Phương pháp tìm hai điểm thuộc đồ thị đối xứng với nhau qua đường thẳng là một trong những dạng bài phổ biến rất hay gặp trong những đề thi đại học năm gần đây.dưới đây là tổng hợp những cách giải với phương pháp cụ thể giúp học sinh có thể làm bài một cách hiệu quả,và cũng cung cấp cho các em những bài tập xuất hiện trong các đề thi đại học của các khối và cách giải để cac em có sự thông minh hơn trong phương pháp giải bài toán này.
DẠNG BÀI TẬP TÌM HAI ĐIỂM THUỘC ĐỒ THỊ HÀM SỐ ĐỐI XỨNG VỚI NHAU QUA ĐƯỜNG THẲNG PHƯƠNG PHÁP Với yêu cầu “ Tìm hai điểm A, B thuộc đồ thị hàm số (C): y = f(x) đối xứng với qua đường thẳng (d): y = ax + b”, ta thực theo bước sau: Bước 1: Tìm miền xác định D hàm số y = f(x) Bước 2: Gọi (Δ)⊥(d): y = ax + b ⟹ phương trình (Δ)có dạng: a (Δ): y = - x + m Bước 3: Giả sử (Δ) cắt đồ thị hàm số hai điểm A, B Khi hoành độ A, B nghiệm phương trình : a f(x) = - x + m ⟺ f(x) + a x – m = (1) Để tồn A, B (1) phải có hai nghiệm phân biệt thuộc D ⟹ tham số Sử dụng hệ thức Vi-ét ta được: x A + xB x A xB Bước 4: Gọi I trung điểm AB, ta có: x A + xB x = I y =− x +m I I a - Hai điểm A, B đối xứng với qua đường thẳng (d) - ⟺ Iϵ (d) ⇒ m Thay m vào (1) ta có hoành độ A, B xA, xB − - Khi đó: A(xA, a − xA + m) & B(xB, a xB + m) MỘT SỐ BÀI TẬP x2 x −1 Bài 1: (Đề 48/ĐHHH – 99): Cho hàm số y = Tìm hai điểm A, B nằm đồ thị đối xứng với qua đường thẳng (d): y = x -1 Giải Hai điểm A, B đối xứng với qua đường thẳng (d) ⟺ AB⊥(d) trung điểm I AB thuộc đường thẳng (d) • Vì AB⊥(d): y = x -1 ⟹ (AB): y = -x + m Hoành độ giao điểm A, B nghiệm phương trình: x2 x − (m + 1) x + m = x −1 = -x + m ⇔ g(x) = (1) Để A, B tồn phương trình (1) phải có hai nghiệm phân biệt ⇒ ∆ >0 ⇔ (m +1)2 – 8m >0 ⇔ m2 – 6m + > ⇔m>3+ m < - Khi đó, giả sử xA, xB nghiệm (1) thì: m +1 x + x = A B x x = m A B Gọi I trung điểm AB ta có: I: x A + xB x = I y =− x +m I I a ⟺ I: m +1 xI = y = 3m −1 I Điểm I ϵ (d) ⟺ 3m − m + = −1 4 ⟺ m = -1 Với m = -1 : (1) ⟺ x2 −1 = ⇔ x = A x = − B ⟺ 1 , −1 − A ÷ 2 B − , −1 + ÷ 2 x2 − 2x + y = x − x + x −1 x −1 Bài 2.(ĐH-ThủyLợi-99) Cho hàm số (C) Tìm m để đường thẳng d: y = x + m cắt (C) hai điểm A, B đối xứng qua đường thẳng d1: y = x + Giải Đường thẳng d cắt (C) hia điểm A, B có hoành độ nghiệm phương trình: x2 − x + x −1 ⟺ ⟺ ⟺ = −x + m (1) g ( x; m) = x − (3 + m) x + + m = 5x − y + = ⇔ (2) có hai nghiệm khác ∆ = (3 + m) − 8(2 + m) > g (1; m) = − − m + + m = ≠ m − 2m − > ⟹ m < − 10 m > + 10 (*) Gọi I trung điểm AB thì: x1 + x2 + m xI = = y = − x + m = m − + m = 3m − 4 • Để A, B đối xứng với qua d I phải thuộc d: 3m − 3 + m y I = xI + ⇒ = +3 4 ⇔ 2m = 18 ⇔ m = • Với m = (2) trở thành: © − 14 − 14 12 − 14 ªx = → y1 = +9= ª ª 2 ⇔ x − 12 x + 11 = ⇒ ª ª ª x = + 14 → y = + 14 + = 12 + 14 ª 2 ª« 2 Vậy − 14 12 − 14 A , ÷ ÷ 2 + 14 12 + 14 B , ÷ ÷ 2 Bài 3.(HVKTQS-2001) Cho hàm số: x + (m − 2) x + m + y= x +1 Tìm m để (Cm) có hai điểm A, B cho : 5xA − yA + = Tìm m để A, B đối xứng với qua đường thẳng (Cm) xB − y B + = x + 5y + = Giải Từ giả thiết ta thấy tọa độ A, B thõa mãn phương trình: A, B nằm đường thẳng d1: B giao điểm d1 Cm ⟹ ⟹ y = 5x + 5x − y + = Có nghĩa Nhưng A, B lại nằm Cm A, x + (m − 2) x + m + = x + g ( x, m) = x − (m − 10) x − m + 2(1) ⇔ x +1 y = 5x + y = 5x + ∆ = m2 − 4m + 68 > ⇔ ∀m ∈ R g ( − 1; m ) = + m − 10 − m + = − ≠ x1 + x2 m − 10 x = = I yI = xI + = m − 10 ÷+ = 5m − 26 • Gọi I trung điểm AB : • Nếu A, B đối xứng qua d: tính chất d1 vuông góc với d rồi) x + 5y + = , I phải thuộc d ( Thõa mãn ⇔ m − 10 ( 5m − 26 ) 34 + +9= 0⇒ m= 8 13 m= Vậy với 34 13 thõa mãn điều kiện toán ... Cho hàm số y = Tìm hai điểm A, B nằm đồ thị đối xứng với qua đường thẳng (d): y = x -1 Giải Hai điểm A, B đối xứng với qua đường thẳng (d) ⟺ AB⊥(d) trung điểm I AB thuộc đường thẳng (d) • Vì... 2.(ĐH-ThủyLợi-99) Cho hàm số (C) Tìm m để đường thẳng d: y = x + m cắt (C) hai điểm A, B đối xứng qua đường thẳng d1: y = x + Giải Đường thẳng d cắt (C) hia điểm A, B có hoành độ nghiệm phương trình: x2 −... + y= x +1 Tìm m để (Cm) có hai điểm A, B cho : 5xA − yA + = Tìm m để A, B đối xứng với qua đường thẳng (Cm) xB − y B + = x + 5y + = Giải Từ giả thiết ta thấy tọa độ A, B thõa mãn phương trình: