Một số hệ phương trình cặp trong cơ học chất lỏng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI ——————– * ——————— Đặng Thanh Sơn MỘT SỐ HỆ PHƯƠNG TRÌNH CẶP TRONG CƠ HỌC CHẤT LỎNG LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2015 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI ——————– * ——————— Đặng Thanh Sơn MỘT SỐ HỆ PHƯƠNG TRÌNH CẶP TRONG CƠ HỌC CHẤT LỎNG Chun ngành: Phương trình vi phân tích phân Mã số: 62460103 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS Trần Xuân Tiếp PGS TS Cung Thế Anh Hà Nội - 2015 LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu hướng dẫn PGS.TS Cung Thế Anh TS Trần Xuân Tiếp Các kết phát biểu luận án hoàn toàn trung thực chưa công bố cơng trình khác Nghiên cứu sinh LỜI CẢM ƠN Luận án hoàn thành hướng dẫn nghiêm khắc, tận tình, chu đáo PGS.TS Cung Thế Anh TS Trần Xuân Tiếp Tác giả xin bày tỏ lịng kính trọng biết ơn sâu sắc đến TS Trần Xuân Tiếp đặc biệt PGS.TS Cung Thế Anh, người dẫn dắt tác giả làm quen với nghiên cứu khoa học từ tác giả cịn học viên cao học Ngồi dẫn mặt khoa học, động viên lòng tin tưởng thầy dành cho tác giả động lực lớn giúp tác giả say mê nghiên cứu Tác giả vô biết ơn PGS.TS Lê Trọng Vinh, PGS.TS Nguyễn Xuân Thảo, TS Nguyễn Đình Bình, PGS.TS Trần Đình Kế ln cổ vũ động viên truyền cho tác giả nhiều kinh nghiệm quý báu nghiên cứu khoa học Tác giả xin trân trọng gửi lời cảm ơn đến Ban Giám hiệu, Viện Đào tạo sau Đại học, Ban lãnh đạo Viện Toán Ứng dụng Tin học, Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội, đặc biệt thầy cô giáo Bộ mơn Tốn Cơ bản, Viện Tốn Ứng dụng Tin học, Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội giúp đỡ, động viện, tạo môi trường học tập nghiên cứu thuận lợi cho tác giả Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn đến Ban Giám hiệu trường Đại học Thông tin liên lạc, anh chị đồng nghiệp cơng tác Bộ mơn Tốn, Khoa Cơ bản, Trường Đại học Thông tin liên lạc giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi động viên tác giả suốt trình học tập nghiên cứu Lời cảm ơn sau cùng, tác giả xin dành cho gia đình, người ln u thương, chia sẻ, động viên tác giả vượt qua khó khăn để hồn thành luận án Tác giả thành kính dâng tặng quà tinh thần lên bậc sinh thành, người ln đón đợi hy vọng bước trưởng thành tác giả Mục lục Lời cam đoan Lời cảm ơn Mục lục Một số kí hiệu dùng luận án MỞ ĐẦU LỊCH SỬ VẤN ĐỀ VÀ LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI MỤC ĐÍCH, ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU 13 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU 14 KẾT QUẢ CỦA LUẬN ÁN 15 CẤU TRÚC CỦA LUẬN ÁN 16 Chương MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 17 1.1 CÁC KHÔNG GIAN HÀM 17 1.2 TẬP HÚT LÙI 21 1.3 MỘT SỐ KẾT QUẢ THƯỜNG DÙNG 25 1.3.1 Một số bất đẳng thức thường dùng 25 1.3.2 Một số định lí bổ đề quan trọng 27 Chương HỆ BÉNARD HAI CHIỀU KHÔNG ÔTÔNÔM 30 2.1 ĐẶT BÀI TOÁN 30 2.2 SỰ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM YẾU 36 2.3 SỰ TỒN TẠI TẬP HÚT LÙI 41 2.4 ĐÁNH GIÁ SỐ CHIỀU FRACTAL CỦA TẬP HÚT LÙI 47 Chương HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỘNG LỰC HỌC THỦY TỪ TRƯỜNG (MHD) HAI CHIỀU KHÔNG ÔTÔNÔM 