skkn một số PHƯƠNG PHÁP TÍNH KHOẢNG CÁCH TRONG KHÔNG GIAN

MỤC LỤC Lời giới thiệu ………………………………………………………………… 2 Tên sáng kiến ………………………………………………………………… 3 Tác giả sáng kiến …………………………………………………………… Chủ đầu tư tạo sáng kiến ………………………………………………… Lĩnh vực áp dụng sáng kiến ………………………………………………… Ngày sáng kiến áp dụng lần đầu áp dụng thử …………………… Mô tả chất sáng kiến …………………………………………………… 7.1 Nội dung sáng kiến.……………………………………………………… 7.1.1 Cơ sở lý thuyết…………………………………………………… 7.1.2 Thực trạng vấn đề………………………………………………… 7.1.3 Một số giải pháp ………………………………………………… 7.1.4 Bài tập đề nghị…………………………………………………… 23 7.2 Về khả áp dụng sáng kiến………………………………………… 24 Những thông tin cấn bảo mật………………………………………… 24 Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến.……………………………… 24 10 Đánh giá lợi ích thu được.………………………………………………… 25 11 Danh sách tổ chức/cá nhân tham gia áp dụng thử áp dụng sáng kiến lần đầu ………………………………………………………… 25 BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN Lời giới thiệu Trong chương trình tốn học lớp 11, 12, tốn khoảng cách khơng gian giữ vai trị quan trọng, xuất hầu hết đề thi tuyển sinh vào đại học, cao đẳng; đề thi học sinh giỏi, đề thi tốt nghiệp năm gần Mặc dù phần kiến thức địi hỏi học sinh phải có tư sâu sắc, có trí tưởng tượng hình khơng gian phong phú nên học sinh đại trà, mảng kiến thức khó thường để điểm kì thi nói Đối với học sinh giỏi, em làm tốt phần Tuy nhiên cách giải rời rạc, làm biết thường tốn nhiều thời gian Trong sách giáo khoa, sách tập tài liệu tham khảo, loại tập nhiều song dừng việc cung cấp tập cách giải, chưa có tài liệu phân loại cách rõ nét phương pháp tính khoảng cách khơng gian Đối với giáo viên, lượng thời gian ỏi việc tiếp cận phần mềm vẽ hình khơng gian hạn chế nên việc biên soạn chuyên đề có tính hệ thống phần cịn gặp nhiều khó khăn Trước lí trên, tơi định viết đề tài sáng kiến kinh nghiệm mang tên: “Một số phương pháp tính khoảng cách khơng gian” nhằm cung cấp cho học sinh nhìn tổng qt có hệ thống tốn tính khoảng cách không gian, hệ thống tập phân loại cách tương đối tốt, qua giúp học sinh e sợ phần quan trọng hơn, đứng trước toán học sinh bật cách giải, định hướng trước làm qua có cách giải tối ưu cho tốn Mặc dù vậy, điều kiện thời gian hạn chế nên phân loại chưa triệt để mang tính chất tương đối, mong bạn bè đồng nghiệp góp ý kiến chỉnh sửa để đề tài hồn thiện Tơi xin chân thành cảm ơn! Mọi đóng góp xin gửi về: Nguyễn Ngọc Tân - Trường THPT Yên Lạc - huyện Yên Lạc - tỉnh Vĩnh Phúc - Số điện thoại: 0976994981 Email: ngoctan.vp@gmail.com Tên sáng kiến: Một số phương pháp tính khoảng cách khơng gian Tác giả sáng kiến: - Họ tên: Nguyễn Ngọc Tân - Địa tác giả sáng kiến: Trường THPT Yên Lạc – huyện Yên Lạc – tỉnh Vĩnh Phúc - Số điện thoại: 0976994981 Email: ngoctan.vp@gmail.com Chủ đầu tư tạo sáng kiến: Nguyễn Ngọc Tân Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: - Sáng kiến kinh nghiệm nghiên cứu khoảng cách hình học khơng gian khối 11 dành cho bồi dưỡng học sinh giỏi trường THPT Yên Lạc ôn thi THPT Quốc Gia - Sáng kiến góp phần nâng cao hiệu bồi dưỡng HSG khối 12 thi THPT Quốc Gia Ngày sáng kiến áp dụng lần đầu áp dụng thử: 10/9/2019 Mô tả chất sáng kiến 7.1 Nội dung sáng kiến 7.1.1 Cơ sở lý thuyết Trong nghiên cứu khoa học, việc tìm quy luật, phương pháp chung để giải vấn đề quan trọng giúp có định hướng tìm lời giải lớp toán tương tự nhau, Trong dạy