại số trƣờng trung học sở thị trấn Krơng Klang, tơi nhận thấy nhiều học sinh cịn gặp khó khăn làm tập phân tích đa thức thành nhân tử, đa thức cần sử dụng thêm phƣơng pháp phân tích thành nhân tử khác phƣơng pháp sách giáo khoa giới thiệu Nếu em khơng có kỹ phân tích đa thức thành nhân tử khó khăn sau Đặc biệt đề thi học sinh giỏi lớp 8, lớp thƣờng có câu phân tích đa thức thành nhân tử mà em khơng làm đƣợc biết phƣơng pháp đơn giản nhƣ sách giáo khoa Nhận thấy việc dạy cho học sinh hình thành kỹ phân tích đa thức thành nhân tử điều cần thiết Vì tơi lựa chọn đề tài: " Một số giải pháp bồi dưỡng kỹ phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh lớp 8" để nghiên cứu, áp dụng vào trình bồi dƣỡng học sinh khá, giỏi Mục đích nghiên cứu Nhằm tìm hiểu cách tiếp thu, hình thành kỹ phân tích đa thức thành nhân tử học sinh Từ có biện pháp cụ thể để bồi dƣỡng cho em phƣơng pháp vận dụng phân tích đa thức thức thành nhân tử Giúp học sinh thấy đƣợc tầm quan trọng, tính hiệu sử dụng phƣơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử vào vận dụng giải toán Qua thực đề tài nghiên cứu nhằm đúc rút cho thân kinh nghiệm việc dạy bồi dƣỡng cho em kỹ phân tích đa thức thành nhân tử Từ cải tiến chất lƣợng tham gia thi học sinh giỏi cấp Đối tƣợng nghiên cứu Phƣơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử Đối tƣợng khảo sát thực nghiệm Học sinh khối trƣờng trung học sở thị trấn Krông Klang Phƣơng pháp nghiên cứu Phƣơng pháp phân tích: Nghiên cứu thực trạng học sinh, nắm đƣợc kiến thức học sinh khó khăn thắc mắc học sinh phân tích đa thức thành nhân tử Phƣơng pháp thực nghiệm: Khi giảng dạy qua nhiều lớp, nhiều năm học đúc rút kinh nghiệm cho thân Phƣơng pháp trao đổi thảo luận: Cùng nghiên cứu cung cấp kết thảo luận với thầy cô giáo môn, giáo viên tổ nhƣ mạng intenet Phƣơng pháp tổng hợp: Sử dụng phƣơng pháp phân tích kết hợp với giảng dạy thân, thực tế diễn lớp học nhƣ ý kiến đóng góp thầy cô giáo Phạm vi kế hoạch nghiên cứu 6.1 Phạm vi nghiên cứu Chƣơng trình đại số 6.2 Kế hoạch nghiên cứu Xác định vấn đề cần nghiên cứu Thu thập, nghiên cứu tài liệu Xây dựng nội dung kế hoạch nghiên cứu Áp dụng nội dung nghiên cứu Trình bày (hoặc tham khảo ý kiến) sản phẩm nghiên cứu Chia nhận ý kiến đóng góp từ đồng nghiệp, thành viên hội đồng mơn cấp Hồn thành sản phẩm nghiên cứu lần cuối NỘI DUNG CHƢƠNG I CƠ SỞ LÍ LUẬN Phân tích đa thức thành nhân tử viết đa thức thành tích đa thức khác Là việc làm ngƣợc lại nhân đa thức Thực tế cho thấy nhân đa thức thành đa thức có quy tắc tƣơng đối đơn giản Nhƣng để viết đa thức thành tích đa thức khác khơng đơn giản chút Ngồi việc sử dụng phƣơng pháp thơng thƣờng sách giáo khoa giới thiệu sử dụng thêm phƣơng pháp khác chƣa học sinh phân tích đa thức thành nhân tử cách nhuần nhuyễn Để học sinh có kỹ phân tích đa thức thành nhân tử tốt vận dụng