57 3.1 ĐẶT BÀI TOÁN 57 3.2 SỰ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM YẾU 61 3.3 SỰ TỒN TẠI TẬP HÚT LÙI 66 3.4 ĐÁNH GIÁ SỐ CHIỀU FRACTAL CỦA TẬP HÚT LÙI 69 Chương HỆ BOUSSINESQ VỚI MẬT ĐỘ KHỐI LƯỢNG THAY ĐỔI 76 4.1 ĐẶT BÀI TOÁN 76 4.2 SỰ TỒN TẠI CỦA NGHIỆM YẾU 78 4.3 SỰ DUY NHẤT CÓ ĐIỀU KIỆN CỦA NGHIỆM YẾU 96 4.4 BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU 100 4.4.1 Sự tồn nghiệm tối ưu 102 4.4.2 Điều kiện cần tối ưu cấp 103 4.5 BÀI TOÁN THỜI GIAN TỐI ƯU 115 4.5.1 Sự tồn nghiệm tối ưu 115 4.5.2 Điều kiện cần tối ưu cấp 117 KẾT LUẬN 124 KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC 124 KIẾN NGHỊ MỘT SỐ VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU TIẾP THEO 124 TÀI LIỆU THAM KHẢO 126 DANH MỤC CÁC CƠNG TRÌNH ĐÃ CƠNG BỐ CỦA LUẬN ÁN 132 MỘT SỐ KÍ HIỆU THƯỜNG DÙNG TRONG LUẬN ÁN H, V không gian hàm dùng để nghiên cứu hệ Bénard, hệ MHD hệ Boussinesq V′ không gian đối ngẫu không gian V (·, ·), | · | tích vơ hướng chuẩn không gian H ((·, ·)), ∥ · ∥ tích vơ hướng chuẩn khơng gian V ∥ · ∥∗ chuẩn không gian V ′ ⟨·, ·⟩ đối ngẫu V V ′ | · | L p , | · | Lp chuẩn không gian Lp (Ω) Lp (Ω), với ≤ p ≤ ∞ C0∞ (Ω) không gian hàm khả vi vơ hạn có giá compact Ω Id ánh xạ đồng A, R, B, B toán tử dùng để nghiên cứu hệ Bénard, MHD, hệ Boussinesq ⇀ hội tụ yếu B(X) họ tập bị chặn X dF (K) số chiều fractal tập compact K dist(A, B) nửa khoảng cách Hausdorff hai tập A, B MỞ ĐẦU LỊCH SỬ VẤN ĐỀ VÀ LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI Các hệ phương trình học chất lỏng xuất mô tả chuyển động chất lỏng khí nước, khơng khí, dầu mỏ, , điều kiện tương đối tổng quát, chúng xuất nghiên cứu nhiều tượng quan trọng khoa học hàng không, khí tượng học, cơng nghiệp dầu mỏ, vật lí plasma Một lớp hệ phương trình bản, quan trọng học chất lỏng hệ Navier-Stokes, miêu tả dịng chảy chất lỏng nhất, nhớt, khơng nén Hệ phương trình Navier-Stokes xây dựng từ định luật bảo toàn khối lượng, động lượng có dạng   ∂t u − ν∆u + (u · ∇)u + ∇p = f (x, t),  ∇ · u = 0, u = u(x, t), p = p(x, t) tương ứng hàm vectơ vận tốc hàm áp suất cần tìm, ν = const > hệ số nhớt f hàm ngoại lực Được đưa lần vào năm 1822, lí thuyết hệ phương trình Navier-Stokes đạt nhiều kết sâu sắc (xem, chẳng hạn, chuyên khảo [31, 41, 42] tổng quan [15, 44]) Các vấn đề định tính đặt nghiên cứu hệ phương trình học chất lỏng bao gồm: • Tính đặt toán Nghiên cứu tồn nghiệm, phụ thuộc liên tục nghiệm vào kiện cho • Dáng điệu tiệm cận nghiệm Nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm thời gian t vô thông qua nghiên cứu tồn tính chất tập hút đa tạp bất biến, tồn tính ổn định nghiệm dừng Việc nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm quan trọng cho phép ta hiểu dự đốn xu phát triển hệ động lực tương lai, từ đưa đánh giá, điều chỉnh thích hợp để đạt kết mong muốn • Bài tốn điều khiển Bao gồm tốn điều khiển được, toán điều khiển tối ưu tốn ổn định hóa: Tìm điều khiển thích hợp (trên miền biên) cho chuyển quỹ đạo hệ từ vị trí sang vị trí khác mà ta mong muốn, tìm điều khiển thích hợp để nghiệm tương ứng làm cực đại cực tiểu phiếm hàm cho trước, tìm điều khiển phản hồi để ổn định hóa nghiệm dừng (không ổn định) hệ Trong năm gần đây, việc nghiên cứu hệ phương trình cặp xuất học chất lỏng hướng nghiên cứu thời Ở hệ phương trình Navier-Stokes trường vectơ vận tốc kết hợp phù hợp với phương trình khác cho ta mơ hình tốn học mơ tả nhiều q trình vật lí, hóa học, kĩ thuật, (xem [34, 24, 5, 48, 6, 14, 3, 27, 54, 30, 28, 43]) Hệ phương trình cặp xuất nghiên cứu chuyển động dòng chảy chất lỏng hỗn hợp (gồm hai hay nhiều chất lỏng trộn lẫn với nhau): hệ Cahn-Hilliard-Navier-Stokes, hệ Allen-Cahn-Navier-Stokes (xem [7, 8]), hệ tinh thể lỏng pha nematic (xem [26, 47]) Các kết đạt tồn dáng điệu tiệm cận nghiệm yếu thông qua tồn tập hút toàn cục, chủ yếu miền bị chặn với điều kiện biên Dirichlet điều kiện biên tuần hoàn Tuy nhiên kết tương ứng trường hợp không ôtônôm miền khơng bị chặn cịn Các hệ khơng ơtơnơm (tức ngoại lực phụ thuộc vào thời gian) xuất cách tự nhiên nhiều trình phức tạp thu hút quan tâm nghiên cứu nhiều nhà toán học ngồi nước Bên cạnh kết tốn điều khiển hệ phương trình cặp học chất lỏng cịn ít, tính phức tạp Dưới đây, chúng tơi điểm qua số kết gần cho hệ phương trình cặp học chất lỏng liên quan đến nội dung luận án • Hệ phương trình Bénard (một trường hợp riêng hệ Boussinesq): Đó kết hợp hệ phương trình Navier-Stokes trường vectơ vận tốc u với phương trình đối lưu-khuếch tán nhiệt độ T có dạng sau:  →   ∂t u + (u · ∇)u − ν∆u + ∇p = fu (x, t) + α− e (T − Tr ),    ∂t T + u · ∇T − κ∆T = fT (x, t),     ∇ · u = 0, (1) hệ số α = ϑg với ϑ hệ số giãn nở nhiệt, g gia tốc rơi tự − → do; nhiệt độ môi trường Tr ; → e vectơ đơn vị thẳng đứng (− e = (0, 1) trường hợp hai chiều) Hệ phương trình Boussinesq mơ tả dịng chất lỏng (khí) chịu ảnh hưởng tác động bề thay đổi mật độ khối lượng chất lỏng gây nhiệt độ mơ hình hóa phép xấp xỉ Boussinesq Khi nhiệt độ biên lớn bề mặt ta có hệ Bénard mơ tả chuyển động chất lỏng nhớt, không nén ảnh hưởng nhiệt độ (xem [24, 43]) Các tác giả [6, 30, 43] nghiên cứu tồn dáng điệu tiệm cận nghiệm hệ (1) với điều kiện biên khác như: Dirichlet, Neumann, tuần hồn, tự Cơng cụ chủ yếu kết nguyên lí cực đại phương trình nhiệt độ, nhiên cơng cụ phù hợp cho điều kiện biên đơn giản mà kiện ban đầu nguồn nhiệt phải thuộc L∞ (Ω) Trong cơng trình [24], tác giả xét hệ (1) hai chiều miền không bị chặn thỏa 118 Bởi lí hiển nhiên, ta viết lại tốn dạng sau    Cực tiểu hóa phiếm hàm Φ(T, h),       trong T ∈ [0, T0 ], (4.80)    (h, ρ, z) ∈ E0 ,       |u(., T ) − ue | = |θ(., T ) − θe | = δ Để thuận tiện cho việc xét tốn (4.80), chúng tơi xét mơ hình đơn giản sau:    ∂t ϕ − ν∆ϕ = ζ,       ∇ · ϕ = 0,    ϕ = 0,      ϕ| t=0 = ϕ0 , (x, t) ∈ Q, (x, t) ∈ Q, ∑ (x, t) ∈ , (4.81) x ∈ Ω Gọi (T ∗ , ζ ∗ ) nghiệm toán  ∫∫ b T   + |ζ|2 dxdt, Cực tiểu hóa phiếm hàm Φ(T, ζ) =    2 ω×(0,T )     trong T ∈ [0, T ],    (ζ, ϕ) nghiệm (4.81),        |ϕ(., T ) − ϕe | = δ, (4.82) ( giả sử T ∗ ∈ [0, T0 ], ζ ∗ ∈ int Uad ý trường hợp ) Uad ⊂ L2 (ω × (0, T )) Gọi ϕ∗ trạng thái ứng với ζ ∗ giả sử ∃τ > cho t → ϕ∗ (., t) thuộc lớp C [T ∗ − τ, T ∗ ] Chúng ta tìm (T ∗ , ζ ∗ ) làm cực tiểu phiếm hàm Φ với điều kiện E(ζ, ϕ) := (ϕt − ν∆ϕ − ζ, ϕ(., 0) − ϕ0 ) = (0, 0), V (T, ϕ) := δ2 |ϕ(., T ) − ϕe |2 − = 2 119 Bằng cách sử dụng Định lí