Hướng dẫn học sinh kỹ năng sử dụng khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng để giải một số bài toán hình tọa độ phẳng lớp 10

1 Mở đầu 1.1 Lí chọn đề tài 1.1.1 Về mặt lý luận Toán học mơn khoa học góp phần đào tạo nên người tồn diện, hình thành phẩm chất cần thiết quan trọng người lao động thời đại đổi Để nâng cao chất lượng giáo dục, đổi phương pháp dạy học, phát huy tính tích cực, độc lập, sáng tạo học sinh trình trăn trở nhà giáo dục, địi hỏi người thầy phải có trình độ lành nghề cao, hiểu rõ tâm lý lứa tuổi học sinh, để từ có biện pháp giáo dục thích hợp nhằm nâng cao chất lượng giáo dục Cần phải dạy em hoạt động độc lập, sáng tạo phát huy tính tích cực học tập, khắc phục lối truyền thụ chiều, cách học thụ động có tư tưởng ỷ lại Do cần phải bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kĩ vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập học sinh Từ đó, mục tiêu dạy học mơn Tốn là: Trang bị cho học sinh tri thức, kĩ năng, phương pháp tốn học phổ thơng, bản, thiết thực Góp phần phát triển lực trí tuệ, hình thành phát triển phẩm chất, phong cách lao động khoa học, biết hợp tác lao động, có ý chí thói quen tự học thường xuyên cho học sinh 1.1.2 Về mặt thực tiễn Trong trình giảng dạy mơn tốn trường THPT Nguyễn Qn Nho phần hình học phẳng lớp 10 Tôi thấy đa số học sinh chưa có tinh thần tự giác, sáng tạo học tập, gặp vấn đề khó ỷ lại gây cản trở việc đào sâu suy nghĩ Bên cạnh có phận học sinh có tinh thần tự giác cao, ham học hỏi tìm tịi, ngồi việc tiếp thu kiến thức lớp em cịn tìm thêm kiến thức tài liệu tham khảo kết đạt chưa cao em chưa biết biết đặt tình có vấn đề từ kiến thức hay toán biết, em dừng lại việc cố gắng giải toán mà chưa suy nghĩ đến việc giải toán giải lớp toán liên quan Với mong góp phần khắc phục trạng Tơi trình bày đề tài : “Hướng dẫn học sinh kỹ sử dụng khoảng cách từ điểm đến đường thẳng để giải số tốn hình tọa độ phẳng lớp 10” 1.2 Mục đích nghiên cứu - Nghiên cứu đề tài nhằm mục đích phục vụ cho việc dạy học hình học tọa độ phẳng chương trình THPT - Nâng cao khả tự học, tự bồi dưỡng 1.3 Đối tượng nghiên cứu Một số dạng toán liên quan đến khoảng cách từ điểm đến đường thẳng mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy 1.4 Phương pháp nghiên cứu - Sử dụng phương pháp sưu tầm, phân tích tài liệu, đề thi thử THPT - Gặp gỡ, trao đổi, tiếp thu ý kiến đồng nghiệp để tham khảo ý kiến làm sở cho việc nghiên cứu đề tài - Thông qua thực tế dạy học lớp, giao tập, củng cố học, hướng dẫn học sinh chuẩn bị kết hợp với kiểm tra, đánh giá Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến Nhiệm vụ trung tâm trường học THPT hoạt động dạy thầy hoạt động học trò, xuất phát từ mục tiêu đào tạo “nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài” Giúp học sinh củng cố kiến thức phổ thơng, đặc biệt mơn Tốn, mơn học cần thiết thiếu đời sống người Mơn tốn trường THPT mơn độc lập, chiếm phần lớn thời gian chương trình học học sinh Mơn tốn có tầm quan trọng to lớn Nó mơn khoa học nghiên cứu có hệ thống, phù hợp với hoạt động nhận thức tự nhiên người Nó có khả giáo dục lớn việc rèn luyện tư duy, suy luận logic, đem lại niềm vui, hứng thú, hình thành nhân cách tốt đẹp cho người lao động thời đại Hình học tọa độ phẳng mảng kiến thức khó học sinh THPT Để giải tốn hình phẳng học sinh phải vận dụng tính chất hình phẳng cấp Rất nhiều học sinh xác định phần khó không học phần Học sinh chưa liên hệ từ lý thuyết đến tập Để phát huy tìm tịi sáng tạo lực tư học sinh, giáo viên cần hệ thống tập giải theo mảng kiến thức Trong toán khoảng cách từ điểm đến đường thẳng tốn quan trọng hình học lớp 10 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 2.2.1 Thuận lợi: - Kiến thức học, tập luyện tập - Học sinh hứng thú tiết học, phát huy khả sáng