Bài tập 9: Cho tam giác vuông có cạnh huyền bằng 5cm,diện tích bằng 6cm2.Tìm độ dài các cạnh còn lại Bài tập 10: Giải bài toán sau bằng cách lập hệ phương trình: Hai vòi nước cùng[r]
(1)Toán – Ôn tập học kỳ II 2016 Năm Học 2015 – CHỦ ĐỀ : CÁC BÀI TOÁN VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH I KIẾN THỨC CẦN NHỚ ax by c , a ( D) a ' x b ' y c ', a ' 0 ( D ') Cho hệ phương trình: a b Hệ phương trình có nghiệm (D) cắt (D’) a ' b ' a b c Hệ phương trình vô nghiệm (D) // (D’) a ' b ' c ' a b c Hệ phương trình có vô số nghiệm (D) (D’) a ' b ' c ' II BÀI TẬP VẬN DỤNG x y m x my Bài tập 1: Cho hệ phương trình (1) Giải hệ phương trình (1) m = –1 Xác định giá trị m để: a) x = và y = là nghiệm hệ (1) b) Hệ (1) vô nghiệm Tìm nghiệm hệ phương trình (1) theo m Tìm m để hệ (1) có nghiệm (x, y) thỏa: x + y = x y k 2 x y 9 k Bài tập 2: Cho hệ phương trình (1) Giải hệ (1) k = Tìm giá trị k để hệ (1) có nghiệm là x = – và y = Tìm nghiệm hệ (1) theo k x y x my 1 Bài tập 3: Cho hệ phương trình (1) Giải hệ phương trình (1) m = –7 Xác định giá trị m để: a) x = – và y = là nghiệm hệ (1) b) Hệ (1) vô nghiệm Tìm nghiệm hệ phương trình (1) theo m mx y 2x y Bài tập 4: Cho hệ phương trình (1) Giải hệ phương trình (1) m = Tìm m để hệ phương trình có nghiệm x = và y = Tìm nghiệm hệ phương trình (1) theo m x y x y m Bài tập : Cho hệ phương trình (1) GV: Nguyễn Chiêu Hải (2) Toán – Ôn tập học kỳ II 2016 Năm Học 2015 – Giải hệ phương trình (1) m = –1 x y0 Tìm m để hệ (1) có nghiệm (x; y) thỏa 2 x y 3m x y 2m Bài tập 6: Cho hệ phương trình Giải hệ phương trình m = – Với giá trị nào m thì hệ pt có nghiệm (x; y) thỏa 2mx y Bài tập 7: Cho hệ phương trình : mx y 1 x y (1) Giải hệ (1) m = Xác định giá trị m để hệ (1): a) Có nghiệm và tìm nghiệm đó theo m b) Có nghiệm (x, y) thỏa: x – y = mx y m Bài tập : Cho hệ phương trình : x y m ( m là tham số) (I) a) Khi m = – 2, giải hệ phương trình phương pháp cộng b) Tính giá trị tham số m để hệ phương trình (I) có nghiệm và tính nghiệm đó theo m CHỦ ĐỀ : VẼ ĐỒ THỊ & TÌM TỌA ĐỘ GIAO ĐIỂM CỦA (P): y = ax2 VÀ (D): y = ax + b (a 0) I KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1.Hàm số y = ax2(a 0): Hàm số y = ax2(a 0) có tính chất sau: Nếu a > thì hàm số đồng biến x > và nghịch biến x < Nếu a < thì hàm số đồng biến x < và nghịch biến x > Đồ thị hàm số y = ax2(a 0): Là Parabol (P) với đỉnh là gốc tọa độ và nhận trục Oy làm trục đối xứng Nếu a > thì đồ thị nằm phía trên trục hoành là điểm thấp đồ thị Nếu a < thì đồ thị nằm phía trục hoành là điểm cao đồ thị Vẽ đồ thị hàm số y = ax2 (a 0): Lập bảng các giá trị tương ứng (P) Dựa và bảng giá trị vẽ (P) Tìm giao điểm hai đồ thị :(P): y = ax2(a 0) và (D): y = ax + b: Lập phương trình hoành độ giao điểm (P) và (D): cho vế phải hàm số đưa về pt bậc hai dạng ax2 + bx + c = Giải pt hoành độ giao điểm: + Nếu > pt có nghiệm phân biệt (D) cắt (P) tại điểm phân biệt + Nếu = pt có nghiệm kép (D) và (P) tiếp xúc + Nếu < pt vô nghiệm (D) và (P) không giao GV: Nguyễn Chiêu Hải (3) Toán – Ôn