1 Ơn tập Tốn HK2 GV: Lê Quốc Dũng. ĐT: (058)590538 HƯỚNG DẪN ÔN TẬP HỌC KỲ 2 – MÔN TOÁN 9 PHẦN I : HỆ THỐNG CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN * Đại số (chương III, chương IV) Xem tóm tắt kiến thức cơ bản SGK trang 26 , 61, 62. * Hình học Xem tóm tắt kiến thức cơ bản SGK trang 101, 102, 103, 108. PHẦN II : HỆ THỐNG CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN. A. ĐẠI SỐ : Chương III : Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn DẠNG 1 : Giải hệ phương trình. Phương pháp : dùng phương pháp cộng, phương pháp thế, phương pháp đồ thò. 1) 2x y = 11 3x + 4y = 11 − − 2) 0,5x + 0,3y = 1,1 0.2x y = 7,4 − − 3) 5 3x + y = 9 2 1 2x + y = 2 3 4) 2 3 3 5 1 ( 5 1) 2 1 5 x y x y − = − − + = − 5) 3 3 5 3 1 5 x y x y − = + = − 6) 2 4( 1) 5 3 ( ) 8 x y x x y x y − + = − − + = − + + 7) 3 2 5( ) 3 5 x y x x y x y + = − + = − + − 8) 3 5 2 2 4 10 2 2 x y x y x y x y − + = − − + − = − + 9) 3 6 1 2 1 1 0 2 x y x y x y x y − = − − + − = − + DẠNG 2 : Giải và biện luận hệ phương trình. Phương pháp : để biện luận số nghiệm của một hệ phương trình ta đưa về biện luận số nghiệm của phương trình bậc nhất. 10) Tìm m để hệ phương trình 1 3 - 1 x my m mx y m + = + + = a) có một nghiệm duy nhất b) vô nghiệm c) có vô số nghiệm. 11) Giải và biện luận hệ phương trình 2 2 3 mx y m x y + = − = 12) Tìm m để hệ phương trình 2 4 6 mx y m x my m − = − = + a) vô nghiệm b) có vô số nghiệm. DẠNG 3 : Đònh tham số m để nghiệm của hệ phương trình thoả điều kiện cho trước. Thông thường ta gặp các vấn đề : nghiệm của hệ phương trình thoả mãn những bất đẳng thức, nghiệm của hệ phương trình thoả mãn một hệ thức , nghiệm của hệ phương trình là những số nguyên. 13) Cho hệ phương trình 1 x ay ax y a + = − + = a) chứng minh rằng hệ PT luôn có nghiệm duy nhất với mọi a. b) Tìm a để hệ PT có nghiệm (x ; y) sao cho x < 1 ; y < 1. Email: lequocdung76@gmail.com Hoặc lequocdung76@yahoo.com 2 Ơn tập Tốn HK2 GV: Lê Quốc Dũng. ĐT: (058)590538 14 ) Cho hệ phương trình ( 1) 1 4 2 x m y x y + + = − = − a) Tìm m sao cho nghiệm của hệ PT thoả mãn hệ thức x 2 + y 2 = 0,25 b) Tìm các số nguyên m để hệ PT có nghiệm x,y nguyên. Chương IV : Hàm số y = ax 2 ( a ≠ 0). Phương trình bậc hai một ẩn. I. Hàm số y = ax 2 ( a ≠ 0) : Một số dạng bài tập thường gặp : a) Vẽ đồ thò hàm số y = ax 2 (P) và vẽ đồ thò hàm số y = mx + n (d) trên cùng một MP toạ độ. b) Xác đònh hàm số y = ax 2 ( a ≠ 0). c) Không tính giá trò của hàm số, hãy so sánh f(x 1 ) với f (x 2 ). d) Tìm điều kiện để hàm số đồng biến, nghòch biến. e) Tương giao giữa đường thẳng (d) : y = mx + n và parabôn (P) : y = ax 2 : - Tìm điều kiện để (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt, (d) tiếp xúc (P), (d) không giao (P). - Chứng tỏ (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt, (d) tiếp xúc (P), (d) không giao (P). - Chứng tỏ (d) luôn tiếp xúc (P), (d) luôn cắt (P), (d) và (P) không giao nhau. 15) Cho hàm số y = f(x) = (m + 2)x 2 ( m ≠ -2) có đồ thò là (P). a) Tìm m để hàm số đồng biến khi x < 0 ; nghòch biến khi x > 0. b) Vẽ đồ thò hàm số khi m = - 1 2 . Khi đó các điểm A 3 1; 2 ÷ ; B (-2 ; -6) có thuộc đồ thò hàm số không? Tại sao ? c) Với m = -3. Không tính hãy so sánh f(1 - 2 ) và f(2 - 3 ). d) Tìm m để (P) thoả một trong các điều kiện sau : d1) Đi qua điểm C ( -2 ; 6) d2) Cắt đường thẳng y = -x + 2 tại điểm có hoành độ bằng 5. 16) Cho parabôn (P) : y = x 2 và đường thẳng (d) : y = 2x + m. Tìm m để (d) tiếp xúc (P). Tìm toạ độ tiếp điểm. 17) Cho parabôn (P): y = 2 4 x . Viết phương trình đường thẳng đi qua A (-1 ; -2) và tiếp xúc với (P). Tìm toạ độ tiếp điểm. 18) Cho parabôn (P) : y = x 2 và đường thẳng (d) : y = x + m. Với giá trò nào của m thì (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt. Xác đònh toạ độ giao điểm của (d) và (P) khi m = 6. 19) Chứng tỏ đường thẳng y = 4x – 4 luôn tiếp xúc với parabôn y = x 2 . Chứng tỏ đường thẳng y = 2x – 1 luôn tiếp xúc với parabôn y = x 2 . Chứng tỏ đường thẳng y = 8x – 4 luôn cắt parabôn y = x 2 tại 2 điểm phân biệt. Chứng tỏ đường thẳng y = - 4x + 3 luôn cắt parabôn y = 4x 2 tại 2 điểm phân biệt. Email: lequocdung76@gmail.com Hoặc lequocdung76@yahoo.com 3 Ơn tập Tốn HK2 GV: Lê Quốc Dũng. ĐT: (058)590538 II. Phương trình bậc hai một ẩn : Một số dạng bài tập cơ bản : a) Giải phương trình bậc hai khuyết b. b) Giải phương trình bậc hai khuyết c. c) Giải phương trình bậc hai đủ : a + b + c = 0 ⇒ phương trình có 2 nghiệm x 1 = 1 ; x 2 = c/a a – b + c = 0 ⇒ phương trình có 2 nghiệm x 1 = -1 ; x 2 = -c/a Dùng công thức nghiệm tổng quát hay công thức nghiệm thu gọn. d) Giải phương trình quy về phương trình bậc hai. Phương trình trùng phương – Phương trình chứa ẩn ở mẫu – Phương trình tích. 20) Giải các phương trình sau : 1) x 2 – 2x = 0 2) 2x 2 + 5x = 0 3) 2x 2 – 1 = 0 4) x 2 + 5 = 0 5) x 2 + x – 1 = 0 6) 2x 2 – 3x – 5 = 0 7) x 2 – 4x + 4 = 0 8) x 2 + 6x + 15 = 0 9) 4x 2 + 21x – 18 = 0 10) 4x 2 + 5 x – 11 = 0 11) x 2 –( 2 + 1)x + 2 =0 12) (1 + 2 )x 2 – x - 2 = 0 13) x 2 – 2(1 + 2 )x + 4 + 3 2 = 0 14) (2x – 1) 2 – (x + 1)(x + 3) = 0 15) (3x 2 + 2x = 4) 2 – (x 2 – 4) 2 = 0 16) (x 2 – 9)(x – 3) – (x 2 – 1)(9 – x 2 ) = 0 17) x 4 – 13x 2 + 36 = 0 18) 9x 4 + 6x 2 + 1 = 0 19) 2x 4 – 7x 2 – 4 = 0 20) 1 5 3 x x + = − 21) 1 1 2 1 2 2 1 x x x x x x + − + + = + − + 22) 1 4 1 3 2 4 1 x x x x + − − = + + 23) 60 60 1 1x x − = + 24) 2 14 4 7 1 9 3 3 3 x x x x x − + = − − + + − 25) (3x 2 + 10x + 80)(4x 2 – 23x + 28) = 0 Số nghiệm của phương trình bậc hai : Một số dạng bài tập cơ bản - Chứng tỏ phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt, có nghiệm, vô nghiệm với mọi m. - Tìm giá trò của tham số để phương trình có 2 nghiệm phân biệt, có nghiệm, có nghiệm kép, vô nghiệm. 