Một số kinh nghiệm về dãy số

Phần thứ Cơ sở lý luận Toán học môn học chiếm vị trí quan trọng nhà tr-ờng phổ thông nói chung, bậc THCS nói riêng Dạy Toán dạy cho học sinh ph-ơng pháp suy luận khoa học - lô gíc Học Toán tức rèn khả t- ứng dụng nhằm trang bị vốn kiến thức hoàn chỉnh Chính việc giải toán ph-ơng tiện tốt giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển t- duy, hình thành kỹ kỹ xảo Thực tiễn giảng dạy nhà tr-ờng phổ thông có nhiều dạng Toán khác nhau, giành cho đối t-ợng học sinh Khá giỏi Nh-ng dạng Toán Giáo viên đ-a mà học sinh nắm bắt kiến thức vận dụng đ-ợc Nhất học sinh lớp 6, 7, mức độ tiếp thu nhiều hạn chế Vì vậy, ng-ời thầy cần cho em đ-ợc tiếp cận nhiều toán dạng, hình thức giảng dạy theo chuyên đề Từ em dần đ-ợc trang bị hoàn chỉnh mặt kỹ năng, kỹ xảo việc giải toán Qua nhiều năm học tập nh- giảng dạy, nhận thấy có mảng kiến thức t-ơng đối quan trọng là: "DÃy số", tập đ-a đ-ợc trải rộng từ khối đến khối lớp cao hơn, hầu nh- ch-a bị dừng lại vị trí Mặt khác, trình giảng dạy thấy em th-ờng ngại "nhìn" thấy "một dÃy" số có đến "n phần tử", gặp toán phức tạp lại không Do tính đa dạng muôn màu muôn vẻ toán học, thật khó lòng đúc kết đ-ợc nguyên tắc, dựa vào mà tìm đ-ợc "chìa khóa" để giải đ-ợc vấn đề nêu Dẫu ý t-ởng để hình thành cho em biết hình thành khai thác tối đa kiến thøc míi, khã cđa sè häc, vËn dơng nh÷ng kÜ cần thiết để giải đ-ợc tập điều thành công em Thiết nghĩ dạng toán đ-ợc khai thác triệt để phạm vi ảnh h-ởng nh- tác dụng lớn Chính mạnh dạn s-u tầm tập để trình bày chuyên đề số tập "Giá trị dÃy số" để đồng nhiệp tham khảo đóng góp ý kiến, Trong khuôn khổ cho phép xin trình bày phạm vi khối lớp - Vì sở quan trọng việc hình thành sáng tạo cho học sinh đ-ợc học tiếp lớp cao hơn, bậc học cao Phần thứ hai Cơ sở thực tiễn Xuất phát từ Toán s¸ch gi¸o khoa nh- sau: TÝnh: A = + + + + 98 + 99 + 100 Ta thÊy tỉng A cã100 sè h¹ng, ta chia thành 50 nhóm, nhóm có tổng 101 nh- sau: A = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + + (50 + 51) = 101 + 101 + + 101 = 50.101 = 5050 Đây Toán mà lúc lên tuổi nhà Toán học Gauxơ đà tính nhanh tổng số Tự nhiên từ đến 100 tr-ớc ngạc nhiên thầy giáo bạn bè lớp Nh- toán