Hướng dẫn giải một số câu hỏi số phức khó trong các đề thi thử Lê Hồng Quốc

Một số câu hỏi số phức khó đề thi thử 2017 Câu Trang (Đề khảo sát Bộ dành cho 50 trường) Xét số phức z thỏa z  i  13 Tìm giá trị nhỏ T z   5i A T  13 B T  13 C T  13 D T  13 Hướng dẫn giải Chọn A Đặt z  x  yi (với x , y   ) Khi z  i  13  x2   y  1  13 Cách Đại số  x  13 sin t Chọn   y  13 cos t  2 Ta có P  z   5i   x     y      13 sin t    13 cos t     13 sin t  cos t  18 13 sin t  12 13 cos t  117  130  13  3sin t  cos t   sin     130  78sin  t     52  P  208 , với  cos    13 13 Vậy T  13 Cách Hình học 2 Đặt w  z   5i  w  z   5i  w   x     y   suy tập hợp số phức w nằm đường tròn  C1  có tâm A  9; 5 , bán kính R1 Mà z  i  13  x2   y  1  13 suy tập hợp số phức w nằm đường tròn  C2  có tâm B  0; 1 , bán kính R2  13 điểm thuộc đường tròn  C1  , suy AC  w , mà C thuộc  C2  , suy  AB  R2  AC  AB  R2 , ta có AB   9; 6   AB  117  13 suy 13  AC  13 Vậy Gọi C T  13 Câu Có giá trị thực m để phương trình z2   m  1 z  m2  3m  có hai nghiệm phức thỏa z1  z2  A B C Hướng dẫn giải D Chọn C Cách 1:  '  4m  Trường hợp 1:  '   m  1 Khi phương trình z2   m  1 z  m2  3m  có hai nghiệm z1  a  bi , z2  a  bi với a, b Ta có z1  z2   a2  b2   1 Theo định lí Vi-ét ta có z1 z2  Sưu tầm biên soạn: m  3m   , từ 1 Lê Hồng Quốc  m  1   suy  m  ĐT: 0898.244.454 Một số câu hỏi số phức khó đề thi thử 2017 Suy m  Trang  3 Trường hợp 2:  '   m  1 phương trình cho có hai nghiệm z1  z2  , suy z1  z2  Suy m  1 thỏa   Trường hợp 3:  '   m  1 Khi phương trình có hai nghiệm thực z1 , z2 thảo hệ thức Vi-ét  z1  z2   m   m2  3m z z    Theo đề ta 2 z1  z2   z1  z2  z1 z2    z1  z2   z1 z2  z1 z2  có  m  12  m2  3m  m2  3m m2  m   m  1   4  m3 2 m2  3m   m   5 Vậy từ   ,   ,   suy m  , m  1 thỏa Cách 2: Phương trình z2   m  1 z  m2  3m  có hai nghiệm phức z1 , z2 , theo định lí Vi-ét ta có  z1  z2   m 2   m2  3m Theo yêu cầu toán ta có z1  z2   z1  z2  z1 z2   z1 z2    z1  z2  z1  z2 2 2  z1 z2   z1  z2   z1  z2   z1 z2  z1 z2  2   m  1   m  1  m2  3m  m2  3m    m  1  m   m2  3m   m  12   m  1  m2  3m  m  1    m  1   m  1  m2  3m  m   1;    3;     m  1   m  1  m  3m   m         2m  m   m  1    2m  m   m   1;    3;    m  1  m   2m    m   Vậy m  , m  1 thỏa Câu (THPT chuyên Quang Trung – Bình Phước) Cho z   thỏa mãn   i  z  10   2i Biết z tập hợp điểm biểu diễn cho số phức w    4i  z   2i đường tròn tâm I , bán kính R Khi  I  1; 2  A   R   I  1;  B   R   I  1;  C   R  Hướng dẫn giải  I  1; 2  D   R  Chọn 10   2i , nên tập hợp điểm z biểu diễn số phức w có điểm đường tròn Nhận xét Ở đề cho lỗi, có số phức z   thỏa   i  z  Sưu tầm biên soạn: Lê Hồng Quốc ĐT: 0898.244.454 Một số câu hỏi số phức khó đề thi thử 2017 Trang  *  Lời giải sai 10 10   2i  z   z  i  z z z Ta có   i  z   Lấy môđun hai vế ta z  2  z     z  1  10 z      z  1 2 5 z 5 10 z  10 z (Do z  z )  z   w   2i  (3  4i ) z   I  1;  Do tập hợp điểm biểu diễn w đường tròn   R   * *  Lời giải 10 10   2i  z   z  i  z z z Ta có   i  z   Lấy môđun hai vế ta z  2  z     z  1  10 z      z  1 2 5 z 5 10 z  10 z (Do z  z )  z  Thay z  vào   i  z  10   2i ta z 10 10 10 10 10  10 20  13 10   2i  z     i , suy điểm i suy w  10 10 z  3i 10 10 biểu diễn số phức w điểm Câu (THPT chuyên Lương Thế Vinh – Đồng Nai – L1) Cho số phức z thỏa mãn 2  i  z  z    z   2i  z   3i  Tìm giá trị nhỏ w , biết w  z   2i A w  B w  C w  D w  Hướng dẫn giải Chọn C Cách 1: Đại số z  z    z   2i  z   3i    z  1  4i   z   2i  z   3i   z   2i   1   z   2i  z   2i    z   2i  z   3i     z   2i  z   3i   +)  