...................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
PHƯƠNG TRÌNH BẬC cơng thức nghiệm Định nghĩa: Phương trình bậc hai ẩn phương trình có dạng :ax2 +bx +c = 0(a ≠ 0), x ẩn,a,b,c số cho trước(hay gọi hệ số) Cho phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = (a ≠ 0) CÔNG THỨC NGHIỆM TỔNG QUÁT CÔNG THỨC NGHIỆM THU GỌN ∆ = b − 4ac ∆ ' = b '2 − ac ∆ ' > : phương trình có nghiệm phân biệt ∆ > : phương trình có nghiệm phân biệt −b + ∆ x1 = ; 2a x2 −b − ∆ = 2a ∆ = : phương trình có nghiệm kép x1 = x1 = x = −b 2a − b '+ a ∆' ; x2 = − b '− a ∆ ' = : phương trình có nghiệm kép x ∆ < : phương trình vơ nghiệm ∆' = x2 = −b ' a ∆ ' < : phương trình vơ nghiệm b S = x1 + x = − a P = x x = c a Định lí Vi –ét: Nếu phương trình ax2 + bx + c = (a ≠ 0) có hai nghiệm x1, x2 thì: *Chú ý: Để kiểm tra phương trình bậc hai có nghiệm, ta kiểm tra hai cách sau: 1) a.c giải phương trình tìm t ≥ => x b) Phương trình chứa ẩn mẫu: - Bước 1: Tìm ĐKXĐ - Bước 2: Quy đồng khử mẫu - Bước 3: Giải PT vừa tìm - Bước 4: Kết luận.(Chú ý đối chiếu với ĐKXĐ) c) * Phương trình tích có dạng: A.B.C = * Cách giải: A.B.C = ⇔ A = B = C = B Các dạng hay gặp mơn Tốn I (Bài tập giải phương trình) Phương trình bậc hai đầy đủ : c / −2x + 3x + = - Sử dụng công thức nghiệm công thức nghiệm thu gọn để giải - Sử dụng quy tắc nhẩm nghiệm để tính nghiệm theo hệ số theo viet Phương trình đưa phương trình bậc hai : a/ Phương trình trùng phương : ax + bx + c = 0(a ≠ 0) Phương pháp giải : Đặt t = x2( t ≥ ) đưa dạng : at + bt + c = b/ Phương trình chứa ẩn mẫu : Phương pháp giải : - Bước Tìm điều kiện xác định phương trình - Bước Quy đồng mẫu thức hai vế khử mẫu - Bước Giải phương trình vừa nhận - Bước Trong giá trị tìm ẩn, loại giá trị không thỏa mãn điều kiện xác định, giá trị thỏa mãn điều kiện xác định nghiệm phương trình cho f / 2 x+2 +3= x −5 2− x II Phương trình bậc hai có tham số x + mx + m + = (1) Giải phương trình biết giá trị tham số Tìm tham số biết số nghiệm phương trình (có hai nghiệm phân biệt, có nghiệm kép, có nghiệm vơ nghiệm) - tính - cho > 0, = 0, g) Có nghiệm trái dấu ac < ∆ ≥ e) Có nghiêm duong P > S > f) Có nghiêm âm ∆ ≥ P > S < 5.Tính giá trị biểu thức nghiệm theo tham số - điều kiện pt có nghiệm - tìm viet - thay viet vào biểu thức *) x12 + x 22 = (x1 + x ) − 2x1x = (− m) − 2(m + 3) = m − 2m − * x21 – x22 x + x = (x + x )3 − 3x x (x + x ) = ( −m)3 − 3(m + 3)( −m) = −m + 3m + 9m 2 2 *) Tìm tham số biết hệ thức liên hệ nghiệm : x ;x ⇔ ∆ ≥ - điều kiện pt có nghiệm - tìm viet * Hệ thức đối xứng: biến đổi thành viet để thay viet vào Vd Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn : * Hệ thức không đối xứng.: -kết hợp với pt viet để giải hệ - thay nghiệm tìm vào pt viet cịn lại để tìm m - đối chiếu điều kiện => KL x12 + x 22 = đ/a: m = - Vd: Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn : 2x1 + 3x2 = Tìm hệ thức độc lập nghiệm phương trình