Bài viết này điểm qua các tính chất quan trọng của số chính phương cùng với các bài toán liên quan.. 1..[r]
(1)MỘT SỐ BÀI TỐN VỀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG
ThS Lê Phúc LữChuyên gia bồi dưỡng đội tuyển toán quốc gia Việt Nam Saudi Arabia
GIỚI THIỆU.Số phương đóng vai trị quan trọng tốn Số học phổ thơng Bài viết điểm qua tính chất quan trọng số phương với tốn liên quan
1 TĨM TẮT LÝ THUYẾT
• Số phương bình phương số tự nhiên
• Khi chia số phươngn2cho số ngunm>1nào
đó, ta khơng nhận đầy đủ số dư0, 1, 2, ,m−1mà có vài số dư định, tùy thuộc vào giá trịm Chẳng hạn khim=3hoặcm=4thì số dư chian2là 1,
khim=5thì số dư là0, 1,
• Kết quan trọng:nếu hai số nguyên dươnga,bthỏa mãn
(a,b) = 1vàab = n2 thì thân sốa,bphải số
chính phương Tổng qt hơn, nếu(a,b) =dvàab=n2thì a=da2
1,b=db21với sốa,b∈Z
• Ngồi ra, ta có:n2<k<(n+1)2thìkkhơng thể số
chính phương
• Các tốn thường gặp số phương: giải phương trình nghiệm nguyên, chứng minh đẳng thức, tìm ràng buộc số đẳng thức,
2 VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 1.
a) Chứng minh rằngn2+3n+4khơng chia hết cho 6.
b) Chứng minh rằng(3n+1) (5n+3)không số phương. Lời giải.
a) Xét số dư số cho chia cho 3, ta thấyn2+1khơng
bao chia hết cho vìn2khi chia cho dư0, 1 Mà3n+3
chia hết cho nênn2+1+3n+3khơng chia hết cho nó
cũng khơng chia hết cho
b) Giả sử(3n+1)(5n+3) =m2 Đặtd= (3n+1, 5n+3)thì d|3n+1
d|5n+3
⇒d|5(3n+1)−3(5n+3) =−4
nênd∈ {1, 2, 4} Ta xét trường hợp
• Nếud=1thì3n+1và5n+3đều số phương Điều vơ lý vì5n+3chia dư
• Nếud=4thì tương tự, số số phương, vơ lý
• Nếud=2thì3n+1=2x2; 5n+3=2y2, ý rằng 2x2chia dư 2, khi3n+1chia dư 1, cũng
vơ lý
Do trường hợp biểu thức khơng thể số phương
Ví dụ 2. Tìm tất số tự nhiênnđển2−24n−15là số chính phương.
(Đề thi tuyển sinh 10 chuyên Toán Gia Lai 2017 - 2018) Lời giải. Ta có
n2−24n−15=k2⇔(n−12)2−k2=169 ⇔(n−12−k)(n−12+k) =169 ⇒
n−12−k=13 n−12+k=13 ⇒
n=25 k=0
Vậyn=25là giá trị cần tìm
Ví dụ 3. Tìm số ngunnsao chon−2000vàn−2011đều số chính phương.
(Đề thi tuyển sinh 10 chun Tốn Quảng Bình 2017 - 2018) Lời giải. Theo đề bài,
n−2000=a2
n−2011=b2 (vớia,blà số nguyên không âm)
(2)⇒a2−b2=11⇔(a−b)(a+b) =11
Doa+b>a−bnên
a+b=11 a−b=1 ⇔
a=6
b=5 ⇒n=2036
Vậy,n=2036là số nguyên thoả đề
Ví dụ 4. Tìm số ngun dươngnsao cho biểu thức sau số chính phương:
a) n2+3n. b) 7n+4.
c) n4+n3+n2+n+1. Lời giải.
a) Ta thấyn2 <n2+3n <(n+2)2nên ta phải cón2+3n = (n+1)2, suy ran=1.
b) Đặt7n+4=m2thìmphải chia dư viết m=7k+2,m=7k−2vớik∈Z+ Thay vào ta có
7n+4= (7k±2)2⇒7n=49k2±28k⇒n=7k2±4k
c) Ta có4C =4n4+4n3+4n2+4n+1< 4n4+4n3+9n2+ 4n+4= (2n2+n+2)2, mà
4C>4n4+4n3+n2= (2n2+n)2
nên ta phải có4C= (2n2+n+1)2hayn2−2n−3=0⇒ n=3
Ví dụ 5. Tìm số tự nhiênnsao cho biểu thức sau số chính phương
a) M=3n+63. b) K=13+2·n!
c) P=1!+2!+3!+· · ·+n!. Lời giải.
a) Đặt3n+63=m2 Nếun=0thìM=64thỏa mãn.