1  z   2i  w  1  w    +) Đặt z  a  bi , với a, b   Khi ta có     a  1   b   i   a  1   b   i 2 2   a  1   b     a  1   b     b   b   b   , w  a  2     Từ  3 ,   ta suy suy w a2 i w  Cách 2: Hình học Sưu tầm biên soạn: Lê Hồng Quốc ĐT: 0898.244.454 Một số câu hỏi số phức khó đề thi thử 2017 Trang z  z    z   2i  z   3i    z  1  4i   z   2i  z   3i  2  z   2i   1   z   2i  z   2i    z   2i  z   3i     z   2i  z   3i   +)  1  z   2i  w  1  w    +) Đặt z  a  bi , với a, b   Khi ta có     a  1   b   i   a  1   b   i 2 2   a  1   b     a  1   b    4b   6b   b   , suy w  a   i , suy tập 2 3 hợp số phức w nằm đường thẳng y     , suy w  dO ;    2 Câu u (Chuyên ĐH Vinh – L3) Cho hai số phức z , w khác thỏa z  w  z  w Phần thực z w A  B C D Hướng dẫn giải Chọn D  z  z      w w u  Ta có z  w  z  w     , đặt u  a  bi , với a , b   ,  zw  zw 1 u1    w 1  w   2 a  b  ta hệ phương trình   2 a    a   a  12  b2   Câu Biết m  a , với a m số thực, phương trình   i  x   m  i  x   nghiệm thựC Chọn mệnh đề A a  1;1 B a  1;  C a  3;  D a  3;1 Hướng dẫn giải Chọn D Giả sử phương trình có nghiệm thực x  b , ta có   i  b2   m  i  b   b2  mb   b  1 ,   b  mb   b  b i    b  b  m  2   suy m  2 phương trình 1  i  x   m  i  x   nghiệm thực Câu (THPT chuyên Quang Trung – Bình Phước) Cho hai số phức z1 , z2 khác thỏa , z1  z2  z 1   Tính giá trị biểu thức z2 z1  z2 z1 z2 A B C D Hướng dẫn giải Sưu tầm biên soạn: Lê Hồng Quốc ĐT: 0898.244.454 Một số câu hỏi số phức khó đề thi thử 2017 Trang Chọn A z 1  z1 z2   z1  z2  z1  z2   z12  z1 z2  z22      i   z2 z1  z2 z1 z2 2 Theo đề, ta có z1  z2  (THPT chuyên Nguyễn Quang Diêu – Đồng Tháp – L2) Gọi M điểm biểu diễn số phức Câu zz 1 , z số phức thỏa mãn   i  z  2i    i  3z Gọi N điểm mặt phẳng w z2     cho Ox , ON  2 ,   Ox , OM góc tạo thành quay tia Ox tứi vị trí tia OM     Điểm N nằm góc phầ tư nào? A Góc phần tư thứ C góc phần tư thứ ba B Góc phần tư thứ tư D Góc phần tư thứ hai Hướng dẫn giải Chọn B Theo đề, ta có 11 56  i, 1  i  z  2i    i  3z  z  35  65 i  w  15 45 suy tan    56 , ta có 33  3696 56 1089 sin 2  sin  cos   tan  cos   2 33 4225   4225  1089 2047 cos 2  cos    1  4225 tan   4225  2 (THPT Thanh Chương – Nghệ An – L2) Cho số phức z1 thỏa z   z  i  số phức Câu z2 thỏa z   i  Tìm giá trị nhỏ z1  z2 ? B Hướng dẫn giải Chọn D Đặt z1  a  bi , z2  c  di ( a , b , c , d   ) A Ta có a  2 số phức thỏa z1 C z2  zi 1 suy D  b2   a2   b  1    2a  b  , suy tập hợp   điểm biểu diễn số phức z1 nằm đường thẳng x  y    Lại có số phức z2 thỏa z4i  suy  c     b  1  , suy tập hợp điểm biểu diễn số phức I  4;1 , bán kính r  (THPT chuyên Biên Hòa – Hà Nam) Cho ba số phức z1 , z2 , z3 thảo mãn điều kiện Biểu diễn  C     lên mặt phẳng tọa độ, ta suy z1  z2 Câu 10 z2 nằm đường tròn  C  có tâm  d I ;     r  z1  z2  z3  z1  z2  z3  Tính A  z12  z22  z32 A Sưu tầm biên soạn: B Lê Hồng Quốc C 1 D  i ĐT: 0898.244.454 Một số câu hỏi số phức khó đề thi thử 2017 Trang Hướng dẫn giải Chọn B A  z12  z22  z32   z1  z2  z3    z1 z2  z2 z3  z3 z1   2  z1 z2  z2 z3  z3 z1   z z z 2 1 1   2 z z z  z  z  z   2 z1 z2 z3      2 z1 z2 z3    3   z z z z z z     Mà z1  z2  z3   z1  z2  z3  Vậy A  Câu 11 (THPT chuyên Lê Hồng Phong – TP.HCM) Cho z1 , z2 hai số phức khác thỏa  z12  z1 z2  z22  Biết z1 , z2 có điểm biểu diễn M , N Tính góc OMN A 30 o B 45o C 60 o Hướng dẫn giải D 90 o Chọn B  z1  1  i  z2 Vì hai trường hợp nên tối trình bày z12  z1 z2  z22     z1  1  i  z2 trường hợp sau Với z1    i  z2 , đặt z1  a  bi , z2  c  di (với a , b , c , d   ) z1 , z2 có điểm biểu