Hướng dẫn giải một số câu hỏi số phức khó trong đề thi thử - Lê Hồng Quốc

Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là một đường tròn có diện tích bằng bao nhiêu. A.[r]

Một số câu hỏi số phức khó đề thi thử 2017 Trang Câu (Đề khảo sát Bộ dành cho 50 trường) Xét số phức z thỏa z i  13 Tìm giá trị nhỏ

T z 9 5i

A T2 13 B T3 13 C T 13 D T4 13 Hướng dẫn giải

Chọn A

Đặt zxyi (với x y, ) Khi z i  13 x2y1213 Cách Đại số

Chọn 13 sin 13 cos

x t

y t

   

 

 

Ta có P z 9 5i2x92y52 13 sint9 2 13 cost62

 2   

13 sin t cos t 18 13 sint 12 13 cost 117 130 13 3sint cost

       

 

130 78sin t  52 P 208

      , với

3 sin

13 cos

13 

 

   

 

 

Vậy T2 13 Cách Hình học

Đặt w z  9 5i w  z 9 5i  w2x9 2 y52 suy tập hợp số phức w nằm

đường tròn  C có tâm 1 A9; 5, bán kính R1

Mà z i  13 x2y1213 suy tập hợp số phức w nằm đường tròn  C có tâm 2

là B0; 1 , bán kính R2 13

Gọi C điểm thuộc đường tròn  C , suy AC1  w , mà C thuộc  C , suy 2

2

AB R ACAB R , ta có AB   9; 6AB 1173 13 

suy 13AC4 13 Vậy 13

T

Câu Có giá trị thực m để phương trình  

4z 4 m1 z m 3m0 có hai nghiệm phức thỏa z1  z2 2

A B C D

Hướng dẫn giải Chọn C

Cách 1: ' 4m   

Trường hợp 1: ' 0  m 1 Khi phương trình 4z24m1z m 23m0 có hai nghiệm

1

z  a bi, z2 a bi với ,a b

Ta có 2

1 2

z  z   a b   1 Theo định lí Vi-ét ta có

2

3

m m

z z    2 , từ  1  2 suy

m m

   

 

Một số câu hỏi số phức khó đề thi thử 2017 Trang Suy m   3

Trường hợp 2: ' 0  m 1 phương trình cho có hai nghiệm z1z21, suy z1  z2 2 Suy m 1 thỏa  4

Trường hợp 3:  ' m 1 Khi phương trình có hai nghiệm thực z z thảo hệ thức Vi-ét 1, 2

1

2

1

z z m

m m

z z

   



 

  

Theo đề ta có z1  z2 2  z12 z222z z1 2 4 z1z222z z1 2 2z z1 2 4  12 3

2

m m m m

m  

      

2 2

2

1

3

3

m khi m m

m

m khi m m

    



  

   



 5 Vậy từ  3 ,  4 ,  5 suy m3, m 1 thỏa

Cách 2:

Phương trình 4z24m1z m 23m0 ln có hai nghiệm phức z z1, 2, theo định lí Vi-ét ta có

1

2

1

z z m

m m

z z

   



 

  

Theo yêu cầu tốn ta có z1  z2 2  z12 z222z z1 2 4

2

1 2

1

2

2

z z z z

z z

  

    z1z22z1z224z z1 2 4z z1 2 8

 2  2 2

1 3

m m m m m m

         m12 m1 m23m 8

     

      

     

2 2

2 2

2 2

1

1 1; 3;

1

m m m m khi m

m m m m khi m

m m m m khi m

        



   

          



       





2

2

2 1; 3;

2 0

m m khi m

m m khi m

m khi m

     



  

       

    



1

m m

    

Vậy m3, m 1 thỏa

Câu (THPT chuyên Quang Trung – Bình Phước) Cho z thỏa mãn 2 i z 10 2i z

    Biết

tập hợp điểm biểu diễn cho số phức w3 4 i z  1 2i đường tròn tâm I , bán kính R

Khi

A  1; 2

I R

    

  

B 1; 2

I R

  

  

C  1; 2

I R

   

  

D 1; 2

I R

 

 

  

Hướng dẫn giải Chọn

Nhận xét Ở đề cho lỗi, có số phức z thỏa 2 i z 10 2i z

Một số câu hỏi số phức khó đề thi thử 2017 Trang

 * Lời giải sai.

Ta có 2 i z 10 2i 2z z 2i 102 z

z z

        

Lấy môđun hai vế ta z 2 2 2z 12 102

z

    (Do z  z )

  2 2

10

2

z z

z

   

2

10

5z z w 2i (3 ) i z

z

          

Do tập hợp điểm biểu diễn w đường tròn  1; 2

I R

   

  

 * * Lời giải đúng.