học giáo viên có nhiệm vụ thiết kế điều khiển cho học sinh thực luyện tập hoạt động tương thích với nội dung dạy học điều kiện gợi động co, có hướng đích, có kiến thức phương pháp tiến hành có trải nghiệm thành công Do việc trang bị phương pháp cho học sinh nhiệm vụ quan trọng người giáo viên Trong “Khoảng cách” sách giáo khoa lớp 11 có đưa khái niệm khoảng cách: - Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng - Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng - Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song, khoảng cách hai mặt phẳng song song - Khoảng cách hai đường thẳng chéo Do có hệ thống phương pháp tiếp cận giải toán: Bài toán 1: Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng Bài toán 2: Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Bài toán 3: Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song, khoảng cách hai mặt phẳng song song Bài toán 4: Khoảng cách hai đường thẳng chéo hầu hết tốn khoảng cách giải Vì vậy, việc đưa “Một số phương pháp tính khoảng cách khơng gian” việc cần thiết bổ ích cho việc dạy giáo viên việc học hình học không gian học sinh 7.1.2 Thực trạng vấn đề Trong trình giảng dạy đồng nghiệp tơi nhận thấy phần lớn học sinh cịn lơ mơ hình học khơng gian Đặc biệt gặp tốn khoảng cách thường khơng định hình cách giải, lúng túng xác định hình chiếu điểm lên đường thẳng, mặt phẳng xác định chúng khơng tính được, tìm cách làm dài chưa kể đến việc vẽ hình chưa chưa biết vẽ hình Mặt khác thời gian cho lại nên học sinh lúng túng khơng biết định hình đứng trước tốn Cụ thể: - Tình 1: Cho hình chóp S ABCD , SH ⊥ ( ABCD ) Tính khoảng cách từ H đến mặt phẳng ( SCD ) Học sinh dựng hình chiếu H lên ( SCD ) từ khơng thể tính khoảng cách từ H đến mặt phẳng ( SCD ) Như biết H chân đường cao hạ từ đỉnh S lên ( SCD ) việc xác định khoảng cách từ H đến mặt phẳng ( SCD ) cách dễ dàng - Tình 2: Cho hình chóp S ABCD , SH ⊥ ( ABCD ) , ABCD hình chữ nhật tâm O Tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng ( SCD ) Trong tình học sinh lúng túng dựng khoảng cách từ O đến ( SCD ) sử dụng tỉ số khoảng cách d ( O, ( SCD ) ) d ( A, ( SCD ) ) = Vì giáo viên cần xây dựng cho học sinh cách dựng hình chiếu số điểm thường gặp sử dụng tỉ lệ khoảng cách điểm để đưa tính khoảng cách điểm biết đơn giản - Tình 3: Cho hình chóp S ABCD , SH ⊥ ( ABCD ), SA = a , ABCD hình vng cạnh a Tính khoảng cách AC SD Với tình học sinh thường hay dựng đường vng góc chung hai đường thẳng AC SD khó tìm được, số học sinh biết dựng ( SB ' D ) chứa SD song song với AC ta có d ( AC , SD ) = d ( AC , ( SB ' D ) ) = d ( A, ( SB ' D ) ) - Tình 4: Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a, gọi M, N trung điểm AB, AD H giao điểm CN, DM , SH ⊥ ( ABCD ), SA = a Tính khoảng cách SC DM Học sinh thường không nhận vị trí tương đối DM SC có điểm đặc biệt vng góc với nên loay hoay dựng đường vng góc chung khơng Đưa khoảng cách từ đường thẳng đến mặt phẳng song song chứa đường cịn lại, lại khó dẫn đến bế tắc Lúc vai trò người giáo viên quan trọng, phải hướng dẫn rõ cho học sinh phương pháp giải dạng toán, nên giải cho hợp lý loại để đáp án suy luận có lơgíc để có hướng làm tốt tránh tình rối ren dễ mắc sai lầm Trên sở hình thành cho học sinh kỹ tốt giải toán khoảng cách 7.1.3 Một số giải pháp Qua nghiên cứu, trao đổi, đúc rút kinh nghiệm ý kiến đồng nghiệp, mạnh dạn đưa hướng giải vấn đề học