diễn M  a; b  ,  N  c; d  Khi z1    i  z2  z1 ac  bd bc  ad 1 i   i  1 i z2 c  d2 c  d2   z1 ac  bd mà Ta có , ,   z  z i  OM  ; NM   a  c; b  d  a b ac    bd  z   2 z2 c  d2     cos OM , NM  cos OMN   a  b2   ac  bd  a  b a  b  c  d   ac  bd  2 2 2 z1  z2  z1 2 z1  z2  z2 2 z z2    45o , suy OMN (Đề minh họa – L3) Xét số phức z thỏa mãn z   i  z   i  Gọi m , M Câu 12 giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn z   i Tính P  m  M A P  13  73 B P   73 C P   73 Hướng dẫn giải D P   73 Chọn B Cách Đại số Đặt  z  a  bi ,  a     b  1 với  a, b    a  4  b   Khi ta có z   i  z   7i   , xét điểm N  a; b  , A  2;1 , B  4;7  , ta NA  NB   AB , suy N , A , B thẳng hàng ( N nằm A B ) Phương trình đường thẳng AB : x  y   , suy N  a; a   ( 2  a  ) Sưu tầm biên soạn: Lê Hồng Quốc ĐT: 0898.244.454 Một số câu hỏi số phức khó đề thi thử 2017  a  1   b  1 Theo đề z   i  f / a  2a   a  1   a    ; f /  a   a   a  a  17 thiên hình bên Dựa vào bảng biến thiên ta suy m  Trang 2  a  6a  17  f  a  Ta có bảng biến , M  73  73 Cách Bất đẳng thức Vậy P  Đặt z  a  bi ,  a     b  1  a, b   với 2  a  4  b    6  1 ,  a  1   b  1 2a  a  a  17 thiên hình bên dấu xảy ""  a   2;  , b  1;7    a   2;  , b  1;7  f / a  z   i  z   7i  có áp dụng bất đẳng thức Mincopxki ta có  a    a   b    b  , b  a   a    b     a  b  1   Theo đề z   i  ta 2 VT  1  Khi  ; f /  a   a    a  1   a    a  6a  17  f  a  Ta có bảng biến Dựa vào bảng biến thiên ta suy m  , M  73 Vậy  73 Cách Hình học P Đặt   a     b  1 a, b   với z  a  bi , 2  a  4  b    Khi ta có z   i  z   7i   , xét điểm N  a; b  , A  2;1 , B  4;7  , ta NA  NB   AB , suy N , A , B thẳng hàng ( N nằm A B ) Phương trình đường thẳng AB : x  y   Theo đề z   i  IN   a  1   b  1   a  1   b  1 , , xét điểm I  1; 1 suy   IA; IB;d I ; AB  IN  Max IA; IB;d I ; AB   m  IN  d I ; AB    M  IN  IB  73 max  Vậy P  m  M   73 Sưu tầm biên soạn: Lê Hồng Quốc ĐT: 0898.244.454 Một số câu hỏi số phức khó đề thi thử 2017 Trang (THPT Thị xã Quảng Trị) Cho số phức z  a  bi ( a , b   ) thỏa mãn z không số thực Câu 13 z2  z  1  a  b4 số thựC Tính M  z2  z  1  a  b6 A B Hướng dẫn giải C D Chọn B z  a  bi , với a , b   Vì z không số thực nên b      2 z  z  a  b  a    ab  b  i Ta có w  , suy phần ảo số phức w  z z 1 a  b2  a    ab  b  i 2b  a b  2b a   b2  a    ab  b  z2  z  1  a4  b4 2 2 số thực suy , ta có b   a b  a  z2  z  1  a  b4  a4  b4  a4  b4    6 2 4 2 3 1 a  b 1 a  b a  b  a b  a  b4 (Thầy Trần Trọng Trị - THPT Gia Định – TP.HCM) Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn điều kiện M Câu 14 , mà      z1  i  z1  z1  2i z2  10  i  Tìm giá trị nhỏ z1  z2 ? A  B 101  C 101  D 10  Hướng dẫn giải Chọn A Cách Ta có z1  i  z1  z1  2i suy tập hợp điểm biểu diễn số phức z1 nằm parabol  P  : y  Và z2  10  i  suy tập hợp điểm biểu diễn số phức z2 2 nằm đường tròn C  :  x  10    y  1  Xét đường tròn   :  x  10    y  1  k với k   0;     P  Giải điều kiện tiếp xúc    P    x  10  y'     y   k   x  10  k   x  10  Ta có  x  10    y  1  k     x  10   y   k  x  10    y'   k   x  10      P  tiếp xúc hệ phương trình sau có nghiệm tiếp xúc với 2 x2 2  x2  k  x  10     x  x  10   TH1:    x   k  45 x  10   x   x2   1  k   x  10  2  Sưu tầm biên soạn: Lê Hồng Quốc ĐT: 0898.244.454 Một số câu hỏi số phức khó đề thi thử 2017 Trang  x 1  k   x  10   x  x  10   TH2:   x  10      x   k  45 x x2   1  k   x  10 2  Ta suy k  45 Vậy Min z  z   Cách Ta có z1  i  z1  z1  2i suy tập hợp điểm biểu diễn số phức z1 nằm parabol  P  : y  z2  10  i  suy tập hợp điểm biểu diễn số phức z2 