Ta có 2 i z 10 2i 2z z 2i 102 z

z z

        

Lấy môđun hai vế ta z 2 2 2z 12 102

z

    (Do z  z )

  2 2

10

2

z z

z

   

2

10

5z z

z

     Thay z 1 vào 2 i z 10 2i z

    ta

2  10 10 10 10

1 10 10

i i z i

z i

       

 suy

  

 10 10 20 13 10

10 10

w i , suy điểm

biểu diễn số phức w điểm

Câu (THPT chuyên Lương Thế Vinh – Đồng Nai – L1) Cho số phức z thỏa mãn

  

2

2

z  z  z  i z  i Tìm giá trị nhỏ w , biết w  z 2i

A

min

3

w  B

min

w  C

min

w  D

min

1

w 

Hướng dẫn giải Chọn C

Cách 1: Đại số

  

2

2

z  z  z  i z  i  z124i2  z 1 2i z  1 3i

z 2i z 2i z 2i z 3i

           

 

1

1

z i

z i z i

     

    



+)  1   z 2iw  1 w 1  3

+) Đặt z a bi, với a b,  Khi ta có  2  a1  b2i  a1  b3i

a 1 2 b 22 a 1 2 b 32

         4b4 6 b9

b

   , suy

2

w a   i

 22

w a

Một số câu hỏi số phức khó đề thi thử 2017 Trang

  

2

2

z  z  z  i z  i  z124i2  z 1 2i z  1 3i

z 2i z 2i z 2i z 3i

           

 

1

1

z i

z i z i

     

    



+)  1   z 2iw 1 w 1  3

+) Đặt z a bi, với a b,  Khi ta có  2  a1  b2i  a1  b3i

a 1 2 b 22 a 1 2 b 32

        4

2

b b b

        , suy

w  a i, suy tập

hợp số phức w nằm đường thẳng  

2

y  , suy  ; 

O

w d  

Câu (Chuyên ĐH Vinh – L3) Cho hai số phức z , w khác 0 thỏa z w 2z  w Phần thực

z u

w



A

 B

4 C D

1 Hướng dẫn giải

Chọn D

Ta có z w 2z  w

1

1

z w z w

w

     

 

 



1

1

z w z w

w

     



 

 

1 1

u u

    

   

, đặt u a bi  , với a b, ,

ta hệ phương trình

 

2

2 2

1

1

a b

a b



 

 

   



3

2

4

a a

     

Câu Biết m a , với a m số thực, phương trình 1i x 2m i x   1 0

khơng có nghiệm thựC Chọn mệnh đề

A a  1;1 B a1; 5 C a3;6 D a  3;1 Hướng dẫn giải

Chọn D

Giả sử phương trình có nghiệm thực x b , ta có 1i b 2m i b   1

 

2

1

b mb b b i

     

2

1 0

b mb

b b

   

  

   

1

b m

    

  

, suy m 2 phương trình

1i x 2m i x   1 0 khơng có nghiệm thực.

Câu (THPT chuyên Quang Trung – Bình Phước) Cho hai số phức z1, z2 khác thỏa 0, z1z20

1 2

1

z z z z Tính giá trị biểu thức

1

z z

A

2 B

3

2 C D

Một số câu hỏi số phức khó đề thi thử 2017 Trang Chọn A

Theo đề, ta có

1 2

1

z z z z z z1 2z1z22z1z2

2

1 2

2z 2z z z

   

2

1 2

z

i z

   

1

2

z z

 

Câu (THPT chuyên Nguyễn Quang Diêu – Đồng Tháp – L2) Gọi M điểm biểu diễn số phức

2

1

z z w

z

 

 , z số phức thỏa mãn 1i z 2i  2 i 3z Gọi N điểm mặt phẳng cho Ox ON, 2

 

,  Ox OM ,  góc tạo thành quay tia Ox tứi vị trí tia OM Điểm N nằm góc phầ tư nào?

A Góc phần tư thứ B Góc phần tư thứ tư C góc phần tư thứ ba D Góc phần tư thứ hai

Hướng dẫn giải Chọn B

Theo đề, ta có 1i z 2i  2 i 3z

5

z i

   11 56

15 45

w i

   , suy tan 56 33

   , ta có

2

2

2

56 1089 3696 sin 2 sin cos tan cos

33 4225 4225

2 1089 2047

cos 2 cos

4225 4225 tan

    

 

 

     

  

      

 



Câu (THPT Thanh Chương – Nghệ An – L2) Cho số phức z1 thỏa z22 z i 21 số phức

2

z thỏa z  4 i Tìm giá trị nhỏ z1z2 ?

A

5 B C D

3 5 Hướng dẫn giải

Chọn D

Đặt z1 a bi, z2  c di (a b c d, , , ) Ta có số phức z1 thỏa

2

2

z  z i  suy  2 2  2

2 1

a b a  b 

  2a b 1, suy tập hợp điểm biểu diễn số phức z1 nằm đường thẳng 2xy1

 

Lại có số phức z2 thỏa z  4 i suy

  2 2

4

c  b  , suy tập hợp điểm biểu diễn số phức z2 nằm đường trịn  C có tâm 4;1

I , bán kính r

Biểu diễn  C   lên mặt phẳng tọa độ, ta suy 1 2 ; 

min

3 5

I

z z d   r

Câu 10 (THPT chuyên Biên Hòa – Hà Nam) Cho ba số phức z1, z2, z3 thảo mãn điều kiện

1

z  z  z  z1z2z30 Tính 2

1

Az z z

Một số câu hỏi số phức khó đề thi thử 2017 Trang Hướng dẫn giải

Chọn B

 2    

2 2

1 3 2 3 2 3

Az z z  z z z  z z z z z z   z z z z z z

 

2 2

1

1 3 3

1 3

1 1

2z z z 2z z z z z z 2z z z z z z

z z z z z z

 

   

            

 

