skkn vận dụng bài toán điểm đối xứng với điểm qua một đường thẳng để giải bài toán về đường phân giác trong hình tọa độ phẳng (toán 10)

I ĐẶT VẤN ĐỀ Lý chọn đề tài Chương trình tốn THPT, mà cụ thể phân mơn Hình học 10, học sinh làm quen với dạng toán phương pháp tọa độ mặt phẳng đặc biệt toán liên quan đến đường phân giác tam giác tứ giác Thực tế toán đường phân giác tam giác tứ giác phong phú đa dạng, đề thi Đại học - Cao đẳng thường gặp lớp toán đường phân giác tam giác tứ giác học sinh thường lúng túng việc lựa chọn phương pháp giải, mắc số sai lầm khơng đáng có Sách giáo khoa sách tập Hình học lớp 10 hành, tập liên quan đến đường phân giác hạn chế Mặt khác, thời lượng cho phần q nên q trình giảng dạy, giáo viên chưa thể đưa nhiều tập cho nhiều dạng tốn để hình thành kỹ giải tốn cho học sinh Xuất phát từ thực tế trên, mạnh dạn đề xuất ý kiến nhỏ “ Vận dụng toán điểm đối xứng với điểm qua đường thẳng để giải toán đường phân giác hình tọa độ phẳng” Mục đích nghiên cứu Mục đích nghiên cứu đề tài xây dựng thêm phương pháp giải toán liên quan đến đường phân giác hình tọa độ phẳng Trên sở đó, học sinh tự tìm tòi phát vướng mắc, cách giải hay nhiều toán khác Đối tượng phạm vi nghiên cứu Một số toán đường phân giác hình giải tích phẳng chương trình Hình học lớp 10 II GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 1 Cơ sở lý luận Đường phân giác đường đặc trưng hình học, tốn liên quan đến đặc biệt phần hình giải tích phẳng đa dạng phức tạp Qua nghiên cứu số tài liệu liên quan đến vấn đề, thấy nhiều tác giả tiếp cận vấn đề việc giải chưa thật triệt để Thơng qua q trình giảng dạy tốn đường phân giác hình giải tích phẳng, tơi thấy việc sử dụng tốn điểm đối xứng điểm qua đường thẳng để giải tốn hiệu Với mong muốn góp phần nhỏ vào việc nâng cao chất lượng giảng dạy mơn Tốn nói chung phân mơn Hình học nói riêng nghiên cứu đề tài “ Vận dụng toán điểm đối xứng với điểm qua đường thẳng để giải toán đường phân giác hình tọa độ phẳng” Thực trạng vấn đề Là giáo viên giảng dạy mơn Tốn luyện thi Đại học, cao đẳng nhiều năm trường THPT Tĩnh Gia – Thanh Hóa trường THCS THPT Nghi Sơn tơi thấy nhìn chung đối tượng học sinh mức trung bình , mức độ tư vừa phải , em dễ nhầm lẫn giải toán dạng Qua nhiều năm giảng dạy, áp dụng đề tài vào lớp mà phụ trách hiệu quả, đặc biệt năm học tiến hành lớp 10A1, 10A2 lớp 12B1 lớp ôn thi đại học trường THCS THPT Nghi Sơn , kết thu tương đối tốt Các em thấy khó khăn giải tốn dạng này, sau hướng dẫn, rèn luyện em giải thành thạo Giải pháp tổ chức thực Bài tốn : Cho góc xOy gọi Oz tia phân giác góc xOy M điểm Ox , M’ điểm đối xứng với M qua Oz M’ nằm Oy x M z I O M' y Sử dụng nội dung tốn tơi sâu vào giải số ví dụ sau : Bài : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC với A(1 ;-2), phân giác BN : x + y + = đường cao CH có phương trình x − y + = Tìm tọa độ đỉnh B, C tam giác ABC A j H N I B A' C Gọi A’ điểm đối xứng với A qua BN ⇒ A ' ∈ BC Đường thẳng AA’ qua A vng góc với BN nên AA ' : x − y − = Gọi I = BN ∩ AA ' ⇒ I ( −1;3) I trung điểm AA ' ⇒ A ' ( −3; −4 ) Phương trình AB qua A vng góc với CH nên có phương trình: x + y + = B = BN ∩ AB ⇒ B ( −4;3) phương trình BC đường thẳng BA’: 7x + y + 25 =  −13 −9  C = CH ∩ BC ⇒ C  ; ÷ 4   Bài : Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có A(0;5) , đường phân giác trung tuyến xuất phát từ đỉnh B có phương trình (d1 ) x − y + = 0,(d ) x − y = Tìm tọa độ đỉnh B,C tam giác ABC Lời giải: A d1 d2 I M B A' C Gọi A’ điểm đối xứng với A qua (d1 ) ⇒ A ' ∈ BC