Phương pháp tìm hai điểm thuộc đồ thị đối xứng với nhau qua đường thẳng là một trong những dạng bài phổ biến rất hay gặp trong những đề thi đại học năm gần đây.dưới đây là tổng hợp những cách giải với phương pháp cụ thể giúp học sinh có thể làm bài một cách hiệu quả,và cũng cung cấp cho các em những bài tập xuất hiện trong các đề thi đại học của các khối và cách giải để cac em có sự thông minh hơn trong phương pháp giải bài toán này.
Trang 1DẠNG BÀI TẬP TÌM HAI ĐIỂM THUỘC ĐỒ THỊ HÀM SỐ ĐỐI XỨNG VỚI NHAU QUA
ĐƯỜNG THẲNG
PHƯƠNG PHÁP Với yêu cầu “ Tìm hai điểm A, B thuộc đồ thị hàm số (C): y = f(x) đối xứng với nhau qua đường thẳng (d): y = ax + b”, ta thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Tìm miền xác định D của hàm số y = f(x).
Bước 2: Gọi (Δ)⊥(d): y = ax + b ⟹ phương trình (Δ)có dạng:
(Δ): y =
-1
a
x + m.
Bước 3: Giả sử (Δ) cắt đồ thị hàm số tại hai điểm A, B Khi đó hoành độ của A, B
là nghiệm của phương trình :
f(x) =
-1
a
x + m ⟺ f(x) +
1
a
x – m = 0 (1)
Để tồn tại A, B thì (1) phải có hai nghiệm phân biệt thuộc D
⟹ tham số.
Sử dụng hệ thức Vi-ét ta được:
A B
+
Bước 4: Gọi I là trung điểm của AB, ta có:
Trang 22 1
I
x
a
+
=
- Hai điểm A, B đối xứng với nhau qua đường thẳng (d)
⟺ Iϵ (d) ⇒ m
- Thay m vào (1) ta có được hoành độ A, B là xA, xB
- Khi đó: A(x A ,
1
a
−
x A + m) & B(x B ,
1
a
−
x B + m).
MỘT SỐ BÀI TẬP
Bài 1: (Đề 48/ĐHHH – 99): Cho hàm số y =
2
1
x
x−
Tìm hai điểm A, B nằm trên
đồ thị và đối xứng với nhau qua đường thẳng (d): y = x -1.
Giải
Hai điểm A, B đối xứng với nhau qua đường thẳng (d) ⟺ AB⊥(d) và trung điểm I của AB thuộc đường thẳng (d).
• Vì AB⊥(d): y = x -1 ⟹ (AB): y = -x + m
Hoành độ giao điểm A, B là nghiệm của phương trình:
2
1
x
x−
= -x + m ⇔ g(x) =
2
2x − +(m 1)x m+ = 0
(1)
Để A, B tồn tại thì phương trình (1) phải có hai nghiệm phân biệt ⇒ ∆ >0
⇔ (m +1)2 – 8m >0 ⇔ m 2 – 6m + 1 > 0
⇔ m > 3 + 8 hoặc m < 3 - 8
Khi đó, giả sử x A , x B là các nghiệm của (1) thì:
Trang 3
1 2 2
x x
x x
m m
+
+
Gọi I là trung điểm của AB ta có:
I:
2 1
I
x
a
+
=
I:
⟺
1 4
4
I
I
m x
m y
+
=
Điểm I ϵ (d) ⟺
1
m− = m+ −
m = -1
⟺
Với m = -1 :
(1) ⟺
2
2x − =1 0
⇔
1 2 1 2
A
B
x x
=
= −
⟺
, 1
, 1
A B
Bài 2.(ĐH-ThủyLợi-99) Cho hàm số
2 2 2 1
x
− +
−
1
y
x
=
−
(C) Tìm m để đường thẳng d: y = x + m cắt (C) tại hai điểm A, B đối xứng nhau qua đường thẳng d 1 : y = x + 3.
Giải
Trang 4Đường thẳng d cắt (C) tại hia điểm A, B có hoành độ là nghiệm của phương trình:
1
x
−
= − + x m
(1) ⟺
2 ( ; ) 2 (3 ) 2 0
g x m = x − +m x+ + =m
(2) có hai nghiệm khác 1
⟺5x y− + =3 0 ⇔
2 (3 ) 8(2 ) 0 (1; ) 2 3 m 2 1 0
⟺
m − m− >
⟹ m< −1 10
hoặc m> +1 10
(*) Gọi I là trung điểm của AB thì:
1 2
1
3
I
x x m x
m m
y x m m
• Để A, B đối xứng với nhau qua d thì I phải thuộc d:
3 3 3
y x
− +
⇔ = ⇔ =
• Với m = 9 thì (2) trở thành:
2
6 14 6 14 12 14
9
2 12 11 0
6 14 6 14 12 14
9
x x
© ªª ªª ªª ªª«
Trang 5Vậy
6 14 12 14
,
và
6 14 12 14
,
B + +
Bài 3.(HVKTQS-2001) Cho hàm số:
1
y
x
+ − + +
=
+
(C m ) Tìm m để trên (C m ) có hai điểm A, B sao cho :
5x A− + =y A 3 0
và
5x B − + =y B 3 0
Tìm m để A, B đối xứng với nhau qua đường thẳng x + 5 y + = 9 0
Giải
Từ giả thiết ta thấy tọa độ A, B thõa mãn phương trình:
5 x y − + = 3 0
Có nghĩa là
A, B nằm trên đường thẳng d 1:y = + 5 x 3
Nhưng A, B lại nằm trên C m cho nên A,
B là giao điểm của d 1 và C m
⟹
2
2 ( 2) 1
( , ) 4 ( 10) 2(1)
5 3 1
5 3
5 3
x x
y x
y x
+
= +
⟹
2 4 68 0 ( 1; ) 4 10 2 2 0
m m
m R
g m m m
∆ = − + >
⇔ ∀ ∈
• Gọi I là trung điểm của AB :
10 5 26
I
x
• Nếu A, B đối xứng nhau qua d: x + 5 y + = 9 0
, thì I phải thuộc d ( Thõa mãn tính chất d1 vuông góc với d rồi)
Trang 6
5 5 26
9 0
m m
m
−
−
Vậy với
34 13
m=
thì thõa mãn điều kiện bài toán