sinh với giải pháp: Đưa “Một số phương pháp tính khoảng cách khơng gian” sau: I BÀI TOÁN 1: KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN ĐƯỜNG THẲNG Phương pháp: Cho điểm O đường thẳng ∆ Gọi H hình chiếu O ∆ Khi khoảng cách hai điểm O H gọi khoảng cách từ điểm O đến ∆ Kí hiệu d (O, ∆) * Nhận xét - ∀M ∈ ∆, OM ≥ d (O, ∆ ) - Để tính khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng ∆ ta + Xác định hình chiếu H O ∆ tính OH + Áp dụng cơng thức Bài tập minh họa: Bài tập Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a, tâm O, SH ⊥ ( ABCD ), SA = a Tính khoảng cách SC DM Gọi I, M theo thứ tự trung điểm SC, AB a) Tính khoảng cách từ I đến CM b) Tính khoảng cách từ S đến CM Giải a) Cách 1: Gọi H hình chiếu I lên CM ⇒ IH ⊥ CM Trong tam giác SCM ta có: SM = SA2 + AM = 5a 5a CM = MB + BC = SC = SA2 + AC = 3a Suy tam giác SCM cân M ⇒ MI = SM +  SC ÷ = 2a   ⇒ IH = IM + IS = 10 3a ⇒ IH = a 10 Cách 2: Vì IO PSA ⇒ IO ⊥ CM ⇒ OH ⊥ CM 1 20 a 1a 2 = + = ⇒ OH = Ta có OK = OB = a= a, 20 OH OK OC a 3 Trong tam giác vuông IOH ta có: IH = IO + OH = b) Ta dễ thấy d ( S , CM ) = SM a 10 d ( S , CM ) 30a = ⇒ d ( S , CM ) = 2d ( I , CM ) = IH = d ( I , CM ) Nhận xét: - Trong cách việc tính khoảng cách IH ta linh hoạt chọn cách tính phù hợp với kiện toán đưa - Trong cách tính khoảng cách từ S đến CM làm Tuy nhiên ta sử dụng tỉ lệ khoảng cách hai đểm S, I đến CM II BÀI TOÁN 2: KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT MĂT PHẲNG Phương pháp: Cho điểm O mặt phẳng (α) Gọi H hình chiếu O (α) Khi khoảng cách hai điểm O H gọi khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (α) Kí hiệu d (O,(α )) * Nhận xét - ∀M ∈ (α ), OM ≥ d (O,(α )) - Việc xác định hình chiếu H vấn đề khó thực nhiều thời gian để thực Do đưa phương pháp xác định khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng sau: Phương pháp 1: Tính trực tiếp Xác định hình chiếu H O (α) tính OH dựa số trường đặc biệt sau: + Trong hình chóp đều, chân đường cao hạ từ đỉnh trùng với tâm đáy + Hình chóp có mặt bên vng góc với đáy chân đường vng góc hạ từ đỉnh thuộc giao tuyến mặt bên với đáy + Hình chóp có mặt bên vng góc với đáy đường cao giao tuyến hai mặt bên + Hình chóp có cạnh bên (hoặc tạo với đáy góc nhau) chân đường cao tâm đường trịn ngoại tiếp đáy + Hình chóp có mặt bên tạo với đáy góc chân đường cao tâm đường tròn nội tiếp đáy + Nếu O lại chân đường cao hạ từ đỉnh S ta dựng hình chiếu H O lên mặt (SAB) sau: Kẻ OK ⊥ AB ( K ∈ AB ) , OH ⊥ SK , ( H ∈ SK ) Ta có: d ( O, ( SAB ) ) = OH Thật vậy: OK ⊥ AB, AB ⊥ SO ⇒ AB ⊥ SK ⇒ OH ⊥ ( SAB ) Phương pháp 2: Sử dụng công thức thể tích 3V Thể tích khối chóp V = S h ⇔ h = Theo cách này, để tính khoảng cách từ S đỉnh hình chóp đến mặt đáy, ta tính V S Phương pháp 3: Sử dụng tỉ lệ khoảng cách hai điểm Ý tưởng phương pháp là: đưa việc tính d (O,(α )) việc tính d (O ',(α )) dễ dàng Ta thường sử dụng kết sau: Kết Nếu đường thẳng ∆ song song với mặt phẳng (α) O, O’ ∈ ∆ d (O;(α )) = d (O ';(α )) Kết Nếu đường thẳng ∆ cắt mặt phẳng (α) điểm I O, O’ ∈ ∆ (O, O’ khơng trùng với I) d (O;(α )) OI = d (O ';(α )) O ' I Đặc biệt, O trung điểm O’I d (O;(α )) = d (O ';(α )) I trung điểm OO’ d (O;(α )) = d (O ';(α )) Phương pháp 4: Sử dụng tính chất tứ diện vuông Cơ sở phương pháp tính chất sau: Giả sử OABC tứ diện vuông O ( OA ⊥ OB, OB ⊥ OC , OC ⊥ OA ) H hình chiếu O mặt phẳng (ABC) Khi đường cao OH tính