Và C  :  x  10    y  1 Xét nằm đường tròn  Đường tròn  C  có tâm I  10; 1 bán kính R   a2  A  a;    P  ,  4 điểm x2 IA  f  a   a4 a   20 a  101 ; 16 f /  a  a3  a  20 ; f /  a    a  , lập BBT suy Minf  a   45 suy MinIA  Vậy Min z  z   Cho số phức z thỏa z   z   Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  z   z Câu 15 A 3 B C 1 Hướng dẫn giải D 4 Chọn A Đặt z  x  yi , với a , b   Khi ta có z   z     x  2 2  y  x2   y    Xét điểm F1  2;  , F2  2;  M  x; y  , suy ta có biểu thức MF1  MF2   2.3 , suy tập hợp điểm biểu diễn số phức z nằm đường elip có phương trình x2 y   (với a  3, b  , c  ) Tọa độ đỉnh trục lớn A1  3;  , A2  3;  , đỉnh nằm trục bé     B1 0;  , B2 0; Ta có z    x  3  y  MA1 , z  MO ( O gốc tọa độ) Suy P  MA13  MO MinMA1  M  A1 MinMA1  Lại có  Vậy Pmin  3  MaxMO  OA1  OA2  Max MO  M  A1 hay M  A2 Câu 16 (THPT chuyên Hưng Yên –L3) Cho số phức z thoả mãn z   4i  Gọi M m 2 gia trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P  z   z  i Tính modun số phức w  M  mi A w  314 B w  309 C w  1258 D w  137 Hướng dẫn giải Chọn C 2 Đặt z  x  yi Ta có P   x    y   x   y  1   x  y    Sưu tầm biên soạn: Lê Hồng Quốc ĐT: 0898.244.454 Một số câu hỏi số phức khó đề thi thử 2017 Trang 10 2 Mặt khác z   4i    x     y    , đặt x   sin t; y   cos t Suy P  sin t  cos t  23 , ta có 10  sin t  cos t  10 Do 13  P  33  w  1258 Câu 17 (THPT chuyên Hưng Yên –L3) Cho số phức w, biết z1  w  2i z2  2w  hai nghiệm phương trình z  az  b  với a,b số thựC Tính T  z1  z2 A T  10 B T  C T  D T  37 Hướng dẫn giải Chọn A Đặt w  x  yi Theo Viet ta có: z1  z2  a  3w  2i    3x     y   i số thực nên y  Lại    có z1 z2  b   x  i  2i  x  i   số thực 3      16  Suy  x  i  x   i   x  x    i  x    số thực suy x     10 Do z1   i  2i   i , z2   i  T  3 3 Câu 18 (THPT Thái Nguyên – L2) Tập hợp số phức w    i  z  với z số phức thỏa mãn z   hình tròn Tính diện tích hình tròn A 4 B 2 C 3 Hướng dẫn giải D  Chọn B Đặt w  x  yi , với x , y   w    i  z   w    i  z  1  i   w  i    z  1  i  z  1 2  w  i    z  1  i  z  1   x     y  1   z  1  , suy tập hợp số phức cần tìm nằm hình tròn bán kính R  có tính biên  S   R  2 Câu 19 (THPT Thái Nguyên – L2) Cho số phức z có môđun , biết tập hợp điểm biểu diễn số phức w   2i    i  z đường tròn có bán kính là? A B C 3 D Hướng dẫn giải Chọn B Đặt w  x  yi , với x , y   x  yi   2i    i  z  z  z x  yi   2i 2i i  x  y  1  x  y  x  yi   4i  xi  y  3i  z 5 2 z    x  y  1   x  y    25.9  5x  y  30 x  20 y  65  29.5 2  x  y  x  y  13  45   x     y    45  R  Sưu tầm biên soạn: Lê Hồng Quốc ĐT: 0898.244.454 Một số câu hỏi số phức khó đề thi thử 2017 Trang 11 (THPT Thái Nguyên – L2) Cho số phức z  a  bi , với a , b   thỏa mãn Câu 20  z  1 1  iz   i Tính z z a2  b2 ? A  2 B  2 C  2 Hướng dẫn giải D Chọn A  z  Điều kiện   z  1 Khi  z  1 1  iz   i  z z z 1  iz    z  1 i   z  i z    z  1 i  z   z   z  i 1  z   z 1 z  z   z  1  z   2   2   z  z 1  z 1 z   z  Câu 21 (THPT chuyên KHTN – Hà Nội – L5) Cho z1 , z2 số phức bất kỳ, giá trị biểu thức: z1  z2 a 2 z1  z2  z1  z2 bằng? A a  B a  C a  D a  Hướng dẫn giải Chọn B Cách Đặt z1  a  bi , z2  c  di , với a , b , c , d   Khi z1  z2 a 2 z1  z2  z1  z2  a    b2  c  d2 2   a  c   b  d   a  c  b  d  Cách 2 Ngoài ta chọn z1  z2   Câu 22 z1  z2 2 z1  z2  z1  z2  11   0  Cho số phức z thỏa z   2i  17 Gọi M , m giá trị lớn giá trị nhỏ P  1999 z   i  2017 z   3i Tính M  m A M  m  8302 17 C M  m  17  B M  m  4034 17  19992  2017  1999 D M  m  17   19992  2017  1999 Hướng dẫn giải Chọn D Cách z   2i  17 suy tập hợp số phức z