cho trình học tốn sau giáo viên phải có kế hoạch dạy học, bồi dƣỡng cụ thể cho em Dạy học từ thấp đến cao; từ phƣơng pháp đơn giản đến phƣơng pháp khó tập vận dụng theo mức độ khác CHƢƠNG II THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU 2.1 Thuận lợi Đƣợc đạo Ban giám hiệu nhà trƣờng hoạt động dạy học đặc biệt hoạt động chuyên môn tạo điều kiện cho giáo viên phấn đấu, học tập nghiên cứu, nhằm bồi dƣỡng cho đối tƣợng học sinh giỏi nhà trƣờng Bên cạnh đó, trƣờng địa bàn thuận lợi có nhiều đối tƣợng học sinh khá, giỏi thuận lợi cho việc bồi dƣỡng dạng nâng cao 2.2 Khó khăn Dạng tập phân tích đa thức thành nhân tử nhiều mà thời lƣợng chƣơng trình Với thời gian giáo viên đủ để dạy cho học sinh phƣơng pháp sách giáo khoa giới thiệu sơ qua số phƣơng pháp khác Sách giáo khoa có tập giới thiệu thêm phƣơng pháp tách hạng tử đa thức bậc hai phƣơng pháp thêm bớt hạng tử Nên gặp đa thức bậc ba, bậc bốn em không định hƣớng đƣợc cách tách thêm bớt hạng tử nhƣ Khi gặp tập vận dụng nâng cao em chƣa biết cách vận dụng kỹ phân tích đa thức thành nhân tử cách phù hợp CHƢƠNG III CÁC GIẢI PHÁP VÀ KẾT QUẢ THỰC HIỆN 3.1 Các giải pháp 3.1.1 Dạy ôn tập phƣơng pháp phân tích đa thức thành nhân chƣơng trình sách giáo khoa 3.1.1.1 Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Phân tích thành nhân tử đa thức sau: F = 4x4 + 81 Ở ví dụ giáo viên đặt hệ thống câu hỏi để học sinh phát phải thêm bớt hạng tử phân tích đƣợc Và cho học sinh thấy đƣợc thêm bớt để xuất bình phƣơng tổng bình phƣơng hiệu F = 4x4 + 36x2 + 81 - 36x2 ( thêm 36x2 , bớt 36x2) = (4x4 + 36x2 + 81) - 36x2 ( Nhóm hạng tử) = (2x2 + 9)2 – 36x2 ( Dùng đẳng thức) = (2x2 + + 6x)(2x2 + – 6x) ( Dùng đẳng thức) = (2x2 + 6x + )(2x2 – 6x + 9) Ví dụ 2: Phân tích thành nhân tử đa thức sau: G = x7 + x2 + Ở ví dụ giáo viên định hƣớng cho học sinh thêm bớt để xuất nhân tử chung x2 + x + G= x7 – x + x2 + x + ( thêm x, bớt x) = (x7 – x) + (x2 + x + ) ( Nhóm hạng tử) = x(x6 – 1) + (x2 + x + ) ( Đặt nhân tử chung) = x(x3 - 1)(x3 + 1) + (x2 + x + ) ( Dùng đẳng thức) = x(x – 1)(x2 + x + ) (x3 + 1) + (x2 + x + 1) ( Dùng đẳng thức) = (x2 + x + 1)[x(x – 1)(x3 + 1) + 1] ( Đặt nhân tử chung) = (x2 + x + 1)(x5 – x4 + x2 - x + 1) 3.1.1.2 Bài tập nhà Phân tích đa thức sau thành nhân tử 16x3y + 0,25yz3 20 (a + b + c)2 + (a + b – c)2 – 4c2 x4 – 4x3 + 4x2 21 4a2b2 – (a2 + b2 – c2)2 2ab2 – a2b – b3 22 a + b4 + c4 – 2a2b2 – 2b2c2 – 2a2c2 x 2y2 + – x2 – y2 27 xm + + xm + – x – x – x2 + 2x – 28 (x + y)3 – x3 – y3 10 3a – 3b + a2 – 2ab + b2 29 (x + y + z)3 – x3 – y3 – z3 3.1.2 Dạy phƣơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử khơng có chƣơng trình sách giáo khoa 3.1.2.1 Phân tích đa thức thành nhân tử phƣơng pháp đặt ẩn phụ 3.1.2.1.1 Phƣơng pháp Đặt biểu thức ẩn để đƣa đa thức đơn giản phân tích đa thức theo ẩn thành nhân tử Sau thay biểu thức ban