Số dư củaMkhi chia cho là(−1)n+3nên phải cónchẵn, khơng số dư 2, khơng thỏa
Khinchẵn, đặtn=2kthì
32k+63=m2⇒63=m−3k m+3k. Nếuk≥4thìm+3k>81,khơng thỏa nênk∈ {1, 2, 3} Thử trực tiếp, ta thấyk=2thỏa, đón=4
Vậy giá trị cần tìm làn=0,n=4 b) Nếun≥5thìKchia dư 3, không thỏa
Thử trực tiếp vớin=1, 2, 3, 4, ta thấy cón=3thỏa
K=13+2·6=25
c) Vớik≥5thìk!chia hết cho 10 nên chữ số tận củaPbằng với chữ số tận của1!+2!+3!+4!=1+2+6+24=33
và Tuy nhiên, số phương có chữ số tận là0, 1, 4, 5, 6, 9nên không thỏa
Thử trực tiếp vớin=1, 2, 3, 4ta thấyPcũng khơng số phương Do đó, khơng tồn tạinthỏa mãn đề
Ví dụ 6. Giả sử vớinngun dương, ta cón3+n2+n+1là số chính phương Chứng minh rằngn+1
2 là số phương.
Lời giải. Ta thấyn3+n2+n+1= (n+1)(n2+1).
Đặtd= (n+1,n2+1)thìd|n+1⇒d|n2+n, màd|n2+1nên d|n−1 Do đód|2, kéo theod∈ {1, 2} Ta có trường hợp:
• Nếud=1thì sốn+1,n2+1đều phương, vơ lý vì n2<n2+1<(n+1)2.
• Nếud=2thì đặtn+1=2x2,n2+1=2y2 Khi đó, rõ ràng n+1
2 số phương
Ví dụ 7. Tìm tất cặp số nguyên dươngx,ysao chox2+8yvà y2+8xlà số phương.
(Đề thi HSG TP Hà Nội 2017) Lời giải. Khơng tính tổng qt, giả sửx ≥y, đóx2 < x2+8y<(x+4)2 Màx2+8ycùng tính chẵn lẻ vớix2nên chỉ
có thể làx2+8y= (x+2)2hayx= 2y−1 Khi đóy2+8x = y2+16y−8= (y+2)2+12y−12≥(y+2)2vày2+16y−8< (y+8)2 Tương tự, ta thấy rằngy2+8xcùng tính chẵn lẻ với y2nên có trường hợp:
• Nếuy2+16y−8= (y+2)2⇒y=1 Khi đóx=1. • Nếuy2+16y−8= (y+4)2⇒y=3 Khi đóx=5. • Nếuy2+16y−8= (y+6)2⇒y=11 Khi đóx=21.
Thử lại ta thấy thỏa Vậy cặp số cần tìm (x,y) = (1, 1),(3, 5),(11, 21)
Ví dụ 8. Số nguyên dươngn được gọi “tốt” tổng bình phương ước (tính vàn) bằng(n+3)2.
a) Chứng minh 287 số "tốt".
b) Giả sử với hai số nguyên tốp,qnào (khơng thiết phân biệt) thìn=pqlà số tốt, chứng minh rằngn+2và2(n+1)là số chính phương.
(Dựa theo đề thi tuyển sinh chun Tốn trường Phổ thơng Năng khiếu, ĐHQG Tp HCM 2013 - 2014) Lời giải.
a) Ta cón=287=7·41, nên tổng bình phương ước là12+72+412+72·412= (12+72)(12+412) =50·1682= 100·841=2902= (287+3)2.
Suy ran=287là số "tốt"
(3)b) Nếu nhưp=qthì ước củan=p2là1,p,p2nênnlà số
tốt khi(p2+3)2=1+p2+p4hay5p2+8=0, vô nghiệm.
Suy rap6=qvà ước củan=pqlà1,p,q,pq Nếunlà tốt thì(pq+3)2=1+p2+q2+p2q2hay
6pq+8=p2+q2⇒
4(pq+2) = (p−q)2 8(pq+1) = (p+q)2
Do(p−q)2và số phương nênn+2=pq+2
cũng phải số phương Tương tự,2(n+1) =(p+q)
cũng số phương
Ví dụ 9. Cho biểu thứcA = (m+n)3+3m+nvớim,nlà số nguyên dương Chứng minh nếuAlà số phương thì n3+1chia hết chom.