tập học kỳ II 2016 Năm Học 2015 – Xác định số giao điểm hai đồ thị :(P): y = ax2(a 0) và (Dm) theo tham số m: Lập phương trình hoành độ giao điểm (P) và (D m): cho vế phải hàm số đưa về pt bậc hai dạng ax2 + bx + c = Lập (hoặc ' ) pt hoành độ giao điểm Biện luận: + (Dm) cắt (P) tại điểm phân biệt > giải bất pt tìm m + (Dm) tiếp xúc (P) tại điểm = giải pt tìm m + (Dm) và (P) không giao < giải bất pt tìm m II BÀI TẬP VẬN DỤNG x2 Bài tập 1: Cho hai hàm số y = có đồ thị (P) và y = -x + m có đồ thị (Dm) Với m = 4, vẽ (P) và (D 4) trên cùng hệ trục tọa độ vuông góc Oxy Xác định tọa độ các giao điểm chúng Xác định giá trị m để: a) (Dm) cắt (P) tại điểm có hoành độ b) (Dm) cắt (P) tại điểm phân biệt c) (Dm) tiếp xúc (P) Xác định tọa độ tiếp điểm Bài tập 2: Cho hai hàm số y = – 2x2 có đồ thị (P) và y = – 3x + m có đồ thị (Dm) Khi m = 1, vẽ (P) và (D 1) trên cùng hệ trục tọa độ vuông góc Oxy Xác định tọa độ các giao điểm chúng Xác định giá trị m để: a) (Dm) qua điểm trên (P) tại điểm có hoành độ b) (Dm) cắt (P) tại điểm phân biệt c) (Dm) tiếp xúc (P) Xác định tọa độ tiếp điểm Bài tập 3: Cho hàm số y = – 2x2 có đồ thị (P) Vẽ (P) trên hệ trục tọa độ vuông góc 2 ; Gọi A( ) và B(2; 1) a) Viết phương trình đường thẳng AB b) Xác định tọa độ các giao điểm đường thẳng AB và (P) Tìm điểm trên (P) có tổng hoành độ và tung độ nó – x2 có đồ thị (P) và y = – 2x + có đồ thị (D) Bài tập 4: Cho hàm số y = Vẽ (P) và (D) trên cùng hệ trục tọa độ vuông góc Xác định tọa độ các giao điểm (P) và (D) Tìm tọa độ điểm trên (P) thỏa tính chất tổng hoành độ và tung độ điểm đó – Bài tập 5: Cho hàm số y = x2 có đồ thị (P) và y = x + có đồ thị (D) Vẽ (P) và (D) trên cùng hệ trục tọa độ vuông góc Xác định tọa độ các giao điểm (P) và (D) x A xB 11y A 8 yB Gọi A là điểm (P) và B là điểm (D) cho Xác định tọa độ A và B Bài tập 6: Trong mặt phẳng tọa độ vuông góc Oxy, cho hai điểm A(1; –2) và B(–2; 3) GV: Nguyễn Chiêu Hải (4) Toán – Ôn tập học kỳ II 2016 Năm Học 2015 – Viết phương trình đường thẳng (d) qua A, B Gọi (P) là đồ thị hàm số y = –2x2 a) Vẽ (P) trên mặt phẳng tọa độ đã cho b) Xác định tọa độ các giao điểm (P) và (d) Bài tập 7: Vẽ đồ thị (P) hàm số y = –2x2 trên mặt phẳng tọa độ vuông góc Oxy Gọi (D) là đường thẳng qua điểm A(–2; –1) và có hệ số góc k a) Viết phương trình đường thẳng (D) b) Tìm k để (D) qua B nằm trên (P) biết hoành độ B là Bài tập 8: Cho hai hàm số y = x2 có đồ thị (P) và y = x + có đồ thị (D) Vẽ (P) và (D) trên cùng hệ trục tọa độ vuông góc Oxy Xác định tọa độ các giao điểm chúng Gọi A là điểm thuộc (D) có hoành độ và B là điểm thuộc (P) có hoành độ – Xác định tọa độ A, B Tìm tọa độ điểm I nằm trên trục tung cho: IA + IB nhỏ Bài tập 9: Cho hàm số y = – x2 có đồ thị (P) và y = x – có đồ thị (D) a) Vẽ (P) và(D) trên cùng hệ trục tọa độ vuông góc Xác định tọa độ giao điểm (P) và (D) phương pháp đại số b) Gọi A là điểm thuộc (D) có tung độ và B là điểm thuộc (P) có hoành độ – Xác định tọa độ A và B c) Tìm tọa độ điểm M thuộc trục hoành cho MA + MB nhỏ Bài tập 10: Cho (P): y = x2 và (D): y = – x + Vẽ (P) và (D) trên cùng hệ trục tọa độ vuông góc Oxy Gọi A và B là các giao điểm (P) và (D), xác định tọa độ A, B Tính diện tích tam giác AOB (đơn vị đo trên trục số là cm) CMR: Tam giác AOB là tam giác vuông CHỦ ĐỀ : CÁC BÀI TOÁN VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI I KIẾN THỨC CẦN NHỚ Giải phương trình bậc hai dạng ax2 + bx + c = (a 0) (1) a) Nhẩm nghiệm: x1 1 x2 c a a + b +c = pt (1) có nghiệm: x1 x2 c a a – b +c = pt (1) có nghiệm: b) Giải với ' : b Nếu b = 2b’ b’ = ' = (b’)2 – ac b' ' b' ' x1 x2 a a Nếu ' > phương trình có nghiệm phân biệt: ; b' x1 x a Nếu ' = phương trình có nghiệm kép: Nếu ' < phương trình vô nghiệm c) Giải với : Tính : = b2 – 4ac GV: Nguyễn Chiêu Hải (5) Toán – Ôn tập học kỳ II 2016 Năm Học 2015 – b b x1 x2 2a ; 2a Nếu > phương trình có nghiệm phân biệt: b x1 x2 2a Nếu = phương trình có nghiệm kép: Nếu < phương trình vô nghiệm Hệ thức Vi ét và ứng dụng: a) Định lý: Nếu x1, x2 là nghiệm phương trình ax2 + bx + c = (a 0) thì ta có: b S x1 x2 a P x x c a u v S b) Định lý đảo: Nếu u.v P u, v là nghiệm phương trình x2 – Sx + P = (ĐK: S2 – 4P 0) * Một số hệ thức áp dụng hệ thức Vi-ét: 2 Tổng bình phương các nghiệm: x1 x2 ( x1 x2 ) x1 x2 = S2 – 2P 1 x x S x1 x2 P Tổng nghịch đảo các nghiệm: x1 x2 x12 x22 S2 2P 1 2 P2 Tổng nghịch đảo bình phương các nghiệm: x1 x2 ( x1 x2 ) 2 Bình phương hiệu các nghiệm: ( x1 x2 ) ( x1 x2 ) x1 x2 = S2 – 4P Tổng lập phương các nghiệm: x1 x2 ( x1 x2 ) 3x1 x2 ( x1 x2 ) = S3 – 3PS Ví dụ: Cho phương trình x2 – 12x + 35 = Hãy tính giá trị các biểu thức sau: 1 b) x1 x2 3 a) x x c) ( x1 x2 ) d) x1 x2 3.Tìm hệ thức hai nghiệm độc lập tham số:(Tìm hệ thức liên hệ nghiệm x 1, x2 không phụ thuộc vào tham số) * Phương pháp giải: Tìm điều kiện để phương trình đã cho có nghiệm ( ' ; 0 hoặc a.c < 0) 2 2 3 b S x1 x2 a P x x c a Lập hệ thức Vi-ét cho phương trình Khử tham số (bằng phương pháp cộng đại số) tìm hệ thức liên hệ S và P Đó là hệ thức độc lập với tham số Ví dụ: Cho phương trình 2x2 + (2m – 1)x + m – = (1) (m là tham số) CMR: Phương trình (1) luôn có nghiệm với m Gọi x1, x2 là nghiệm pt (1) Tìm hệ thức liên hệ nghiệm không phụ thuộc vào m Tìm hai số biết tổng và tích chúng – Lập phương trình bâc hai biết hai nghiệm nó: * Phương pháp giải: GV: Nguyễn Chiêu Hải (6) Toán – Ôn tập học kỳ II 2016 Năm Học 2015 – u v S Nếu số u và v c ó: u.v P u, v là hai nghiệm phương trình: x2 – Sx + P = (*) Giải pt (*): + Nếu ' > (hoặc > 0) pt (*) có nghiệm phân biệt x1, x2 Vậy u x1 v x2 hoặc u x2 v x1 b' b' a Vậy u = v = a + Nếu ' = (hoặc = 0) pt (*) có nghiệm kép x1 = x2 = + Nếu ' < (hoặc < 0) pt (*) vô nghiệm Vậy không có số u, v thỏa đề bài Ví dụ 1: Tìm số u,v biết u + v = 11 và u.v = 28 Ví dụ 2: Cho hai số a = +1 và b = – Viết phương trình bậc hai có hai nghiệm là a và b Chứng minh phương trình bậc hai luôn có hai nghiệm phân biệt với giá trị tham số m: * Phương pháp giải: Lập biệt thức ' (hoặc ) Biến đổi ' đưa về dạng : ' = (A B)2 + c > 0, m (với c là số dương) Kết