đầu vào ẩn phụ vừa đặt Tùy vào đa thức mà cách đặt ẩn phụ dễ hay khó Có nhìn vào đặt đƣợc ngay, nhƣng có phải biến đổi đa thức đặt đƣợc ẩn phụ 3.1.2.1.2 Ví dụ minh họa Phân tích thành nhân tử đa thức sau: P = (x2 + x + 1)(x2 + x + 2) – 12 Đặt x2 + x + = y x2 + x + = y + Khi đó: P = y(y + 1) – 12 = y2 + y – 12 = (y – 3)(y + 4) Thay y = x2 + x + , ta có: P = (x2 + x – 2)(x2 + x + 5) Đến ta phân tích tiếp: Kết (x2 + x + 1)(x2 + x + 2) – 12 = (x –1)(x + 2)(x2 + x +5) 3.1.2.1.3 Bài tập nhà: Phân tích đa thức sau thành nhân tử / x(x / (x 5/ x 2 / 6x / x )( x 11 / x 4x 8) xy y 11x xy )( x xy 3x(x 2 10) 2x 128 4x 2y / (x 8) 2x 4/ ( x 15 8/ (x 4y 3x 3y 2x 10 4y x) 6/ (x y 1) ( x 4x a )( x 10/ ( x 35 )( x x) 2 / (x 4x a)(x 2 x) 3)( x 3( x 2 )( x 9x )( x 24 12 a )( x x) 4) 4a) a 18x )( x 20 8) 16 3.1.2.2 Phân tích đa thức thành nhân tử phƣơng pháp tìm nghiệm đa thức 3.1.2.2.1 Phương pháp Nếu đa thức P(x) có nghiệm x = a ta phân tích P(x) thành nhân tử nhƣ sau: Phƣơng pháp 1: Từ định lí Bơ du ta suy ra: P(x) = (x – a)Q(x) Vì Muốn tìm Q(x), ta chia P(x) cho (x – a) Sau lại áp dụng để phân tích tiếp Q(x) Phƣơng pháp 2: Dùng kỹ thuật tách nhóm, thêm bớt hạng tử để xuất nhân tử chung x – a 3.1.2.2.2 Ví dụ minh họa Phân tích thành nhân tử đa thức sau: P(x) = x3 – 2x – Sử dụng phƣơng pháp 1: Vì x =2 nghiệm đa thức P(x) nên P(x) = (x – 2)Q(x) Chia đa thức P(x) cho nhị thức x – 2, ta đƣợc thƣơng Q(x) = x2 + 2x +2 = (x + 1)2 +1 Ta thấy Q(x) x nên Q(x) khơng thể phân tích đƣợc Suy P(x) = (x – 2)(x2 + 2x + 2) Sử dụng phƣơng pháp 2: Vì x =2 nghiệm đa thức P(x) nên: P(x) = x3 – 2x2 + 2x2 - 4x + 2x – = (x3 – 2x2) + (2x2 - 4x) + (2x – 4) = x2(x - 2) +2x(x – 2)+ 2(x – 2) = ( x - 2)(x2 + 2x + 2) 3.1.2.2.3 Bài tập nhà Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 1) x 3) x 5) x 7) x 5x 9x 11) x 15) x 17) x 19) x 2 4x 9) 6x 13) x 5x 3 3 x 8x 2 9x 2) x 8x 4) x 6x 16 6) 4x 8x 8) 81 2x x 486 x 3x 8x 17 x 6x 5x 18) x 3x 3 20) 2x 2 6x 3x 6x 3x 18 12 x 3x 9x 7x 14) x 13 x 10) x 16) 2x 24 7x x 26 x 3 12) x 10 2x 17 x 3x 3x 2 Qua ví dụ giáo viên quay lại giải thích cho em phƣơng pháp tách hạng tử hôm trƣớc sẻ đƣợc sử dụng kết hợp với việc tính nghiệm đa thức hiệu Nếu biết trƣớc nghiệm đa thức có hƣớng tách, thêm, bớt hạng tử phù hợp Đối với đa thức bậc biến ta sử dụng phƣơng pháp nhanh thay ngồi mị mẫm nên tách hạng tử Trong dạy phƣơng pháp giáo viên củng hƣớng dẫn cho em sử dụng máy tính bỏ túi để tính nghiệm đa thức bậc 2, bậc biến thay nhẩm để tìm nghiệm nguyên nghiệm hữu tỉ 3.1.2.3 Phân tích đa thức thành nhân tử phƣơng pháp hệ số bất định 3.1.2.3.1 Phương pháp Đối với đa thức biến khơng có nghiệm ngun nghiệm hữu tỉ ta khơng thể sử dụng phƣơng pháp tìm nghiệm đa thức mà sử dụng phƣơng pháp hệ số bất định Cụ thể là: Nếu tập hợp số mà hai đa thức f(x) g(x) đồng với nhau, tức ứng với giá trị biến lấy tập