sở để tìm hiểu khai thác thêm nhiều tập t-ơng tự, đ-ợc đ-a nhiều dạng khác nhau, đ-ợc áp dụng nhiều thể loại toán khác nh-ng chủ yếu là: tính toán, tìm số, so sánh, chứng minh Để giải đ-ợc dạng toán cần phải nắm đ-ợc quy luật dÃy số, tìm đ-ợc số hạng tổng quát, cần phải kết hợp công cụ giải toán khác Các toán đ-ợc trình bày chuyên đề đ-ợc phân hai dạng chính, là: - Dạng thứ nhất: DÃy số với số hạng số nguyên, phân số (hoặc số thập phân) cách - Dạng thứ hai: DÃy số với số hạng không cách Sau số tập đ-ợc phân thành thể loại, đà phân thành hai dạng trên: Phần thứ ba Nội dung I thể loại toán số nguyên Dạng 1: DÃy số mà số hạng cách Bài 1: Tính B = + + + + 98 + 99 NhËn xÐt: Nếu học sinh có sáng tạo thấy tæng: + + + + 98 + 99 tính hoàn toàn t-ơng tự nh- 1, cặp số 51 50, (vì tổng thiếu số 100) ta viÕt tæng B nh- sau: B = + (2 + + + + 98 + 99) Ta thấy tổng ngoặc gồm 98 số hạng, chia thành cặp ta có 49 cặp nên tổng là: (2 + 99) + (3 + 98) + + (51 + 50) = 49.101 = 4949, ®ã B = + 4949 = 4950 Lêi bình: Tổng B gồm 99 số hạng, ta chia số hạng thành cặp (mỗi cặp có số hạng đ-ợc 49 cặp d- số hạng, cặp thứ 49 gồm số hạng nào? Số hạng d- bao nhiêu?), đến học sinh bị v-ớng mắc Ta tính tổng B theo c¸ch kh¸c nh- sau: C¸ch 2: B = + + + + 97 + 98 + 99 + B = 99 + 98 + + + + 2B = 100 + 100 + + 100 + 100 + 100 2B = 100.99 B = 50.99 = 4950 Bµi 2: TÝnh C = + + + + 997 + 999 Lời giải: Cách 1: Từ đến 1000 có 500 số chẵn 500 số lẻ nên tổng có 500 số lẻ áp dụng trªn ta cã C = (1 + 999) + (3 + 997) + + (499 + 501) = 1000.250 = 250.000 (Tổng có 250 cặp số) Cách 2: Ta thÊy: = 2.1 - = 2.2 - = 2.3 - 999= 2.500- Quan sát vế phải, thừa số thứ theo thứ tự từ xuống d-ới ta xác định đ-ợc số số hạng dÃy số C 500 số hạng áp dụng cách trªn ta cã: C = + + + 997 + 999 + C = 999 + 997 + + + 2C = 1000 + 1000 + + 1000 + 1000 2C = 1000.500 C = 1000.250 = 250.000 Bµi TÝnh D = 10 + 12 + 14 + + 994 + 996 + 998 Nhận xét: Các số hạng tổng D số chẵn, áp dụng cách làm tập để tìm số số hạng cđa tỉng D nh- sau: Ta thÊy: 10 = 2.4 +2 12 = 2.5 +2 14 = 2.6 +2 998 = 2.498 + T-ơng tự trên: từ đến 498 có 495 số nên ta có số số hạng D 495, mặt khác ta lại thấy: 495 998 10 hay số số hạng = (số hạng đầu - số