cơng thức OH = OA2 + OB + OC Phương pháp 5: Sử dụng phương pháp tọa độ Cơ sở phương pháp ta cần chọn hệ tọa độ thích hợp sau sử dụng công thức sau: d ( M ;(α )) = Ax0 + By0 + Cz0 + D với M ( x0 ; y0 ; z0 ) , (α ) : Ax + By + Cz + D = A + B +C uuur r MA ∧ u r d ( M , ∆) = r với ∆ đường thẳng qua A có vectơ phương u u 2 r ur uuur u ∧ u ' AA ' ur d (∆, ∆ ') = r ur với ∆ ' đường thẳng qua A ' có vtcp u ' u ∧u' Phương pháp 6: Sử dụng phương pháp vectơ Bước 1: Chon hệ toạ độ Oxyz gắn với hình xét Bước 2: Chuyển tốn từ ngơn ngữ hình học sang ngơn ngữ toạ độ - véc tơ Bước 3: Giải toán phương pháp toạ độ, chuyển sang ngôn ngữ hình học Bài tập minh họa: Bài tập (Đề HSG mơn tốn 12 tỉnh Vĩnh Phúc năm học 2011-2012) Cho lăng trụ đứng ABC A′B′C ′ có đáy tam giác vuông B với AB = a, AA′ = 2a, A′C = 3a Gọi M trung điểm cạnh C ′A′ , I giao điểm đường thẳng AM A′C Tính thể tích khối tứ diện IABC khoảng cách từ A tới mặt phẳng ( IBC ) Giải 10 1 Vậy: VP AMN = S AMN d ( ( P,( AMN )) ) = S ABS d ( (C ,( AMN )) ) 3 1 1 = VC ABS = VS ABC = S ABC SO S ABC = a , SO = SA2 − AO = a 4 2 Vậy VAMNP = 3V 1 a a3 ⇒ d ( ( P,( AMN )) ) = PAMN = a a = S AMN 12 2 48 Bài tập Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng tâm O, SA vng góc với đáy hình chóp Cho AB = a, SA = a S Gọi H, K hình chiếu A SB, SD Tính khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (AHK) K Phân tích Khối chóp AOHK ASBD có chung đỉnh, đáy nằm mặt phẳng D H A O nên ta tính thể tích khối chóp B OAHK, tam giác AHK cân nên ta tính C diện tích Giải Cách 1: VOAHK = S AHK d ( O; ( AHK ) ) Trong đó: + 1 a a ; = + = ⇒ AH = ∆ SAD = ∆ SAB ⇒ AK = AH = I AH AB AS 2a 3 G J Ta có HK BD đồng phẳng vng góc với SC nên HK // BD AI cắt SO G trọng tâm tam giác SAC, G thuộc HK nên HK SG 2 2a Tam giác AHK cân tai A, G trung điểm HK = = ⇒ HK = BD = BD SO 3 nên AG ⊥ HK AG = S AHK 2 1 2a AI = SC = 2a = ; 3 3 1 2a 2a 2a = AG.HK = = 2 3 13 1 +VOAHK = VAOHK = d ( A; ( OHK ) ) S ∆OHK = d ( A; ( SBD ) ) S ∆OHK = h.S ∆OHK 3 Tứ diện ASBD vuông A nên: 1 1 a 10 = + + = ⇒h= 2 2 h AS AB AD 2a Tam giác OHK cân O nên có diện tích S 1 a 10 2a 5a 2a S = OG.HK = = ⇒ VOAHK = Sh = 2 27 ⇒ d ( O; ( AHK ) ) = 3VOAHK S AHK 2a 3× 27 = a = 2 2a Cách 2: Ta chứng minh VOAHK = VSABD 1 2 Ta có: HK = BD; OG = SO ⇒ SOHK = HK ×OG = × BD ×SO = S SBD 3 2 9 2 1 a3 ⇒ VAOHK = VSABD = × SA × AB ×AD = 9 27 Cách 3: Giải phương pháp tọa độ sau: Chọn hệ tọa độ Oxyz cho O ≡ A, B(a ; ; 0), D(0 ; a ; 0), S(0 ; ; a )  2a a   2a a   a a  Tính SH, SK suy tọa độ H  0; ; ÷, K  ;0; ÷, O  ; ;0 ÷  2   3   uuur uuur uuur Áp dụng công thức V =  AH , AK  AO Cách 4: SC ⊥ (AHK) nên chân đường vng góc hạ từ O xng (AHK) xác định theo phương SC * AH ⊥ SB, AH ⊥ BC (do BC ⊥ (SAB)) ⇒ AH ⊥ SC Tương tự AK ⊥ SC Vậy SC ⊥ (AHK) * Giả sử (AHK) cắt SC I, gọi J trung điểm AI, OJ // SC ⇒ OJ ⊥ (AHK) SA = AC = a ⇒ ∆SAC cân A ⇒ I trung điểm SC 1 a Vậy OJ = IC = SC = 2a = 4 14 Bài tập (Đề thi Đại học khối B năm 2011) Cho lăng trụ ABCDA1B1C1D1 có đáy ABCD hình chữ nhật AB = a, AD = a Hình chiếu vng góc điểm A1 mặt phẳng (ABCD) trùng với giao điểm AC BD, góc hai mặt phẳng (ADD1A1) (ABCD) 600 Tính thể tích khối lăng trụ cho khoảng cách từ điểm B1 đến mặt phẳng (A1BD) theo a Phân tích Do B1C // (A1BD) nên ta trượt đỉnh B1 vị trí thuận lợi C quy việc tính d ( B1 ; ( A1 BD ) ) thành tính d ( C ; ( A1 BD ) ) Giải B1 C1 * Gọi O giao điểm AC BD ⇒ AO ⊥ ( ABCD ) A1 D1 Gọi E trung điểm AD ⇒ OE ⊥ AD & A1E ⊥ AD ⇒ ·A1EO = 600 B S ABCD = a , Vlt = AO S ABCD C K a AO = OE.tan ·A1 EO = O 3a = H A E D * Tính d ( B1 ; ( A1 BD ) ) : Cách 1: Do B1C // (A1BD) ⇒ d ( B1 ; ( A1BD ) ) = d ( C ; ( A1BD ) ) Hạ CH ⊥ BD ⇒ CH ⊥ ( A1BD ) ⇒ d ( C ; ( A1 BD ) ) = CH = Cách 2: d ( B1 ; ( A1 BD ) ) = d ( C ; ( A1BD ) ) = d ( A; ( A1BD ) ) = 3VA ABD S A BD Trong đó: VA ABD 1 a3 = Vlt = 15 CB.CD CB + CD = a S∆A BD a3 × =a 1 a a ⇒ d ( B ; ( A BD ) ) = 1 = AO BD = × × a = a2 2 2 Bài tập Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng tâm O có cạnh a, SA = a vng góc với mặt phẳng (ABCD) a) Tính khoảng cách từ O đến (SBC) b)Tính khoảng cách từ trọng tâm tam giác SAB đến (SAC) Phân tích: Do OA ∩ ( SBC ) = C , nên thay việc tính d ( O, ( SBC ) ) ta tính d ( A, ( SBC ) ) , tương tự ta quy việc tính d ( G, ( SAC ) ) thơng qua việc tính d ( E , ( SAC ) ) hay d ( B, ( SAC ) ) Giải a) Ta có: OA ∩ ( SBC ) = C nên: d ( O, ( SBC ) ) d ( A, ( SBC ) ) = OC = AC S ⇔ d ( O, ( SBC ) ) = d ( A, ( SBC ) ) Gọi H hình chiếu A SB ta có: G H  AH ⊥ SB ⇒ AH ⊥ ( SBC )   AH ⊥ BC A D F E Trong tam giác vuông SAB có: B O C 1 a = 2+ = ⇔ AH = 2 AH SA AB 3a 1 a ⇒ d ( O, ( SBC ) ) = d ( A, ( SBC ) ) = AH = 2 b) Gọi E trung điểm AB, G trọng tâm tam giác SAB Do EG ∩ ( SAB ) = S nên d ( G, ( SAC ) ) d ( E , ( SAC ) ) = GS 2 = ⇔ d ( G, ( SAC ) ) = d ( E , ( SAC ) ) ES 3  BO ⊥ AC ⇒ BO ⊥ ( SAC ) ; BE ∩ ( SAC ) = A Ta có:   BO ⊥ SA 16 a a 1 a ⇒ d ( G, ( SAC ) ) = × = ⇒ d ( E , ( SAC ) ) = d ( B, ( SAC ) ) = BO = 2 Bài tập (Đề thi đại học khối D năm 2007) Cho hình chóp S ABCD có đáy · hình thang ·ABC = BAD = 900 , BA = BC = a , AD = 2a Cạnh bên SA vng góc với đáy SA = a Gọi H hình chiếu vng S góc A SB Tính khoảng cách từ H đến mặt phẳng ( SCD) uuu r r uuur r uuu r r Đặt AB = a; AD = b; AS = c r r r r r r Ta có: a ×c = 0; b ×c = 0; a ×b = N E H Giải K A Q D P B uur r r uuu r r r r uuu r r r SB = a − c; SC = a + b − c; SD = b − c C M Gọi N chân đường vng góc hạ từ H lên mặt phẳng (SCD) ⇒ d ( H ;( SCD)) = HN Dễ dàng tính SH = SB uuur uuur uuu r uuu r uuu r  2r  x uur = x − HN = HS + SN = − SB + xSC + ySD Khi :  ÷a +  + 3  2 r  r y ÷b +  − x − y ÷c  3   r2  x   r2   r2 uuur uuu r x − a + + y b − − x − y c = x =  ÷  ÷  ÷   HN ×SC =  3 2  3   ⇒ ⇒ u u u r u u u r Ta có:    r r y = −1  HN ×SD =  x + y  b −  − x − y  c =  ÷  ÷    3  uuur r r r  r r r a ⇒ HN = a + b + c ⇒ HN = a + b + c÷ = 12 6   Cách 2: Gọi d1 , d khoảng cách từ điểm H B đến mp(SCD), ta có: d1 SH 2 3V 2V = = ⇔ d1 = d = × BSCD = BSCD d SB 3 S∆SCD S ∆SCD Trong VBSCD 1 1 a3 = SA ×S∆BCD = SA ×S ∆BID = SA × AB ×ID = 3 3 17 CD ⊥ AC ⇒ CD ⊥ SC Ta có:  CD ⊥ SA a 1 ⇒ S ∆SCD = SC ×CD = SA2 + AB + BC × CE + ED = a 2 ⇒ d1 = 2 Cách 3: Sử dụng tính chất tứ diện vng Phân tích Trong tốn này, việc tìm chân đường vng góc hạ từ H xuống mặt phẳng (SCD) khó khăn Vì vậy, ta tìm giao điểm K AH (SCD) quy việc tính khoảng cách từ H đến (SCD) việc tính khoảng cách từ A đến (SCD) Gọi M giao điểm AB CD, K giao điểm AH với SM Ta có: d ( H , ( SCD ) ) KH BH = = = Suy H trọng tâm tam giác SAM Từ ta có: d ( A, ( SCD ) ) KA BS Do tứ diện ASDM vuông A nên: 1 1 = + + = ⇔ d ( A, ( SCD ) ) = a 2 d ( A, ( SCD ) ) AS AD AM a Vậy d ( H , ( SCD ) ) = a * Nhận xét: Việc lựa chọn hệ véc tơ gốc quan trọng giải tốn phương pháp véc tơ Nói chung việc lựa chọn hệ véc tơ gốc phải thoả mãn hai yêu cầu: + Hệ véc