   

Mà z1z2z3 0 z1z2z30 Vậy A0

Câu 11 (THPT chuyên Lê Hồng Phong – TP.HCM) Cho z z1, 2 hai số phức khác thỏa

2

1 2 2

z  z z  z  Biết z z1, 2 có điểm biểu diễn M,N Tính góc OMN 

A o

30 B o

45 C o

60 D o

90 Hướng dẫn giải

Chọn B

   

1

2

1 2

1

1

2

1

z i z

z z z z

z i z

  

    

 

 Vì hai trường hợp nên tối trình bày trường hợp sau

Với z11i z 2, đặt z1 a bi, z2 c di (với a b c d, , , ) z1, z2 có điểm biểu diễn

 ; 

M a b , Nc;d  Khi  

1 2 2

2

1 z ac bd bc ad

z i z i i i

z c d c d

 

        

 

2

2

ac bd

ac bd z

c d



    

 , mà

1

1

2

1

z

i z z

z     Ta có OMa b; 



, NMa c b d ;  

    

 

2

2 2 2

cos cos ,

a b ac bd

OMN OM NM

a b a b c d ac bd

  

 

     

  2

1 2

2

2

1

1

2

z z z

z z

z z z



  

 , suy  o

45

OMN

Câu 12 (Đề minh họa – L3) Xét số phức z thỏa mãn z  2 i z 4 7i 6 Gọi m , M giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn z 1 i Tính P m M 

A P 13 73 B 2 73

P  C P5 2 73 D 73

2

P 

Hướng dẫn giải Chọn B

Cách Đại số

Đặt z a bi, với a b,  Khi ta có z  2 i z 4 7i 6

a 2 2 b 12 a 4 2 b 72

Một số câu hỏi số phức khó đề thi thử 2017 Trang Theo đề z  1 i a1 2 b12  a1 2 a42  

2a 6a 17 f a

   

 

/

2

2 17

a f a

a a

 

 

; / 

0

2

f a  a  Ta có bảng biến

thiên hình bên

Dựa vào bảng biến thiên ta suy 2

m , M 73

Vậy 2 73

P 

Cách Bất đẳng thức

Đặt z a bi, với a b,  Khi ta có z  2 i z 4 7i 6

a 2 2 b 12 a 4 2 b 72

          1 , áp dụng bất đẳng thức Mincopxki ta có

 1   2 2

VT  a  a  b  b  , dấu " " xảy

 7  4  1

2; , 1;7 2; , 1;7

a b a b b a

a b

a b

        

 

 

   

  

   

       

     



Theo đề z  1 i a1 2 b12  a1 2 a42  

2a 6a 17 f a

   

 

/

2

2 17

a f a

a a

 

 

; / 

0

2

f a  a  Ta có bảng biến

thiên hình bên

Dựa vào bảng biến thiên ta suy 2

m , M 73 Vậy

5 2 73

P 

Cách Hình học

Đặt z a bi, với a b,  Khi ta có z  2 i z 4 7i 6

a 2 2 b 12 a 4 2 b 72

         , xét điểm N a b ,  ;  A2;1, B4;7, ta NA NB 6 2AB, suy N , A , B thẳng hàng ( N nằm A B ) Phương trình đường thẳng AB x: y30

Theo đề z  1 i a1 2 b12 , xét điểm I1; 1  suy

 1 2 12

IN a  b ,

 

 ;   ; 

min IA IB; ;dI AB INMax IA IB; ;dI AB

 

min ;

max

5 d

2 73

I AB

m IN

M IN IB



  

  

   



Vậy 2 73

2

Một số câu hỏi số phức khó đề thi thử 2017 Trang Câu 13 (THPT Thị xã Quảng Trị) Cho số phức z a bi (a b, ) thỏa mãn z không số thực

2 1 z z z z  

  số thựC Tính

4 6 1 a b M a b      A

2 B

2

3 C

4

3 D

1 Hướng dẫn giải

Chọn B

z a bi, với a b,  Vì z khơng số thực nên b0

Ta có    

   

2

2

2 2

1

1

1

a b a ab b i

z z

w

z z a b a ab b i

    

 

 

       , suy phần ảo số phức w

   

2

2

2

2 2

1

b a b b

a b a ab b

 

    

, mà

2 1 z z z z  

  số thực suy

4

2 2

1

2

a b

a b  a b    , ta có

    

4 4 4

6 2 4 2

4

1 1

3

1 1

2

a b a b a b

M

a b a b a b a b a b

     

   

       

Câu 14 (Thầy Trần Trọng Trị - THPT Gia Định – TP.HCM) Cho hai số phức z1, z2 thỏa mãn điều kiện

1 1

2z  i z z 2i z210 i Tìm giá trị nhỏ z1z2 ?