hạng cuối) : khoảng cách cộng thêm Khi ta cã: D = 10 + 12 + + 996 + 998 + D = 998 + 996 + + 12 + 10 2D = 1008 + 1008 + + 1008 + 1008 2D = 1008.495 Thùc chÊt D (9 D = 504.495 = 249480 10)495 Qua ví dụ , ta rút mét c¸ch tỉng qu¸t nh- sau: Cho d·y sè c¸ch u1, u2, u3, un (*), khoảng cách hai số hạng liên tiếp dÃy d, Khi số số hạng dÃy (*) là: n un u1 (1) d Tổng số hạng dÃy (*) Sn n (u1 un) (2) Đặc biệt từ công thức (1) ta tính đ-ợc số hạng thứ n dÃy (*) là: un = u1 + (n - 1)d n (n Hc u1 = d = th× S1 = + + + + n 1) Bµi TÝnh E = 10,11 + 11,12 + 12,13 + + 98,99 + 99,10 Lời giải Ta đ-a số hạng tổng dạng số tự nhiên cách nhân hai vế với 100, ta cã: 100E = 1011 + 1112 + 1213 + + 9899 + 9910 = (1011 + 1112 + 1213 + + 9899) + 9910 (1 1 9 ).9 9910 = 485495 + 9910 = 495405 E = 4954,05 (Ghi chó: Vì số số hạng dÃy (9 9 1 1) 98 ) 101 Bài Phân tích số 8030028 thành tổng 2004 số tự nhiên chẵn liên tiếp Lời giải Gọi a số tự nhiên chẵn, ta có tổng 2004 số tự nhiên chẵn liên tiếp là: a S = a + (a + 2) + + (a + 4006) = (a 4006) 0 (a 0 ) 0 Khi ®ã ta cã: (a + 2003).2004 = 8030028 a = 2004 VËy ta cã: 8030028 = 2004 + 2006 + 2008 + + 6010 NhËn xÐt: Sau giải toán dạng ta không thấy có v-ớng mắc lớn, toàn toán mà học sinh không gặp khó khăn tiếp thu Tuy nhiên sở để từ tiếp tục nghiên cứu dạng toán mức độ cao hơn, phức tạp chút Dạng 2: DÃy số mà số hạng không cách Bài Tính A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + …+ n.(n + 1) Lêi giải Ta thấy số hạng tổng tích hai số tự nhên liên tiếp, đó: Gäi a1 = 1.2 3a1 = 1.2.3 3a1= 1.2.3 - 0.1.2 a2 = 2.3 3a2 = 2.3.3 3a2= 2.3.4 - 1.2.3 a3 = 3.4 3a3 = 3.3.4 3a3 = 3.4.5 - 2.3.4 ………………… an-1 = (n - 1)n 3an-1 =3(n - 1)n 3an-1 = (n - 1)n(n + 1) - (n - 2)(n - 1)n an = n(n + 1) 3an = 3n(n + 1) 3an = n(n + 1)(n + 2) - (n - 1)n(n + 1) Céng tõng vế đẳng thức ta có: 3(a1 + a2 + …+ an) = n(n + 1)(n + 2) 2 n(n 1) = n(n + 1)(n + 2) A= n (n 1) ( n 2) C¸ch 2: Ta cã 3A = 1.2.3 + 2.3.3 + … + n(n + 1).3 = 1.2.(3 - 0) + 2.3.