tạo, tự học yêu thích mơn học - Có khích lệ từ kết học tập học sinh thực đề tài - Được động viên BGH động viên góp ý kiến đồng nghiệp 2.2.2 Khó khăn: Đa số học sinh cịn chưa tập chung học mơn hình học đặc biệt phần tốn tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng, có tư tưởng sợ học phần Đứng trước toán hình học học sinh thường lúng túng khơng xác định đường lối, phương pháp giải, nhiều học sinh không tránh khỏi tâm trạng hoang mang, phương hướng Các em cho nhiều dạng tốn nhớ hết dạng toán cách giải dạng tốn đó, tốn khơng thuộc dạng gặp khơng giải Một số học sinh có thói quen khơng tốt đọc đề chưa kỹ vội làm ngay, dẫn đến cách giải không phù hợp phương hướng giải Với thực trạng để giúp học sinh định hướng tốt q trình giải tốn hình học phẳng nói chung phương pháp tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng hình học phẳng lớp 10 nói riêng người giáo viên dạy hình học cần tạo cho học sinh thói quen định hướng lời giải, cần phải làm gì, giả thiết tốn cho ta biết điều gì, đặc biệt khai thác tính chất đặc trưng hình học tốn để tìm lời giải 2.3 Giải pháp thực 2.3.1 Giải pháp Đi từ đơn giản đến phức tạp, từ vấn đề biết đến vấn đề chưa biết Xây dựng cách xắp xếp toán thành lớp tốn, hình thành kĩ phân dạng nhận dạng Học sinh hoạt động học tập, lĩnh hội kiến thức cách tự nhiên, biết đặt tình có vấn đề cố gắng giải vấn đề Tạo cho học sinh cách giải vấn đề nhiều góc độ khác nhau, khơng dừng lại việc giải vấn đề cách đơn lẻ mà giải vấn đề cách có hệ thống, suy nghĩ để giải triệt để vấn đề Cuối học sinh cần phải trả lời câu hỏi sau: - Làm để phát công cụ thích hợp cho việc giải tốn cho? - Dựa vào sở để lựa chon kiến thức biết để giải toán cho? - Biến đổi tốn để đưa toán dạng quen thuộc? - Bài tốn lựa chọn phương pháp tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng để giải? 2.3.2 Tổ chức thực Bước 1: Nhận dạng tốn Đứng trước tốn hình học phẳng, học sinh phải hiểu yêu cầu đề bài, phải biết làm việc với tốn mức độ nào, cần phải vận dụng kiến thức, tính chất hay phát dấu hiệu biết Bước 2: Vẽ hình, phát tính chất biết vạch hướng giải Đây khâu quan trọng khó thầy trị giải tốn hình học phẳng Học sinh phải huy động kiến thức có liên quan đến tốn lựa chọn kiến thức gần gũi nhất, có khả tiếp cận tốt đến tốn, mị mẫm dự đốn Vạch hướng giải để từ lựa chon cách giải phù hợp, biết loại bỏ hướng không phù hợp, đặc biệt biết phát tính chất quen thuộc để áp dụng Người giáo viên cần động viên tất học sinh tham gia cách tích cực tự giác câu hỏi gợi ý, thông minh, phù hợp với trình độ học sinh Tiến hành khéo léo nghệ thuật dạy học người thầy Bước 3: Giải toán nhận Sau vạch hướng giải quyết, giáo viên cần đòi hỏi học sinh phải thể văn chấp nhận đánh giá học lực học sinh dựa làm em cho em ghi nhớ tính chất, dấu hiệu đặc trưng để vận dụng vào làm thi trắc nghiệm Bước 4: Kiểm tra kết phân tích sai lầm Cần rèn luyện học sinh thói quen kiểm tra lại lời giải tốn, xét xem có sai lầm hay thiếu sót khơng Việc kiểm tra nên tiến hành thường xuyên Khả mắc sai lầm học sinh giải tốn hình học phẳng nhiều Vì phân tích sai lầm học sinh hoạt động đặc biệt quan trọng lí thú người giáo viên Bước 5: Mở rộng tốn Nhiều giáo viên khơng trọng bước này, không tận dụng hết khả học sinh, định hướng giải toán, để phát triển lực, trí tuệ học sinh Mở rộng tốn làm cho học sinh quen có ý thức sử dụng quy tắc suy đoán tương tự hóa, khái quát hóa, đặc biệt hóa … cho học sinh thấy phong phú, hấp dẫn tốn, lớp tốn có cách giải khơng cách giải, đồng thời khuyến khích học sinh tập dượt sáng tạo toán học Trong sáng kiến Tơi trình bày ba tốn: Bài tốn 1: Sử dụng khoảng cách từ điểm đến đường thẳng số tốn hình tọa độ phẳng cho điểm có tọa độ thỏa mãn tính chất Trong số tốn đa giác phẳng cho điểm có tọa độ vị trí đỉnh đa