21 ) Chứng tỏ phương trình x 2 – 2(m – 1)x + m – 3 = 0 luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m 22) Chứng tỏ phương trình x 2 – 2mx + 2m 2 – 4m - 1 = 0 luôn vô nghiệm với mọi m. 23) Chứng tỏ phương trình x 2 –(m – 1)x + 3(2m + 1) = 0 có nghiệm với mọi m. 24) Tìm điều kiện của m để các phương trình sau có nghiệm kép. Tính nghiệm kép đó : a) x 2 – (m – 2)x + 4 = 0 b) x 2 + 2(m + 3)x + 3 = 0 c) (m – 1)x 2 + 2x – 1 = 0 d) x 2 + (m – 1)x + m – 2 = 0 25) Tìm điều kiện của m để các phương trình sau vô nghiệm : a) 3x 2 – 2x + m = 0 c) x 2 – 2(m + 2)x + (m + 1)(m – 3) = 0 b) x 2 –(2m + 1)x + m 2 + 2 = 0 d) x 2 + 2(m – 1)x – 2m + 5 = 0 26) Tìm điều kiện của m để các phương trình sau có 2 nghiệm phân biệt : a) -2x 2 + 3x + m 2 – 1 = 0 b) x 2 + (m + 3)x + m + 1 = 0 c) x 2 – (1 + 2m)x – 2(m – 1) = 0 27) Tìm điều kiện của m để các phương trình sau có nghiệm : a) 2x 2 + 3x + m – 1 = 0 b) x 2 + 2(m – 2)x + 2m 2 – 4m – 5 = 0 Email: lequocdung76@gmail.com Hoặc lequocdung76@yahoo.com 4 Ơn tập Tốn HK2 GV: Lê Quốc Dũng. ĐT: (058)590538 28 ) Cho phương trình x 2 + 2(m – 1)x – 2m + 5 = 0. Đònh m để : a) Phương trình có nghiệm. b) Phương trình có 2 nghiệm x 1 ,x 2 thoả : α ) 2x 1 + 3x 2 = 1 β ) x 1 + x 2 + 2x 1 x 2 ≤ 6 γ ) A = 12 – 10x 1 x 2 –(x 1 2 + x 2 2 ) đạt GTNN III. Hệ thức Vi-ét : Một số dạng bài tập cơ bản : 1. Không giải phương trình, nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai. 2. Biết một nghiệm của phương trình bậc hai, tìm nghiệm còn lại. 3. Không giải phương trình, tính tổng và tích các nghiệ của phương trình bậc hai. 4. Tìm hai số biết tổng và tích của chúng. 5. Lập phương trình bậc hai biết 2 nghiệm của nó. 6. Không giải ph/trình, tính giá trò của biểu thức chứa 2 nghiệm x 1 , x 2 của ph/trình. 7. Cho phương trình chứa tham số. Tìm giá trò của tham số để phương trình có 2 nghiệm x 1 , x 2 thoả mãn một hệ thức chứa x 1 , x 2 . 8. Cho phương trình chứa tham số. Viết một hệ thức liên hệ giữa 2 nghiệm x 1 , x 2 độc lập đối với tham số. 9. Xét dấu các nghiệm số của phương trình bậc hai. 10.Phân tích một tam thức bậc hai ra thừa số. 29) Không giải phương trình x 2 – 2x – 15 = 0. Gọi x 1 , x 2 là 2 nghiệm của phương trình. Tính a) x 1 2 + x 2 2 b) 2 2 1 2 1 1 x x + c) x 1 3 + x 2 3 d) x 1 2 – x 2 2 e) (x 1 – x 2 ) 2 g) 2 2 1 2 2 2 1 2 1 2 3 3 3x x x x x x + − + 30 ) Lập phương trình bậc hai biết 2 nghiệm x 1 , x 2 như sau : a) x 1 = 3 + 2 ; x 2 = 3 b) x 1 = 1 6 2 3− ; x 2 = 1 6 2 3+ c) x 1 . x 2 = 4 và x 1 2 + x 2 2 = 17 31) cho phương trình x 2 + (m – 3)x + 1 – 2m = 0. a) Chứng tỏ phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m. b) Tìm giá trò của m để : b1) phương trình có nghiệm x = -5. Tìm nghiệm còn lại. b2) phương