A 1 B 101 1 C 101 1 D 10 1 Hướng dẫn giải

Chọn A Cách

Ta có z1 i z1z12i suy tập hợp điểm biểu diễn số phức z nằm parabol 1  

2

:

x P y

Và z210 i suy tập hợp điểm biểu diễn số phức z2 nằm đường tròn   C : x102y121 Xét đường tròn    : x10 2 y12 k với k0;  tiếp xúc với

 P Giải điều kiện tiếp xúc    P

Ta có x10 2 y12k  

          2 2 10 '

1 10 10

10

1 10 '

10 x y

y k x k x

x

y k x y

k x                               

   P tiếp xúc hệ phương trình sau có nghiệm

TH1:         2 2 10 10

0 45

Một số câu hỏi số phức khó đề thi thử 2017 Trang

TH2:

 

 

 

 

2

2

1 10

4 10

0 45

10 2

1

2 4

10

x

k x

x x

x k

x x

x

k x



   



 

      

 



 

  



Ta suy k45 Vậy

1

Minzz 3 1 Cách

Ta có 2z1 i z1z12i suy tập hợp điểm biểu diễn số phức z1 nằm parabol  

2

:

x P y

Và z210 i suy tập hợp điểm biểu diễn số phức z2 nằm đường tròn    2  2

: 10 1

C x  y  Đường trịn  C có tâm I10; 1 bán kính R1

Xét điểm  

2

;

a A a  P

 

,  

4

2

20 101 16

a a

IA  f a    a ;  

3 /

20

a

f a   a ;

 

/ 0 4

f a   a , lập BBT suy Minf a 45 suy MinIA3 Vậy

1

Minzz 3 1

Câu 15 Cho số phức z thỏa z2  z2 6 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P z33 z

A 3 B C 1 D 4

Hướng dẫn giải Chọn A

Đặt zxyi, với a b,  Khi ta có z2  z2  6 x22y2  x2y22 6 Xét điểm F12; 0, F22; 0 M x y , suy ta có biểu thức ; 

1 2.3

MF MF   , suy tập hợp điểm biểu diễn số phức

z nằm đường elip có phương trình

2

1

y x

  (với

3, 5,

a b c ) Tọa độ đỉnh trục lớn

 

1 3;

A  , A23; 0, đỉnh nằm trục bé

 

1 0;

B  , B20; 5

Ta có  2

1

3

z  x y MA , z MO ( O gốc tọa độ) Suy

PMA MO

Lại có 1

1

Min Max

MA M A

MO M A hay M A

  

 

  

 

1

1

Min

Max

MA

MO OA OA

 

  

  

 

Vậy Pmin 3

Câu 16 (THPT chuyên Hưng Yên –L3) Cho số phức z thoả mãn z 3 4i  Gọi M m gia trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P z22 z i Tính modun số phức wMmi

A w 2 314 B w 2 309 C w  1258 D w 3 137 Hướng dẫn giải

Chọn C

Đặt zxyi Ta có  2 2  2

2

P x y x  y  x y

Một số câu hỏi số phức khó đề thi thử 2017 Trang 10 Mặt khác z 3 4i  5x3 2 y425, đặt x 3 sin ;t y 4 cost

Suy P4 sint2 cost23 , ta có 10 sin  t2 cost10 Do 13P33 w  1258

Câu 17 (THPT chuyên Hưng Yên –L3) Cho số phức w, biết z1w2i z2 2w4là hai nghiệm phương trình

0

z az b  với a,b số thựC TínhT z1  z2

A 10

T B

3

T C T5 D 37

3

T

Hướng dẫn giải Chọn A

Đặt wxyi Theo Viet ta có: z1z2  a 3w2i 4 3x4  3y2i số thực nên

y Lại

có 1 2 2 4

3

z z  b x i i x i 

   số thực

Suy 4 2 4  4 16

3 3

x i x i x x i x

  

       

  

   số thực suy x4

Do 1 2 4

3

z   i i  i, 2 4 10

3

z   iT

Câu 18 (THPT Thái Nguyên – L2) Tập hợp số phức w1i z 1 với z số phức thỏa mãn

1

z  hình trịn Tính diện tích hình trịn

A 4 B 2 C 3 D 

Hướng dẫn giải Chọn B

Đặt wxyi, với x y, 

1  1  1 2  1  1

w i z w i z   i w i   z i z

      2 2  2

2 1 2

w i z i z x y z

              , suy tập hợp số phức cần tìm nằm

trên hình trịn bán kính R có tính biên

2

2 S R 

  

Câu 19 (THPT Thái Nguyên – L2) Cho số phức z có mơđun 3, biết tập hợp điểm biểu diễn số phức w 3 2i2i z đường trịn có bán kính là?

A B C 3 D

Hướng dẫn giải Chọn B

Đặt wxyi, với x y,  2  2

x yi i

x yi i i z z

i

  

      



 1

2

5

i x y x y

x yi i xi y i

z        z     

   

 2  2 2

3 2 25.9 5 30 20 65 29.5

z   x y  x y    x  y  x y 

 2  2

2

6 13 45 45

x y x y x y R

Một số câu hỏi số phức khó đề thi thử 2017 Trang 11 Câu 20 (THPT Thái Nguyên – L2) Cho số phức z a bi, với a b,  thỏa mãn  1 

1

z iz

i z

z

 

 

Tính

2

a b ?

A 2 B 2 2 C 2 D Hướng dẫn giải

Chọn A

Điều kiện

z z

   

   

Khi  1 

z iz

i z

z

 

 

1   1

z iz z i

    z i z 2z 1i zz  1 z2i

2

1

z z z

z z z

   

 

     

2

1

2

z

z z

   



   



1

z

    z23 2

Câu 21 (THPT chuyên KHTN – Hà Nội – L5) Cho z z1, 2 số phức bất kỳ, giá trị biểu thức:

2

1

2

1 2

z z

a

z z z z

 

  

bằng?