Đường thẳng AA’ qua A vng góc với (d1 ) nên AA ': x + y − = Gọi I = d1 ∩ AA ' ⇒ I ( 2;3) I trung điểm AA ' ⇒ A '(4;1) B = d1 ∩ d ⇒ B (−2; −1) phương trình BC đường thẳng BA’: x − y − = Lấy C (3t + 1; t ) ∈ BC Gọi M trung điểm AC suy điểm M ( Mặt khác M ( 3t + t + ; ) 2 3t + t + ; ) ∈ (d ) ⇒ t = ⇒ C (28;9) 2 Bài (Khối B- 2008) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, xác định tọa độ đỉnh C tam giác ABC biết hình chiếu vng góc C đường thẳng AB điểm H(-1 ;1), đường phân giác góc A có phương trình (d1 ) x − y + = đường cao xuất phát từ B có phương trình (d ) x + y − = Lời giải: C d2 d1 H' I A H B Gọi H’ điểm đối xứng với H qua (d1 ) ⇒ H ' ∈ AC Đường thẳng HH’ qua H vng góc với (d1 ) nên HH ': x + y + = Gọi I = d1 ∩ HH ' ⇒ I ( −2;0 ) I trung điểm HH ' ⇒ H '(−3;1) Đường thẳng AC qua H’ vng góc với (d ) nên có phương trình x − y + 13 = Suy A = d1 ∩ AC ⇒ A ( 5;7 ) Đường thẳng CH qua H vng góc với AB nên có phương trình 3x + y + =  10  ; ÷  4 Suy tọa độ C = CH ∩ AC ⇒ C  − Bài : (DB Khối A-2002) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC đường cao kẻ từ đỉnh B đường phân giác góc A có phương trình (d1 ) x + y + 10 = (d ) x − y + = điểm M(0;2) thuộc đường thẳng AB đồng thời cách điểm C khoảng Tìm tọa độ đỉnh cuả tam giác ABC Lời giải: B d2 M I A M' H C d1 Gọi M’ điểm đối xứng với M qua (d ) ⇒ M ' ∈ AC Đường thẳng MM’ qua M vng góc với (d ) nên MM ': x + y − = 1 3 Gọi I = d ∩ MM ' ⇒ I  ; ÷ I trung điểm MM ' ⇒ M '(1;1) 2 2 r Đường thẳng AC qua M’ vuông góc với (d1 ) nên nhận u = (3;4) làm véc tơ  x + + 3t phương , AC :  A = d ∩ AC ⇒ A(4;5)  y = + 4t Đường thẳng AB qua A M nên AB : 3x − y + = 1  Có B = d1 ∩ AB ⇒ B  −3; − ÷ 4  Điểm C (1 + 3t ;1 + 4t ) ∈ AC ,do MC = ⇒ ( + 3t ) + ( 4t − 1) = 2 t = ⇒ C (1;1) ⇔ t = ⇒ C  31 ; 33 ÷  25  25 25   1  31 33  Vậy đỉnh tam giác A(4;5), B  −3; − ÷; C (1;1) C  ; ÷ 4   25 25  Bài : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông A, biết B C đối xứng qua gốc tọa độ O Đường phân giác góc B (d ) : x + y − = Tìm tọa độ đỉnh tam giác biết đường thẳng AC qua K(6;2) Lời giải: O' A d I K B O C Gọi O’ điểm đối xứng với O qua (d ) ⇒ O ' ∈ AB Đường thẳng OO’ qua O vng góc với (d ) nên OO': x − y = Gọi I = d ∩ OO' ⇒ I ( 1;2 ) I trung điểm OO' ⇒ O '(2;4) Giả sử B (5 − 2b; b) ∈ d ⇒ C (2b − 5; −b) uuuu r uuur Tam giác ABC vuông A nên BO '(2b − 3;4 − b) vng góc với CK (11 − 2b;2 + b) b = ⇔ (2b − 3)(11 − 2b) + (4 − b)(2 + b) = ⇔ −5b + 30b − 25 = ⇔  b = Với b = ⇒ B (3;1), C (−3; −1) ⇒ A(3;1) ≡ B (loại) Với b = ⇒ B (−5;5), C (5; −5) ⇒ A( 31 17 31 17 ; ) Vậy B (−5;5), C (5; −5), A( ; ) 5 5 Bài : Cho hình bình hành ABCD có đỉnh B(1;5) , đường cao AH với H nằm CD có phương trình (d1 ) : x + y − = ,phương trình đường phân giác góc C (d ) : x − y − = Tìm tọa độ đỉnh A,C,D Lời giải: A B I D H B' C Gọi B’ điểm đối xững với B qua (d ) ⇒ B ' ∈ CD Đường thẳng BB’ qua B vng góc với (d ) nên BB ': x + y − = 1 3 Gọi I = d ∩ BB ' ⇒ I  ; ÷ I trung điểm BB ' ⇒ B '(1;1) 2 2 Phương trình AB qua B vng góc với AH nên có phương trình: Phương trình CD qua B’ vng góc với AH nên có phương trình: A = AH ∩ AB ⇒ A C = CD ∩ d ⇒ C uuur uuur Vì ABCD hình bình hành nên AD = BC ⇒ D Bài 7: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình thoi ABCD có đường chéo BD nằm đường thẳng (d ) x − y + = Điểm M(4 ;- 4) nằm đường thẳng chứa cạnh BC , điểm N(-5 ;1) nằm đường thẳng chứa cạnh AB Biết BD = Tìm tọa độ đỉnh hình thoi ABCD , biết đỉnh D có hồnh độ âm Lời giải : A M' N(-5;1) B I D d M(4:-4) C Gọi M’ điểm đối xứng với