tơ gốc phải ba véc tơ không đồng phẳng + Hệ véc tơ gốc nên hệ véc tơ mà chuyển yêu cầu tốn thành ngơn ngữ véc tơ cách đơn giản III BÀI TOÁN 3: KHOẢNG CÁCH GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG, KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI MẶT PHẲNG SONG SONG Phương pháp: a) Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song Cho điểm đường thẳng ∆ song song với mặt phẳng (α) Khoảng cách đường thẳng ∆ mặt phẳng (α) khoảng cách từ điểm ∆ đến mặt phẳng (α) Kí hiệu d (∆,(α )) * Nhận xét - ∀M ∈ ∆, N ∈ (α ), MN ≥ d (∆,(α )) 18 - Việc tính khoảng cách từ đường thẳng ∆ đến mặt phẳng (α) quy việc tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng b) Khoảng cách hai mặt phẳng song song Khoảng cách hai mặt phẳng song song khoảng cách từ điểm mặt phẳng đến mặt phẳng Kí hiệu d ((α );( β )) * Nhận xét - ∀M ∈ (α ), N ∈ ( β ), MN ≥ d ((α );( β )) - Việc tính khoảng cách hai mặt phẳng song song quy việc tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Bài tập minh họa: Bài tập Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’ cạnh Một mặt phẳng ( α ) qua đường chéo B’D a) Tính khoảng cách hai mặt phẳng (ACD’) (A’BC’) b) Xác định vị trí mặt phẳng ( α ) cho diện tích thiết diện cắt mp (α) hình lập phương bé A z N B Phân tích: Với hình lập phương ta ln chọn hệ toạ độ thích hợp, C D H tạo độ đỉnh biết nên việc tính khoảng y cách hai mặt phẳng (ACD’) (A’BC’) trở A' nên dễ dàng Với phần b), ta quy việc tính diện B' tích thiết diện việc tính khoảng cách từ M đến x D' đường thẳng DB’ M C' Giải Chọn hệ toạ độ cho gốc toạ độ O ≡ D ' ( 0;0;0 ) A ' ( 0;1;0 ) , B ' ( 1;1;0 ) , C ' ( 1;0;0 ) , A ( 0;1;1) , C ( 1;0;1) Gọi M điểm đoạn thẳng C’D’, tức M ( x;0;0 ) ; ≤ x ≤ a) Dễ dàng chứng minh (ACD’) // (A’BC’) ⇒ d ( ( ACD ') , ( A ' BC ' ) ) = d ( A ', ( ACD ' ) ) Mặt phẳng (ACD’) có phương trình: x + y − z = 19 ⇒ d ( ( ACD ') , ( A ' BC ' ) ) = d ( A ', ( ACD ' ) ) = b) Giả sử ( α ) cắt (CDD’C’) theo giao tuyến DM, hình lập phương có mặt đối diện song song với nên ( α ) cắt (ABB’A’) theo giao tuyến B’N//DM DN//MB’ Vậy thiết diện hình bình hành DMB’N Gọi H hình chiếu M DB’ Khi đó: S DMB ' N = DB '×MH = DB '×d ( M , DB ' ) Ta có: DB ' = uuuu r uuuu r  MD; DB ' 2x2 − 2x +   d ( M , DB ') = = uuuu r DB ' S DMB ' N 1 3  Dấu đẳng thức xảy x = = 2x − 2x + = 2 x − ÷ + ≥ 2 2  1  Nên diện tích S DMB ' N nhỏ M  ;0;0 ÷, hay M trung điểm D’C’ 2    Hoàn toàn tương tự M ( 0; y;0 ) ⇒ M  0; ;0 ÷   Vậy diện tích S DMB ' N nhỏ M trung điểm D’C’ M trung điểm D’A’ IV BÀI TOÁN 4: KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU Phương pháp: Cho hai đường thẳng chéo a b Đường thẳng ∆ cắt a b đồng thời vng góc với a b gọi đường vng góc chung a b Đường vng góc chung ∆ cắt a H cắt b K độ dài đoạn thẳng MN gọi khoảng cách hai đường thẳng chéo a b Kí hiệu d (a, b) * Nhận xét - ∀M ∈ a, N ∈ b, MN ≥ d (a, b) - Để tính khoảng cách hai đường thẳng chéo a b ta làm sau: + Tìm H K từ suy d (a, b) = HK (Thường sử dụng trường hợp a ⊥ b ) + Ngược lại tìm mặt phẳng (P) chứa a song song với b Khi d (a, b) = d (b,( P )) = d ( H , ( P ) ) , ∀H ∈ ( P ) 20 + Tìm cặp mặt phẳng song song (P), (Q) chứa a b Khi d (a, b) = d (( P),(Q)) + Sử dụng phương pháp tọa độ * Đặc biệt - Nếu a ⊥ b ta tìm mặt phẳng (P) chứa a vng góc với b, ta tìm giao điểm I (P) với b Trong mp(P), hạ đường cao IH Khi d (a, b) = IH - Nếu tứ diện ABCD có