nằm đường tròn tâm I  2;  bán kính Sưu tầm biên soạn: Lê Hồng Quốc 17 ĐT: 0898.244.454 Một số câu hỏi số phức khó đề thi thử 2017 Trang 12 Xét điểm A  2;1 , B  6;  , C  x; y  Khi P  1999CA  2017CB Ta có AB đường kính đường tròn tâm I nên P  1999 68  CB2  2017CB Xét hàm f  x   1999 68  x  2017 x số Pmax  17 1999  2017 Vậy M  m  17 với  x   0; 17    suy Pmin  1999.2 17 ,  19992  2017  1999 Cách z   2i  17  a2  b2  a  4b  P  1999 z   i  2017 z   3i  1999 a2  b2  a  2b   2017 a2  b2  12 a  6b  45  P  1999 8a  2b  14  2017 8 a  2b  54  17 1999  2017 Suy Pmax  17 1999  2017 Pmin  1999.2 17 (sử dụng xét hàm) Vậy M  m  17   19992  2017  1999 Chú ý: cách hai ta có xét hàm số f  t   1999 14  t  2017 t  54 (với t  a  2b 14  t  54 ) Câu 23 (THPT Chu Văn An – Hà Nội – L2) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z   Tìm giá trị lớn nhất của T  z  i  z   i A max T  B max T  C max T  Hướng dẫn giải D max T  Chọn B Đặt z  x  yi Ta có: z    x  yi     x  1  y  2 Khi đó: T  z   z   i  x  yi  i  x  yi   i  x2   y  1   1 2  x     y  1 2 2  12  x   y  1   x     y  1           2 x  x   y   2  x  1  y       Vậy max T  Câu 24 (THPT Quốc Học – Huế - L2) Cho số phức z  cho z số thực w  số thựC Tính z 1 z A z  z2 B C D Hướng dẫn giải Chọn B Cách Theo giả thiết ta có w  z số thực nên ta chọn w số thực cho z không  z2 phải số thực Sưu tầm biên soạn: Lê Hồng Quốc ĐT: 0898.244.454 Một số câu hỏi số phức khó đề thi thử 2017 Chọn w  Trang 13 z z 1 i  z 1    z2   z  z  2 2 1 z 1 z Cách Ta có w  z 1 z2  1 số số phức liên hợp z thực suy   z  số thực suy w z z z 1 z z 1 suy z.z  z  z   z     z 1  1 z (Chuyên ĐH Vinh – Nghệ An – L3) Cho số phức z thay đổi, có z  Khi đó tập hợp Câu 25 điểm biểu diễn số phức w    2i  z  3i là: B Đường tròn x   y    20 2 D Đường tròn  x    y  A Đường tròn x   y    C Đường tròn x   y    20 Hướng dẫn giải Chọn B Giả sử w  a  bi  a , b     a  bi    2i  z  3i z a  b  3 i  a   b   i    2i  a   b     a  b   i    5  2i 2 2  a   b      a  b      a  2b     a  b    100  z  z    2   a  2b    2a  b   12  a  2b    a  b   55  5a  5b2  30b  55  a  b2  6b  11  a2   b    20 Câu 26 (THPT chuyên Vị Thanh – Hậu Giang) Biết số phức z thỏa mãn phương trình z  P  z 2016  z A  Tính z 2016 B C Hướng dẫn giải D Chọn C Ta có    P  z3 Câu 27 z 672  1  1 1     z     z3    z     z3     z3    z3  z z z z z    z  672     (THPT Kim Liên – Hà Nội) Cho hai số thực b c  c   Ký hiệu A , B hai điểm mặt phẳng phức biểu diễn hai nghiệm phương trình z  bz  c  Tìm điều kiện b c cho OAB tam giác vuông ( O gốc tọa độ) A b  c B c  2b C b  c Hướng dẫn giải D b  c Chọn B Theo yêu cầu toán suy phương trình nghiệm thực Sưu tầm biên soạn: Lê Hồng Quốc ĐT: 0898.244.454 Một số câu hỏi số phức khó đề thi thử 2017 Trang 14  z  b  i c  b 2 z  bz  c    z  b   b  c   c  b Khi A b; c  b ,  z  b  i c  b    B b;  c  b2 , suy OA  b; c  b2 , OB b;  c  b2 Ta có A , B hai điểm đối xứng nhua Ta  có:          qua trục Oy Suy tam giác OAB vuông O Theo giả thiết ta có: b  b  c   c  b Câu 28 (Chuyên Ngữ – Hà Nội) Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện số phức w  z   3i    i số ảo A Đường tròn x  y  B Đường thẳng x  y   2 C Đường tròn  x     y    D Đường thẳng x  y   Hướng dẫn giải Chọn B Đặt z  x  yi , với x , y    w   x  yi   3i    i   x  y     3x  y  1 i 2x  y   W số ảo   x  y    Tập hợp điểm biểu diễn số 3x  y   phức z đường thẳng x  y   Câu 29 (Chuyên Ngữ – Hà Nội) Cho số phức z thỏa mãn z  Tìm giá trị lớn biểu thức T  z 1  z 1 A M ax T  B M ax T  10 C M ax T  D M ax T  Hướng dẫn giải Chọn A Cách T  