trình có 2 nghiệm trái dấu. b3) Phương trình có 2 nghiệm cùng dương. b4) Phương trình có 2 nghiệm cùng âm. b5) Phương trình có ít nhất một nghiệm dương. b6) Phương trình có 2 nghiệm x 1 , x 2 thoả 2x 1 + x 2 = 3 b7) Phương trình có 2 nghiệm x 1 , x 2 thoả (x 1 – x 2 ) 2 = 2 c) Viết một hệ thức liên hệ giữa 2 nghiệm của phương trình độc lập với tham số m. Email: lequocdung76@gmail.com Hoặc lequocdung76@yahoo.com 5 Ơn tập Tốn HK2 GV: Lê Quốc Dũng. ĐT: (058)590538 IV. Giải bài toán bằng cách lập phương trình, lập hệ phương trình : 32) Hai người ở hai đòa điểm A và B cách nhau 3,6km ; khởi hành cùng một lúc.đi ngược chiều nhau và gặp nhau ở một điểm cách A là 2km. Nếu cả hai cùng giữ nguyên vận tốc như trường hợp trên nhưng người đi chậm hơn xuất phát trước người kia 6 phút thì họ sẽ gặp nhau ở chính giữa quãng đường. Tính vận tốc của mỗi người. 33) Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vò là 2 và nếu thêm chữ số bằng chữ số hàng chục vào bên phải thì được một số lớn hơn số ban đầu là 682. 34) Hai đòa điểm A và B cách nhau 150km. Hai ô tô khởi hành cùng một lúc đi ngược chiều nhau và gặp nhau tại C cách A là 90km Nêu1 vận tốc vẫn không đổi nhưng ô tô đi từ B đi trước ô tô đi từ A là 50 phút thì hai xe gặp nhau chính giữa quãng đường. Tính vận tốc của mỗi ô tô. 35) Theo kế hoạch, một đội xe cần chuyên chở 120 tấn hàng. Đến ngày làm việc có 2 xe bò hỏng nên các xe còn lại phải chở thêm 16 tấn hàng. Hỏi đội xe có bao nhiêu xe ? Biết rằng trọng tải các xe là như nhau. 36) Hai vòi nước cùng chảy vào một bể không có nước và chảy đầy bể trong 2 giớ 55 phút. Nếu chảy riêng, vòi thứ nhất có thể chảy nhanh đầy bể hơn vòi thứ hai là 2 giờ. Hỏi mỗi vòi sẽ chảy đầy bể trong bao lâu ? 37) Một người gởi tiết kiệm tại hai nơi. Một nơi có lãi suất 9%, nơi kia là 11% trong một năm. Số tiến anh ta có là 12000000 đồng , trong năm đầu anh ta nhận được 1180000 tiến lãi. Hỏi anh ta gởi mỗi nơi bao nhiêu tiền ? 38) Nếu tăng chiếu dài thêm 4cm và tăng chiều rộng thêm 6cm thì diện tích hình chữ nhật đó sẽ tăng lên 140cm 2 . Ngoài ra, diện tích sẽ giảm đi 68cm 2 nếu ta giảm chiều dài 4cm và giảm chiều rộng 4cm. Tính diện tích hình chữ nhật đó. 39) Hai tỉnh A và B cách nhau 225 km. Một ô tô đi từ A đến B. Cùng một lúc ô tô thứ hai đi từ B đến A. Sau 3 giờ chúng gặp nhau. Tìm vận tốc của mỗi ô tô biết rằng ô tô đi từ tỉnh A có vận tốc lớn hơn vận tốc ô tô đi từ tỉnh B là 5km/h. 40) Hai thành phố A và B cách nhau 180km. Một xe ô tô k/hành từ A, một xe gắn máy khởi hành từ B cùng một lúc đi ngược chiều nhau. Sau khi gặp nhau, xe ô tô phải đi thêm 2 giờ nữa mới tới B, còn xe gắn máy phải đi thêm 4 giờ 30 phút nữa mới tới A. Tính v/tốc của mỗi xe ? 41) Một tàu thủy chạy trên một khúc sông dài 80km, cả đi và về mất 8 giờ 20 phút. Tính vận tốc của tàu thủy khi nước yên lặng, biết rằng vận tốc của dòng nước là 4km/h. 42) Hai lớp 9A và 9B cùng tham gia lao động trong 4 giờ thì xong 2/3 công việc. Nếu để mỗi lớp làm riêng thì 9A làm cả công việc công việc xong trước lớp 9B là 5 giờ. Hỏi làm riêng thì mỗi lớp làm xong cả công việc trong thời gian bao lâu ? 43) Một ca nô đi xuôi dòng 45km rồi ngược dòng 18km. Biết rằng thời gian xuôi dòng lâu hơn thời gian ngược dòng là 1 giớ và vận tốc xuôi dòng lớn hơn vận tốc ngược dòng là 6km/h. Tính vận tốc ca nô lúc ngược dòng. Email: lequocdung76@gmail.com Hoặc lequocdung76@yahoo.com 6 Ơn tập Tốn HK2 GV: Lê Quốc Dũng. ĐT: (058)590538 44) Hai chiếc máy cày cùng làm chung thì trong 4 giờ cày xong một thửa ruộng. Nếu để mỗi chiếc cày riêng thì máy này xong trước máy kia là 6 giờ. Hỏi, nếu cày riêng, mỗi máy cày phải mất bao lâu mới cày xong đám ruộng. B. HÌNH HỌC : 45) Cho tam giác ABC vuông tại A, kẻ đường cao AH và phân giác BE ( H ∈ BC, E ∈ AC ). Kẻ AD vuông góc với BE ( D ∈ BE ). Chứng minh : a) Tứ giác ADHB nội tiếp. Xác đònh tâm O của đường tròn ngoại tiếp tứ giác. b) · · EAD HBD= và OD // HB. c) Tứ giác HCED nội tiếp. d) Cho biết · ABC = 60 0 và AH = a (a > 0 cho trước). Tính theo a diện tích tam giác ABC phần nằm ngoài (O). 46) Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp (O ; R). Vẽ đường kính AOD. M là một điểm trên » AC ( M khác Avà C). AM cắt đường thẳng BC tại E. a) Chứng minh AM. AE = AC 2 . b) DM cắt BC tại I. AI cắt đường tròn (O) tại N. Chứng minh D, N, E thẳng hàng. c) Cho · BAC = 45 0 . Tính theo R chu vi hình phẳng giới hạn bởi AB, AC và ¼ BDC . 47) Cho đường tròn (O;R) đường kính BC. A là một điểm bên ngoài đường tròn sao cho AB, AC cắt (O) tại D, E ( B, D, E, C cùng thuộc nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng BC). a) Chứng minh: AD. AB = AE. AC b) Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt đường thẳng OA tại I (I khác A). DE cắt AI tại F. Chứng minh tứ giác IFEC nội tiếp. c) Trong trường hợp tam giác ABC đều. Tính theo R diện tích phần chung hai hình tròn : hình tròn (O) và hình tròn ngoại tiếp tam giác ABC. 48) Cho đường tròn (O;R) và điểm A ở ngoài (O) sao cho OA = 2R. Kẻ hai tiếp tuyến AB, AC với (O) ( B, C là các tiếp điểm). AO cắt BC tại I. a) Tính theo R hai đoạn thẳng OI và BC. b) H là điểm nằm giữa I và B (H khác B, I). Đường vuông góc với OH tại H cắt AB, AC tại M và N. Chứng minh các tứ giác OHBM, OHNC nội tiếp. c) Chứng minh H là trung điểm của MN. d) Cho H là trung điểm IB. Tính theo R diện tích tam giác OMN. 49) Cho đường tròn (O;R) và điểm S sao cho SO = 2R. Vẽ các tiếp tuyến SA, SB với đường tròn (O) (A, B là các tiếp điểm) và cát tuyến SMN (không qua O). Gọi I là trung điểm của MN. a) Chứng minh 5 điểm S, A, O, I, B thuộc một đường tròn. b) Chứng minh: SA 2 = SM. SN. Tính SM, SN