A a2 B

2

a C a1 D

2

a

Hướng dẫn giải Chọn B

Cách

Đặt z1 a bi, z2 c di, với a b c d, , ,  Khi

   

       

2 2 2 2 2

1

2 2 2

1 2

1

a b c d

z z

a

z z z z a c b d a c b d

  



  

         

Cách

Ngồi ta chọn

 

2

1

1 2 2

2

1 2

1 1

1

2

2

z z

z z

z z z z

 

    

   

Câu 22 Cho số phức z thỏa z 2 2i  17 Gọi M, m giá trị lớn giá trị nhỏ

của P1999z  2 i 2017 z 6 3i Tính M m

A M m 8302 17 B M m 4034 17

C M m  17 1999220172 1999. D. M m 2 17 19992201721999.

Hướng dẫn giải Chọn D

Cách

2 17

Một số câu hỏi số phức khó đề thi thử 2017 Trang 12 Xét điểm A2;1, B6; 3, C x y Khi  ;  P1999CA2017CB Ta có AB đường kính của đường trịn tâm I nên

1999 68 2017

P CB  CB

Xét hàm số  

1999 68 2017

f x  x  x với x0; 17

  suy Pmin1999.2 17,

2

max 17 1999 2017

P   Vậy M m 2 17 1999220172 1999.

Cách

2

2 17 4

z  i  a b  a b

2 2

1999 2017 1999 2017 12 45

P z  i z  i  a b  a b  a b  a b

2

1999 14 2017 54 17 1999 2017

P a b a b

         

Suy 2

max 17 1999 2017

P   Pmin1999.2 17(sử dụng xét hàm) Vậy M m 2 17 1999220172 1999.

Chú ý: cách hai ta có xét hàm số f t 1999 14 t 2017  t 54 (với t8a2b 14 t 54

   )

Câu 23 (THPT Chu Văn An – Hà Nội – L2) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z1 Tìm giá trị lớn nhất của T z i z 2 i

A maxT8 B maxT4 C maxT4 D maxT8 Hướng dẫn giải

Chọn B

Đặt zxyi Ta có: z1 2 x yi 1 2x12y22

Khi đó: T z1 z  2 i x yi i   x yi   2 i x2y12 x2 2 y12

 2   2 2  2

1 x y x y 

         

 

 2    2 2   

2 2x 4x 2y 2 x y 4 4

           

Vậy maxT4

Câu 24 (THPT Quốc Học – Huế - L2) Cho số phức z0 cho z số thực 2

1

z w

z

  số thựC Tính 2

1

z z

 A

5 B

1

2 C D

1 Hướng dẫn giải

Chọn B Cách

Theo giả thiết ta có 2

z w

z



Một số câu hỏi số phức khó đề thi thử 2017 Trang 13

Chọn

2

1

1 1

2

1 1

z

z i

w z z z z

z z



          

 

Cách

Ta có 2

1

z w

z



 số thực suy

2

1 z 1

z

w z z



   số thực suy

z số phức liên hợp z

suy 1 2 1

1

z

z z z z z

z z

       

 

Câu 25 (Chuyên ĐH Vinh – Nghệ An – L3) Cho số phức z thay đổi, có z 2 Khi đó tập hợp điểm biểu diễn số phức w1 2 i z 3i là:

A Đường tròn  2

3

x  y  B Đường tròn  2

3 20

x  y 

C Đường tròn  2

3 20

x  y  D Đường tròn  2

3

x y 

Hướng dẫn giải Chọn B

Giả sử w a bi a b   ,  a bi1 2 i z 3i

 3  3 1  2 3 2 3

1 5

a b i i

a b i a b a b i

z

i

    

        

   



   2   2 2

1

2 3 2 100

5

z z a b  a b a b a b

                 

a 2b 2 2a b2 12a 2b 2 a b 55

        

 2

2 2 2

5a 5b 30b 55 a b 6b 11 a b 20

           

Câu 26 (THPT chuyên Vị Thanh – Hậu Giang) Biết số phức z thỏa mãn phương trình z 1

z

  Tính

2016 2016

1

P z z

 

A 0 B.1 C D 3

Hướng dẫn giải Chọn C

Ta có z 1

z

 

3

3

1 1

1

z z z

z z z

   

         

   

3

1

2

z z

    z3120

1 z

 

 

 

672

672

1

1

P z

z

     

Câu 27 (THPT Kim Liên – Hà Nội) Cho hai số thực b c c0  Ký hiệu A, B hai điểm mặt phẳng phức biểu diễn hai nghiệm phương trình

2 z

z  b  c Tìm điều kiện b c

sao cho OAB tam giác vuông (O gốc tọa độ) A

2

b  c B

2

c b C b c D

b c Hướng dẫn giải

Chọn B

Một số câu hỏi số phức khó đề thi thử 2017 Trang 14

Ta có:    

2

2 2

2

2 z z b i c b

z b c z b b c c b

z b i c b      

        

     

Khi A b c b ;  2,

 2

;

B  b c b , suy OA  b c b;  2 

, OB b; c b 2 

Ta có A B, hai điểm đối xứng nhua qua trục Oy Suy tam giác OAB vuông O

Theo giả thiết ta có: 2

0

b b  c c b

Câu 28 (Chuyên Ngữ – Hà Nội) Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện số phức wz2 3 i 5 i số ảo

A Đường tròn 2

5

x y  B Đường thẳng 2x3y50 C Đường tròn x3 2 y225 D Đường thẳng 3x2y 1

Hướng dẫn giải Chọn B

Đặt zxyi, với x y,  wx yi 2 3 i  5 i 2x3y5  3x2y1i W số ảo 5

3

x y

x y

x y

   

    



  



Tập hợp điểm biểu diễn số

phức z đường thẳng 2x3y5 0.