AC = BD, AD = BC đoạn thẳng nối hai trung điểm AB CD đoạn vng góc chung AB CD Bài tập minh họa: Bài tập (Đề thi HSG mơn tốn 12 tỉnh Vĩnh Phúc năm 2014-2015) Cho hình chóp S ABCD thỏa mãn SA = 5, SB = SC = SD = AB = BC = CD = DA = Gọi M trung điểm cạnh BC Tính thể tích khối chóp S MCD khoảng cách hai đường thẳng SM , CD Giải m BC = 3.31 cm m AD = 3.51 cm m OS = 7.09 cm S m MN = 5.64 cm A B M O C N D Ta thấy ABCD hình thoi, tam giác SBD cân S suy BD ⊥ ( SAC ) Gọi O giao điểm AC BD , ta thấy ∆SBD = ∆ABD = ∆CBD ( c.c.c ) Suy OA = OC = OS = ×AC nên ∆SAC vuông S Xét ∆SAC ta có AC = SA2 + SC = 2 ⇒ OC = 2, OD = CD − OC = ⇒ BD = 1 1 15 Thể tích VS CMD = VS ABCD = ×BD ×S ∆SAC = ×2 × × × = 12 12 12 Gọi N trung điểm AD nên CD / / ( SMN ) 21 ×V C SMN ( ∗) Suy d (CD, SM ) = d (CD, ( SMN )) = d (C , ( SMN )) = S ∆SMN Thể tích VC SMN = VS MCD = 15 (1) 12 13 Ta có MN = 3, SM = , SN = ( sử dụng công thức đường trung tuyến) 2 · = Theo định lý hàm số cosin ∆SMN ta có cos SMN Vậy S SMN = 23 · ⇒ sin SMN = 3 3 23 · (2) ×SM ×MN ×sin SMN = Thay (1), (2) vào ( ∗) ta d (CD, SM ) = ×VC SMN S∆SMN 15 15 = 12 = 23 23 Bài tập (Đề thi Đại học khối A năm 2010) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Gọi M N trung điểm cạnh AB AD; H giao điểm CN với DM Biết SH vng góc với mặt phẳng (ABCD) SH = a Tính khoảng cách hai đường thẳng DM SC theo a Giải · Ta có: ∆MAD = ∆NCD ⇒ ·ADM = DCN ⇒ MD ⊥ NC S Do SH ⊥ ( ABCD ) ⇒ MD ⊥ SH MD ⊥ ( SHC ) Kẻ HK ⊥ SC ( K ∈ SC ) Suy HK đoạn vng góc chung DM SC nên d ( DM , SC ) = HK N A D H Ta có: M CD 2a HC = = CN HK = K SH ×HC SH + HC B = 3a × 19 22 C Vậy d ( DM , SC ) = 3a 19 Bài tập Cho lăng trụ ABC A ' B ' C ' có tất cạnh a Gọi M, N trung điểm AA ' BB ' Tính khoảng cách B ' M CN Phân tích Để tính khoảng cách B ' M CN A' C' ta tìm mặt phẳng chứa CN song song với B ' M , B' ta dùng phép trượt để quy việc tính khoảng M cách từ điểm đến mặt phẳng việc tính khoảng N D cách tứ diện vuông C A Giải O Gọi O, D trung điểm BC CN B OACD tứ diện vng O AMB ' N hình bình hành ⇒ NA / / B ' M Mặt phẳng (ACN) chứa CN song song với B ' M nên d ( B ' M , CN ) = d ( B ' M ,( ACN )) = d ( B ',( ACN )) = d ( B,( ACN )) = 2d (O,( ACD )) = 2h Áp dụng tính chất tứ diện vng ta Vậy d ( B ' M , CN ) = h2 = OA2 + OC + OD = 64 3a ⇔h= a a Bài tập Cho hình lập phương ABCD A ' B ' C ' D ' có cạnh a Gọi M trung điểm DD ' Tính khoảng cách hai đường thẳng CM A ' D Giải Gọi N trung điểm BB ' A ' NCM hình bình hành D' C' nên A ' N / / CM Mặt phẳng ( A ' ND ) chứa A' A ' D song song với CM nên B' M O d (CM , A ' D ) = d (CM ,( A ' ND )) = d ( M ,( A ' ND)) = d ( M ,( A ' DE )) với E = AB ∩ A ' N Gọi G C A 23 N D B E O = AD '∩ A ' D, G = AD '∩ AM G trọng tâm tam giác ADD ' Do d ( M ,( A ' DE )) GM = = d ( A,( A ' DE )) GA Tứ diện AA ' DE vuông A nên d ( A,( A ' DE )) = AA '2 + AD + AE = 4a ⇒ d ( A,( A ' DE )) = 2a a Vậy d (CM , A ' D ) = d ( M ,( A ' DE )) = d ( A,( A ' DE )) = 7.1.4 Bài tập đề nghị Bài tập (Đề thi Đại học khối D năm 2011) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông B, BA = 3a, BC = 4a; mặt phẳng (SBC) vng góc với mặt phẳng (ABC) · Biết SB = SB = 2a SBC = 300 Tính thể tích khối chóp S.ABC khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC) theo a Bài tập Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, đáy ABCD hình thoi cạnh a, tâm O, góc BAD = 600 Các cạnh bên SA = SC; SB = SD = a a) Tính khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (SBC) b) Tính khoảng cách đường thẳng SB AD Bài tập Cho tứ diên OABC có OA, OB, OC đơi vng góc OA = OB = OC = Gọi M, N theo thứ tự trung điểm cạnh AB, OA Tính khoảng cách hai đường thẳng OM CN Bài tập (Đề thi Đại học khối A năm 2011) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng cân B, AB = BC = 2a; hai mặt phẳng (SAB) (SAC) vng góc với mặt phẳng (ABC) Gọi M trung điểm AB; mặt phẳng qua SM song song với BC, cắt AC N Biết góc hai mặt phẳng (SBC) (ABC) 60o Tính thể tích khối chóp S.BCNM khoảng cách hai đường thẳng AB SN theo a Bài tập (Đề thi Đại học khối D năm 2008) Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC tam giác vuông, AB = BC = a, cạnh bên AA' = a Gọi M trung điểm cạnh BC Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C' khoảng cách hai đường thẳng AM, B'C 24 Bài tập (Đề thi Đại học khối D năm 2009) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác vuông B, AB = a, AA’ = 2a, A’C = 3a Gọi M trung điểm đoạn thẳng A’C’, I giao điểm AM A’C Tính theo a thể tích khối tứ diện IABC khoảng cách từ A điểm đến mặt phẳng (IBC) 7.2 Về khả áp dụng sáng kiến Sáng kiến áp dụng vào dạy bồi dưỡng cho HS giỏi thi vượt cấp lớp 11 thi HSG lớp 12 – Trường THPT Yên Lạc – huyện Yên Lạc – tỉnh Vĩnh Phúc Ngoài sáng kiến áp dụng để dạy để dạy bồi dưỡng cho HS giỏi thi vượt cấp lớp 11 thi HSG lớp 12 – THPT toàn quốc Những thông tin cần bảo mật Sáng kiến muốn áp dụng rộng rãi trường THPT nên không sử dụng thông tin cần bảo mật Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến - Tài liệu tham khảo: [ 1] Sách giáo khoa hình học 11 [ 2] Đề thi Đại học năm 2002-2019 [ 3] Đề thi Đại học năm 2002-2019 [ 4] http://baigiang.violet.vn [ 5] http://tailieu.vn [ 6] http://vnmath.vn - Đối với giáo viên: Đã dạy xong “Khoảng cách” - Đối với học sinh cần nắm được: dạng khoảng cách không gian - Sáng kiến áp dụng đối tượng HS lớp 11 thi vượt cấp HS lớp 12 trường THPT Yên Lạc - HS tích cực chủ động tham gia trả lời 10 Đánh giá lợi ích thu Trong nhiều năm trực tiếp bồi dưỡng học sinh giỏi trường dự thi cấp tỉnh áp dụng SKKN kết thu sau: + Giải nhì: 07 giải + Giải ba: 14 giải + Giải khuyến khích: giải 25 11 Danh sách tổ chức/cá nhân tham gia áp dụng thử áp dụng sáng kiến lần đầu TT Tên tổ chức/cá nhân Địa Nguyễn Ngọc Tân Các HS dự thi vượt cấp lớp 11 Trường THPT Yên Lạc Trường THPT Yên dự thi THPT QG lớp 12 Lạc 26 Phạm vi/Lĩnh vực áp dụng sáng kiến - Hình học khơng gian 11 - Hình học khơng gian 11 Yên Lạc, ngày 10 tháng 03 năm 2020 Thủ trưởng đơn vị (Ký tên, đóng dấu) … , ngày 10 tháng 03 năm 2020 CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN CẤP CƠ SỞ (Ký tên, đóng dấu) Yên Lạc, ngày 10 tháng 03 năm 2020 Tác giả sáng kiến (Ký, ghi rõ họ tên) Nguyễn Ngọc Tân 27 ... nghiệm mang tên: ? ?Một số phương pháp tính khoảng cách không gian? ?? nhằm cung cấp cho học sinh nhìn tổng qt có hệ thống tốn tính khoảng cách khơng gian, hệ thống tập phân loại cách tương đối tốt,... Nhận xét: - Trong cách việc tính khoảng cách IH ta linh hoạt chọn cách tính phù hợp với kiện tốn đưa - Trong cách tính khoảng cách từ S đến CM làm Tuy nhiên ta sử dụng tỉ lệ khoảng cách hai đểm... hai mặt phẳng song song Bài toán 4: Khoảng cách hai đường thẳng chéo hầu hết tốn khoảng cách giải Vì vậy, việc đưa ? ?Một số phương pháp tính khoảng cách không gian? ?? việc cần thiết bổ ích cho việc