hợp số cho mà f(x) g(x) ln có giá trị hệ số hạng tử bậc 3.1.2.3.2 Ví dụ minh họa Phân tích thành nhân tử đa thức sau: Q = x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + Đa thức Q khơng có nghiệm ngun củng khơng có nghiệm hữu tỉ nên Q phân tích đƣợc thành nhân tử phải có dạng: (x2 + ax + b)(x2 + cx + d) = x4 + (a + c)x3 + (ac + b + d)x2 + (ad + bc)x + bd = x4 – 6x3 + 12x2 – 14x + a c ac b ad a a d 12 bc Với b =3 => d =1 ac a b c c 3c 14 d 2 14 a bd c Vậy Q = (x – 2x + 3)(x – 4x +1) 3.1.2.3.3 Bài tập nhà Phân tích đa thức sau thành nhân tử A x B 4x C 3x D x E x 4 6x 4x 12 x 5x 22 xy 7x 11x 14 x 8x 2 14 x 2x 37 y 7x 7y 10 63 9x 26 x 24 F=x 3.1.2.4 Phân tích đa thức thành nhân tử phƣơng pháp xét giá trị riêng ( hốn vị vịng quanh) 3.1.2.4.1 Phương pháp Phƣơng pháp 1: Giả sử phải phân tích biểu thứ F(a,b,c) thành nhân tử a,b,c có vai trị nhƣ biểu thức Nếu F(a, b, c) =0 a =b F(a, b, c) có chứa nhân tử a-b Làm tƣơng tự Nếu F(a, b, c) =0 b =c F(a, b, c) có chứa nhân tử b-c; Nếu F(a, b, c) =0 a =c F(a, b, c) có chứa nhân tử a-c Khi F(a, b, c) = k(a-b)(b-c)(c-a) Chọn số a,b,c tùy ý thay vào ta tìm đƣợc k Phƣơng pháp Khi biết F(a, b, c) có chứa nhân tử a-b ta giữ nguyên phần có nhân tử a –b khai triển phần cịn lại nhóm để xuất nhân tử a-b 3.1.2.4.2 Ví dụ minh họa Phân tích thành nhân tử: F(a, b, c)= a2(b - c) + b2(c - a) + c2(a - b) Sử dụng phương pháp 1: Nhận xét : Khi a = b ta có: F(a, b, c) = 0, F(a, b, c) có chứa nhân tử a - b Tƣơng tự F(a, b, c) chứa nhân tử b - c, c - a Vì F(a, b, c) biểu thức bậc ba, F(a, b, c) = k.(a - b)(b - c)(c - a) Cho a = 1, b = 0, c = -1 ta có: + = k.1.1.(-2) => k = -1 Vậy : F(a, b, c) = -(a - b)(b - c)(c - a) Sử dụng phương pháp 2: F(a, b, c) = a2b - a2c + b2c – ab2 + c2(a - b) =( a2b– ab2 )-( a2c - b2c) + c2(a - b)= ab( a– b )-c( a - b)(a+b) + c2(a - b) =(a-b)(ab - ca – cb + c2)= (a-b)[(ab-ca) –(cb –c2)] =(a-b)[a(b-c) –c(b –c)] =(a-b)(b-c)(a-c) 3.1.2.4.3 Bài tập nhà Phân tích đa thức sau thành nhân tử A (a b c )( a b B a (a D (a E a (c G a b (a H a (b 2b) b )( a 2 b ) bc c) b) b ) (b c )(b b (a 2 a) 2 c ) c ) b c (b b (c abc b (2 a b) ca ) c (b c) a ) a c (c c (a (c a )(c abc (abc a ) 1) a ) b ) 3.2 Kết thực Qua trình nghiên cứu, vận dụng cách bồi dƣỡng kỹ phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh khá, giỏi trình giảng dạy lớp bồi dƣỡng học sinh giỏi lớp trƣờng trung học sở thị trấn Krông Klang đạt đƣợc số kết nhƣ sau: Về phía giáo viên: Nâng cao đƣợc trình độ chun mơn, hiểu sâu phƣơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử để từ có cách truyền đạt hợp lý phƣơng pháp cho học sinh Về phía học sinh: Các em đƣợc rèn luyện kỹ phân tích thành nhân tử phƣơng pháp quen thuộc sách giáo khoa Ngoài học sinh làm quen rèn luyện kỹ phân tích đa thức thành nhân tử phƣơng pháp Từ tạo đƣợc đam mê, ham thích mơn tốn học sinh Điển hình