(Đề thi tuyển sinh 10 chuyên Toán Tp HCM 2017 - 2018) Lời giải. Ta có(m+n)2 < (m+n)2+3m+n+1 < (m+n+ 2)2 ⇒ A = (m+n+1)2 ⇒(m+n)2+3m+n+1= (m+n+ 1)2⇒m=n+1⇒n=m−1⇒n3+1= (m−1)3+1 .m. Ví dụ 10. Tìm tất số ngun dươngnsao chon2+3nlà số chính phương.
(Đề thi tuyển sinh 10 chuyên Toán Thừa Thiên - Huế 2017 - 2018) Lời giải. Gọimlà số nguyên dương thoả mãnn2+3n=m2.Khi
đó (m−n)(m+n) = 3n.Suy tồn số tự nhiênksao cho
m−n=3kvàm+n=3n−k.Vìm−n<m+nnênk<n−khay
n−2k≥1
1 Nếun−2k=1thì
2n= (m+n)−(m−n) =3n−k−3k=3k3n−2k−1 =3k31−1=2.3k
Vì vậyn=3k=2k+1. (a) Nếuk=0thìn=1
(b) Nếuk=1thìn=3
(c) Nếuk≥2thì
3k−1=23k−1+3k−2+ +3+1>2k (1) Nếun−2k>1thìk≤n−k−2.Do đó3k≤3n−k−2.Suy ra
2n= (m+n)−(m−n) =3n−k−3k≥3n−k−3n−k−2=8.3n−k−2.
Áp dụng (1) ta có
3n−k−2≥1+2(n−k−2) =2n−2k−3.
Suy
2n≥8(2n−2k−3)⇔8k+12≥7n
Mặt khácn≥2k+2nên7n≥14k+14,mâu thuẫn Vậyn=1hoặcn=3
Ví dụ 11. Tìm tất số nguyên dương(x,y)thoả mãnx2+3yvà y2+3xlà số phương.
(Đề thi tuyển sinh 10 chuyên Toán Hải Dương 2017 - 2018) Lời giải. Khơng tính tổng quát, giả sửx≥y.Ta có
x2+3y=k2(k nguyên dương k>x)
Đặtk=x+t.Giả sửt≥2ta có:
x2+2xt+t2=k2=x2+3yvới2xt≥4x≥4y(vơ lý).(*) Vậyt=1,khi ta có2x+1=3y,suy ra:
x=3y2−1hay3x=9y2−3<6y
Thực q trình như(∗),đặty2+3x=m2vàm=y+z,suy
raz<3.Vậyz=1hoặcz=2
1 Vớiz=1thì9y2−3=2y+1⇒y=1, x=1
2 Vớiz=2thì9y−3
2 =4y+4⇒y=11, x=16
Thử lại ta thấy hai bộ(x,y)trên thoả yêu cầu toán Vậy(x,y) = (1, 1)hoặc(x,y) = (16, 11)
Ví dụ 12. Tìm tất số nguyên dương (x,y,z) thoả mãn x+y√2017
y+z√2017 là số hữu tỉ, đồng thời(y+2)(4zx+6y−3)là số chính
phương.
(Đề thi tuyển sinh 10 chuyên Toán Bắc Giang 2017 - 2018) Lời giải. Ta xử lí kiện toán:x+y
√ 2017 y+z√2017là
số hữu tỉ Đặtx+y
√ 2017
y+z√2017 =t, vớit∈Z Ta có
x+y√2017=ty+tz√2017 ⇒x−ty=√2017(tz−y)
Dox−tyvàtz−ylà số hữu tỉ,√2017là số vô tỉ nênx−ty= tz−y=0, suy x
y= y
z =tvàxz=y2
Để(y+2)(4xz+6y−3)là số phương ta cần điều kiện tương đương với "(y+2)(4y2+6y−3)là số phương".
Nếu gọimlà ước chung củay+2và4y2+6y−3thì ta có:
m|4y(y+2)−(4y2+6y−3)−2(y+2)⇒m|1
Vậy(y+2, 4y2+6y−3) = 1 Nếu(y+2)(4y2+6y−3)là số
chính phương thì(y+2)và(4y2+6y−3)đều số chính
phương Đặt4y2+6y−3=q2, vớiq∈N Khi đó 16y2+24y−12=4q2⇒(4y+3)2−(2q)2=21
⇒(4y−2q+3)(4y+2q+3) =21
Do4y−2q+3<4y+2q+3nên có trường hợp xảy ra: TH1:
4y−2q+3=1 4y+2q+3=21⇒
y=2 q=5
(4)TH2:
4y−2q+3=3 4y+2q+3=7⇒
y=12 q=1
Trường hợp không thoả mãn điều kiệnylà số ngun Vớiy =2thì ta chọn(x,z) = (1, 4),(x,z) = (4, 1)hoặc
(x,z) = (2, 2), doxz=y2=4, theo chứng minh trên.