Lagrange, tồn nhân tử λ0 , λ ∈ R, hàm (ψ(x, t), η(x)) (không đồng thời 0) = λ0 ⟨Φ′ (T ∗ , ζ ∗ ), (S, m)⟩ − ⟨(ψ, η), E ′ (ζ ∗ , ϕ∗ )(m, y)⟩ + λ⟨V ′ (T ∗ , ϕ∗ ), (S, y)⟩   ∫∫ ∫∫  ∗  ∗ ψ(yt − ν∆y − m)dxdt − (η, y(., 0)) ζ mdxdt − = λ0 T S + b ω×(0,T ∗ ) Ω×(0,T ∗ ) [ ( ) ( ∗ )] ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ + λ S ϕ (., T ) − ϕe , ϕt (., T ) + ϕ (., T ) − ϕe , y(., T ) với S, m y Nếu ta chọn S = 1, y = m = ( ) λ0 T ∗ + λ ϕ∗ (., T ∗ ) − ϕe , ϕ∗t (., T ∗ ) = (4.83) Trường hợp S = m = 0, với y, ta có ∫∫ ( ) ψ(yt − ν∆y)dxdt + (η, y(., 0)) − λ ϕ∗ (., T ∗ ) − ϕe , y(., T ∗ ) = 0, Ω×(0,T ∗ ) điều dẫn đến toán    −ψt − ν∆ψ = Ω × (0, T ∗ ),    ψ = ∂Ω × (0, T ∗ ),     ψ(x, T ∗ ) = λ(ϕ∗ (x, T ∗ ) − ϕ (x)) Ω, e (4.84) η(x) = ψ(x, 0) Ω (4.85) Cuối cùng, chọn S = 0, với y m ψ + λ0 bζ ∗ = ω × (0, T ∗ ) (4.86) Từ (4.83), (4.85) (4.86) suy λ ̸= Thật vậy, λ = λ0 = 0, ψ ≡ η = 0, điều vơ lí Hơn nữa, hàm số t → 12 |ϕ∗ (., t) − ϕe |2 không tăng t = T ∗ nên ( ∗ ) ϕ (., T ∗ ) − ϕe , ϕ∗t (., T ∗ ) ≤ Từ (4.83) ta suy λ0 ̸= Khơng tính 120 tổng quát, ta giả sử λ0 = 1, (4.86) (4.83) trở thành ψ + bζ ∗ = ω × (0, T ∗ ) ( ) T ∗ = −λ ϕ∗ (., T ∗ ) − ϕe , ϕ∗t (., T ∗ ) Bằng cách lập luận tương tự toán (4.82), ta nhận kết quan trọng sau Định lí 4.6 Giả sử điều kiện Định lí 4.4 thỏa mãn (T ∗ , h∗ ) nghiệm (4.80) ứng với trạng thái (ρ∗ , z ∗ ) Ta giả sử < T ∗ < T0 , ∃τ > cho t → z ∗ (., t) thuộc lớp C [T ∗ − τ, T ∗ ], (4.87) ( ) u∗ (., T ∗ ) − ue , u∗t (., T ∗ ) < 0, ( ∗ ) θ (., T ∗ ) − θe , θt∗ (., T ∗ ) < 0, (4.88) kí hiệu E ∗ không gian lượng ứng với T ∗ Ta giả sử (ρ∗ , z ∗ ) nghiệm (4.65) (4.43) thỏa mãn, dẫn đến (ρ∗ , z ∗ ) nghiệm yếu (4.54) (Định lí 4.2) ứng với T = T ∗ h = h∗ Khi đó, tồn λ1 , λ2 ∈ R nghiệm yếu (η, z) ∈ E ∗ , z = (ξ, ψ), toán sau  [ ]   −ρ∗ ∂t ξ − ν∆ξ + ρ∗ − (u∗ · ∇)ξ + (ξ · ∇)u∗ + ψ∇θ∗ − ∇η      +∇q = 0, (x, t) ∈ Ω × (0, T ∗ ),       ∇ · ξ = 0, (x, t) ∈ Ω × (0, T ∗ ),     →   ρ∗ ∂t ψ + κ∆ψ + ρ∗ u∗ · ∇ψ + γ − e N · ξ = 0, (x, t) ∈ Ω × (0, T ∗ ),    −∂t η − u∗ · ∇η + [∂t u∗ + (u∗ · ∇)u∗ ] · ξ    + [∂t θ∗ + u∗ · ∇θ∗ ] ψ = 0, (x, t) ∈ Ω × (0, T ∗ ),       ξ = 0, ψ = 0, (x, t) ∈ ∂Ω × (0, T ∗ ),       η|t=T ∗ = 0, x ∈ Ω,     λ2 λ1   (u∗ |t=T ∗ − ue ), ψ|t=T ∗ = ∗ (θ∗ |t=T ∗ − θe ), x ∈ Ω ξ|t=T ∗ = ∗ ρ |t=T ∗ ρ |t=T ∗ (4.89) 121 Hơn nữa, ta có bất đẳng thức sau  ∫∫   (bh∗ + z)(h − h∗ )dxdt ≥ ω×(0,T ∗ )  ∀h ∈ U , ad h∗ ∈ Uad , với thời gian tối ưu ( ( ∗ ( ∗ ) )) ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ T = P[0,T0 ] − λ1 u (., T ) − ue , ut (., T ) − λ2 θ (., T ) − θe , θt (., T ) , (4.90) |u∗ (., T ∗ ) − ue | = |θ∗ (., T ∗ ) − θe | = δ thỏa mãn Ở P[0,T0 ] : R+ → [0, T0 ] phép chiếu trực giao Nhận xét 4.6 Chúng giải thích giả thiết (4.88) Giả sử T ∈ (0, T0 ), ) ( h∗ ∈ int Uad (4.87) thỏa mãn rõ ràng ϕ∗ (., T ∗ ) − ϕe , ϕ∗t (., T ∗ ) ≤ Nếu ( ) ta có ϕ∗ (., T ∗ ) − ϕe , ϕ∗t (., T ∗ ) = từ (4.83) (4.86) λ0 = ψ = ω × (0, T ∗ ) Vì nghiệm hệ (4.84) thỏa mãn tính chất thác triển (xem [18]) nên từ (4.85), ta có η = Chú ý nhân tử λ phải khác nên từ phương trình cuối (4.84) ta suy ϕ∗ (x, T ∗ ) = ϕe (x) Ω ( ) Điều vơ lí ta kết luận ϕ∗ (., T ∗ ) − ϕe , ϕ∗t (., T ∗ ) < Chứng minh Với S ∈ R, h = (h1 , h2 ) ∈ L2 (0, T ; H (ω) × H (ω)) h ∈ Uad , α ∈ R+ (nhỏ), ta đặt T := T ∗ + αS ∈ [0, T0 ], h := h∗ + αh ∈ Uad (4.91) Gọi (ρ, z) trạng thái ứng với điều khiển h giả sử |u(., T ) − ue | = |θ(., T ) − θe | = δ Theo giả thiết (4.91), ta có ( Φ(T, h) − Φ(T ∗ , h∗ ) = α T ∗ S + b α2 + ( ) ∫∫ ∫∫ h.h∗ dxdt ω×(0,T0 ) ) |h|2 dxdt S2 + b ω×(0,T0 ) ≥ 122 Hơn nữa, α ( ) ∫∫ |h|2 dxdt S2 + b → α → 0+ ω×(0,T0 ) Chia hai vế bất đẳng thức cho α lấy giới hạn α → 0+ , ta nhận ∫∫ ∗ T S+b h.h∗ dxdt ≥ (4.92) ω×(0,T0 ) Theo chứng minh Định lí 4.4, ta viết (ρ, z) = (ρ∗ , z ∗ ) + α(σ, s) + α(σα , sα ), s = (y, φ), sα = (yα , φα ) với (σ, s) (σα , sα ) tương ứng nghiệm tốn tuyến tính (4.69) (4.70) Lập luận tương tự Định lí 4.4, ta có (σ, s), (σα , sα ) ∈ E0 σα → L∞ (0, T0 ; L2 (Ω)), sα → L∞ (0, T0 ; L2 (Ω) × L2 (Ω)), α → 0+ Hơn ( ) ( ) = |u(., T ) − ue |2 − δ = | u(., T ) − u∗ (., T ∗ ) + u∗ (., T ∗ ) − ue |2 − δ ( ) ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ = |u(., T ) − u (., T )| + u(., T ) − u (., T ), u (., T ) − ue Từ u(., T ) − u∗ (., T ∗ ) = αy(., T ∗ ) + αu∗t (., T ∗ )S + αO(α) H1 , O(α) → 0, cho α → ta suy ( ) ( ) − u∗ (., T ∗ ) − ue , u∗t (., T ∗ ) S = u∗ (., T ∗ ) − ue , y(., T ∗ ) Tương tự, ta có ( ) ( ) − θ∗ (., T ∗ ) − θe , θt∗ (., T ∗ ) S = θ∗ (., T ∗ ) − θe , φ(., T ∗ ) Gọi λ1 , λ2 ∈ R cho ( ) ( ) −λ1 u∗ (., T ∗ ) − ue , u∗t (., T ∗ ) − λ2 θ∗ (., T ∗ ) − θe , θt∗ (., T ∗ ) = T ∗ , (4.93) 123 (η, z) nghiệm hệ tuyến tính liên hợp (4.89) Hơn nữa, ta có ( ) ( ) T ∗ S = −λ1 S u∗ (., T ∗ ) − ue , u∗t (., T ∗ ) − λ2 S θ∗ (., T ∗ ) − θe , θt∗ (., T ∗ ) ( [ ) ( [ ) ] ] ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ = λ1 u (., T ) − ue , y(., T ) + λ2 θ (., T ) − θe , φ(., T ) ( ) ( ) = ξ(., T ∗ )ρ∗ (., T ∗ ), y(., T ∗ ) + ψ(., T ∗ )ρ∗ (., T ∗ ), φ(., T ∗ ) Sử dụng tích phân phần, ta kiểm tra ∫∫ ∗ T S= z · hdxdt ω×(0,T0 ) Từ (4.92), ta có bất đẳng thức ∫∫ (z + bh∗ ) · hdxdt ≥ ω×(0,T0 ) Mặt khác, T ∗ ∈ (0, T0 ) λ1 , λ2 cho (4.93) nên ta có (4.90) Định lí chứng minh Chú ý cuối chương Từ kết chương này, trường hợp nhiệt độ θ ≡ 0, ta thu lại kết tương ứng tồn tại, tính có điều kiện nghiệm yếu, toán điều khiển tối ưu tốn thời gian tối ưu hệ phương trình Navier-Stokes với mật độ thay đổi [11] KẾT LUẬN CHƯƠNG Trong chương này, nghiên cứu hệ Boussinesq có mật độ khối lượng thay đổi miền bị chặn hai ba chiều Các kết đạt bao gồm: 1) Chứng minh tồn tính có điều kiện nghiệm yếu (Định lí 4.1, Định lí 4.2) 2) Chứng minh tồn nghiệm thiết lập điều kiện cần tối ưu cấp toán điều khiển tối ưu toán thời gian tối ưu (các Định lí 4.3-4.6) 124 KẾT LUẬN KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC Trong luận án này, nghiên cứu số hệ phương trình cặp khơng ơtơnơm học chất lỏng, bao gồm hệ Bénard, hệ MHD hai chiều hệ Boussinesq hai ba chiều với mật độ (khối lượng) thay đổi Các kết đạt bao gồm: 1) Đối với hệ Bénard hệ MHD hai chiều miền thỏa mãn bất đẳng thức Poincaré: Chứng minh tồn nghiệm yếu, tồn đánh giá số chiều fractal tập hút lùi 2) Đối với hệ Boussinesq có mật độ thay đổi miền bị chặn: Chứng minh tồn tính có điều kiện nghiệm yếu, chứng minh tồn nghiệm tối ưu thiết lập điều kiện cần tối ưu cấp cho toán