luận: Vậy phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt với tham số m Chứng minh phương trình bậc hai luôn có nghiệm với giá trị tham số m: * Phương pháp giải: Lập biệt thức ' (hoặc ) Biến đổi ' đưa về dạng : ' = (A B)2 0, m Kết luận: Vậy phương trình đã cho luôn nghiệm với tham số m Biện luận phương trình bậc hai theo tham số m: * Phương pháp giải: Lập biệt thức ' (hoặc ) Biện luận: + Phương trình có nghiệm phân biệt khi: ' > giải bất pt tìm tham số m kết luận + Phương trình có nghiệm kép ' = giải pt tìm tham số m kết luận + Phương trình vô nghiệm ' < giải bất pt tìm tham số m kết luận + Phương trình có nghiệm ' giải bất pt tìm tham số m kết luận * Phương trình có nghiệm trái dấu khi: a.c < giải bất pt tìm tham số m kết luận Xác định giá trị nhỏ biểu thức: * Phương pháp giải: Đưa biểu thức P cần tìm dạng: P = (A B)2 + c P = (A B)2 + c c Giá trị nhỏ P: Pmin = c A B = giải pt tìm tham số m kết luận Xác định giá trị lớn biểu thức: * Phương pháp giải: Đưa biểu thức Q cần tìm dạng: Q = c – (A B)2 Q = c – (A B)2 c Giá trị nhỏ Q: Qmax = c A B = giải pt tìm tham số m kết luận II BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài tập 1: Cho phương trình bậc hai x – (m – 3)x – 2m = (1) Giải phương trình (1) m = – 2 CMR: Phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với m Tìm hệ thức liên hệ x1, x2 không phụ thuộc vào m GV: Nguyễn Chiêu Hải (7) Toán – Ôn tập học kỳ II 2016 Năm Học 2015 – Bài tập 2: Cho phương trình bậc hai x2 – (m + 1)x + m = (1) Giải phương trình (1) m = CMR: Phương trình (1) luôn có nghiệm với m Trong trường hợp (1) có hai nghiệm phân biệt.Tìm hệ thức liên hệ x1, x2 không phụ thuộc vào m Bài tập : Cho phương trình 2x2 + (2m – 1)x + m – = (m là tham số) (1) Giải phương trình (1) m = 2 CMR: Phương trình (1) luôn có nghiệm với m Trong trường hợp (1) có hai nghiệm phân biệt.Thiết lập hệ thức liên hệ x1, x2 độc lập với m Bài tập : Cho phương trình x2 – 2(m – 1)x + 2m – = (m là tham số) (1) Giải phương trình (1) m = CMR: Phương trình (1) luôn có nghiệm với m Trong trường hợp (1) có hai nghiệm phân biệt.Thiết lập hệ thức liên hệ x1, x2 độc lập với m Tìm m để phương trình (1) có nghiệm trái dấu Bài tập : Cho phương trình bậc hai x2 –2(m – 1)x + m2 = (1) Tìm m để: a) Pt (1) có nghiệm phân biệt b) Pt (1) có nghiệm là – 2 Giả sử x1, x2 là nghiệm pt (1) CMR: (x1 – x2)2 + 4(x1 + x2) + = Bài tập 6: Cho phương trình bậc hai x2 –2(m + 1)x + m – = (1) Giải phương trình (1) m = –2 CMR: m , phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt Gọi x1, x2 là hai nghiệm pt (1) C/m: A = x1(1 – x2) + x2(1 – x1) không phụ thuộc vào m Bài tập 7: Cho phương trình bậc hai x2 –2(m + 1)x + (2m – 4) = (1) Giải phương trình (1) m = – 2 CMR: Với m, phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt 2 Gọi x1, x2 là hai nghiệm (1) Tính A = x1 x2 theo m Tìm giá trị m để A đạt giá trị nhỏ Bài tập 8: Cho phương trình bậc hai x2 – (m – 1)x + 2m – = (1) Giải phương trình (1) m = –1 CMR: Với m, phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt Tìm m để phương trình (1) có nghiệm trái dấu Thiết lập mối quan hệ nghiệm x1, x2 không phụ thuộc và m 2 Tìm m để x1 x2 = 10 Bài tập 9: Cho phương trình bậc hai x2 + 2x + 4m + = (1) Giải phương trình (1) m = –1 Tìm m để: a) Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt b) Phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu c) Tổng bình phương các nghiệm pt (1) 11 Bài tập 10: Cho phương trình: x2 – 2(m + 1)x + 2m + 10 = (m là tham số) (1) a) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm kép và tính nghiệm kép đó b) Trong trường hợp phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x 1, x2 hãy tìm hệ thức liên hệ các nghiệm x1, x2 mà không phụ thuộc m CHỦ ĐỀ: GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH – LẬP PHƯƠNG TRÌNH GV: Nguyễn Chiêu Hải (8) Toán – Ôn tập học kỳ II 2016 Năm Học 2015 – I KIẾN THỨC CẦN NHỚ Các bước giải: Lập phương trình ( hoặc hệ phương trình): Chọn ẩn số và xác định điều kiện thích hợp cho ẩn; Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và qua các đại lượng đã biết ; Lập phương trình ( hoặc hệ phương trình) biểu thị mối quan hệ các đại lượng Giải phương trình ( hoặc hệ phương trình) vừa lập Trả lời: Chỉ nhận nghiệm thỏa ĐK và trả lời yêu cầu bài II BAØI TAÄP VAÄN DUÏNG Bài tập1: Giải bài toán sau cách lập hệ phương trình: Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết chữ số hàng chục lớn hớn chữ số hàng đơn vị là và viết thêm chữ số chữ số hàng chục vào bên phải thì số lớn số ban đầu là 682 Bài tập 2: Có hai số tự nhiên, biết rằng: tổng hai số 59; hai lần số này bé ba lần số là Tìm hai số đó Bài tập 3: Giải bài toán sau cách lập phương trình: Cho số tự nhiên có hai chữ số Tổng hai chữ số nó 10; tích hai chữ số nhỏ số đã cho là 12 Tìm số đã cho Bài tập 4: Giải bài toán sau cách lập phương trình: Một hình chữ nhật có chu vi là 280m Nếu giảm chiều dài hình chữ nhật 2m và tăng chiều rộng thêm 3m thì diện tích nó tăng thêm 144m Tính các kích thước hình chữ nhật Bài tập 5: Giải bài toán sau cách lập phương trình: Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi là 320m Nếu chiều dài khu vườn tăng 10m và chiều rộng giảm 5m thì diện tích nó tăng thêm 50m Tính diện tích khu vườn ban đầu Bài tập 6: Giải bài toán sau cách lập phương trình: Một hình chữ nhật có chu vi 160cm và có diện tích 1500m2 Tính các kich thước nó Bài tập 7: Giải bài toán sau cách lập hệ phương trình: Một sân trường hình chữ nhật có chu vi là 340m Ba lần chiều dài lần chiều rộng là 20m Tính diện tích sân trường Bài tập 8: Cho tam giác vuông Nếu tăng các cạnh góc vuông lên 4cm và 5cm thì diện tích tam giác tăng thêm 110cm2 Nếu giảm hai cạnh này 5cm thì diện tích giảm 100cm Tình hai cạnh góc vuông tam giác Bài tập 9: Cho tam giác vuông có cạnh huyền 5cm,diện tích 6cm2.Tìm độ dài các cạnh còn lại Bài tập 10: Giải bài toán sau cách lập hệ phương trình: Hai vòi nước cùng chảy vào cái bể không có nước 48 phút đầy bể Nếu mở vòi thứ và vòi thứ hai thì bể nước Hỏi vòi chảy mình bao lâu thì đầy bể? Bài tập11: Giải bài toán sau cách lập hệ phương trình: Hai vòi nước cùng chảy vào cái bể không có nước 20 phút thì đầy bể Nếu để vòi thứ chảy mình 10 phút và vòi thứ hai chảy mình 12 phút thì 15 thể tích bể nước Hỏi vòi chảy mình bao lâu đầy bể? Bài tập 12: Giải bài toán sau cách lập hệ phương trình: Hai vòi nước cùng chảy vào cái bể cạn (không có nước) thì sau 4 đầy bể Nếu lúc đầu mở vòi thứ và sau mở thêm vòi thứ hai thì sau bể nước.Hỏi từ đầu mở vòi thứ hai thì sau bao lâu đầy bể GV: Nguyễn Chiêu Hải (9) Toán – Ôn tập học kỳ II 2016 Năm Học 2015 – Bài tập13: Giải bài toán sau cách lập phương trình: Hai vòi nước cùng chảy vào bể cạn chưa có nước thì sau 18 đầy bể Nếu chảy riêng thì vòi thứ chảy đầy bể chậm vòi thứ hai 27 Hỏi chảy riêng thì vòi bao lâu chảy đầy bể? Bài tập 14: Giải bài toán cách lập hệ phương trình: Hai tỉnh A và B cách 90 km Hai mô tô khởi hành đồng thời, xe thứ từ A và xe thứ hai từ B ngược chiều Sau chúng gặp Tiếp tục đi, xe thứ hai tới A trước xe thứ tới B là 27 phút Tính vận tốc xe Bài tập 15: Giải bài toán cách lập hệ phương trình: Hai tỉnh A và B cách 110 km Hai mô tô khởi hành đồng thời, xe thứ từ A và xe thứ hai từ B ngược chiều Sau chúng gặp Tiếp tục đi, xe thứ hai tới A trước xe thứ tới B là 44 phút Tính vận tốc xe GV: Nguyễn Chiêu Hải (10) Toán – Ôn tập học kỳ II 2016 Năm Học 2015 – CHỦ ĐỀ : HÌNH HỌC I KIẾN THỨC CẦN NHỚ Định nghĩa – Định lý Ký hiệu toán học Hệ Góc tâm: Trong (O,R) có: AOB tâm chắn AmB đường tròn, số đo góc tâm số đo cung bị AOB = sđ AmB chắn Hình vẽ Góc nội tiếp * Định lý: Trong đường (O,R) có: BAC nội tiếp chắn BC tròn, số đo góc nội tiếp nửa số đo cung bị BAC = sđ BC chắn * Hệ quả: Trong đường tròn: a) Các góc nội tiếp chắn các cung a) (O,R) có: EF BC BAC n.tieáp chaén BC EDF n.tieáp chaén EF BAC EDF b) Các góc nội tiếp cùng chắn cung chắn b) (O,R) có: các cung thì BAC n.tieáp chaén BC EDF n.tieáp chaén EF BAC EDF EF BC (O,R) có: BAC n.tieáp chaén BC BAC BDC BDC n.tieáp chaén BC c) Góc nội tiếp (nhỏ 900) có số đo c) (O,R) có: nửa số đo góc BAC n.tieáp chaén BC 1 BAC BOC tâm cùng chắn cung BOC tâm chắn BC d) Góc nội tiếp chắn nửa d) (O,R) có: BAC đường tròn là góc vuông nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính BC BAC = 900 Góc tạo tia tiếp tuyến và dây cung: GV: Nguyễn Chiêu Hải 10 (11) Toán – Ôn tập học kỳ II 2016 Năm Học 2015 – * Định lý: Trong (O,R) có: đường tròn, số đo góc BAx tạo tia tiếp tuyến và dây tạo tia tiếp tuyến và dây cung nửa số đo AB BAx cung chắn = sđ AB cung bị chắn * Hệ quả: Trong đường tròn, góc tạo tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung thì (O,R) có: tạo tt & dc chắn AB BAx BAx ACB ACB noäi tieáp chaén AB Góc có đỉnh bên đường tròn: * Định lý: Góc có đỉnh (O,R) có: bên đường tròn BEC có đỉnh bên đường tròn nửa tổng số đo hai cung bị sñ AD ) BEC = (sñ BC chắn Góc có đỉnh bên ngoài đường tròn: * Định lý: Góc có đỉnh (O,R) có: bên ngoài đường tròn BEC có đỉnh bên ngoài đường tròn nửa hiệu số đo hai cung bị chắn sñ AD ) BEC = (sñ BC Cung chứa góc: * Tập hợp