Như tốn có tất cả3nghiệm là(x,y,z) = (4, 1, 4),(x,y,z) = (4, 4, 1)và(x,y,z) = (4, 2, 2)
Ví dụ 13. Cho3số nguyên dươnga,b,cnguyên dương, nguyên tố cùng nhau thỏa điều kiện1
a+ b =
1
c Chứng minha+blà số phương. (Đề thi tuyển sinh 10 chuyên Toán Thái Nguyên 2016 - 2017) Hướng dẫn. Giả thiết⇔ab=c(a+b)vàa,b>c Đặt(a;c) =m
và(b;c) =nthì(m;n) =1 Do đóc mn
Viếtc=mnt, a=mx, b=nyvớix,yngun dương thì(nt;x) = (mt;y) =1suy ra(n;x) = (t;x) = (m;y) = (t;y) =1 Mặt khác
ab c⇒xy tsuy rat=1
Vớic=mn, a=mx, b=nyta cóxy=mx+ny Từ suy
mx yvàny x Lại có(n;x) = (m;y) =1nênx yvày xsuy
x=y Vì vậya+b=xy=x2là số phương. 3 BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài tập 1. Số số số phương?
a) M=19922+19932+19942 b) N=19922+19932+19942+19952 Bài tập 2.
a) Ký hiệuA =111 11| {z } 2mdigits
,B =444 44| {z }
mdigits
Chứng minh rằngA+ B+1là số phương Tìm chữ số hàng đơn vị của√A+B+1. b) Với số nguyên dươngn, đặtAn= (10n+10n−1+ +10+
1)(10n+1+5) +1.
Bài tập 3. Chứng minh số ước số nguyên dươngnlà lẻ
khi khinlà số phương Từ số ước số n2018+3là số chẵn với mọin>1.
Bài tập 4. Tìm tất số tự nhiênxđể số sau số chính
phương:
a) n=x2+7x+4. b) m=x3+16. c) k=7x+15.
Bài tập 5. (Bài tốn phương trình Pytago) Giả sử số ngun
dươngx,y,zkhơng có ước ngun tố chung vàx2+y2 =z2 Chứng minh rằng:
a) Tồn tạim,n∈Z+sao choz=m2+n2. b) xyzchia hết cho 60.
Bài tập 6.
a) Hãy tìm tất số phương gồm bốn chữ số biết hai chữ số đầu lớn hai chữ số sau1đơn vị.
b) Hãy tìm hai số phương phân biệta1a2a3a4vàb1b2b3b4biết rằng
a1−b1=a2−b2=a3−b3=a4−b4
Bài tập 7. Chon,dlà hai số nguyên dương chod|2n2 Chứng
minh rằngn2+dkhơng thể số phương.
Bài tập 8. Tìm số nguyêna,bsao choa4+ (a+b)4
+b4là số chính phương.
(Komal - Hungary C.676, 2002)
Bài tập 9. Giả sử số nguyên dươngncó tất cả kước số dương là
d1,d2, ,dk Chứng minh nếud1+d2+ +dk+k=2n+1thì
n
2là số phương.
(Đề thi HSG Tp HCM 2013)
Bài tập 10. Cho số nguyêna,b,cthoả mãn
1 a+
1 b+
1 c =
1 abc
Chứng minh rằng 1+a2 1+b2 1+c2là số phương.
Bài tập 11. Cho plà số nguyên tố Tìm tất số nguyên nđể
A=n4+4np+1là số phương.
(Đề thi tuyển sịnh 10 chuyên Toán Bà Rịa - Vũng Tàu 2017 - 2018)
Bài tập 12. Tìm số phương có bốn chữ số biết tăng thêm
mỗi chữ số đơn vị số tạo thành số phương có bốn chữ số.
(Đề thi tuyển sinh 10 chun Tốn Bình Định 2016 - 2017) Bài tập 13.
a) Xác định tất cặp số nguyên(a,b)sao cho hai sốa2+4bvà b2+4ađều số phương.
(APMO 1999) b) Tìm cặp số nguyên dương(x,y)thỏa mãnx2+3yvày2+3x
đều số phương.
Bài tập 14. Có tồn hay khơng2013số ngun dươnga1,a2, ,a2013
sao cho sốa2
1+a22,a21+a22+a32, ,a21+a22+ +a22013đều số chính phương?
Bài tập 15. Choa1=14,a2=144vàan=1444 4vớinsố Tìm
tất số nguyên dươngnsao choanlà số phương.
Bài tập 16. Chon∈Nsao chon2−1
3 là tích hai số tự nhiên liên tiếp Chứng minh rằngnlà tổng hai số phương liên tiếp.