qua kỳ thi học sinh giỏi lớp 8, học sinh làm đƣợc đa số phân tích đa thức thành nhân tử tập vận dụng, có nhiều học sinh trƣờng trung học sở thị trấn Krông Klang đạt giải học sinh giỏi cấp huyện lớp KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Kết luận Bồi dƣỡng kỹ phân tích đa thức thành nhân tử việc làm quan trọng cần thiết công tác bồi bƣỡng học sinh giỏi để tham gia kỳ thi cấp Khi áp dụng đề tài, trƣớc hết giáo viên cần phải nghiên cứu kỹ phƣơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử, xây dựng hệ thống ví dụ điển hình, tập nhà để em rèn luyện Do điều kiện chƣa cho phép nên đề tài chƣa nghiên cứu hết phƣơng pháp phân tích thành nhân tử, chƣa đƣa đƣợc tập ứng dụng việc phân tích đa thức thành nhân tử Trong thời gian tới nghiên cứu dạng tập, khai thác hay từ việc phân tích đa thức thành nhân tử Rất mong đóng góp từ phía bạn bè đồng nghiệp để tích lũy đƣợc nhiều kinh nghiệm bổ ích Xin chân thành cảm ơn ! Kiến nghị a Đối với giáo viên tổ chuyên môn: - Không ngừng tự học, tự nghiên cứu tài liệu phƣơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử ứng dụng Chú ý công tác giảng dạy lớp để hình thành cho em kỹ ban đầu phân tích đa thức thành nhân tử phƣơng pháp sách giáo khoa giới thiệu - Thƣờng xuyên kiểm tra đánh giá học sinh hình thức kiểm tra miệng, 15 phút, kiểm tra tập… - Cần đƣa chủ đề vào buổi sinh hoạt tổ để đồng nghiệp có hội trao đổi, rút kinh nghiệm b Đối với cấp lãnh đạo: - Ủng hộ, khuyến khích giáo viên, học sinh nghiên cứu lĩnh vực - Mở lớp bồi dƣỡng chuyên đề “Phân tích đa thức thành nhân tử ứng dụng” 10 TÀI LIỆU THAM KHẢO Vũ Hữu Bình: Nâng cao phát triển Toán 8, tập – NXB GD Nguyễn Vĩnh Cận: Toán nâng cao Đại số – NXB Đại học sư phạm Đỗ Duy Đồng – Dƣơng Đức Kim: 400 tập mở rộng Đai số NXB Đại học quốc gia Hà Nội Hoàng Kỳ: Đại số sơ cấp thực hành giải Toán – NXB đại học sư phạm Nguyễn Vũ Thanh: Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán THCS Đại số NXB GD Vũ Dƣơng Thụy : Toán nâng cao chuyên đề Đại số – NXB giáo dục Phan Văn Đức – Nguyễn Thái Hoà - Nguyễn Thế Thƣợng – Nguyễn Anh Dũng: Bài tập nâng cao Đại số – NXB Đà Nẵng Hoàng Ngọc Hƣng – Phạm Thị Bạch Ngọc: Bài tập trắc nghiệm đề kiểm tra Toán – NXB giáo dục 11 ... nhà Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 1) x 3) x 5) x 7) x 5x 9x 11) x 15) x 17) x 19) x 2 4x 9) 6x 13) x 5x 3 3 x 8x 2 9x 2) x 8x 4) x 6x 16 6) 4x 8x 8) 81 2x x 486 x 3x 8x 17 x 6x 5x 18) x... bồi dưỡng kỹ phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh lớp 8" để nghiên cứu, áp dụng vào trình bồi dƣỡng học sinh khá, giỏi Mục đích nghiên cứu Nhằm tìm hiểu cách tiếp thu, hình thành kỹ phân. .. pháp phân tích thành nhân tử khác phƣơng pháp sách giáo khoa giới thiệu Nếu em khơng có kỹ phân tích đa thức thành nhân tử khó khăn sau Đặc biệt đề thi học sinh giỏi lớp 8, lớp thƣờng có câu phân