điều khiển tối ưu với phiếm hàm mục tiêu dạng toàn phương toán thời gian tối ưu KIẾN NGHỊ MỘT SỐ VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU TIẾP THEO Bên cạnh kết đạt luận án, số vấn đề mở liên quan cần tiếp tục nghiên cứu: • Nghiên cứu tính trơn tập hút lùi hệ Bénard hệ MHD nhận luận án • Nghiên cứu tính ổn định tốn ổn định hóa nghiệm dừng hệ Bénard hệ MHD 125 • Nghiên cứu tính qui nghiệm hệ Boussinesq với mật độ thay đổi • Nghiên cứu toán điều khiển hệ Boussinesq với mật độ thay đổi 126 Tài liệu tham khảo [1] A Carvalho, J.A Langa and J.C Robinson (2013) Attractors for InfiniteDimensional Non-Autonomous Dynamical Systems Appl Math Sci., 182 Berlin: Springer, 409 p [2] A.V Fursikov (2000) Optimal Control of Distributed Systems Theory and Applications Amer Math Soc [3] B Guo and X Du (2005) The exponential attractor for the equations of thermohydraulics Acta Math Sci., Ser B, Engl Ed., 25, 317-325 [4] C Bardos and B Nicolaenko (2002) Navier-Stokes equations and dynamical systems Handbook of dynamical systems, Vol 2, 503-597, NorthHolland, Amsterdam [5] C Cao and J Wu (2010) Two regularity criteria for the 3D MHD equations J Differ Equations, 248, 2263-2274 [6] C Foias, O Manley and R Temam (1987) Attractors for the Bénard problem: existence and physical bounds on their fractal dimension Nonlinear Anal., 11, 939-967 [7] C.G Gal and M Grasselli (2010) Asymptotic behavior of a CahnHilliard-Navier-Stokes system in 2D Ann Inst Henri Poincaré, Anal Non Linéaire, 27, 401-436 Việc trình bày tài liệu tham khảo đây, thứ tự hình thức, theo qui định sở đào tạo 127 [8] C.G Gal and M Grasselli (2010) Longtime behavior for a model of homogeneous incompressible two-phase flows Discrete Contin Dyn Syst., 28 (1), 1-39 [9] C.T Anh and D.T Son (2014) Finite-dimensional pullback attractors for non-autonomous Newton-Boussinesq equations in some two-dimensional unbounded domains Bull Pol Acad Sci Math., 62, 265-289 [10] C Zhao and K Li (2004) On existence, uniqueness and Lr -exponential stability for stationary solutions to the MHD equations in three dimensional domains ANZIAM J., 46, 95-109 [11] E Fernández-Cara (2012) Motivation, analysis and control of the variable density Navier-Stokes equations Dis Cont Dyn Sys Series S, 5, 10211090 [12] E Hopf (1955) On nonlinear partial differential equations Lectures series of the symposium on PDE, Berkeley, 1-29 [13] G Duvaut and J.-L Lions (1972) Les Inéquations en Mécanique et Physique Dunod, Paris [14] G Fucci, B Wang and P Singh (2009) Asymptotic behavior of the Newton-Boussinesq equation in a two-dimensional channel Nonlinear Anal., 70, 2000-2013 [15] G.P Galdi (2012) Navier-Stokes equations: a mathematical analysis Mathematics of complexity and dynamical systems Vols 1-3, 1009-1042, Springer, New York [16] J.A Langa, G Lukaszewicz and J Real (2007) Finite fractal dimension of pullback attractors for non-autonomous 2D Navier-Stokes equations in some unbounded domains Nonlinear Anal., 66, 735-749 128 [17] J.C Robinson (2001) Infinite-Dimensional Dynamical Systems Cambridge University Press, Cambridge [18] J.C Saut and B Scheurer (1987) Unique continuation for