+ Đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây đó.. TÝnh chÊt: TiÕp tuyÕn cña ®êng trßn th× vu«ng gãc víi b¸n kÝnh t¹i ®Çu mót cña b¸n kÝnh (tiÕp ®iÓm[r]
(1)ĐỀ CƯƠNG ÔN THI HỌC KỲ I MƠN TỐN LỚP (Trọng tâm) Năm học 2019 2020
Ch 1: Căn thức VÀ rót gän biĨu thøc I Kiến thức:
Kiến thức bản:
1 Điều kiện tồn : √A Có nghĩa ⇔ A ≥0 Hằng đẳng thức: √A2=|A|
3 Liên hệ phép nhân phép khai phương: √A.B=√A.√B (A ≥0; B ≥0) Liên hệ phép chia phép khai phơng: √A
B=
√A
√B (A 0; B>0) Đa thừa số căn: A2.B=|A|B. (B0)
6 Đa thừa số vào căn: AB=A2.B (A 0; B 0) ; A
√B=−√A2.B (A<0; B ≥0)
7 Khử mẫu biểu thức lấy căn:
A A B
B B (A.B
0 và B0)
8 Trục thức mẫu ( TH: 1,2): A
√B=
√A.B
B (B>0) ;
2
C A B
C
A B
A B
(A0 và A B2)
9 Trục thức mẫu (trng hợp 3,4): C
√A ±√B=
C(√A∓√B)
A − B (A0;B0;A B )
Bài tập:
Tìm điều kiện xác định: Với giá trị x biểu thức sau xác định:
1) √−2x+3 2) √2
x2 3) √
4
x+3 4) √ −5 x2
+6 5) √3x+4 6) √1+x2 7)
√
1−2x 8) √
−3 3x+5 Rút gọn biểu thức
*Ví dụ: 1)Tính giá trị biểu thức:
1
A 3
2
(Áp dụng trục thức mẫu)
1) √12+5√3−√48 2) 5√5+√20−3√45 3) 2√32+4√8−5√18 4) 3√12−4√27+5√48 5) √12+√75−√27 6) 2√18−7√2+√162 7) 3√20−2√45+4√5 8) (√2+2)√2−2√2 9)
√5−1−
√5+1 10)
√5−2+
√5+2 11) 4−3√2−
2
4+3√2 12)
2+√2 1+√2 13)
7
√28−2√14+√¿ ¿
¿
14) √14−3√2¿2+6√28 ¿
15) √6−√5¿2−√120
¿ 16) 2√3−3√2
¿2+2√6+3√24
¿
17)
1−√2¿2 ¿
√2+3¿2 ¿ ¿
√¿
18)
√3−2¿2 ¿
√3−1¿2 ¿ ¿
√¿
Giải phương trình:
(2)5) √3x2−
√12=0 6)
x −3¿2 ¿ ¿
√¿
7) √4x2
+4x+1=6 8)
2x −1¿2 ¿ ¿
√¿
9) √4x2
=6 10)
1− x¿2 ¿ 4¿
√¿
11) 11)
√x+1=2 12) √33−2x=−2
II các tập rút gọn: A.c¸c b íc thùc hiªn :
Phân tích tử mẫu thành nhân tử (rồi rút gọn đợc)
Tìm ĐKXĐ biểu thức: tìm xac inh phân thức kết luận lại
Quy đồng, gồm bớc:
+ Chọn mẫu chung : tích nhân tử chung riêng, nhân tử lấy số mũ lớn + Tìm nhân tử phụ: lấy mẫu chung chia cho mẫu để đợc nhân tử phụ tơng ứng + Nhân nhân tử phụ với tử – Giữ nguyên mẫu chung
Bỏ ngoặc: cách nhân đa thức dùng đẳng thức Thu gọn: cộng trừ hạng tử đồng dng
Phân tích tử thành nhân tử ( mẫu giữ nguyên) Rút gọn
B.Bài tập luyện tập:
Bài Cho biểu thức : A =
2
x x x
x x x
1) Đặt điều kiện để biểu thức A có nghĩa Rút gọn biểu thức A 2) Tính giá trị biểu thức A x 3 2
Bµi 2: Cho biểu thức A =
(1 )(1 )
1
x x x x
x x
a) Đặt điều kiện để biểu thức A có nghĩa Rút gọn A b) Tìm x để A = -
Bµi 3: Cho biĨu thøc : P = √x+1
√x −2+ 2√x
√x+2+
2+5√x 4− x a; Tìm điều kiện để biểu thức P cú nghĩa rút gọn P c; Tìm x để P =