giác, tâm, trọng tâm, trung điểm, điểm chia đoạn thẳng … giải nghĩ đến tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng để giải cho nhanh dễ hiểu Trong sáng kiến kinh nghiệm công thức sử dụng để giải toán khoảng cách như: Cho đường thẳng d có phương trình ax + by + c = ( với a + b ≠ ) ax0 + by0 + c điểm M(x0; y0) Khoảng cách từ M đến d d ( M ; d ) = a2 + b2 Các cơng thức tính diện tích hình vng, chữ nhật, hình thang, đặc biệt cơng thức tính diện tích tam giác ∆ABC liên quan đến khoảng cách Ví dụ 1: Trong mặt phẳng tọa độ với hệ trục tọa độ 0xy, cho hình vng ABCD, gọi M, N trung điểm AB, CD Biết M(1; 2), đường thẳng BN có phương trình: 3x + 4y – = Tìm tọa độ A, B biết xB < Định hướng M(1; 2) có vị trí đặc biệt trung điểm đoạn thẳng AB đường thẳng BN cho phương trình nên ta tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng BN để khai thác tiếp Hướng dẫn giải Kẻ MH ⊥ BN Khi MH = d ( M , BN ) = Gọi độ dài cạnh hình vng a, ta có: 1 = + = 2+ = 2 2 MH BM MN a a a ⇒MH = a = ⇒a = 5 A D M N H ⇒MB = 10  − 3b  Gọi B  b; ÷ với b <   B C 17  b=   − 3b  25 ⇒ MB = ( b − 1) +  − 2÷ = ⇔ 125b − 10b − 51 = ⇔  10   b = −   6 ⇒ b = − nên B  − ; ÷  5  13 14   13 14   6 Do M trung điểm AB nên A  ; ÷ Vậy A  ; ÷và B  − ; ÷ 5 5 5 5  5 Ví dụ 2: Trong mặt phẳng tọa độ với hệ trục tọa độ 0xy, cho hình vng ABCD có A(1; 1), M thuộc cạnh CD cho MD = 2MC; biết phương trình đường thẳng BM x + 3y – 19 = Tìm tọa độ C, biết C thuộc đường thẳng d: x – y = [1] Định hướng Cho tọa độ A đỉnh hình vng biết phương trình đường thẳng MB nên ta tính d(A; BM), mặt khác tham số hóa tọa độ C nên hướng đến việc tính độ dài AC tức tính độ dài cạnh hình vng Hướng dẫn giải AH ⊥ BM Khi Kẻ A B 15 AH = d ( A; BM ) = 10 H Gọi độ dài cạnh hình vuông a ⇒ S∆ABM = S ABCD − S∆ADM − S ∆BCM 1 = a − AD.DM − BC.MC = a − AD ( DM + MC ) 2 2 a a = a − ADDC = a − = 2 D M C 2 a2 a 10  DC  = a + ⇒ BM = Mà MB = BC + MC = BC +  ÷   2 2 1 a 10 15 a2 AH BM = = nên S∆ABM = ⇒ a = ⇒ AC = 2 10 Do C ∈ d nên C(c; c) ⇒ AC = (c− 1) + (c − 1) = ⇒ C(- 4; - 4) C(6; 6) Ví dụ 3: Trong mặt phẳng tọa độ với hệ trục tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có B ( −1;1) có trọng tâm G ( 1;0 ) Biết ∆ABC có chiều cao AH = đỉnh A thuộc đường thẳng d: x + y − = Tìm tọa độ đỉnh A, C Định hướng Ta phải sử dụng mối liên hệ khoảng cách AH khoảng cách từ G đến BC Hướng dẫn giải Gọi đường thẳng qua điểm B, C ∆ : A ( x + 1) + B ( y − 1) = ⇒ Ax + By + A − B = Gọi M trung điểm BC Kẻ GH1 ⊥ BC Trong tam giác ∆AMH ta có : ⇒ d ( G; BC ) = AH = 2 Khi đó: A2 − AB + B = B = Chọn A = ⇒  B = A AH = 3d ( G; BC ) = Có đường thẳng qua B thỏa mãn toán ∆ : x + y = ∆' : x + y − =  x A + xB + xC = xG  y A + yB + yC = yG G B Ta có:  H H M C  x A + xC = x + y − = A∈d  A ⇒ A ⇒ A ( 1;2 ) ; C ( 3; −3 ) Nếu  C ∈ ∆  y A + yC = −1  xC + yC =  x A + xC = x + y − = A∈ d  A ⇒ A ⇒ A ( 5; −2 ) ; C ( −1;1) Nếu  ' y + y = − A C C ∈ ∆   xC + yC − = Ví dụ 4: Trong mặt phẳng tọa độ với hệ trục tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có diện tích 3, đường thẳng AB có phương trình: x + y = , trọng tâm ∆ BCD G ( 1;2 ) Tìm tọa độ A biết yB > Định hướng Bài toán cho tọa độ G có vị trí đặc biệt trọng tâm ∆BCD cho phương trình đường thẳng AB nên tính d(G; AB) Vì cho diện tích hình chữ nhật nên liên quan đến độ dài cạnh, từ khoảng cách vừa tính suy độ dài cạnh Hướng dẫn giải Ta có : BC = AD = d ( G; AB ) 3.1 + 1.2 10 = = Mà d ( G; AB ) = 2 10 +1 H A I 10 Mặt khác S ABCD = AB.BC = 15 ⇒ AB = 10 ⇒ BC = G C D Gọi B ( −3a; a ) Đường thẳng GH có phương trình: − x + y − = 1 3 ⇒ H  ;− ÷ 2 2 2 10 Mà HB = AB = nên 3 B 1  3 10   −3a + ÷ +  a + ÷ = 2  2   7 B ; − nên  ÷ ⇒a= ÷   uuu r uuur 3 9 ; 7− ÷ 2÷  Mặt khác BA = 3BH ⇒ A  + 2 Ví dụ Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình vng ABCD Gọi M trung điểm cạnh BC , N điểm cạnh CD cho CN = ND Gi s ổ 11 Mỗ ữv AN có phương trình x - y - = Tỡm ta im A [2] ỗ ; ữ ỗ ố2 ữ ứ nh hng Vi A ∈ AN mà AN có phương trình: x − y − = Điểm M biết tọa độ nên tính đoạn AM ta gắn AM vào tam giác vuông AMH với cạnh MH = d ( M , AN ) ta dễ dàng tính Như biết thêm yếu tố cạnh góc tam giác vng ta tính độ dài AM Do cạnh tam giác AMH biểu diễn thơng qua độ dài cạnh hình vng nên ta nghĩ tới việc tính góc A nhờ định lí cosin tam giác Do ta có lời giải cụ thể sau: Hướng dẫn giải Gọi H hình chiếu M lên AN H A B ⇒ MH = d ( M , AN ) = 11 − −3 2 = 2 +1 I ND = a ; NC = 4a  G Đặt AB = 6a ⇒   MB = MC = 3a C D (vì ABCD hình vng CN = ND ) (Các bạn đặt AB = a , ta đặt AB = 6a để việc biểu diễn độ dài 2 khác đơn giản) Khi áp dụng Pitago ta được: AM = 5a; MN = 5a AN = 10a Trong ΔAMN ta có: · cos MAN = AM + AN − MN 45a + 40a − 25a 60a 2 = = = 2 AM AN 2.3 5a.2 10a 60 2a · ⇒ MAN = 45° ⇒ ∆MAH cân H ⇒ AM = MH = 10 = (*) 2 45 (theo (*)) 2  A ( 1; −1) t = 7 45  11   ⇔  t − ÷ +  2t − ÷ = ⇔ t − 5t + = ⇔  ⇒ 2  2  t =  A ( 4;5 ) Gọi A ( t; 2t − 3) ∈ AN Ta có AM = Vậy A ( 1; −1) A ( 4;5)   Ví dụ Cho hình chữ nhật ABCD có tâm I  ;0 ÷, phương trình đường thẳng 2  x − y + = AB AB = 2AD Tìm tọa độ điểm A, B, C, D biết A có hồnh độ âm [3] Định hướng Ta có: A ∈ AB : x − y + = AD = 2d ( I , AB ) → AB = ? → AI = ? → tọa độ điểm A → tọa độ B, C, D Hướng dẫn giải H A B I G C D Gọi H hình chiếu vng góc I AB Khi IH = d ( I , AB ) = Suy AH = +2 12 + 2 = AB 5 = AD = IH = ⇒ IB = IA = IH + AH = +5 = Do A, B giao điểm đường thẳng AB với đường tròn tâm I, bán kính R= x − y + =  x = −2 x =  Vậy tọa độ A, B nghiệm hệ:  2 25 ⇔   y = y =  x − ÷ + y =    Suy A ( −2;0 ) , B ( 2; ) ( Vì xA < ) Mặt khác I trung điểm AC BD nên suy C ( 3;0 ) , D ( −1; −2 ) Vậy A ( −2;0 ) , B ( 2; ) , C ( 3;0 ) , D ( −1; −2 ) Ví dụ Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC vuông A ( 1;2 ) có góc ·ABC = 600 , đường thẳng ∆ : x − y + = tiếp tuyến B đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Tìm tọa độ điểm B C, biết B có hồnh độ xB < Định hướng Ở B thuộc đường thẳng Δ A điểm biết tọa độ tính độ dài đoạn AB Khi tìm điểm B ta dễ dàng viết phương trình BC AC suy tọa độ điểm C Hướng dẫn giải C ∆ Δ B A H Gọi H hình chiếu vng góc A d, suy AH = d ( A, ∆ ) = 1− + 2 = Tam giác ABC vng A nên đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC nhận BC đường kính Mặt khác Δ tiếp tuyến B đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nên ∆ ⊥ BC Khi đó: ·ABH = 300 xét tam giác vng AHB ta có: AB = AH = = sin 30 2 Gọi B ( t; t + ) với t ∈ ¡ , đó:  1+ t = 2 2 AB = ⇔ ( t − 1) + t = ⇔ 2t − 2t − = ⇔   1− t =   1− −  1+ 1− ; ÷ Do xB < nên t = ( loại) t = ( thỏa mãn) Suy B  ÷ 2  2  uuur uur  1− −  ; n ÷ có vectơ pháp tuyến BC = u∆ = ( 1;1) nên ÷   có phương trình: x + y − + = uuur uuu r  + −1 +  ; ÷ có phương AC qua A ( 1;2 ) , có vectơ pháp tuyến nAC = BA =  2 ÷   Khi BC qua B  trình: ( + ) x + ( −1 + ) y + − 3 = Vì BC ∩ AC = { C} nên tọa độ điểm C nghiệm hệ:  3− x + y − + = x =   ⇒ C 3− ;3−  ⇔  ÷  ÷    + x + −1 + y + − 3 = y = 3−  ( ) ( ) Bài toán 2: Sử dụng khoảng cách từ điểm đến đường thẳng số tốn liên quan đến diện tích Trong số tốn tính diện tích tam giác, tứ giác thường hay sử dụng cơng thức tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng giải tốn nhanh xác Vì sáng kiến kinh nghiệm Tôi chủ yếu sử dụng công thức Ví dụ 1: Trong mặt phẳng tọa độ với hệ trục tọa độ Oxy, cho ∆ABC cân A(1;3); đỉnh B, C thuộc đường thẳng x – y – = Xác định tọa độ B, C biết diện tích ∆ABC 12 xB > Định hướng Điểm A biết tọa độ BC biết phương trình nên tính d(A;BC) Vấn đề cịn lại tính BC theo tham số Để ý giả thiết cân A nên chân đường cao H hạ từ A xuống BC trung điểm BC, mà H tìm tọa độ từ có BC = 2BH