M qua BD ⇒ M ' ∈ AB Đường thẳng MM’ qua M vng góc với BD nên MM ' : x + y = Gọi H = BD ∩ MM ' ⇒ H ( 1; −1) H trung điểm MM ' ⇒ M '(−2;2) Đường thẳng AB qua N (−5;1), M '(−2;2) nên có phương trình : AB : x − y + = x − y − = ⇒ B ( 7;5 ) Tọa độ B = BD ∩ AB ⇒  x − y + =  2 Lấy D(t; t − 2) ∈ ( d ) , BD = ⇔ ( t − ) + ( t − ) = 128 t = 15 ⇒ D(15;13)( L) ⇔ t = −1 ⇒ D(−1; −3) Gọi I tâm hình thoi ⇒ I (3;1) AC qua I vng góc với BD nên có phương trình : x + y − = x + y − = ⇒ A ( 1;3) ⇒ C (5; −1) Tọa độ điểm A = AC ∩ AB ⇒  x − y + =  Sử dụng toán điểm đối xứng với điểm qua đường thẳng để giải tốn đường phân giác hình tọa độ phẳng thuận lợi Tuy nhiên phương pháp vận dụng phương pháp tối ưu cho tốn đường phân giác hình tọa độ phẳng nên đứng trước toán cụ thể ta cần linh hoạt cách chọn hướng giải tốn Thơng qua ví dụ nhận thấy : Khi sử dụng toán điểm đối xứng với điểm qua đường thẳng để giải toán đường phân giác hình tọa độ phẳng, ta đưa toán dạng toán đơn giản quen thuộc với học sinh Sau tập tương tự để luyện tập thêm cho học sinh , giúp cho em thành thạo cách giải BÀI TẬP ÁP DỤNG: Bài 8: Cho hình chữ nhật ABCD có đỉnh D(−1;3) ,phương trình đường phân giác góc A x − y + = Tìm tọa độ đỉnh B biết diện tích hình chữ nhật 18 đỉnh A có tọa độ thỏa mãn x A = y A Bài 9: ( HV Hàng không 2001) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC với B(2 ;-1), phân giác góc C có phương trình (d1 ) x + y − = đường cao xuất phát từ A có phương trình (d )3x − y + 27 = Viết phương trình cạnh tam giác ABC Bài 10: (CĐSP Hà nội 2005)Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC có A(1 ;2) Các đường phân giác CD có phương trình (d1 ) x + y − = trung tuyến xuất phát từ đỉnh BM có phương trình (d ) x + y + = Viết phương trình đường thẳng BC Bài 11 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC với A(1 :-3 ), phân giác góc B có phương trình (d1 ) x + y − = đường trung tuyến xuất phát từ C có phương trình (d ) x + y − = Tìm tọa độ đỉnh B,C 10 Bài 12 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC với A(-3; 1), phân giác đường cao xuất phát từ B có phương trình (d1 ) x + y + 12 = 0,(d ) x + y + = Tìm tọa độ đỉnh B, C tam giác ABC Bài 13 : ( ĐH Thương mại 2000) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC với A(2 ;-1), phân giác xuất phát từ B C có phương trình (d1 ) x − y + = 0,( d ) x + y + = Viết phương trình đường thẳng BC tam giác ABC Bài 14 : ( ĐH khối B – 2010) Trong mặt phẳng hệ trục tọa độ Oxy , cho tam giác ABC vng A có đỉnh C(-4 ;1) phương trình đường phân giác góc A x + y − = Viết phương trình cạnh BC tam giác ABC, biết diện tích tam giác ABC 24 điểm A có hồnh độ dương Kiểm nghiệm Để kiểm tra hiệu đề tài tiến hành kiểm tra hai đối tượng có chất lượng tương đương học sinh lớp 10A1 lớp 10A2 trường THCS THPT Nghi Sơn – Tĩnh gia Trong lớp 10A2 chưa tiếp cận phương pháp sử dụng đề tài, kiểm tra hình thức tự luận , thời gian làm 45 phút với đề sau : Đề : Câu 1: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC với C(4; 3), phân giác đường cao xuất phát từ B có phương trình (d1 ) x + y − = 0,(d ) x + 13 y − 10 = Viết phương trình cạnh tam giác ABC Câu 2: Trong mặt phẳng hệ trục tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có phương trình đường phân giác góc A x + y + = Đường cao xuất phát từ đỉnh B có 11 phương trình 2x − y + = Cạnh AB qua điểm M(1 ;1) Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC biết diện tích tam giác ABC Kết thu sau: Lớp Sĩ số Điểm < 10A1 10A2 45 45 Số lượng 18 % 6.7 40.2 27 Điểm →