Bµi 4: Cho biĨu thøc: Q = (
√a −1−
√a¿:(
√a+1
√a −2−
√a+2
√a −1)
a; Tìm điều kiện để biểu thức Q cú nghĩa rút gọn Q b; Tìm a để Q dng
c; Tính giá trị Biểu thức biÕt a = 9- √5
Chủ đề 2: hµm sè - hµm sè bËc nhÊt
I.H m s : Khái niệm hàm số
* Nếu đại lợng y phụ thuộc vào đại lợng x cho giá trị x, ta xác định đợc giá trị tơng ứng y y đợc gọi hàm số x x đợc gọi biến số
* Hµm số cho công thức cho b¶ng. II Hàm số bậc nhất:
Kiến thức bn: Định nghĩa:
Hm s bc nht l hàm số có dạng: y=ax+b Trong a; b số cho trước ( a ≠0 ) Nh vậy: Điều kiện để hàm số dạng: y=ax+b hàm số bậc là: a ≠0
Ví dụ: Cho hàm số: y = (3 – m) x – (1) Tìm giá trị m để hàm số (1) hàm số bậc Giải: Hàm số (1) bậc ⇔ 3−m≠0⇔0⇔m≠3
TÝnh chÊt: + TX§: ∀x∈R
(3)Tìm giá trị m để hàm số (2): + Đồng biến R
+ Nghịch biến R
Giải: + Hàm số (1) Đồng biến 3m>00m<3 + Hàm số (1) Nghịch biến 3m<00m>3
Đồ thị:
+ Đặc điểm: Đồ thị hàm số bậc đờng thẳng cắt trục tung điểm có tung độ b cắt trục hồnh điểm có hồnh độ −b
a
+ Từ đặc điểm ta có cách vẽ: - cho x = y = b ta điểm P(0; b) thuộc đồ thị trờn
- Cho y = x =
b a
ta điểm Q
;0 b a
thu c ộ đồ ị th Ho c l p b ng bi n thiên sau:ặ ậ ả ế
x -b/a
y b
Vẽ đờng thẳng qua hai điểm: -b/a ( trục hồnh) b ( trục tung) Ví dụ: Vẽ đồ thị hàm số : y = 2x +
Gi¶i:
Đồ thị ham số y = 2x +1 đường thẳng qua hai điểm (0;1)
(-0,5;0)
Điều kiện để hai đờng thẳng: (d1): y = ax + b; (d2): y = a,x + b, :
+ C¾t nhau: (d1) c¾t (d2) ⇔a≠ a,
*/ Để hai đờng thẳng cắt trục tung cần thêm điều kiện b=b'
*/ Để hai đờng thẳng vng góc với : a.a' =−1 + Song song với nhau: (d1) // (d2) ⇔a=a,;b ≠ b'
+ Trïng nhau: (d1) (d2) ⇔a=a,;b=b'
VÝ dơ: Cho hai hµm sè bËc nhÊt: y = (3 – m) x + (d1)
Và y = x – m (d2)
a/ Tìm giá trị m để đồ thị hai hàm số song song với b/ Tìm giá trị m để đồ thị hai hàm số cắt
c/ Tìm giá trị m để đồ thị hai hàm số cắt điểm trục tung Giải:
a/ (d1)//(d2)
⇔
3 0 3
3 2 1 1
2 2
m m
m m m
m m
b/ (d1) c¾t (d2)
⇔ 3 0 3
3 2 1
m m
m m
c/ (d1) cắt (d2) điểm trªn trơc tung ⇔ −m=2⇔m=−2
Hệ số góc đờng thẳng y = ax + b a
+ Cách tính góc tạo đờng thẳng với trục Ox dựa vào tỉ số lợng giác tan a
Trờng hợp: a > góc tạo đờng thẳng với trục Ox góc nhọn tan a
Trờng hợp: a < góc tạo đờng thẳng với trục Ox góc tù
0
tan(180 )a
(giảm tải) Ví dụ 1: Tính góc tạo đờng thẳng y = 2x + với trục Ox
Gi¶i:
Ta cã:Tan 2 63
Vậy góc tạo đờng thẳng y = 2x + với trục Ox là: α=630.