sử dụng cơng thức diện tích A Hướng dẫn giải Đường thẳng BC: x − y − = Ta có d ( A; BC ) = Đường cao AH có phương trình: x + y – = ⇒H = AH∩ BC ⇒ H (4;0) Vì B ∈ BC nên B (t; t – 4) với t > ⇒BH = (4 − t ) + (4 − t ) = 2(4 − t ) Lại có B C H t =  B S∆ABC = BC.d ( A; BC ) ⇔2(4 − t ) 18 = 12 ⇔  t = Do t >2 nên t = loại, t = thỏa mãn nên B(6; 2) Do C( 2;-2) Vậy B(6; 2) C( 2;-2) 10 Ví dụ 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có trực tâm H(5;5) phương trình đường thẳng chứa cạnh BC: x + y - = Biết đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC qua hai điểm M(7;3); N(4;2) Tính diện tích tam giác ABC Định hướng Để tính diện tích tam giác ABC ta cần biết tọa độ đỉnh A, B, C Biết điểm M, N thuộc đường tròn (I) ngoại tiếp ∆ABC , ta tìm thêm điểm thuộc (I) lập phương trình đường trịn (I) tìm tọa độ đỉnh A,B,C Tìm điểm K đối xứng với H qua BC K thuộc (I) Điểm K “mấu chốt” toán Hướng dẫn giải A M F H I B C J N K Gọi K điểm đối xứng với H qua BC K thuộc đường trịn (I) ngoại tiếp tam giác ABC Đường thẳng HK qua điểm H(5;5) vng góc với BC nên có phương trình x - y = Tọa độ trung điểm J HK nghiệm hệ: x + y − =  x − y = ⇒ J (4;4) ⇒ K (3;3) Gọi phương trình đường tròn (I) ngoại tiếp ∆ABC x2 + y2 + 2ax + 2by + c = Vì (I) qua điểm M(7;3); N(4;2); K(3;3) nên ta có: 49 + + 14a + 6b + c = a = −5   16 + + 8a + 4b + c = ⇔ b = −4 9 + + 6a + 6b + c = c = 36   2 Phương trình đường trịn (I): x + y -10x - 8y + 36 = x + y − = Tọa độ điểm B,C nghiệm hệ :  2  x + y − 10 x − y + 36 = ⇒ B(6;2); C(3;5) B(3;5); C(6;2) ⇒ BC = Phương trình đường thẳng HK phương trình đường thẳng AH x − y = Tọa độ điểm A nghiệm hệ :  2  x + y − 10 x − y + 36 = ⇒ A(6;6) Diện tích tam giác ABC là: 11 1 6+ 6−8 S ∆ABC = d ( A; BC ).BC = = (đvdt) 2 Ví dụ 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(4;3), đường phân giác góc A có phương trình: x - y - = 0, tâm đường tròn ngoại tiếp tam  3 giác ABC I  2; ÷ Viết phương trình cạnh BC biết diện tích tam giác ABC  2 hai lần diện tích tam giác IBC [4] Định hướng Trong tốn cho phương trình đường phân giác góc A khơng biết điểm nằm hai cạnh AB AC (khác điểm A), sử dụng giả thiết phương trình đường phân giác nào? Kéo dài phân giác góc A cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC điểm thứ hai D ta có D điểm cung BC ⇒ ID ⊥ BC Phương trình đường tròn ngoại tiếp ∆ABC ta lập được, suy tọa độ điểm D lưu ý BC ⊥ ID Sử dụng tiếp giả thiết thứ hai để tìm phương trình cạnh BC Hướng dẫn giải Gọi D giao điểm đường phân giác góc A với đường trịn (C) ngoại tiếp ∆ABC Ta có IA = , đường trịn (C) có tâm I bán kính IA nên có 25 phương trình: ( x − 2) + ( y − ) = x − y − =  Tọa độ giao điểm D nghiệm hệ:  25 ( x − ) + ( y − ) =  1 ⇒ D ( ;− ) 2 · · Ta có BAD nên D điểm cung BC ⇒ ID ⊥ BC = DAC uur Ta có ID = ( − ; −2) Đường thẳng BC ⊥ ID nên có phương trình cạnh BC: 3x + 4y + m = Mặt khác : S∆ABC = 2S ∆IBC ⇒ d ( A; BC ) = 2d ( I ; BC ) m + 24 m + 12 m = ⇔ =2 ⇔ 5  m = −16 Vậy phương trình đường thẳng BC 3x + 4y = 3x + 4y - 16 = 12 Ví dụ 4: Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC với A ( 2; −4 ) , B ( 0; −2 ) trọng tâm G thuộc đường thẳng 3x − y + = Hãy tìm tọa độ C biết tam giác ABC có diện tích Hướng dẫn giải C G B A H K M 2 Ta có: S∆ABC = AH AB = d ( C ; AB ) AB S∆GAB = GK AB = d ( G; AB ) AB 3 Trong tam giác ACM GK = CH nên: S∆GAB = S∆ABC = = Phương trình đường thẳng AB là: x − = y + ⇔ x + y + = −2 Đặt G ( a; b ) , G ∈ ( d ) : 3x − y + = nên 3a − b + = , ta có: S∆GAB = ⇔ AB.d ( G, AB ) = ⇔ a + b + = ±1  1 Tọa độ G là: G  − ; − ÷ G ( −1; −2 )  2 Với  1   9 G− ;− ÷ ⇒ C  − ; ÷  2  2 • Với G ( −1; −2 ) ⇒ C ( −5;0 ) • Ví dụ 5: Cho điểm C ( - 2;5) đường thẳng D : 3x- 4y + = Tìm D hai ỉ 5ư ÷và diện tích tam giác ABC 15 điểm A , B đối xứng với qua I ỗỗỗ2; ữ ữ ố 2ứ nh hng Đưa phương trình đường thẳng D dạng tham số để tìm tọa độ điểm A, B Hướng dẫn giải r M 0;1 ( ) u Dễ thấy đường thẳng D qua nhận ( 4;3) làm vectơ ìï x = 4t phương nên có phương trình tham số ïíï ïỵ y = 1+ 3t 13 B I A C Vì A Ỵ D nên A ( 4t;1+ 3t) , t ẻ R ổ 5ử ữ Hai điểm A , B đối xứng với qua I ỗỗỗ2; ữ ữsuy : ố 2ứ 4t + xB ïìï ïï = ìï x = 4- 4t ïí Û ïí B ïï 1+ 3t + yB ïïỵ yB = 4- 3t ïï = ïỵ Do B( 4- 4t;4- 3t) 2 Ta có AB = ( 4- 8t) +( 3- 6t) = 2t - d( C;D ) = 2 Suy SABC = AB.d( C;D ) = 2t - 3.