các điểm cùng nhìn đoạn thẳng AB góc không đổi là hai cung tròn chứa góc * Đặc biệt: a) Các điểm D, E, F cùng thuộc nửa mặt phẳng bờ AB, cùng nhìn đoạn AB góc không đổi Các đểm A, B, D, E, F cùng thuộc đường tròn b) Các điểm C, D, E, F cùng nhìn đoạn AB góc vuông Các đểm A, B, C, D, E, F thuộc đường tròn đường kính AB a) ADB AEB AFB cùng nhìn đoạn AB A, B, D, E, F cùng thuộc đường tròn b) ACB ADB AEB AFB 90 cùng nhìn đoạn AB A, B, C, D, E, F thuộc đường tròn đường kính AB Tứ giác nội tiếp: GV: Nguyễn Chiêu Hải 11 (12) Toán – Ôn tập học kỳ II 2016 Năm Học 2015 – * Định nghĩa: Một tứ giác có bốn đỉnh nằm trên dường tròn gọi là tứ giác nội tiếp đường tròn * Tứ giác ABCD có A, B, C, D (O) * Định lý: Trong tứ ABCD là tứ giác nội tiếp (O) giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối diện 1800 * Tứ giác ABCD nội tiếp (O) * Định lý đảo: Nếu tứ 1800 A C giác có tổng số đo hai góc B D 180 đối diện 1800 thì tứ giác đó nội tiếp * Tứ giác ABCD có: A C 1800 đường tròn ABCD là tứ giác n.tiếp Hoặc: D 1800 B ABCD là tứ giác Độ dài đường tròn, cung tròn: * Chu vi đường tròn: n.tiếp C = 2 R = d * Độ dài cung tròn: Diện tích hình tròn, hình quạt tròn: * Diện tích hình tròn: Rn 1800 S R d2 * Diện tích hình quạt tròn: S R n .R 360 * Diện tích hình viên phân: Sviên phân = Squạt - SABC * Diện tích hình vành khăn: Svanh.khăn ( R GV: Nguyễn Chiêu Hải R22 ) 12 (13) Toán – Ôn tập học kỳ II 2016 HÌNH KHÔNG GIAN 1.Hình trụ: * Diện tích xung quanh: * Diện tích toàn phần: Năm Học 2015 – S xq 2 Rh Stp = Sxq + 2.Sđáy Stp 2 Rh 2 R * Thể tích: V S h R h S: diện tích đáy; h: chiều cao 2.Hình nón: * Diện tích xung quanh: S xq R.l * Diện tích toàn phần: Stp = Sxq + Sđáy Stp R R * Thể tích: Vnón = Vtrụ V R 2h S: diện tích đáy; h: chiều cao, l: đường sinh l h2 R2 Hình nón cụt: * Diện tích xung quanh: * Diện tích toàn phần: GV: Nguyễn Chiêu Hải S xq ( R1 R2 )l V h( R12 R22 R1R2 ) Stp = 13 (14) Toán – Ôn tập học kỳ II 2016 Năm Học 2015 – Sxq + Sđáy lớn + Sđáy nhỏ * Thể tích: Stp ( R1 R2 )l ( R12 R22 ) S 4 R d V R3 BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài 1: Cho ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R Các phân giác các góc ABC ACB , cắt đường tròn tại E, F CMR: OF AB và OE AC Gọi M là giao điểm của OF và AB; N là giao điểm OE và AC CMR: Tứ giác AMON nội tiếp và tính diện tích hình tròn ngoại tiếp tứ giác này Gọi I là giao điểm BE và CF; D là điểm đối xứng I qua BC CMR: ID MN CMR: Nếu D nằm trên (O) thì BAC = 600 Bài 2: Cho hình vuông ABCD có cạnh a Gọi M là điểm trên cạnh BC và N là điểm trên cạnh CD cho BM = CN Các đoạn thằng AM và BN cắt tại H CMR: Các tứ giác AHND và MHNC là tứ giác nội tiếp a Khi BM = Tính diện tích hình tròn ngoại tiếp tứ giác AHND theo a Tìm giá trị nhỏ độ dài đoạn MN theo a Bài 3: Cho ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm O Đường cao BH và CK cắt (O) tại E và F a) CMR: Tứ giác BKHC nội tiếp b) CMR: OA EF và EF // HK c) Khi ABC là tam giác đều có cạnh a Tính diện tích hình viên phân chắn cung nhỏ BC (O) Bài 