(3 - 1) + … + n(n + 1)[(n - 2) - (n - 1)] = 1.2.3 - 1.2.0 + 2.3.3 - 1.2.3 + …+ n(n + 1)(n + 2) - (n - 1)n(n + 1) = n(n + 1)(n + 2) A= n (n 1) ( n 2) * Tỉng qu¸t ho¸ ta cã: k(k + 1)(k + 2) - (k - 1)k(k + 1) = 3k(k + 1) Trong ®ã k = 1; 2; 3; Ta dễ dàng chứng minh công thức nh- sau: k(k + 1)(k + 2) - (k - 1)k(k + 1) = k(k + 1)[(k + 2) - (k - 1)] = 3k(k + 1) Bµi TÝnh B = 1.2.3 + 2.3.4 + …+ (n - 1)n(n + 1) Lời giải áp dụng tính kế thừa ta cã: 4B = 1.2.3.4 + 2.3.4.4 + …+ (n - 1)n(n + 1).4 = 1.2.3.4 - 0.1.2.3 + 2.3.4.5 - 1.2.3.4 + …+ (n - 1)n(n + 1)(n + 2) [(n - 2)(n - 1)n(n + 1)] = (n - 1)n(n + 1)(n + 2) - 0.1.2.3 = (n - 1)n(n + 1)(n + 2) B= (n 1) n ( n 1) ( n 2) Bµi TÝnh C = 1.4 + 2.5 + 3.6 + 4.7 + …+ n(n + 3) Lêi gi¶i Ta thÊy: 1.4 = 1.(1 + 3) 2.5 = 2.(2 + 3) 3.6 = 3.(3 + 3) 4.7 = 4.(4 + 3) …… n(n + 3) = n(n + 1) + 2n VËy C = 1.2 + 2.1 + 2.3 + 2.2 + 3.4 + 2.3 + …+ n(n + 1) +2n = 1.2 + +2.3 + + 3.4 + + …+ n(n + 1) + 2n = [1.2 +2.3 +3.4 + …+ n(n + 1)] + (2 + + + …+ 2n) 3C = 3.[1.2 +2.3 +3.4 + …+ n(n + 1)] + 3.(2 + + + …+ 2n) = = 1.2.3 + 2.3.3 + 3.4.3 + …+ n(n + 1).3 + 3.(2 + + + …+ 2n) = = n(n + 1)(n + 2) + 3(2 n 2)n C= n (n 1) ( n 2) 3(2 n 2)n = n (n 1) ( n 5) Bµi TÝnh D = 12 + 22 + 32 + …+ n2 Nhận xét: Các số hạng tích hai số tự nhiên liên tiếp, tích hai số tự nhiên giống Do ta chuyển dạng tập 1: Ta cã: A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + …+ n.(n + 1) = 1.(1 + 1) + 2.(1 + 2) + …+ + n.(1 + n) = 12 + 1.1 + 22 + 2.1 + 32 + 3.1 + …+ n2 + n.1 = (12 + 22 + 32 + …+ n2 ) + (1 + + + + n) Mặt khác theo tập ta cã: A= n (n 1) ( n 2) n(n vµ + + + … + n = = n (n 1) ( n 1) 12 + 22 + 32 + … + n2 = 2) - n(n 1) = n(n 1) ( n 1) Bµi TÝnh E = 13 + 23 + 33 + + n3 Lời giải T-ơng tự toán trên, xuất phát từ toán 2, ta ®-a tỉng B vỊ tỉng E: Ta cã: B = 1.2.3 + 2.3.4 + …+ (n - 1)n(n + 1) = (2 - 1).2.(2 + 1) + (3 - 1).3.(3 + 1) + …+ (n - 1)n(n + 1) = (23 - 2) + (33 - 3) + …+ (n3 - n) = = (23 + 33 + …+ n3) - (2 + + …+ n) = (13 + 23 + 33 + …+ n3) - (1 + + + …+ n) = (13 + 23 + 33 + …+ n3) - n(n 1) (13 + 23 + 33 + …+ n3) = B + n(n 1) Mà ta đà biết B = (n 1) n ( n 1) ( n 2) E = 13 + 23 + 33 + …+ n3 = = (n 1) n ( n 1) ( n 2) + n(n 1) = n (n 1) C¸ch 2: Ta cã: A1 = 13 = 12 A2 = 13 + 23 = = (1 + 2)2 A3 = 13 + 23 + 33 = 36 = (1 + + 3)2 Gi¶ sư cã: Ak = 13 + 23 + 33 + …+ k3 = (1 + + + …+ k)2 (1) Ta chøng minh: Ak+1 = 13 + 23 + 33 + …+ (k + 1)3 = [1 + + + …+ (k + 1)]2 (2) ThËt vËy, ta ®· biÕt: + + + …+ k = k (k 1) Ak = [ k (k 1) ]2 (1') Céng vµo hai vÕ cđa (1') víi (k + 1)3 ta cã: Ak + (k + 1)3 = [ k (k 1) ]2 + (k + 1)3 k (k Ak+1 = [ 1) ]2 + (k + 1)3 2 (k = 1) ( k 2) VËy tổng với Ak+1, tức ta có: Ak+1 = 13 + 23 + 33 + …+ (k + 1)3 = [1 + + + …+ (k + 1)]2 = = (k 1) ( k 2) VËy ®ã ta cã: 2 E = 13 + 23 + 33 + …+ n3 = (1 + + + …+ n)2 = n (n 1) Lời bình: - Với tập ta áp dụng kiến thức quy nạp Toán học - Bài tập dạng tập tổng số hạng cấp số nhân (lớp 11) nh-ng giải đ-ợc phạm vi cấp THCS Bài (Trang 23 SGK To¸n tËp 1) BiÕt r»ng 12 + 22 + 32 +…+ 102 = 385, ®è em tÝnh nhanh ®-ỵc tỉng S = 22 + 42 + 62 + …+ 202 Lêi gi¶i Ta cã: S = 22 + 42 + 62 + …+ 202 = (2.1)2 + (2.2)2 + …+ (2.10)2 = = 12.22 + 22.22 + 22.32 + …+ 22.102 = 22.(12 + 22 + 32 + …+ 102) = (12 + 22 + 32 + + 102) = 4.385 = 1540 Nhận xét: Nếu đặt P = 12 + 22 + 32 + …+ 102 ta có: S = 4.P Do đó, cho S ta tính đ-ợc P ng-ợc lại Tỉng qu¸t hãa ta cã: P = 12 + 22 + 32 +…+ n2 = n(n 1) ( n 1) (theo kết trên) Khi S = 22 + 42 + 62 + + (2n)2 đ-ợc tính t-ơng tự nh- trên, ta có: S = (2.1)2 + (2.2)2 + …+ (2.n)2 = 4.( 12 + 22 + 32 + …+ n2) = = n (n 1) ( n 1) = n (n 1) ( n 1) n (n Cßn: P = 13 + 23 + 33 + … + n3 = 1) Ta tÝnh S = 23 + 43 + 63 +…+ (2n)3 nh- sau: S = (2.1)3 + (2.2)3 + (2.3)3 + …+ (2.n)3 = 8.(13 + 23 + 33 + …+ n3) lóc nµy S = 8P, VËy ta cã: S = 23 + 43 + 63 +…+ (2n)3 = = n (n 1) n ( n 1) 2 2n (n 1) ¸p dơng c¸c kÕt trên, ta có tập sau: Bài a) TÝnh A = 12 + 32 + 52 + + (2n -1)2 b) TÝnh B = 13 + 33 + 53 + + (2n-1)3 Lời giải a)Theo kết trªn, ta cã: 12 + 22 + 32 +…+ (2n)2 = = 2n (2n 1) ( n 1) n(2 n 1) ( n 1) Mµ ta thÊy: 12 + 32 + 52 + + (2n -1)2 = 12 + 22 + 32 +…+ (2n)2 - 23 + 43 + 63 +…+ (2n)2 = n(2 n = 1) ( n 1) - n (n 1) ( n 1) = 2n (2 n 1) b) Ta cã: 13 + 33 + 53 + …+ (2n-1)3 = 13 + 23 + 33 + …+ (2n)3 - 23 + 43 + 63 +…+ (2n)3 áp dụng kết tập ta cã: 13 + 23 + 33 + …+ (2n)3 = n2(2n + 1)2 VËy: B = 13 + 33 + 53 + …+ (2n-1)3 = n2(2n + 1)2 - 2n2(n + 1)2 = = 2n4 - n2 NhËn xÐt: Trªn dạng tập liên quan hai loại tổng: Tổng bình ph-ơng (hoặc lập ph-ơng) số tự nhiên liên tiếp với tổng bình ph-ơng (hoặc lập ph-ơng) số tự nhiên chẵn liên tiếp Chúng ta sử dụng để quy định mức độ phát triển toán tới