z 1  z 1  1    z  2  z 1  2    5.2 z   (BĐT Bunhiacopxki)  Chú ý: z   z   x  y   z  với z  x  yi , x , y   Cách Đặt z  x  yi , với x , y   ta có: T  x  yi   x  yi    x  1 Lại có x  y   T  x   Ta có f '  x    2  x  1 2 x   f  x   y2  0x  y2 6  Tmax  10 2x  2  2x Câu 30 (Sở GD – Đồng Tháp) Trong số phức z thỏa mãn điều kiện| z   2i|| z  i| , tìm số phức có mô-đun nhỏ 3 16 16 A z   i B z    i C z   i D z   i 5 5 5 5 Hướng dẫn giải Chọn A Gọi z  a  bi ,  a, b  R  Ta có z   2i  z  i   a  1   b   i  a  b  i  i Sưu tầm biên soạn: Lê Hồng Quốc ĐT: 0898.244.454 Một số câu hỏi số phức khó đề thi thử 2017   a  1   b   Trang 15  a2   b  1  a2  2a   b2  4b   a2  b2  2b   a  b   a  3b  2  3b    b2  10b2  12b   10  b  35   25  510   Do z  a2  b  3 Dấu "  " xảy b    a  Vậy z   i 5 5 Câu 31   (THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm) Cho số phức z thỏa mãn w   z  1 z  2i số ảo Tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường tròn có diện tích bao nhiêu? 5 5 A 5 B C D 25 Hướng dẫn giải Chọn B Đặt z  a  bi , với a , b    w   a   bi  a  bi  2i   a2  b2  a  2b   2a  b   i 2 2  1 a  b  a  2b   a2  b2  a  2b    a     b  1  w số ảo suy  2 2a  b    Suy tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường tròn có diện tích Câu 32 5 (THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm) Cho số phức z  x  yi  x , y    Khi phần thực a phần ảo b số phức   A a  zi là: iz  x  y  1  y  2  x x  y  1 C a   y  2  x 2 , b ,b y  y  x2   y  2  x2 y  y  x2   y  2  x2 B a   x  y  1  y  2  x  x  y  1 D a   y  2  x 2 ,b ,b y  y  x2   y  2  x2 y  y  x2   y  2  x2 Hướng dẫn giải Chọn B Ta có:    2 x  yi  i x  yi  i  x  yi  i   xi  y    x  2xy  i y  y  x     i  x  yi   xi  y   xi  y    xi  y   x2   y      x  y  1 a    x  y  1 y  y  x  y    x2     i 2 2 b  y  y  x   y    x2 x2   y    x2   y    Câu 31 kiện (THPT Lam Sơn – Thanh Hóa) Cho số phức z , tìm giá trị lớn z biết z thỏa mãn điều 2  3i z    2i Sưu tầm biên soạn: Lê Hồng Quốc ĐT: 0898.244.454 Một số câu hỏi số phức khó đề thi thử 2017 A B Trang 16 C Hướng dẫn giải D Chọn B Tổng quát: Cho số phức z thỏa mãn z  a  bi  R tìm modun lớn nhỏ số phức z 2 Điểm biểu diễn số phức z đường tròn  x  a    y  b   R Khi đó: z max  OI  R  a2  b2  R , z  OI  R  a2  b2  R Áp dụng: Ta có: 2  i z  x  yi z    iz    y  1  x    2i Khi đó: zmax  OI  R    (THPT Thanh Chương –Nghệ An – L1) Cho z1 , z2 hai số phức thỏa mãn phương trình Câu 32 z  i   iz , biết z1  z2  Tính giá trị biểu thức P  z1  z2 A P  B P  C P  D P  Hướng dẫn giải Chọn D Cách Ta có 2 2z  i   iz  z  i   iz  (2 z  i )(2.z  i)  (2  iz)(2  i.z )  z.z  iz  iz  i   iz  iz  i z.z  5z.z   z.z   z   z   z1  z2  Chú ý: a.a  a2  z  i  (2 z  i ).(2 z  i )  (2 z  i )(2 z  i ) Tập hợp điểm biểu diễn số phức z1 , z2 đường tròn tâm O , R  Gọi M1  z1  , M2  z2   OM1  OM2     Ta có z1  z2  OM1  OM  M M1   OM1 M    Mà z1  z2  OM1  OM  OM  OM với M điểm thỏa mãn OM1 MM2 hình thoi cạnh  OM   P  Cách Đặt z  x  yi ( x , y   ), ta có z  i  x  2( y  1)i  iz   y  xi  z  Khi z  i   iz  x  (2 y  1)2  ( y  2)2  x  x  y   z     z  Sử dụng công thức z  z2  z  z2   z1  z2   z z 2   z  z2  Câu 33 (Sở GD Phú Thọ) Cho hai số phức z1 z2 thỏa mãn z1  , z2  , z1  z2  37 Xét số phức z  z1  a  bi Tìm b z2 A b  3 Sưu tầm biên soạn: B b  39 C b  8 Hướng dẫn giải Lê Hồng Quốc D b  ĐT: 0898.244.454 Một số câu hỏi số phức khó đề thi thử 2017 Trang 17 Chọn A z1  x  yi , Đặt z2  c  di  x , y , c , d    Ta có: z1   x  y  ; z2   c  d2  16 ; z1  z2  37   x  c    y  d   37  x  y  c  d  xc  yd  37  xc  yd  6 Lại có: z1 x  yi  x  yi  c  di  xc  yd   yc  xd  i xc  yd yc  xd  i  a  bi    bi     2 2 2 z2 c  di c d c d c d c d z1 z 9   27 3   a  b2  a  b   b2       b Mà  16 16   64 z2 z2 3 (Chuyên ĐH Vinh – Nghệ An – L4) Cho số phức z thỏa mãn z số thực Vậy b  Câu 34 z số thựC Giá trị lớn biểu thức P  z   i w  z2 A 2 B C Hướng dẫn giải D Chọn A Cách w z z z số thực w  w    z  z.z  z  zz 2 2  z2 2z 2z   z  z   z.z  z  z   z  z (loại z không số thực)  z.z  z  Suy ra: OM  với M điểm biểu diễn z , M thuộc đường tròn  C  tâm O , R  Ta có: P  z   i  MA , với A  1;1 Ta có: A   C  nên MA lớn R  2 Cách Vì z không số thực nên z  Suy w  z Ta có w   w  z2  z  z2  z   *  w 2z    *  phương trình bậc hai với hệ số thực  w1    nên có nghiệm phức z , z   liên hợp Theo Viet ta có: z1 z2   z1 z2   z1 z2   z1 z1   z  Suy P  z   i  z   i    2 Cách Ta có w  z 1 số phức liên hợp z   z  , mà w   suy   , suy z w w z 2z Suy z.z   z  Ta có P  z   i  z   i    2 Câu 35 (Chuyên ĐH Vinh – Nghệ An – L4) Cho hai số phức z1 z2 thỏa mãn z1  z2  z1  z2  Tính z1  z2 A Sưu tầm biên soạn: B Lê Hồng Quốc C D ĐT: 0898.244.454 Một số câu hỏi số phức khó đề thi thử 2017 Trang 18 Hướng dẫn giải Chọn A Cách  2 Ta có z1  z2  z1  z2  z1  z2  Khi z  z 2    1    z1  z2  Cách  z2  Chọn z1  từ suy z2 từ hệ  Thay vào z1  z2 ta kết z1  z2   z2   Câu 36 (THPT Chuyên Võ Nguyên Giáp – Quảng Bình) Gọi  H  hình biểu diễn tập hợp số phức z mặt phẳng tọa đọ Oxy để z  z  số phức z có phần thực không âm Tính diện tích hình  H  A 3 B   Hướng dẫn giải C D 6 Chọn B Đặt z  x  yi  x   , a, b  z  z   x  yi   x  y   Câu 37 x2 y2   Do hình  H  nửa hình Elip có a  3, b  Khi S  Selip   ab    2 (THPT Hoằng Hóa – Thanh Hóa) Cho số phức z thỏa điều kiện z   z  i Tìm số phức w  z  2i  có môđun nhỏ 1 1 A    i B     i C    i 2 2 2 Hướng dẫn giải Chọn B Cách Đại số Đặt z  a  bi với a ,b   D     i 2 Ta có z   z  i  a  bi   a  bi  i   a  1  bi  a   b  1 i 2   a    b  a   b  1  a  b  Khi w  a  bi  2i    a     b   i   a     a   i 2  w   a     a   25    5 1  a  10 a  13   a  5a      a      2 2   5 5 1 a   b    z   i  w    i 2 2 2 Cách Hình học Đặt z  a  bi với a ,b    w  Ta có z   z  i  a  bi   a  bi  i   a  1  bi  a   b  1 i 2   a  1  b  a   b  1  a  b  , suy tập hợp số phức z nằm đường thẳng  : y   x Xét điểm I  3; 2  Ta có w  z  2i   w  z  2i   IM Sưu tầm biên soạn: Lê Hồng Quốc ĐT: 0898.244.454 Một số câu hỏi số phức khó đề thi thử 2017 Trang 19  M hình chiếu vuông góc I  , M  m; m suy IM   m  2;  m  , Ta có IM   1 IM.u   m   m    m  Vậy w    i số phức có môđun nhỏ 2 Câu 38 (THPT Đống Đa – Hà Nội) Cho số phức z thỏa mãn z  z   z   i Biểu thức z có giá trị lớn A 1 B C  Hướng dẫn giải D  Chọn A Cách 1: Đại số  z   i   1 z  z   z   i   z  1  i  z   i  z   i z   i  z   i    z   i    +) 1  z  1  i  z   3    a    b  1 i    a     b   +) Đặt z  a  bi , với a , b   Khi ta có  1   a  b  2 a  b  , theo bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có: 2a  2b   a  b   z  2 z      z    4 Từ   ,   suy z max   Cách 2: Hình học z  z   z   i   z  1  i  z   i  z   i   1  z 1 i z  1 i  z 1 i    z   i    +) 1  z  1  i  z  +) Đặt z  a  bi , với  3 a, b   Khi    a    b  1 i    a  1   b  1 ta có  , suy tập hợp số phức cần tìm nằm đường tròn tâm I  1; 1 , bán kính R  Suy OI  R  z  OI  R    z   Vậy z max   Câu 39 (Sở GD Bắc Giang – L1) Cho số phức z thay đổi thỏa mãn z   4i  Tìm giá trị lớn PMax biểu thức P  z A PMax  12 B PMax  C PMax  D PMax  Hướng dẫn giải Chọn C Cho số phức z thõa mãn z  a  bi  R tìm modun lớn nhỏ z Điểm biểu diễn số phức z đường tròn: số phức  x  