Câu 29 (Chuyên Ngữ – Hà Nội) Cho số phức z thỏa mãn z 1 Tìm giá trị lớn biểu thức

1

T z  z

A MaxT2 B MaxT2 10 C MaxT3 D MaxT3 Hướng dẫn giải

Chọn A Cách

 2 2  

1 1 1 5.2

T z  z   z  z  z   (BĐT Bunhiacopxki)

Chú ý: 2 2  

1 2 2

z  z  x  y   z  với zxyi, x y,  Cách

Đặt zxyi, với x y,  ta có:

 2  2

1 1

T x yi   x yi   x y  x y

Lại có 2  

1 2 2

x y  T x   x  f x

Ta có '  max

10

2 2

f x x T

x x



      

 

Câu 30 (Sở GD – Đồng Tháp) Trong số phức z thỏa mãn điều kiện|z 1 | |i z i | , tìm số phức có mô-đun nhỏ

A 5

z  i B

5

z   i C 16

5

z  i D 16

5

z  i

Hướng dẫn giải Chọn A

Một số câu hỏi số phức khó đề thi thử 2017 Trang 15

  2 2  2 2 2

1 2 4

a b a b a a b b a b b

                

2a 6b a 3b

     

Do  

2

2 2 10

3 10 12 10

5 5

z  a b  b b  b  b  b   

 

Dấu " " xảy

5

b   a Vậy 5

z  i

Câu 31 (THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm) Cho số phức z thỏa mãn wz1z2i số ảo Tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường trịn có diện tích bao nhiêu?

A  B

4 

C



D 25 

Hướng dẫn giải Chọn B

Đặt z a bi, với a b,  wa 1 bi a bi  2ia2b2 a 2b2a b 2i

w số ảo suy  

2

2

2

2

2

2

2

2a

a b a b

a b a b a b

b                            

Suy tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường trịn có diện tích



Câu 32 (THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm) Cho số phức z x yi x y   ,  Khi phần thực a phần ảo b số phức

2

z i iz

 

 là:

A  

   

2

2 2 2

2 2

,

2

x y y y x

a b

y x y x

   

 

   

B  

   

2

2 2 2

2 2

,

2

x y y y x

a b

y x y x

    

 

   

C  

   

2

2 2 2

2

,

2

x y y y x

a b

y x y x

   

 

   

D  

   

2

2 2 2

2

,

2

x y y y x

a b

y x y x

    

 

   

Hướng dẫn giải Chọn B Ta có:             2 2 2x 2

2 2 2

x y i y y x x yi i xi y

x yi i x yi i xi y

i x yi xi y xi y x y

                                         2 2

2 2 2

2

2

2 2

2

2

2

x y a

x y y y x y x

i

y y x

y x x y

b x y                                  

Câu 31 (THPT Lam Sơn – Thanh Hóa) Cho số phức z , tìm giá trị lớn z biết z thỏa mãn điều

Một số câu hỏi số phức khó đề thi thử 2017 Trang 16

A 3 B C.1 D

Hướng dẫn giải Chọn B

Tổng quát: Cho số phức z thỏa mãn z a bi  R tìm modun lớn nhỏ số phức z

Điểm biểu diễn số phức z đường tròn   2 2

x a  y b R

Khi đó: 2

max

z OI R  a b R, 2

min

z OI R  a b R

Áp dụng: Ta có:  2

1 1 1

3

z x yi

i

z iz y x

i

 

 

         



Khi đó: zmaxOIR  1

Câu 32 (THPT Thanh Chương –Nghệ An – L1) Cho z z1, 2 hai số phức thỏa mãn phương trình 2z i  2iz, biết z1z2 1 Tính giá trị biểu thức P z1z2

A

P B P C

2

P D P

Hướng dẫn giải Chọn D

Cách

Ta có 2z i 2iz  2z i 2 2iz2(2z i )(2.z i ) (2 iz)(2i z )

2

4 z z 2iz 2iz i 2iz 2iz i z z

        5 z z 5 z z 1 z2 1 z 1

1

z

  z2 1

Chú ý: 2

(2 ).(2 ) (2 )(2 )

a aa  z i  z i z i  z i zi

Tập hợp điểm biểu diễn số phức z z đường tròn tâm 1, 2 O, R1 Gọi M z1 1 ,M z2 2 OM1OM21

Ta có z1z2  OM1OM2  M M2 1   1 OM M1 2

  

Mà z1z2  OM1OM2 OM OM

  

với M điểm thỏa mãn OM MM hình thoi cạnh 1 2

3

OM P

   

Cách

Đặt zxyi x y( , ), ta có 2z i 2x2(y1)i 2iz2y xi

Khi 2 2 2

2

1

2 (2 1) ( 2) 1

1

z

z i iz x y y x x y z

z

 