đâu học sinh giải * Một số tập dạng khác Bài Tính S1 = + + 22 + 23 + …+ 263 Lêi giải Cách 1: Ta thấy: S1 = + + 22 + 23 + …+ 263 2S1 = + 22 + 23 + …+ 263 + 264 (1) (2) Trõ tõng vÕ cña (2) cho (1) ta cã: 2S1 - S1 = + 22 + 23 + …+ 263 + 264 - (1 + + 22 + 23 + …+ 263) = 264 - Hay S1 = 264 - C¸ch 2: Ta cã: S1 = + + 22 + 23 + …+ 263 = + 2(1 + + 22 + 23 + …+ 262) = + 2(S1 - 263) = + 2S1 - 264 (1) S1 = 264 - Bài Tính giá trị biểu thức S = +3 + 32 + 33 + …+ 32000 (1) Lời giải: Cách 1: áp dụng cách làm cđa bµi 1: Ta cã: 3S = + 32 + 33 + …+ 32001 (2) Trõ tõng vÕ cña (2) cho (1) ta đ-ợc: 3S - 2S = (3 + 32 + 33 + …+ 32001) - (1 +3 + 32 + 33 + …+ 32000) Hay: 2S = 32001 - S= 2001 C¸ch 2: T-ơng tự nh- cách trên: Ta có: S = + 3(1 +3 + 32 + 33 + …+ 31999) = + 3(S - 32000) = + 3S - 32001 2S = 32001 - S= 2001 *) Tỉng qu¸t ho¸ ta cã: Sn = + q + q2 + q3 + …+ qn (1) qSn = q + q2 + q3 + + qn+1 (2) Khi ta có: Cách 1: Trõ tõng vÕ cña (2) cho (1) ta cã: (q - 1)S = q n+1 -1 S= q n q C¸ch 2: 1 Sn = + q(1 + q + q2 + q3 + …+ qn-1) = + q(Sn - qn) = + qSn - qn+1 S= q n q qSn - Sn = qn+1 - hay: Sn(q - 1) = qn+1 - 1 Bµi Cho A = + + 22 + 23 + …+ 29; B = 5.28 HÃy so sánh A B Cách 1: Ta thÊy: B = 5.28 = (23 + 22 + + + + + + + 1).26 = 29 + 28 + 27 + 26 + 26 + 26 + 26 + 26 + 26 + 26 = 29 + 28 + 27 + 26 + 26 + 26 + 26 + 26 + 26 + 25 + 25 (V× 26 = 2.25) VËy rõ ràng ta thấy B > A Cách 2: áp dụng cách làm tập ta thấy đơn giản hơn, thật vậy: A = + + 2 + + …+ (1) 2A = + 22 + 23 + …+ 29 + 210 (2) Trõ tõng vÕ cña (2) cho (1) ta cã: 2A - A = (2 + 22 + 23 + …+ 29 + 210) - (1 + + 22 + 23 + …+ 29) = 210 - hay A = 210 - Cßn: B = 5.28 = (22 + 1).28 = 210 + 28 Vậy B > A Lời bình: Đối với cách làm thứ phù hợp với tập với số số hạng Do vậy, gặp tập dạng nh-ng có nhiều số hạng ta nên áp dụng cách làm thứ hai Tuy nhiên giáo viên cần gợi ý cho học sinh thấy đ-ợc: ta tìm đ-ợc giá trị biểu thức A, từ học sinh so sánh đ-ợc A với B mà không gặp khó khăn Bài Tính giá trị biểu thức S = + 2.6 + 3.62 + 4.63 + …+ 100.699 (1) 6S = + 2.62 + 3.63 + …+ 99.699 + 100.6100 (2) Ta cã: Trõ tõng vÕ cña (2) cho (1) ta đ-ợc: 5S = - 2.6 + (2.62 - 3.62) + (3.63 - 4.63) + …+ (99.699 - 100.699) + + 100.6100 - = 100.6100 - - (6 + 62 + 63 + …+ 699) §Ỉt S' = + 62 + 63 + …+ 699 S' = 100 6S' = 62 + 63 + …+ 699 + 6100 thay vµo (*) ta cã: 5S = 100.6 S= (*) 100 -1- 100 = 9 9 100 100 25 Bµi Ng-êi ta viÕt d·y sè: 1; 2; 3; Hái chữ số thứ 673 chữ số nào? Lời giải Ta thÊy: Tõ ®Õn 99 cã: + 2.90 = 189 chữ số, theo đầu ta thiếu số chữ số dÃy là: 673 - 189 = 484 ch÷ sè, nh- vËy ch÷ sè thø 673 phải nằm dÃy số có chữ số VËy ta xÐt tiÕp: Tõ 100 ®Õn 260 cã: 3.161 = 483 chữ số Nh- từ đến 260 ®· cã: 189 + 483 = 672 ch÷ sè, theo đầu chữ số thứ 673 chữ sè cđa sè 261 Mét sè bµi tËp tù gi¶i: TÝnh: A = 1.2.3.4 + 2.3.4.5 + …+ (n - 2) …(n + 1) TÝnh: B = 1.2.4 + 2.3.5 + …+ n(n + 1)(n + 3) TÝnh: C = 22 + 52 + 82 + + (3n - 1)2 TÝnh: D = 14 + 24 + 34 + + n4 TÝnh: E = + 74 + 77 + 710 + …+ 73001 TÝnh: F = + 83 + 85 + …+ 8801 TÝnh: G = + 99 + 999 + …+ 99 …9 (ch÷ sè cuèi gåm 190 ch÷ sè 9) TÝnh: H = 1.1! + 2.2! + …+ n.n! Cho d·y sè: 1; 2; 3; Hỏi chữ số thứ 2007 chữ số nào? II thể loại toán phân số: Bài Tính giá trị biểu thức A = 1 1 2 3 (n 1) n Lêi gi¶i Ta cã: A = 1 1 1 A=1 n n n sau bá dÊu ngc ta cã: n n NhËn xÐt: Ta thÊy giá trị tử không thay đổi chúng m hiệu hai thừa số mẫu Mỗi số hạng có dạng: b (b m) b b (HiÖu hai m thõa sè ë mÉu giá trị tử phân số viết đ-ợc d-ới dạng hiệu hai phân số khác với mẫu t-ơng ứng) Nên ta có tổng với đặc điểm: số hạng liên tiếp đối (số trừ nhóm tr-ớc số bị trừ nhóm sau liên tiếp), nh- số hạng tổng đ-ợc khử liên tiếp, đến tổng số hạng đầu số hạng cuối, lúc ta thực phép tính đơn giản Bài Tính giá trị biÓu thøc B = B= 4 4 4 7 1 1 7 1 1 9 xÐt, ta cã: - = (đúng tử) nên ta có: 9 vận dụng cách làm phÇn nhËn B= 1 1 1 95 99 = 7 11 11 15 Bài Tính giá trị biểu thức C = 9 1 32 99 99 6 NhËn xÐt: Ta thÊy: - = ≠ 72 tử nên ta áp dụng cách làm (ở tử chứa 72), giữ nguyên phân số ta tách đ-ợc thành hiệu phân số khác để rút gọn tổng đ-ợc Mặt khác ta thấy: 1 9 , để giải đ-ợc vấn đề ta phải đặt làm thừa số chung dấu ngoặc, thực bên ngoặc đơn giản Vậy ta biÕn ®ỉi: C =7 7 9 6 = 35 1 1 1 65 72 9 16 16 23 = 29 72 7 = 72 72 3 3 5 Bài Tính giá trị biểu thøc D = Lêi giải Ta lại thấy: - = tử phân số tổng nên cách ta đ-a ®-a vµo thay thÕ Ta cã: D = = 3 3 = 3 1 1 3 5 Bài Tính giá trị biÓu thøc E = 2 