Kiem tra DT Toán 9( có HD)

Phòng GD&ĐT Lâm Thao Trờng THCS Lâm Thao kì thi chọn đội tuyển lớp 9 dự thi cấp huyện năm học 2010-2011 đề thi Môn Toán Thi gian lm bi: 90phỳt (khụng k thi gian giao ) Ngày thi 23 tháng 11 năm 2010 --------------------------------------------------------------------------------------------------- Cõu 1: (1.5 im) Chng minh rng nu 3 s a, a + k , a + 2k u l cỏc s nguyờn t ln hn 3 thỡ k 6 Cõu 2: (3.0 im) a)Giải phơng trình 20112010 20102010 )1( 1 . 4.3 1 3.2 1 2.1 1 + + = + ++++ x x xx b) Tìm cặp số (x;y;z) thỏa mãn phơng trình: ( x 2 + 1)( y 2 + 4)( z 2 + 9) = 48xyz Cõu 3 (1,5 im): Cho các số a,b,c thỏa mãn điều kiện a+b+c=0. Chứng minh rằng: 2(a 5 +b 5 +c 5 )= 5abc(a 2 +b 2 + c 2 ) Cõu 4: (3,0 im) Cho tam giác nhọn ABC có B = 45 0 . Vẽ đờng tròn đờng kính AC có tâm O, đờng tròn này cắt BA và BC tại D và E. a)Chứng minh AE = EB. b)Gọi H là giao điểm của CD và AE, Chứng minh rằng BH AC c)Chứng minh OD vuông góc với bán kính đờng tròn ngoại tiếp BDE Cõu 5: (1,0 im) Cho a;b;c >0. chng minh 1 1 1 1 1 1 3 a b c a 2b b 2c c 2a + + + + ữ + + + --------------Hết--------- Phòng GD&ĐT Lâm Thao Trờng THCS Lâm Thao kì thi chọn đội tuyển lớp 9 dự thi cấp huyện năm học 2010-2011 Hớng dẫn chấm Môn Toán Ngày thi 23 tháng 11 năm 2010 Câu Ni dung Yờu cu im 1 Chng minh rng nu 3 s a, a + k , a + 2k u l cỏc s nguyờn t ln hn 3 thỡ k 6 Vỡ a v a + k cựng l nờn a + k - a = k 2 (1) Do a, a + k , a + 2k l cỏc s nguyờn t ln hn 3 nờn chỳng u l s l v khụng chia ht cho 3, nh vy ớt nht cú 2 s cú cựng s d khi chia cho 3. - Nu a v a + k cú cựng s d khi chia cho 3 thỡ a + k -a = k 3. - Nu a + k v a + 2k cú cựng s d khi chia cho 3 thỡ a + 2k - a - k = k 3. - Nu a v a + 2k cú cựng s d khi chia cho 3 thỡ (a + 2k - a = 2k 3 suy ra k 3 Vy k 3 (2) T (1) v (2) v (2;3) = 1 suy ra k 6 (pcm) 0,5 0,5 0,5 2 a) 20112010 20102010 )1( 1 . 4.3 1 3.2 1 2.1 1 + + = + ++++ x x xx 1 1 1 )1( 1 . 3.2 1 2.1 1 + = + +++ xxx 20112010 1 1 20112010 20102010 + = + + xx x ( x 2010) ( ) 201002010 0120102010 020102010 201120101 == =+ =+ +=+ xx xx xx xx Vậy x=2010 b)x 2 +1 2x , y 2 + 4 4y, z 2 + 9 6z Suy ra ( x 2 + 1)( y 2 + 4)( z 2 + 9) 48xyz nên ( x 2 + 1)( y 2 + 4)( z 2 + 9) = 48xyz 0,5 0,5 0,5 0,5 = = = =+ =+ =+ 3 2 1 69 44 21 2 2 2 z y x zz yy xx Vậy (x;y;z)=(1;2;3) 0,5 0,5 3 Ta có a+b+c=0 nên a+b=-c .Do đó a+b=-c nên( a+b) 3 =-c 3 Suy ra a 3 +b 3 +c 3 = 3abc;a 2 +b 2 =c 2 -2ab; a 2 +c 2 =b 2 -2ac; c 2 +b 2 =a 2 -2bc Nên 3abc(a 2 +b 2 +c 2 )= (a 3 +b 3 +c 3 ) (a 2 +b 2 +c 2 ) = (a 5 +b 5 +c 5 )+a 3 (b 2 +c 2 )+ b 3 (a 2 +c 2 )+ c 3 (b 2 +a 2 ) = (a 5 +b 5 +c 5 )+a 3 (a 2 -2bc)+ b 3 (b 2 -2ac) +c 3 (c 2 -2ab) =2(a 5 +b 5 +c 5 )-2abc(a 2 +b 2 +c 2 ) Vậy 3abc(a 2 +b 2 +c 2 )= 2(a 5 +b 5 +c 5 )-2abc(a 2 +b 2 +c 2 ) Hay 2(a 5 +b 5 +c 5 )= 5abc(a 2 +b 2 + c 2 ) 0,5 0,5 0,5 4 I H A C D E O B a)Ta có 0 90 = AEC nên ABE vuông tại E có 0 45 = ABE nên ABE vuông cân tại E suy ra AE=BE b) ABC có AE; CD là hai đờng cao nên H là trực tâm suy ra BH AC c)Đờng tròn ngoại tiếp BED đi qua H nhận BH là đờng kính ta có 00 9090: ; =+=+ ==== IDCODCIDCBDIma DBIBDIODCOCDDBIDBIBDI hay ID OD ( đcm) 1,0 1,0 1,0 5 áp dụng Bất đẳng thức ( ) 1 1 1 9x y z x y z + + + + ữ với x;y;z >0 Dấu = khi x=y=z( chứng minh bằng cách phá ngoặc vế trái) ( ) 1 1 1 3 3 2 2 2 9 x y x z z y x y z x y z y x z x y z + + + + = + + + + + + + + + = ữ ữ ữ ữ Ta có 0,5 ( ) 1 1 1 1 1 1 9 9 (1) 2 1 1 1 9 : (2) 2 1 1 1 9 (3) 2 a b b a b b a b b a b Tuongtu b c c b c c a a c a   + + + + ≥ ⇔ + + ≥  ÷ +   + + ≥ + + + ≥ + Céng ba B§T (1) (2) (3) ta cã 1 1 1 1 1 1 3 a b c a 2b b 2c c 2a   + + ≥ + +  ÷ + + +   DÊu “=” x¶y ra khi a=b=c 0,5 . 0,5 0,5 4 I H A C D E O B a)Ta có 0 90 = AEC nên ABE vuông tại E có 0 45 = ABE nên ABE vuông cân tại E suy ra AE=BE b) ABC có AE; CD là hai đờng cao nên. 5abc(a 2 +b 2 + c 2 ) Cõu 4: (3,0 im) Cho tam giác nhọn ABC có B = 45 0 . Vẽ đờng tròn đờng kính AC có tâm O, đờng tròn này cắt BA và BC tại D và E. a)Chứng