some evolution equations J Differential Equations, 66, 118-139 [19] J.L Lions (1969) Quelques Méthodes de Résolution des Problèmes aux Limites non Linéaires Paris: Dunod, Gauthier-Villars [20] J.M Ball (2004) Global attractor for damped semilinear wave equations Discrete Contin Dyn Syst., 10, 31-52 [21] J.M Coron (2007) Control and Nonlinearity Mathematical Surveys and Monographs, 136 American Mathematical Society, Providence, RI [22] J.M Ghidaglia, M Marion and R Temam (1988) Generalization of the Sobolev-Lieb-Thirring inequalities and applications to the dimension of attractors Diff Int Equa., 1, 1-21 [23] J Simon (1990) Nonhomogeneous viscous incompressible fluids: existence of velocity, density, and pressure SIAM J Math Anal., 21, 1093-1117 [24] M Cabral, R Rosa and R Temam (2004) Existence and dimension of the attractor for the Bénard problem on channel-like domains Disc Cont Dyna Syst., 10, 89-116 [25] M.E Schonbek, T.P Schonbek and E Să uli (1996) Large-time behavior of solutions to the magneto-hydrodynamics equations Math Ann., 304, 717-756 [26] M Grasselli and H Wu (2011) Finite dimensional global attractor for a system modeling the 2D nematic liquid crystal flow Z Angew Math Phys., 62, 979-992 129 [27] M Holst, E Lunasin and G Tsogtgerel (2010) Analysis of a general family of regularized Navier-Stokes and MHD models J Nonlinear Sci., 20, 523567 [28] M Sermange and R Temam (1983) Some mathematical questions related to the MHD equations Commun Pure Appl Math., 36, 635-664 [29] O.A Ladyzhenskaya and V.A Solonnikov (1978) Unique solvability of an initial and boundary value problem for viscous incompressible nonhomogeneous fluids J Sov Math., 9, 697-749 [30] O Manley, M Marion and R Temam (1993) Equations for combustion in the presence of complex chemistry Indiana Univ Math J., 42 , 941-967 [31] P Constantin and C Foias (1988) Navier-Stokes Equations Chicago Lectures in Mathematics, University of Chicago Press, Chicago [32] P.-L Lions (1996) Mathematical Topics in Fluid Mechanics Vol I: Incompressible Models Oxford University Press, New York [33] R.A Adams and J.F Founier (2003) Sobolev Spaces 2nd edition, Elsevier [34] R Agapito and M Schonbek (2007) Non-uniform decay of MHD equations with and without magnetic diffusion Commun Partial Differ Equations, 32, 1791-1812 [35] R Brown, P Perry and Z Shen (2000) On the dimension of the attractor for the non-homogeneous Navier-Stokes equations in nonsmooth domains Indiana Univ Math J., 49, 81-112 [36] R Danchin (2003) Density-dependent incompressible fluids in critical spaces Proc Roy Soc Edinburgh, 133, 1311-1334 130 [37] R Danchin (2003) Navier-Stokes equations with variable density Hyperbolic Problems and Related Topics, International Press, Graduate Series in Analysis, 121-135 [38] R DiPerna and P.