a   y  b  R2 Khi z max  OI  R  a2  b2  R , z  OI  R  a2  b2  R Sưu tầm biên soạn: Lê Hồng Quốc ĐT: 0898.244.454 Một số câu hỏi số phức khó đề thi thử 2017 Trang 20 Áp dụng: PMax     (Sở GD Quảng Ninh) Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1  z2  z1  z2  Tính giá trị Câu 40 z  z  biểu thức P        z2   z1  A P   i B P  1  i C P  1 Hướng dẫn giải D P   i Chọn C Cách z1 Ta có GT  Đặt 1 z2 z1  z2 z2  z1 z  1 1 z2 z2  b   2 2  w    P  w   1 a  b    a  1  b   2 w2 a   z1  a  bi ta có: z2 Cách i i   P  1 ; z2    2 2 Cách Dùng dạng lượng giác số phức (đọc thêm)  Gọi A  z1  ; B  z2  ; AB  z1  z2    OAB tam giác cạnh Chọn z1  2  z   r    r  Khi     1     1      1  21  22   1120  cos120  i sin120  z2   r2    r2    z  Tương tự    cos 120  i sin 1200  P  1  z2   Câu 41    (THPT chuyên Hà Giang – L1) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z   2i  Tìm giá trị lớn nhất của z A max z  2  B max z  2 C max z  2  D max z  2  Hướng dẫn giải Chọn A Cách Đại số Giả sử z  a  bi , với  a, b   2 Ta có: z   2i   a  bi   2i   a    b   i    a     b     a   sin t Đặt  b  2  cos t Khi đó: z  a2  b2     sin t    2  cos t     sin t  cos t     sin2 t  cos2 t    2   z max  2  sin t   cos t Sưu tầm biên soạn: Lê Hồng Quốc ĐT: 0898.244.454 Một số câu hỏi số phức khó đề thi thử 2017 Trang 21 Cách Hình học Cho số phức z thỏa mãn z  a  bi  R tìm mô đun lớn nhất và nhỏ nhất z Điểm biểu diễn số phức z của số phức  x  a   y  b là đường tròn:  R2 Khi đó z max  OI  R  a2  b2  R , z  OI  R  a2  b2  R Áp dụng: Pmax  2  2   2  Câu 42 (Chuyên KHTN – Hà Nội – L4) Gọi z1 , z2 nghiệm phương trình z  z   Tính giá trị P  z12017  z2 2017 A P  B P  1 C P  Hướng dẫn giải D P  Chọn B Vì z1 nghiệm phương trình z  z   nên ta có z12  z1    z13    z13   z12016   z12017  z1 Chứng minh tương tự: z2 2017  z2 Vậy P  z1  z2  1 Câu 43 (Chuyên KHTN – Hà Nội – L4) Với hai số phức z1 z2 thỏa mãn z1  z2   6i z1  z2  Tìm giá trị lớn P  z1  z2 A P   B P  26 C P  D P  34  Hướng dẫn giải Chọn B Đặt OA  z1 , OB  z2 ( với O gốc tọa độ, A , B điểm biểu diễn z1 , z2 ) Dựng hình bình hành OACB , ta có AB  z1  z2  , OC  z2  z1  10 , OM  Theo OM  định  lý 2 đường  OA  OB  AB Ta có z1  z2  z1  z2 Câu 44 tuyến ta 2 có  OA  OB2  52  z1  z2  52  trung 2  2 26 (BĐT Bunhiacopxki) Vậy Pmax  26 (Sở GD Hải Dương) Cho số phức z thỏa mãn z.z  Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P  | z  z  z |  | z  z | A 15 B 13 Hướng dẫn giải C D Chọn B Giả sử z  a  bi  z  a  bi , với  a, b   z.z  suy b   a Sưu tầm biên soạn: Lê Hồng Quốc ĐT: 0898.244.454 Một số câu hỏi số phức khó đề thi thử 2017 P | z  z  z | | z  z | suy Trang 22  P  a a  3b     b2 3a  b    a2  P  f  x   x2  x  với x  0;  Lập bảng biến thiên ta suy Pmin  Trong trình biên soạn khó tránh khỏi sai sót Mong nhận góp ý từ bạn quí thầy cô Mọi góp ý xin inbox trực tiếp cho theo địa https://www.facebook.com/lehong.quoc.12 Chân thành cảm ơn chúc bạn học tốt! Sưu tầm biên soạn: Lê Hồng Quốc ĐT: 0898.244.454 ... 1999 Hướng dẫn giải Chọn D Cách z   2i  17 suy tập hợp số phức z nằm đường tròn tâm I  2;  bán kính Sưu tầm biên soạn: Lê Hồng Quốc 17 ĐT: 0898.244.454 Một số câu hỏi số phức khó đề thi thử. .. tầm biên soạn: Lê Hồng Quốc ĐT: 0898.244.454 Một số câu hỏi số phức khó đề thi thử 2017 Trang (THPT Thị xã Quảng Trị) Cho số phức z  a  bi ( a , b   ) thỏa mãn z không số thực Câu 13 z2  z... 137 Hướng dẫn giải Chọn C 2 Đặt z  x  yi Ta có P   x    y   x   y  1   x  y    Sưu tầm biên soạn: Lê Hồng Quốc ĐT: 0898.244.454 Một số câu hỏi số phức khó đề thi thử 2017