khơng phụ vào tham số - Từ viet rút tham số m - Trừ pt cho để m Ta có hệ thức cânf tìm Vd:Giả sử phương trình có hai nghiệm x1; x2 Khi theo định lí Vi-et, ta có : đ/a: m = −2; m = − x1 + x = − m m = − x1 − x ⇔ ⇔ − x1 − x = x1 x − x1 x = m + m = x1 x − 8.Lập phương trình bậc hai biết hai nghiệm phương trình u + v = S uv = P (S ≥ 4P ) Nếu có hai số u v cho u, v hai nghiệm phương trình x2 – Sx + P = E Các gặp đề thi học kì lớp 9, tuyển sinh vào lớp 10 năm gần Các tập tài liệu ôn thi vào lớp 10 Bài Giải phương trình : a / x − 5x + = Bài Cho phương trình x2 + px - = có nghiệm x1; x2 Hãy lập phương trình có hai nghiệm hai số cho trường hợp sau : b / x − 29x + 100 = c / x − 3x − x − + = d / 11x + 8x − − 18x + = e / 4x + a / − x1 − x b / x12 x 22 + = 8x + x2 x Bài Cho phương trình : a/ Tìm nghiệm (x; y) phương trình (1) thỏa mãn x2 + y2 = 10 b/ Tìm nghiệm nguyên phương trình (1) x − 3y + 2xy − 2x − 10y + = (x + k − 3) x + 2(k + 3)x + 3k − = (1) Bài Cho phương trình : a/ Giải phương trình (1) k = b/ Tìm giá trị k để phương trình (1) có hai nghiệm dương nghiệm âm Bài Giải phương trình : Phạm Thị Tuyết Lan (1) a / x + 2x − + x − 2x − = b / 6x + 15x + 2x + 5x + = c / 8x − 8x + + 12x − 12x + = 2(−2x + 2x + 1) x − 2(t − 1)x + t − = (1) mx − 5x − (m + 5) = (1) Bài Cho phương trình ẩn x, tham số t : a/ Tìm t để phương trình (1) có nghiệm b/ Tìm t để phương trình (1) có hai nghiệm cho tổng hai nghiệm tích hai nghiệm Bài Cho phương trình ẩn x, tham số m : a/ Giải phương trình (1) m = b/ Chứng tỏ phương trình (1) ln có nghiệm với giá trị m c/ Trong trường hợp phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1; x2 Hãy tính theo m giá trị biểu thức Tìm m để A = (m + 3)x − 2(m + 3m)x + m + 12 = (1) Bài Cho phương trình ẩn x, tham số m : a/ Tìm số nguyên m nhỏ cho phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt b/ Gọi x1; x2 hai nghiệm phương trình (1) Tìm số nguyên m lớn cho Các tập đề thi vào lớp 10 Bắc Ninh Bài 1Cho phương trình bậc hai ẩn x, m tham số : x12 + x 22 x − 2(m − 3) x + 2m − = A = −16x1x − 3(x12 + x 22 ) số ngun (1) a/ Chứng tỏ phương trình (1) ln có nghiệm với m 1 + =m x ;x x + x2 + b/ Gọi hai nghiệm phương trình (1) Hãy tìm m để Bài Cho a= 1 ;b = 2− 2+ a/ Hãy tính : ab a+ b b/ Hãy lập phương trình bậc hai có nghiệm Cho phương trình bậc hai ẩn x, m tham số : x1 = a b ; x2 = b +1 a +1 x − 3mx + 3m − = (1) a/ Chứng minh với giá trị m phương trình (1) ln có hai nghiệm phân biệt ? x1 = + Khi tìm nghiệm x2 phương trình a b a −b − : ÷ ÷ ab − b a − ab a b + b a a > 0, b > 0, a ≠ b ) (với b/ Hãy tìm m để phương trình (1) có nghiệm P = Bài Cho biểu thức a/ Rút gọn biểu thức P b/ Tính số trị biểu thức P biết a b hai nghiệm phương trình x2 − 8x + = x2 − x + m = (1) Cho phương trình bậc hai ẩn x, m tham số : a/ Tìm m để phương trình (1) có nghiệm b/ Chứng minh với m phương trình (1) khơng thể có hai nghiệm số âm c/ Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn x1 - 2x2 = Bài Cho hai phương trình bậc hai ẩn x (a tham số) : x − 3x − a − = (1) x + ax + = (2) a/ Giải phương trình (1) (2) trường hợp a = -1 b/ Chứng minh với giá trị a hai phương trình ln có hai phương trình ln có hai nghiệm phân biệt Bài Cho phương trình bậc hai ẩn x (m, n tham số) : x + (m + n) x − ( m + n ) = (1) a/ Giải phương trình (1) m = n = b/ Chứng minh với giá trị m, n phương trình (1) ln có nghiệm Phạm Thị Tuyết Lan c/ Tìm m, n để phương trình (1) tương đương với phương trình Bài Cho phương trình : x2 − x − = x − 2( m + 1) x + 2m + = m= a/ Giải phương trình b/ Tìm tất giá trị m để phương trình cho có nghiệm Bài Cho phương trình bậc hai : x − 2(m + 1) x + m2 + 3m + = (1) a/ Tìm giá trị m để phương trình ln có hai nghiệm phân biệt x12 + x22 = 12 (Trong x1 , x2 hai nghiệm phương trình) ? x − 3x + 2m + = (1) Bài 8.Cho hai phương trình : x + x − 2m − 10 = (2) b/ Tìm giá trị m thỏa mãn a/ Giải hai phương trình với m = - b/ Tìm giá trị m để hai phương trình có nghiệm chung c/ Chứng minh với giá trị m hai phương trình có nghiệm Bài 10 Cho phương trình: x2 - ( m + 1)x + m2 - 2m + = Giải phương trình với m = 2 Tìm m để phương trình có nghiệm kép; vơ nghiệm; có hai nghiệm phân biệt Bài 11 (Bắc Ninh 2005 - 2006) Cho phương trình: x2 - 2(m + 1)x + m - = (1) (m tham số) 1) Giải phương trình (1) với m = 2) Tìm giá trị m để phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu 3) Với x1, x2 nghiệm (1) Tính theo m giá trị biểu thức: A = x1(1 - x2) + x2(1 - x1) Bài 12.Cho phương trình (ẩn x) : 2x2 + mx + m - = (1) 1) Giải phương trình (1) m = -1 2) Chứng minh phương trình (1) ln có hai nghiệm phân biệt với giá trị m 3) Tìm giá trị m để phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn nghiệm dương x − 2(2m − 1) x + 3m2 − = Bài 13 Cho phương trình bậc hai (x ẩn) (1) a/ Chứng minh phương trình (1) ln có hai nghiệm phân biệt với m b/ Gọi x1; x2 hai nghiệm phân biệt phương trình (1) Hãy tìm m để Bài 14 Cho phương trình x2 - 2x - = có hai nghiệm x1, x2 S= Tính giá trị biểu thức : Bài 15 (Bắc Ninh 2009 - 2010) x1 + x2 = −2 x2 x1 + x1 x2 (m + 1) x − 2(m − 1) x + m − = Cho phương trình : a/ Giải phương trình (1) với m = (1) (m tham số) 1 + = x x2 b/ Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1; x2 thỏa mãn : Phạm Thị Tuyết Lan ... x 12 x 22 + = 8x + x2 x Bài Cho phương trình : a/ Tìm nghiệm (x; y) phương trình (1) thỏa mãn x2 + y2 = 10 b/ Tìm nghiệm nguyên phương trình (1) x − 3y + 2xy − 2x − 10y + = (x + k − 3) x + 2( k... trị m để phương trình cho có nghiệm Bài Cho phương trình bậc hai : x − 2( m + 1) x + m2 + 3m + = (1) a/ Tìm giá trị m để phương trình ln có hai nghiệm phân biệt x 12 + x 22 = 12 (Trong x1 , x2 hai... x1; x2 hai nghiệm phân biệt phương trình (1) Hãy tìm m để Bài 14 Cho phương trình x2 - 2x - = có hai nghiệm x1, x2 S= Tính giá trị biểu thức : Bài 15 (Bắc Ninh 20 09 - 20 10) x1 + x2 = ? ?2 x2 x1