(4)-Dạng 3: Tính góc tạo đường thẳng y = ax + b v trc Ox Xem lại ví dơ ë trªn
-Dạng 4: Điểm thuộc đồ thị; điểm không thuộc đồ thị: Ph
ơng pháp: Ví dụ: Cho hàm số bậc nhất: y = ax + b Điểm M (x1; y1) có thuộc đồ thị không?
Thay giá trị x1 vào hàm số; tính đợc y0 Nếu y0 = y1 điểm M thuộc đồ thị Nếu y0 y1 điểm M
khơng thuộc đồ thị
-Dạng 5: Viết phơng trình đờng thẳng:
Ví dụ: Viết phơng trình đờng thẳng y = ax + b qua điểm P (x0; y0) điểm Q(x1; y1)
Ph
ơng pháp: + Thay x0; y0 vào y = ax + b ta đợc phơng trình y0 = ax0 + b (1)
+ Thay x1; y1 vào y = ax + b ta đợc phơng trình y1 = ax1 + b (2)
+ Giải hệ phơng trình ta tìm đợc giá trị a b
+ Thay giá trị a b vào y = ax + b ta đợc phơng trỡnh đờng thẳng cần tìm -Dạng 6: Chứng minh đờng thẳng qua điểm cố định chứng minh đồng quy: Ví dụ: Cho đờng thẳng :
(d1) : y = (m2-1) x + m2 -5 ( Víi m 1; m -1 )
(d2) : y = x +1
(d3) : y = -x +3
a) C/m m thay đổi d1 qua 1điểm cố định
b) C/m d1 //d3 d1 vuông góc d2
c) Xác định m để đờng thẳng d1 ;d2 ;d3 đồng qui
Gi¶i:
a) Gọi điểm cố định mà đờng thẳng d1 qua A(x0; y0 ) thay vào PT (d1) ta có :
y0 = (m2-1 ) x0 +m2 -5 Víi mäi m
=> m2(x
0+1) -(x0 +y0 +5) = với m ; Điều xảy :
x0+ =0
x0+y0+5 = suy : x0 =-1
y0 = -
Vậy điểm cố định A (-1; - 4)
b) +Ta tìm giao điểm B (d2) vµ (d3):
Ta có pt hồnh độ : x+1 = - x +3 => x =1 Thay vào y = x +1 = +1 =2 Vậy B (1;2)
Để đờng thẳng đồng qui (d1)phải qua điểm B nên ta thay x =1 ; y = vào pt (d1) ta có:
2 = (m2 -1) + m2 -5
m2 = => m = vµ m = -2
Vậy với m = m = - đờng thẳng đồng qui
Bài tập:
Bài 1: Cho hai đường thẳng (d1): y = ( + m )x + (d2): y = ( + 2m)x +
1) Tìm m để (d1) (d2) cắt
2) Với m = – , vẽ (d1) (d2)trên mặt phẳng tọa độ Oxy tìm tọa độ giao điểm hai
đường thẳng (d1) (d2)bằng phép tính
Bài 2: Cho hàm số bậc y = (2 - a)x + a Biết đồ thị hàm số qua điểm M(3;1), hàm số đồng biến hay nghịch biến R ? Vì sao?
Bài 3: Cho hàm số bậc y = (1- 3m)x + m + qua N(1;-1) , hàm số đồng biến hay nghịch biến ? Vì sao?