( - 2) - 4.5+ = 22 22 = 112t - Diện tích tam giác ABC 15 Û 11 2t - = 15 Û 2t - 1= ± 15 13 Û t= 12 11 11 ổ52 50ử ổ 13 , Bỗ ; ữ ữ ữ ỗ Vi t = ị A ỗỗỗ ; ữ ữ ữ ỗ 11 ố11 11ứ ố 11 11ứ ổ ổ52 50ử , Bỗ ; ữ ữ ữ ỗ Vi t =- ị A ççç- ; ÷ ÷ ÷ ç 11 è 11 11ø è11 11ø t =- ỉ52 50ư ỉ 5ư ỉ 5ữ ổ 52 50ữ ữ , Bỗ ; ữ Aỗ ; ữ , Bỗ ; ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ hoc ữ ữ ữ ữ ỗ 11 11ứ ỗ ỗ11 11ứ ố11 11ứ ố ố 11 11ứ ố Vy A ỗỗỗ ; Bi toỏn 3: S dụng khoảng cách từ điểm đến đường thẳng số tốn liên quan đến phương trình tiếp tuyến đường tròn Kiến thức sử dụng: Đường thẳng ∆ tiếp tuyến đường tròn (C) tâm I bán kính R d(I; ∆ ) = R Ví dụ 1: Cho đường trịn (C): x + y − x + y = Viết phương trình tiếp tuyến ∆ (C) biết: a ∆ song song với đường thẳng d: 3x + y − = b ∆ vng góc với đường thẳng d: x − y + = Định hướng Vì tiếp tuyến song song vng góc với đường thẳng ∆ nên vấn đề tìm vectơ pháp tuyến đường thẳng ∆ Dùng điều kiện cần đủ để đường thẳng tiếp tuyến với đường trịn giúp ta giải vấn đề 14 Hướng dẫn giải Ta thấy: đường trịn (C) có tâm I(4; -3) bán kính R = a Vì ∆ song song với đường thẳng d: 3x + y − = nên ∆ có dạng: x + y + c = với c ≠ −5 ∆ tiếp tuyến đường tròn (C) ⇔ d ( I ; ∆ ) = R ⇔ 12 − + c 9+4 = ⇔ c + = 13 ⇔ c = −6 ± 13 thỏa mãn c ≠ −5 Vậy có tiếp tuyến thỏa mãn đề bài: x + y − + 13 = x + y − − 13 = b Vì ∆ vng góc với đường thẳng d: x − y + = nên ∆ có dạng: x + y + c = ∆ tiếp tuyến đường tròn (C) ⇔ d ( I;∆) = R ⇔ 4−6+c 1+ = 5⇔ c−2 = 5 ⇔ c = 2±5 Vậy có tiếp tuyến thỏa mãn đề bài: x + y + + 5 = x + y + − 5 = Ví dụ 2: Viết phương trình đường trịn (C) biết (C) có tâm nằm đường thẳng D : x- 6y- 10 = tiếp xúc với hai đường thẳng có phương trình D : 3x + 4y + = D :4x- 3y - = Định hướng Để ý rằng, bán kính (C) R = d(I; ∆1 ) = d(I; ∆ ) với I tâm đường trịn cần tìm Do cần tìm tâm I mà tâm I thuộc ∆ Hướng dẫn giải Gọi I tâm đường trịn (C) Vì đường trịn cần tìm có tâm I nằm đường thẳng ∆ nên gọi I ( 6a+ 10; a) Mặt khác đường tròn tiếp xúc với D 1, D nên khoảng cách từ tâm I đến hai đường thẳng bán kính R suy 3(6a+ 10) + 4a+ 5 = 4(6a+ 10)- 3a- 5 éa= ê ⇔ 22a+ 35 = 21a+ 35 Û ê êa= - 70 ê 43 ë - Với a= K ( 10;0) R = suy ( C) :( x- 10) + y2 = 49 - Với a= 2 ỉ ỉ 10ư ỉ 70ư ổ7 10 - 70ử - 70 ữ ỗ ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ K ; ữ R = +ỗy + ữ = ỗ ữ thỡ ỗỗ suy ( C) :ỗỗx- ữ ữv ỗ ỗ43ứ ữ ố ÷ è ÷ è43 43 ø 43 43 43ø è 43ø Vậy có hai đường trịn thỏa mãn có phương trình 2 ỉ 10ư ỉ 70ư ỉ7 ữ +ỗ y+ ữ =ỗ ữ ữ ữ ( C) :( x- 10) + y = 49 ( C) :ỗỗỗx- ữ ỗ ỗ ữ ữ ữ ỗ ỗ è 43ø è 43ø è43ø Ví dụ 3: Viết phương trình tiếp tuyến D đường trịn ( C) : x2 + y2 - 4x + 4y - 1= biết đường thẳng D hợp với trục hồnh góc 450 2 Định hướng Để lập phương trình đường trịn cần tìm tâm I tìm bán kính Mà d(I; D ) = R, sau sử dụng cơng thức tính góc đường thẳng D trục Ox 15 Hướng dẫn giải Đường tròn (C) có tâm I(2; -2) bán kính R = Giả sử phương trình đường thẳng D : ax + by + c = 0, a2 + b2 ¹ Đường thẳng D tiếp tuyến với đường tròn (C) d( I ;D ) = Û 2a- 2b+ c a2 + b2 = Û ( 2a- 2b+ c) = 9( a2 + b2 ) (*) Đường thẳng D hợp với trục hồnh góc 450 suy cos( D ;Ox) = b Þ cos450 = b Û b = Û a= b a=- b a2 + b2 a2 + b2 a2 + b2 TH1: Nếu a= b thay vào (*) ta có 18a2 = c2 Û ±c = 2a, chọn a= b= 1Þ c = ±3 suy D : x + y ± = ( ) éc = - a ê TH2: Nếu a=- b thay