theo R nếu MN = SA. c) Kẻ MH vuông gốc với OA tại H. MH cắt AN, AB tại D, E. Cm tứ giác IEMB nội tiếp. Email: lequocdung76@gmail.com Hoặc lequocdung76@yahoo.com 7 Ơn tập Tốn HK2 GV: Lê Quốc Dũng. ĐT: (058)590538 d) Chứng minh: ED = EM 50) Cho tam giác ABC vuông góc ở A (AB < AC), vẽ đường cao AH. Tr6en đoạn thẳng HC lấy điểm D sao cho HD = HB. Vẽ CE vuông góc với AD kéo dài (E ∈ AD). a) Chứng minh tứ giác AHEC nội tiếp và BA là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tứ giác AHEC. b) Chứng minh · · ACB ECB= . c) Cho biết AC = 6cm, số đo · ACB = 30 0 . Hãy tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đoạn CA, đoạn CH và cung ¼ AH của đường tròn (AHEC). 51) Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB. Từ một điểm M trong nửa đường tròn đó (M không nằm trên đường kính AB) ta kẻ đường vuông góc với AH tại H ( H khác A, B, O). Kéo dài AM, BM cắt nửa đường tròn (O) lần lượt tại C và D. Gọi I là giao điểm của AD và BC. a) Chứng minh tứ giác DICM nội tiếp và xác đònh tâm K của đường tròn ngoại tiếp tứ giác đó. b) Chứng minh 3 điểm I, M, H thẳng hàng. c) Chứng minh OD là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tứ giác DICM. 52) Trên đường tròn tâm O đường kính AB lấy điểm C sao cho CA > CB. Trên tia đối của tia BC lấy điểm D và vẽ hình vuông ACDE. Đường chéo CE cắt đường tròn tại F (F khác C). Chứng minh : a) F là điểm chính giữa của cung » AB . b) Tam giác AFB vuông cân. c) Tia DE cắt tia BF tại M. Chứng minh 4 điểm A, B, D, M cùng nằm trên một đường tròn và MAS là tiếp tuyến của đường tròn (O). 53) Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Vẽ các tiếp tuyến Ax, By với nửa đường tròn. M là một điểm trên cung » AB (M khác A và B). C là một điểm của đoạn OA (C khác O và A). Đường thẳng qua điểm M vuông góc vơi MC cắt Ax tại điểm P. Đường thẳng qua C vuông góc với CP cắt By tại điểm Q. Gọi D là giao điểm của CP và AM ; E là giao điểm của CQ và BM. a) Chứng minh các tứ giác ACMP, CEMD nội tiếp đường tròn. b) Chứng minh DE ⊥ Ax. c) Chứng minh 3 điểm P, M, Q thẳng hàng. 54) Cho đường tròn (O;R) đường kính AB cố đònh. Trên tia BA kéo dài về phía A lấy điểm S cố đònh (S nằm ngoài đường tròn tâm O). Từ S kẻ cát tuyến cắt đường tròn (O) theo thứ tự tại 2 điểm C và D (khác A, B). kẻ dây DM vuông góc với AB. Gọi K là giao điểm của CM với AB. a) Chứng minh · · CKA DKB= . b) BC và AD cắt nhau tại H. Chứng minh tứ giác CHKA nội tiếp. c) Đường thẳng AC và BD cắt nhau tại P. Chứng minh 3 điểm P, H, K thẳng hàng. d) Chứng minh tam giác OKC và tam giác OCS đồng dạng và CM đi qua một điểm cố đònh khi cát tuyến SCD di động nhưng luôn luôn cắt đường tròn (O) tại 2 điểm C, D. Email: lequocdung76@gmail.com Hoặc lequocdung76@yahoo.com 8 Ơn tập Tốn HK2 GV: Lê Quốc Dũng. ĐT: (058)590538 55) Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường tròn (O), điểm M thuộc cung nhỏ AC. Kẻ tia Cx qua M. a) Chứng minh: MA là tia phân giác của · BMx . b) Gọi D là điểm đối xứng của A qua O. Trên tia đối của tia MB lấy điểm H sao cho MH = MC. Chứng minh: MD // CH. c) Gọi K, I thứ tự là trung điểm của CH và BC. Xác đònh tâm đường tròn qua 4 điểm A, I, C, K. d) Khi M di động trên cung AC thì trung điểm E của đoạn BM chuyển động trên đường nào? 56) Cho đường tròn (O) có đường kính AC, điểm B thuộc cạnh OC; M là trung điểm của đoạn AB. Lấy điểm D, E thuộc đường tròn (O), kẻ DE ⊥ AB tại điểm M và kẻ BF ⊥ DC tại F. a) Chứng minh tứ giác BMDF nội tiếp. b) Chứng minh: CB.CM = CF.CD. c) Chứng minh 3 điểm B, E, F thẳng hàng. d) Gọi S là giao điểm của BD và MF, CS cắt DA, DE lần lượt tại R, K. Chứng minh: R S DA DB DE D D DK + = 57) Cho điểm A nằm ngoài đường tròn (O), kẻ các tiếp tuyến AB, AC tới đường tròn (O) (B, C là các tiếp điểm). Kẻ cát tuyến AMN với đường tròn (O) ( M nằm giữa A và N). E là trung điểm của MN. Gọi I là giao điểm thứ hai của CE với (O). a) Chứng minh 4 điểm A, O, E, C cùng nằm trên 1 đường tròn. b) Chứng minh: · · AEC BIC= c) Chứng minh: BI // MN. d) Xác đònh vò trí cát tuyến AMN để diện tích tam giác AIN lớn nhất. 58) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) có đường phân giác AD, trung tuyến AM lần lượt cắt (O) tại P và Q. a) Chừng minh 3 điểm O, M, P thẳng hàng. b) Gọi I là điểm đối xứng của D qua M. Chứng minh ∆PMI cân và tứ giác MIQP nội tiếp. Xác đònh tâm K của đường tròn ngoại tiếp tứ giác này. c) Gọi N là giao điểm của MP và IQ. Chứng minh tứ giác APQN nội tiếp (O). d) So sánh DP và QM ? 59) Cho tam giác ABC vuông ở A và một điểm D nằm giữa A và B. Đường tròn đường kính BD cắt BC ở E. Các đường thẳng CD, AE lần lượt cắt đường tròn tại các điểm thứ hai F, G. Chứng minh: a) ∆ABC ∆EBD b) Tứ giác ADEC và AFBC nội tiếp được. c) AC // FG. d) Các đường thẳng AC, DE và BF đồng quy. 60) Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O), có các đường cao AA’, BB’, CC’ cắt nhau tại H. a) Chứng minh các tứ giác BCB’C’; AB’HC’ nội tiếp. Xác định tâm O’ của đường tròn ngoại tiếp tứ giác AB’HC’. b) Vẽ đường kính AD của (O). Chứng minh: BH = CD. c) AA’ cắt (O) tại E. Chứng minh: CB là tia phân giác của · ECH . d) Chứng minh: H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác A’B’C’. e) Chứng minh: AD ⊥ B’C’. f) Gọi I là trung điểm của BC. Chứng minh: IO’ // AD. Email: lequocdung76@gmail.com Hoặc lequocdung76@yahoo.com . 9B cùng tham gia lao động trong 4 giờ thì xong 2/3 công việc. Nếu để mỗi lớp làm riêng thì 9A làm cả công việc công việc xong trước lớp 9B là 5 giờ. Hỏi. lequocdung76@yahoo.com 6 Ơn tập Tốn HK2 GV: Lê Quốc Dũng. ĐT: (058)590538 44) Hai chiếc máy cày cùng làm chung thì trong 4 giờ cày xong một thửa ruộng. Nếu để mỗi