Bài 4: Cho hai đường thẳng y = mx – ;(m 0¿ y = (2 - m)x + ; (m≠2) Tìm điều kiện
m để hai đường thẳng trên: a) Song song b) Cắt
Bài 5: Víi giá trị m hai đường thẳng y = 2x + 3+m y = 3x + 5- m cắt
điểm trục tung Viết phương trình đường thẳng (d) biết (d) song song với
Dạng1: Xác dịnh các giá trị các hệ số để hàm số đồng biến, nghịch biến, Hai đường thẳng song song; ct nhau; trựng
Phơng pháp: Xem lại ví dụ
-Dng 2: V thị hàm số y = ax + b (a0) Xem lại ví dụ trên.
Xac inh to độ giao điểm hai đường thẳng (d1): y = ax + b ; (d2): y = a’x + b’
Ph
ơng pháp: Đặt ax + b = a’x + b’ giải phơng trình ta tìm đợc giá trị x; thay giá trị x vào (d 1)
(5)(d’): y = −21x cắt trục hồnh điểm có hồnh độ 10.
Bài 6: Viết phương trình đường thẳng (d), biết (d) song song với (d’) : y = - 2x qua điểm A(2;7)
Bài 7: Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm A(2; - 2) B(-1;3)
Bài 8: Cho hai đường thẳng : (d1): y =
2
2x (d2): y = x2
a/ Vẽ (d1) (d2) hệ trục tọa độ Oxy
b/ Gọi A B giao điểm (d1) (d2) với trục Ox , C giao điểm (d1) (d2) Tính chu vi
và diện tích tam giác ABC (đơn vị hệ trục tọa độ cm)?
Bài 9: Cho đờng thẳng (d1) : y = 4mx - (m+5) với m
(d2) : y = (3m2 +1) x + (m2 -9)
a; Với giá trị m (d1) // (d2)
b; Với giá trị m (d1) cắt (d2) tìm toạ độ giao điểm Khi m =
c; C/m m thay đổi đờng thẳng (d1) qua điểm cố định A ;(d2) qua điểm cố định B Tính
BA ?
Bài 10: Cho hàm số y = (m-2)x + m -
a) Vẽ đồ thị hàm số với m = 4,tìm đồ thị vừa vẽ điểm có hồnh độ
1
b) Với giá trị m hàm số đồng biến R
c) Tìm m để đồ thị hàm số cho đồ thị các hàm số y = 2x +1 y = -x +4 ba đường thẳng đồng quy
h×nh häc
I Hệ thức lượng tam giác vuông : Cho tam giác ABC vuông A đường cao AH.(hình 1)
Hệ thức cạnh đờng cao:
+ b2=a.b,;c2=a.c, Từ hệ thức 1 + a2=b2+c2 + h2=b,.c, + a=b,+c, + a.h=b.c
+ 2
1 1
h b c Từ hệ thức 1 + b2 c2=
b, c,.;
c2 b2=
c, b,
Hệ thức cạnh góc:
Tỷ số l ợng giác:
; ; ;
D K D K
Sin Cos tan Cot
H H K D
D cạnh đối, K cạnh kề, H cạnh huyn
Tính chất tỷ số l ợng giác:
1/ NÕu α+β=90
0
Th×:
Sinα=Cosβ Cosα=Sinβ
Tan Cot
Cot Tan
2/ Víi α nhọn < sin α < 1, < cos α <
*sin2 α + cos2 = *tan α = sin α /cos α
*cotg α = cos α /sin α *tan α cot α =1 Hệ thức cạnh góc:
+ Cnh gúc vng cạnh huyền nhân Sin góc đối: b=a.SinB ;c=a SinC
+ Cạnh góc vuông cạnh huyền nh©n Cos gãc kỊ: b=a CosC.;c=a.CosB
+ Cạnh góc vng cạnh góc vng nhân tangóc đối: b c TanB c b ; tanC
+ Cạnh góc vuông cạnh góc vuông nh©n Cot gãc kỊ: b c CotC c b CotB ;
Bài Tập áp dụng:
(6)Bài 2: Cho tam giác ABC vng A có b’ = 7, c’ = Giải tam giác ABC?
Bài 3: Cho tam giác ABC vng A có c’ = 4, B = 550 Giải tam giác ABC?