-L Lions (1989) Ordinary differential equations, transport theory and Sobolev spaces Invent Math., 98, 511-547 [39] R Rosa (1998) The global attractor for the 2D Navier-Stokes flow on some unbounded domains Nonlinear Anal., 32, 71-85 [40] R Salvi (1991) The equations of viscous incompressible nonhomogeneous fluid: on the existence and regularity J Australian Math Soc Series B, 33, 94-110 [41] R Temam (1979) Navier-Stokes Equations: Theory and Numerical Analysis 2nd edition, Amsterdam: North-Holland [42] R Temam (1995) Navier-Stokes Equations and Nonlinear Functional Analysis 2nd edition, Philadelphia [43] R Temam (1997) Infinite Dimensional Dynamical Systems in Mechanics and Physics 2nd edition, Springer-Verlag, New York [44] R Temam (2000) Some developments on Navier-Stokes equations in the second half of the 20th century Development of Mathematics 1950-2000, Birkhă auser, Basel, 1049-1106 [45] R Temam and X Wang (1995) Asymptotic analysis of the linearized Navier-Stokes equations in the 2D channel Diff Int Equ., 8, 1591-1618 [46] S.A Antontsev and A.V Kazhikov (1973) Mathematical Study of Flows of Nonhomogeneous Fluids Lectures at the University of Novosibirsk, Novosibirsk, USSR 131 [47] S Bosia (2012) Well-posedness and long term behavior of a simplified Ericksen-Leslie non-autonomous system for nematic liquid crystal flows Comm Pure Appl Anal., 11, 407-441 [48] S Chen (1982) Symmetry analysis of convection on patterns Comm Theor Phys., 1, 413-426 [49] S Gala (2012) A new regularity criterion for the 3D MHD equations in R3 Comm Pure Appl Anal., 11, 1353-1360 [50] S.S Dragomir (2003) Some Gronwall Type Inequalities and Applications Nova Science Publishers, New York [51] T Caraballo, G Lukaszewicz and J Real (2006) Pullback attractors for asymptotically compact non-autonomous dynamical systems Nonlinear Anal., 64, 484-498 [52] T.G Cowling (1957) Magnetohydrodynamics Interscience Tracts Phys Astronom., 4, Interscience, New York [53] V.V Chepyzhov and M.I Vishik (1994) Attractors for non-autonomous dynamical systems and their dimension J Math Pures Appl., 73, 279333 [54] X Jia and Y Zhou (2012) Regularity criteria for the 3D MHD equations via partial derivatives Kinetic and Related Models, 5, 505-516 [55] X.L Song and Y.R Hou (2012) Pullback D-attractors for the nonautonomous Newton-Boussinesq equation in two-dimensional bounded domain Discrete Contin Dyn Syst., 32, 991-1009 132 DANH MỤC CÁC CƠNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ CỦA LUẬN ÁN C.T Anh and D.T Son (2013), Pullback attractors for non-autonomous 2D Bénard problem in some unbounded domains, Mathematical Methods in the Applied Sciences 36, 1664-1684 (ISI) C.T Anh and D.T Son (2015), Pullback attractors for non-autonomous 2D MHD equations in some unbounded domains, Annales Polonici Mathematici 113, 129-154 (ISI) ... ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI ——————– * ——————— Đặng Thanh Sơn MỘT SỐ HỆ PHƯƠNG TRÌNH CẶP TRONG CƠ HỌC CHẤT LỎNG Chun ngành: Phương trình vi phân tích phân Mã số: 62460103 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC... phương trình cặp học chất lỏng cịn ít, tính phức tạp Dưới đây, chúng tơi điểm qua số kết gần cho hệ phương trình cặp học chất lỏng liên quan đến nội dung luận án • Hệ phương trình Bénard (một trường... khí tượng học, cơng nghiệp dầu mỏ, vật lí plasma Một lớp hệ phương trình bản, quan trọng học chất lỏng hệ Navier-Stokes, miêu tả dịng chảy chất lỏng nhất, nhớt, khơng nén Hệ phương trình Navier-Stokes