4: Cho hình vuông ABCD có cạnh a Gọi E là điểm trên cạnh BC Qua B vẽ đường thẳng vuông góc với tia DE tại H, đường thẳng này cắt tia DC tại F a) CMR: Năm điểm A, B, H, C, D cùng nằm trên đường tròn b) CMR: DE.HE = BE.CE c) Tính độ dài đoạn thẳng DH theo a E là trung điểm BC d) CMR: HC là tia phân giác DHF Bài 5: Một hình vuông ABCD nội tiếp đường tròn Tâm O bán kính R Một điểm M di động trên cung ABC , M không trùng với A,B và C, MD cắt AC tại H 1) CMR:Tứ giác MBOH nội tiếp đường tròn và DH.DM = 2R2 2) CMR: MD.MH = MA.MC GV: Nguyễn Chiêu Hải 14 (15) Toán – Ôn tập học kỳ II 2016 Năm Học 2015 – 3) MDC và MAH M vị trí đặc biệt M’ Xác định điểm M’ Khi đó M’D cắt AC tại H’ Đường thẳng qua M’ và vuông góc với AC cắt AC tại I Chứng minh I là trung điểm H’C Bài 6: Cho hai đường tròn (O; 20cm) và (O’; 15cm) cắt tại A và B Biết AB = 24cm và O và O’ nằm về hai phía so với dây chung AB Vẽ đường kính AC đường tròn (O) và đường kính AD đường tròn (O’) a) CMR: Ba điểm C, B, D thẳng hàng b) Tính độ dài đoạn OO’ c) Gọi EF là tiếp tuyến chung hai đường tròn (O) và (O’) (E, F là các tiếp điểm) CMR: Đường thẳng AB qua trung điểm đoạn thẳng EF Bài 7: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R Từ A và B kẻ hai tiếp tuyến Ax và By với nửa đường tròn Qua điểm M thuộc nửa đường tròn (M khác A và B) kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt các tiếp tuyến Ax và By tại C và D CMR: a) Tứ giác AOMC nội tiếp b) CD = CA + DB và COD = 900 c) AC BD = R2 Khi BAM = 600 Chứng tỏ BDM là tam giác đều và tính diện tích hình quạt tròn chắn cung MB nửa đường tròn đã cho theo R Bài 8: Từ điểm M ngoài đường tròn (O) vẽ cát tuyến MCD không qua tâm O và hai tiếp tuyến MA và MB đến đường tròn (O), đây A, B là các tiếp điểm và C nằm M, D a) CMR: MA2 = MC MD b) Gọi I là trung điểm CD CMR: điểm M, A, O, I, B cùng nằm trên đường tròn c) Gọi H là giao điểm AB và MO CMR: Tứ giác CHOD nội tiếp đường tròn Suy AB là phân giác CHD d) Gọi K là giao điểm các tiếp tuyến tại C và D đường tròn (O) CMR: điểm A, B, K thẳng hàng Bài 9: Cho hình vuông cạnh a , lấy điểm M thuộc cạnh BC (M khác B,C) Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với đường thẳng DM tại H, kéo dài BH cắt đường thẳng DC tại K Chứng minh: BHCD là tứ giác nội tiếp Chứng minh: KM DB Chứng minh: KC KD = KH KB Kí hiệu SABM , SDCM là diện tích tam giác ABM, tam giác DCM CMR: (S ABM + SDCM ) không đổi Xác định vị trí M trên BC để S 2ABM + S2DCM đạt giá trị nhỏ Tìm giá trị nhỏ đó theo a Bài 10: Cho điểm A ngoài đường tròn (O, R) Gọi AB, AC là hai tiếp tuyến đường tròn (B và C là hai tiếp điểm) Từ A vẽ tia cắt đường tròn tại E và F (E nằm A và F) a) CMR: AEC và ACF đồng dạng Suy AC2 = AE AF b) Gọi I là trung điểm EF Chứng minh điểm A, B, O, I, C cùng nằm trên đường tròn c) Từ E vẽ đường thẳng vuông góc với OB cắt BC tại M Chứng minh tứ giác EMIC nội tiếp đưởng tròn Suy tứ giác MIFB là hình thang d) Giả sử cho OA = R Tính theo R phần diện tích tứ giác ABOC nằm ngoài hình tròn (O) GV: Nguyễn Chiêu Hải 15 (16)