               

  

Sử dụng công thức 2  2

1 2 2 3

z z z z  z  z  z z   z z 

Câu 33 (Sở GD Phú Thọ) Cho hai số phức z1 z2 thỏa mãn z1 3, z2 4, z1z2  37 Xét số

phức

z

z a bi

z

   Tìm b

A 3

b  B 39

8

b  C

8

b  D

8

b 

Một số câu hỏi số phức khó đề thi thử 2017 Trang 17 Chọn A

Đặt z1x yi , z2 c di x y c d, , ,  Ta có: z1  3 x2y29; z2  4 c2d216;

  2 2 2 2

1 37 37 2 37

z z   x c  y d  x y c d  xc yd xc yd  

Lại có:     

2 2 2 2

2

x yi c di xc yd yc xd i

z x yi xc yd yc xd

i a bi

z c di c d c d c d c d

    

  

      

    

3 bi   

Mà

2

1 2 2

1

2

3 9 27 3

4 16 16 64

z z

a b a b b b

z z

 

               

 

Vậy 3

b 

Câu 34 (Chuyên ĐH Vinh – Nghệ An – L4) Cho số phức z thỏa mãn z số thực

2

2

z w

z



 số thựC Giá trị lớn biểu thức P z 1 i

A 2 B C D

Hướng dẫn giải Chọn A

Cách

2

2

z w

z



 số thực w w

2

2 2

2

z z

z z z z zz

z z

     

 

   

2 z z z z z z

     zz (loại z không số thực) 2z z  z 

Suy ra: OM 2 với M điểm biểu diễn z , M thuộc đường tròn  C tâm O , R Ta có:

1

P z  i MA, với A1;1 Ta có: A C nên MA lớn 2R2 Cách

Vì z khơng số thực nên z0 Suy w0

Ta có  2  

2

1

2 *

2

z

w w z z z z

w z

       



 * phương trình bậc hai với hệ số thực

w

 



 

 

 nên có nghiệm phức z1, z2 liên hợp

Theo Viet ta có:

1 2 2 2 1 2

z z   z z   z z   z z   z  Suy P z  1 i z 1 i 2 22

Cách

Ta có 2

2

z

w z

w z

z

   

 , mà w suy

w, suy

2

z số phức liên hợp z

Suy z z2 z  Ta có P z  1 i z 1 i 2 22

Câu 35 (Chuyên ĐH Vinh – Nghệ An – L4) Cho hai số phức z 1 z thỏa mãn 2 z1  z2  z1z2 1 Tính z1z2

A B C D

Một số câu hỏi số phức khó đề thi thử 2017 Trang 18 Hướng dẫn giải

Chọn A Cách

Ta có z1z22 z1z222z12 z22 Khi z1z222 1   1 3 z1z2  Cách

Chọn z11 từ suy z2 từ hệ

2

1 1

z z

 

 

  



Thay vào z1z2 ta kết z1z2 

Câu 36 (THPT Chuyên Võ Nguyên Giáp – Quảng Bình) Gọi  H hình biểu diễn tập hợp số phức z mặt phẳng tọa đọ Oxy để 2z z 3 số phức z có phần thực khơng âm Tính

diện tích hình  H

A 3 B

2 C

3

4 D 6

Hướng dẫn giải Chọn B

Đặt z x yi x   0, a b,  2

2z z x 3yi x 9y

        

2

1

y x

   Do hình  H nửa hình Elip có a3,b1 Khi 1.  elip 2

S S  ab   Câu 37 (THPT Hoằng Hóa – Thanh Hóa) Cho số phức z thỏa điều kiện z1 z i Tìm số phức

2

w z i có mơđun nhỏ A

2 2i

   B 1

2 2i

    C 1

2 2i

   D

2 2i    

Hướng dẫn giải Chọn B

Cách Đại số

Đặt z a bi với ,ba 

Ta có z1 z i  a bi 1 a bi i   a1bi  ab1i

 2 2  2

1

a b a b a b

        

Khi w a bi  2i 3 a3  b2 i a3   a 2i

   

2

2 2 2 2 25 1

3 2 10 13

4 2 2

w a a a a a a  a 

                   

   

min

2

w

  5 5 1

2 2 2

a   b z  iw   i

Cách Hình học

Đặt z a bi với ,ba 

Ta có z1 z i  a bi 1 a bi i   a1bi  ab1i

 2 2  2

1

a b a b a b

         , suy tập hợp số phức z nằm đường thẳng

: y x

Một số câu hỏi số phức khó đề thi thử 2017 Trang 19 Ta có IMmin M hình chiếu vng góc I , M m m ;  suy IMm2; 3m,

5

2

IM u  m m  m  

Vậy 1 2

w   i số phức có mơđun nhỏ

Câu 38 (THPT Đống Đa – Hà Nội) Cho số phức z thỏa mãn z22z2  z 1 i Biểu thức z có giá trị lớn

A 1 B C 2 D 1

Hướng dẫn giải Chọn A

Cách 1: Đại số

2

2

z  z  z i  2

1

z i z i

       z 1 i z  1 i z 1 i  

 

1

1

z i

z i

     

  