vào (*) ta có 18a = ( 4a+ c) Û ê ê êc =- + a ë 2 ( ) Với c = ( - 4) a, chọn a= 1, b=- 1, c = ( - 4) Þ D : x- y + - = Với c =- ( + 4) a, chọn a= 1, b=- 1, c =- ( + 4) Þ D : x- y- - = Vậy có bốn đường thẳng thỏa mãn D 1,2 : x + y ± = 0, D : x- y + - = D : x- y- - = Ví dụ 4: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho đường trịn (C) có phương trình ( x − 3) + y = Tìm điểm M ∈ Oy cho từ M kẻ hai tiếp tuyến MA; MB tới đường tròn (C ) ( A; B tiếp điểm) mà góc tạo hai tiếp tuyến 600 [5] Định hướng · · = IMA = 300 ⇒ IH = IA.sin 300 = R ⇒ d ( I ; AB ) = Gọi H = MI ∩ AB ⇒ IAH M (0; t ) Oy Gọi toạ độ điểm thuộc trục tung Viết phương trình đường thẳng AB Tính khoảng cách từ điểm tâm I đường trịn (C ) theo tham số t cho khoảng cách Từ ta tìm t suy toạ độ điểm M Hướng dẫn giải A M H I B Đường trịn (C ) có tâm I (3;0) , bán kính R = 16 Gọi M (0; t ) thuộc trục tung Oy Khi phương trình đường thẳng AB là: (0 − 3)( x − 3) + ty − = ⇔ x − ty − = 3.3 − t.0 − d ( I ; AB ) = = 32 + t + t2 · Ta có MI phân giác góc ·AMB ⇒ IMA = 300 · · = IMA = 300 ⇒ IH = IA.sin 300 = R ⇒ d ( I ; AB ) = Gọi H = MI ∩ AB ⇒ IAH Suy + t2 = ⇔ + t2 = ⇔ t2 = ⇔ t = ± Vậy M (0; 7); M (0; − 7) 2 Ví dụ Cho hình thoi ABCD ngoại tiếp đường tròn ( C ) : x + y + y − 16 = Biết AC = BD , điểm B có hồnh độ dương thuộc đường thẳng ∆ : x − y − = Viết phương trình cạnh AB Định hướng Ở B thuộc đường thẳng Δ I tâm đường tròn (C) biết tọa độ tính độ dài đoạn BI Khi tìm điểm B ta chuyển tốn viết phương trình đường thẳng AB qua điểm B biết tọa độ cách điểm I cho trước khoảng không đổi R Hướng dẫn giải B ∆ H C I A D Đường trịn (C) có tâm I ( 0; −2 ) bán kính R = Gọi H hình chiếu I AB, suy IH = R = Vì ABCD hình thoi AC = BD nên AI = BI , xét tam giác vng ABI ta có: 1 1 1 + = ⇔ + = 2 AI BI IH BI BI ( ) ⇔ BI = Gọi B ( t ; t − 1) ∈ ∆ với t > , đó: BI = ⇔ BI = 25 ⇔ t + ( t − 1) = 25 ⇔ t − t − 12 = ⇔ t = t = −4 (loại) ⇒ B ( 3;2 ) 17 uuur Gọi vectơ pháp tuyến AB nAB = ( a; b ) với a + b2 > , phương trình AB có dạng: a ( x − 3) + b ( y − ) = ⇔ ax + by − 3a − 2b = Ta có: d ( I , AB ) = R ⇔ −2b − 3a − 2b a + b2 = ⇔ ( 3a + 4b ) = 20 ( a + b ) 2 ⇔ 11a Với a b Với a b a a a a − 24ab + 4b = ⇔ 11 ÷ − 24  ÷+ = ⇔ = = b 11 b b b a = = chọn  , phương trình AB là: x + y − = b = a = 2 = chọn  , phương trình AB là: x + 11y − 28 = 11 b = 11 2.3.3 Một số toán vận dụng Trong mặt phẳng tọa độ với hệ trục tọa độ Oxy,cho hình vng ABCD có A(- 1; 2) Goi M, N trung điểm AD DC Gọi K = BN ∩ CM Viết phương trình đường trịn ngoại tiếp ∆BMK biết BN có phương trình: 2x + y – = xB > 2 Trong mặt phẳng tọa độ với hệ trục tọa độ Oxy,cho hình vng ABCD có phương trình AD: 3x – 4y – = E điểm bên hình vng cho · ∆EBC cân BEC = 1500 Viết phương trình đường thẳng AB biết E(2; -4) Trong mặt phẳng tọa độ với hệ trục tọa độ Oxy,cho hình chữ nhật ABCD có C thuộc d: x – 2y – = 0, đường thẳng BD có phương trình: 7x – y – = Gọi E(-1; 2) thuộc cạnh AB cho EB = 3EA Tìm tọa độ A, B, C, D biết B, C có tung độ dương Trong mặt phẳng tọa độ với hệ trục tọa độ Oxy, cho hình bình hành ABCD có đường chéo AC : x + y + = G(1; 4) trọng tâm ∆ABC Gọi E (0 ; -3) thuộc đường cao kẻ từ D ∆ABC Tìm tọa độ đỉnh hình bình hành biết S∆ACG = y A > Cho P (-2 ; 1) đường thẳng d: 4x – 3y + = Viết phương trình đường trịn qua P cắt d theo đường kính MN cho S∆PMN = Cho ∆ABC có B(4; -5) Phương trình đường cao kẻ từ A trung tuyến kẻ từ B x – 3y – = 0; x + y + = Tìm tọa độ A, C biết S∆ABC = 16 Cho (C): x2 + y2 - 2x - 6y + = M(2; 4) Viết phương trình tiếp tuyến (C) biết hệ số góc k = -1 Cho M (1; 2); N (3; -4); đường thẳng d: x + y – = Viết phương trình đường trịn qua điểm M, N tiếp xúc với d Lập phương trình đường trịn tiếp xúc với ∆1 : 4x – 3y – 12 = 0; ∆ : 4x + 3y – 12 = trục Oy 10 Lập phương trình tiếp tuyến chung hai