Bài4: Biết tỉ số hai cạnh góc vng 3: đường cao ứng với cạnh huyền 9,6 Tính độ dài hình chiếu các cạnh góc vng cạnh huyền
II Đường tròn:
.Sự xác định đờng tròn: Muốn xác định đợc đờng trịn cần biết: + Tâm bán kính,hoặc:
+ Đờng kính( Khi tâm trung điểm đờng kính; bán kính 1/2 đờng kính) , hoặc:
+ Đờng trịn qua điểm ( Khi tâm giao điểm hai đờng trung trực hai đoạn thẳng nối hai ba điểm đó; Bán kính khoảng cách từ giao điểm đến điểm đó)
Tính chất đối xứng:
+ Đờng trịn có tâm đối xứng tâm đờng tròn
+ Bất kì đờng kính vào trục đối xứng đờng trịn
C¸c mèi quan hệ:
1 Quan hệ đ ờng kính dây:
+Trong mt ng trũn ng kớnh vuụng góc với dây cung chia dây cung hai phần
+ Đường kớnh qua trung điểm dõy khụng qua tõm thỡ vuụng gúc với dõy đú 2 Quan hệ dây khoảng cách từ tâm đến dây:
+ Hai dây ⇔ Chúng cách tâm + Dây lớn ⇔ Dây gần tâm
Vị trí tơng đối đờng thẳng với đờng trịn:
+ Đờng thẳng khơng cắt đờng trịn (khụng giao nhau) ⇔ Khơng có điểm chung ⇔ d > R (d khoảng cách từ tâm đến đờng thẳng; R bán kính đờng trịn)
+ Đờng thẳng cắt đờng trịn ⇔ Có điểm chung ⇔ d < R
+ Đờng thẳng tiếp xúc với đờng tròn (gọi tiếp tuyến đường trũn) ⇔ Có điểm chung ⇔ d = R
Tiếp tuyến đờng tròn:
1 Định nghĩa: Tiếp tuyến đờng tròn đờng thẳng tiếp xúc với đờng trịn
2 Tính chất: Tiếp tuyến đờng trịn vng góc với bán kính đầu mút bán kính (tiếp điểm) 3.Dấu hiệu nhhận biết tiếp tuyến: Đờng thẳng vng góc đầu mút bán kính đờng trịn tiếp tuyến đờng trịn
6) Các tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau:
Nếu tiếp tuyến đường tròn cắt điểm thì: - Điểm cách hai tiếp điểm
- Tia kẻ từ điểm qua tâm đường trịn tia phân giác góc tạo hai tiếp tuyến
- Tia kẻ từ tâm đường trịn qua điểm tia phân giác góc tạo hai bán kính qua hai tip im Bài Tập tổng hợp:
Bài Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, d
là tiếp tuyến đường tròn A Các tiếp tuyến đường tròn B C cắt d theo thứ tự D E a) Tính góc DOE
b) Chứng minh : DE = BD + CE
c) Chứng minh : BD.CE = R2 ( R bán kính đường tròn (O) )
d) Chứng minh BC tiếp tuyến đường trịn đường kính DE
Bài Cho ( O) A điểm nằm bên ngồi đờng trịn Kẻ tiếp tuyến AB ; AC với đờng tròn ( B , C tiếp điểm )
a/ Chøng minh: OA BC
b/Vẽ đờng kính CD chứng minh: BD// AO
c/Tính độ dài cạnh tam giác ABC biết OB =2cm ; OC = cm?
Bài 3: Cho nửa đường trịn tâm O, đường kính AB = 2R, M điểm tuỳ ý nửa đường tròn ( M A; B).Kẻ hai tia tiếp tuyến Ax By với nửa đường tròn.Qua M kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt
Ax By C vaø D
a) Chứng minh: CD = AC + BD góc COD = 900
b) Chứng minh: AC.BD = R2
c) OC cắt AM E, OD cắt BM F Chứng minh EF = R d) Tìm vị trí M để CD có độ dài nhỏ
(7)b) Từ A hạ đường cao AH, AH lấy điểm I cho AI = 13AH Từ C kẻ Cx //AH Gọi giao điểm BI với Cx D Tính diện tích tứ giác AHCD
c) Vẽ hai đường tròn (B, BA) (C, CA) Gọi giao điểm khác A hai đường tròn E Chứng minh CE tiếp tuyến đường tròn (B)
……… Hết ………