+)  1 z   1 i z   3

+) Đặt z a bi, với a b,  Khi ta có  2  a 1 b1i 1a1 2 b121

2

2

a b a b

      , theo bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:  2

2a 2b a b

     

2

2

z z

     1  z  1  4 Từ  3 ,  4 suy zmax 1

Cách 2: Hình học

2

2

z  z  z i  z12i2  z 1 i

1 1

z i z i z i

         

 

1

1

z i

z i

     

  



+)  1 z   1 i z   3

+) Đặt z a bi, với a b,  Khi ta có  2  a 1 b1i 1a1 2 b121, suy tập hợp số phức cần tìm nằm đường trịn tâm I 1; 1, bán kính

1

R Suy OI R  z OI R  1  z  1 Vậy zmax 1

Câu 39 (Sở GD Bắc Giang – L1) Cho số phức z thay đổi thỏa mãn z 3 4i 4 Tìm giá trị lớn PMaxcủa biểu thức P z

A PMax12 B PMax5 C PMax 9 D PMax 3 Hướng dẫn giải

Chọn C

Cho số phức z thõa mãn z a bi  Rtìm modun lớn nhỏ của số phức z Điểm biểu diễn số phức z đường tròn:

 2  2

x a  y b R

Khi 2

max

z OI R  a b R, 2

min

Một số câu hỏi số phức khó đề thi thử 2017 Trang 20 Áp dụng: 2

3 4

Max

P    

Câu 40 (Sở GD Quảng Ninh) Cho hai số phức z z1, 2 thỏa mãn z1  z2  z1z2 1 Tính giá trị

biểu thức

2

1

2

z z

P

z z

   

   

   

A P 1 i B P  1 i C P 1 D P 1 i Hướng dẫn giải

Chọn C Cách

Ta có 1 1

2

2

1 1

z z z z z

GT

z z

z z



      

Đặt

z

a bi

z   ta có:  

2

2 1 1

a b   a b

2

3

1

2 1

2

2

b

w P w

w a

    

        

   

Cách

Chọn 1 3; 2

2 2

i i

z   z    P 

Cách Dùng dạng lượng giác số phức (đọc thêm) Gọi A z   1 ;B z2 ;AB z 1z2 OAB



tam giác cạnh

Khi      

2 2

0 0

1 1

1 2

2 2

1 2 120 cos120 sin120

z r r

i

z r r



   



      

          

     



     

Tương tự    

2

0

1

cos 120 sin 120

z

i P

z

 

      

   

Câu 41 (THPT chuyên Hà Giang – L1) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z 2 2i 1 Tìm giá trị lớn nhất của z

A maxz 2 1 B maxz 2 C maxz 2 22 D maxz 2 1 Hướng dẫn giải

Chọn A Cách Đại số

Giả sử z a bi, với a b, 

Ta có: z 2 2i  1 a bi  2 2i  1 a 2 b2i 1 a2 2 b221 Đặt sin

2 cos

a t

b t

   

   

Khi đó: z  a2b2  2 sin t 2  2 cost2  sin  tcost

 2 

max

9 sin t cos t 2 z 2

Một số câu hỏi số phức khó đề thi thử 2017 Trang 21 Cách Hình học

Cho sớ phức z thỏa mãn z a bi  R tìm mô đun lớn nhất và nhỏ nhất của số phức z Điểm biểu diễn số phức z là đường tròn:

 2  2

x a  y b R

Khi đó 2

max

z OI R  a b R, 2

min

z OI R  a b R

Áp dụng: Pmax  2222  1 2 1

Câu 42 (Chuyên KHTN – Hà Nội – L4) Gọi z1, z2 nghiệm phương trình

1

z z  Tính giá trị 2017 2017

1

Pz z

A P1 B P 1 C P0 D P2 Hướng dẫn giải

Chọn B

Vì z1 nghiệm phương trình

1

z z  nên ta có

2 3 2016 2017

1 1 1 1 1 1

z z   z   z  z  z z

Chứng minh tương tự: 2017

2

z z Vậy Pz1z2 1

Câu 43 (Chuyên KHTN – Hà Nội – L4) Với hai số phức z1 z2 thỏa mãn z1z2 8 6i z1z2 2 Tìm giá trị lớn P z1  z2

A P 5 B P2 26 C P4 D P34 2 Hướng dẫn giải

Chọn B

Đặt OA z OB1,  z2 ( với O gốc tọa độ, A B điểm biểu diễn ,

1,

z z )

Dựng hình bình hành OACB , ta có AB z1z2 2,

2 10

OC z z  , OM5

Theo định lý đường trung tuyến ta có

 2

2

2 2

1

2

52 52

4

OA OB AB

OM    OA OB   z  z 

Ta có z1  z2  2z12 z222 26 (BĐT Bunhiacopxki) Vậy Pmax2 26

Câu 44 (Sở GD Hải Dương) Cho số phức z thỏa mãn z z1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức:

3

| | | |

P z  z z  z z

A 15

4 B

3

4 C

13

4 D

Hướng dẫn giải Chọn B

Giả sử z a bi  z a bi, với a b, 

z z suy 2

Một số câu hỏi số phức khó đề thi thử 2017 Trang 22

3

| | | |

P z  z z  z z suy 2 2 2 2 2 2

3 4

P a a  b  b a b   a

  1

P f x x x

     với x 0; 4 Lập bảng biến thiên ta suy min