đường trịn sau: ( C1) : x2 + y2 - 4y- 5= ( C2) : x2 + y2 - 6x + 8y +16 = 18 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường Qua đề tài, thu số học sau: - Rèn luyện cho học sinh phân tích tốn để tìm lời giải tối ưu - Rèn luyện cho học sinh cách trình bày chặt chẽ, đọng - Phải tạo liên kết kiến thức qua dạng toán - Phân dạng tập tạo hứng thú cho học sinh Giáo viên thực nghiệm qua nhiều khóa học sinh từ năm 2015 trường THPT Nguyễn Quán Nho kết thu tốt Qua việc triển khai đề tài việc học sinh tiếp thu kiến thức cách tổng quát em rèn luyện kĩ nhìn nhận, đánh giá, khái quát hóa, có ý thức sử dụng quy tắc suy đốn tương tự hóa, khái qt hóa, đặc biệt hóa … Các Thầy Cơ giáo trường sử dụng sáng kiến chương trình bồi dưỡng tốn 10, ơn thi THPT quốc gia số nâng cao dùng bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi tỉnh Kết luận, kiến nghị 3.1 Kết luận Qua thời gian viết sáng kiến kinh nghiệm vận dụng chuyên đề vào giảng dạy, Tôi thấy việc làm thu kết đáng kể từ phía em học sinh Đây thực công cụ hiểu hiệu giúp học sinh giải tốn nhanh, gọn xác Điều phần tạo cho em học sinh có tâm tốt bước vào kì thi quan trọng Qua việc ứng dụng đề tài vào giảng dạy cho học sinh, nhận thấy chuyên đề tiếp tục áp dụng vào năm học tiếp theo, đặc biệt phù hợp với đối tượng học sinh Tất nhiên phải tiếp tục hoàn thiện đề tài 3.2 Kiến nghị Qua nghiên cứu đề tài này, rút số kiến nghị sau: Phải thường xuyên học hỏi, trau dồi chun mơn nghiệp vụ để tìm phương pháp dạy học phù hợp Cần phải phát huy tối đa vai trò phương pháp dạy học trắc nghiệm gắn liền với thực tiễn học sinh (phân loại học sinh trung bình, yếu, kém) Thường xun tạo tình có vấn đề kích thích tìm tịi học hỏi học sinh Thường xun khuyến khích nhắc nhở tinh thần tự học học sinh cách giới thiệu chuyên đề, học có liên quan, đồng thời đề nghị nhà trường bổ sung thêm tài liệu tham khảo vào thư viện để học sinh tham khảo Trong q trình thực đề tài, Tơi nhận góp ý quý báu đồng nghiệp, song thời gian nghiên cứu ứng dụng chưa dài nên đề 19 tài tơi khơng tránh khỏi cịn nhiều hạn chế Rất mong tiếp tục nhận đóng góp khác từ phía đồng nghiệp để tơi hồn thiện đề tài Tơi xin chân thành cảm ơn ! Thanh hóa, ngày 10 tháng năm 2021 Xác nhận thủ trưởng đơn vị Tôi cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Nguyễn Thị Lan 20 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Mai Thị Hiền, Giáo viên Trường THPT Nga Sơn, tỉnh Thanh Hóa - “ Rèn luyện cho học sinh kỹ sử dụng khoảng cách từ điểm đến đường thẳng để giải số dạng tốn hình tọa độ phẳng ” - SKKN 2015 - 2016 [2] Đề tuyển sinh đại học khối A năm 2012 [3] Đề tuyển sinh đại học khối B năm 2002 [4] Dương Thị Thu, Giáo viên Trường THPT Ba Đình- Nga Sơn, tỉnh Thanh Hóa - “ Hướng dẫn học sinh khai thác tính chất hình học để giải tốn tam giác hình học tọa độ phẳng ” - SKKN 2015 - 2016 [5] Hà Sỹ Tiến, Giáo viên Trường THPT Lê Lợi, tỉnh Thanh Hóa - “ Hướng dẫn học sinh sử dụng kết hai toán để giải số bái tốn hình học phẳng toạ độ Oxy ” - SKKN 2015 - 2016 [6] Sách giáo khoa hình học 10 - Nhà xuất giáo dục [7] Các dạng tốn hình học 10 tác giả Đặng Phúc Thanh Văn Đức Thảo - Nhà xuất giáo dục 21 ... luyện cho học sinh kỹ sử dụng khoảng cách từ điểm đến đường thẳng để giải số dạng toán hình tọa độ phẳng ” - SKKN 2015 - 2016 [2] Đề tuyển sinh đại học khối A năm 2012 [3] Đề tuyển sinh đại học khối... điểm chia đoạn thẳng … giải nghĩ đến tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng để giải cho nhanh dễ hiểu Trong sáng kiến kinh nghiệm công thức sử dụng để giải toán khoảng cách như: Cho đường thẳng. .. dụng khoảng cách từ điểm đến đường thẳng số tốn hình tọa độ phẳng cho điểm có tọa độ thỏa mãn tính chất Trong số tốn đa giác phẳng cho điểm có tọa độ vị trí đỉnh đa giác, tâm, trọng tâm, trung điểm,