1 = 49 51 2 5 1 51 50  51 1 1 1 91 247 475 775 1147 25 17 Lêi gi¶i Ta thÊy: = 1.7 ; 91 = 13.7 ; 247 = 13.19 ; 775 = 25.31 ; 475 = 19.25 1147 = 31.37 T-ơng tự tËp trªn ta cã: E= = 6 6 6 6 7 3 9 5 3 1 7 13 13 19 19 25 25 31 = 31 37 = 1 36 37 37 37 Bài (Đề thi chọn HSG Toán - TX Hà Đông - Hà Tây - Năm học 2002 - 2003) 2 6 6 5 4 4 4 So s¸nh: A = B= 2 1 2003 5 2003 vµ Lêi giải Lại áp dụng cách làm ta cã: A= 1 1 1 60 63 63 180 2003 = 66 117 200 2003 6 = 3 1 2003 = 6 1 60 120 2003 120 T-ơng tự cách làm ta có: 1 5 5 40 80 2003 80 2003 64 2003 Ta l¹i cã: 2A = 2 4 180 2003 180 2003 90 2003 B= Từ ta thấy B > 2A hiển nhiên B > A Bài (Đề thi chọn HSG Toán năm học 1985 - 1986) So sánh hai biểu thức A B: A = 124 1 1 9 1 1 B= 0 0 Lêi gi¶i 124 Ta cã: A = 1 1 16 Cßn B = 1985 16 = 1 1 16 1 16 2000 = 1984 = 1 16 1985 1986 1 17 18 1987 2000 1 1984 2000 1 1984 17 18 1 1986 = = 2000 = 16 1 1 16 17 18 1 1984 17 18 1 1984 1985 2000 2003 = = = 1 16 1 16 1985 1986 2000 VËy A = B Bµi Chøng tá r»ng: 13 25 n n víi mäi n N Lêi gi¶i Ta áp dụng cách làm tập trên, mà ta thấy: ; 2 4 n (n n VËy ta cã: 1 4 2 4 6 1) 1) 2n 2n 25 n 1 6 n 1 8 2 n(2 n ; 2) (n 1) víi: 2 n (2 n 1) n(2 n 2) n(2 n 2) 2n 2n N 1) 2 cßn n n (2 n 2 < ; n (n 13 2 n (n ta ph¶i so sánh: = nên hiển nhiên Mà: 1) 25 Thật vậy: ; 2 2 4 6 n(2 n n(2 n 2) 2n 1 1 1 4 6 1 1 1 4 6 2n nªn: 2n 2) = 2n 1 2 2n 2 hiển nhiên với sè tù nhiªn n VËy: 5 13 1 13 1 25 n (n 1) 25 n 2 2n 2n 2n n (n 1) hay (n 1) 2 Bài Tính giá trÞ cđa biĨu thøc M = (1 ) ( ) 2 Lêi gi¶i Ta cã ngay: M = 1 =1 (n (n 1) 2 (n 1) 1) 2 2 = (n (n 1) ( n (n Bµi 10 Tính giá trị biểu thức N = 1) 1) 1) n n 2 n 2n (n 1 1 3 4 2 2 3 4 n ( n 1) ( n 1) (n 1) n 2) 2 2n (n 1) n(n (n Lêi gi¶i Ta cã: N = n(n 1) ( n 2) 2) 1) = = 1 1 1 2 3 4 1 2 n ( n 1) (n 1) ( n 2) (n 1) ( n 2) 1 4 Bài 11 Tính giá trÞ cđa biĨu thøc: H = (n 1) n ( n 1) ( n 2) Lêi gi¶i Ta cã: H = = = 3 3 4 (n 1 1 3 4 1 ) n ( n 1) ( n 2) (n 1 ) n ( n 1) n ( n 1) ( n 2) n(n 1) ( n 2) Bµi 12 Chøng minh r»ng P = 12 12 12 7 1 12 5 Lêi gi¶i Ta cã: P = = = 1 1 1 1 5 1 5 7 = 4 1 7 1 854 427 427 3420 855 854 Bµi 13 Chøng minh r»ng S = 2 2 VËy P < 100 2 Lêi gi¶i Ta thÊy: 2 ; ; 1 100 ¸p dơng c¸ch lµm bµi tËp 9 0 ta có: S