Đề thi thử tuyển sinh vào lớp 10 THPT môn Toán năm 2021 - 2022 lần 3 do thuvientoan.net biên soạn

Bài toán đồng nghĩa với việc tìm diện tích xung quanh nhỏ nhất của hình hộp chữ nhật Gọi x , 3 x với x  0 lần lượt là chiều rộng và chiều dài của bể (đơn vị mét).[r]

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2021 – 2022 Môn thi: TOÁN

Thời gian làm 150, không kể thời gian phát đề Câu (1,0 điểm)

a) Rút gọn biểu thức A2 35 48 1255

b) Tìm điều kiện x để biểu thức B 3x4 có nghĩa Câu (2,5 điểm)

a) Giải hệ phương trình  

 

2

2

2

x x y

x x y

    

     

b) Giải phương trình: x  2 x

c) Cho parabol  P :y2x2 đường thẳng  d :y3xb Xác định giá trị b phép tính để đường thẳng  d tiếp xúc với parabol  P

Câu (1,5 điểm)

Cho phương trình    

1

x  m x m với m tham số

a) Chứng minh phương trình  1 ln có nghiệm với giá trị m

b) Xác định giá trị m để phương trình  1 có hai nghiệm phân biệt x x1, 2 thỏa mãn:

   

1 3 x x x x   Câu (1,0 điểm)

Một lâm trường dự định trồng 75 rừng số tuần Do tuần trồng vượt mức so với kế hoạch nên trồng 80 hoàn thành sớm tuần Hỏi tuần lâm trường dự định trồng rừng?

Câu (3,0 điểm)

Cho đường tròn tâm O có đường kính AB2 R Gọi I trung điểm đoạn thẳng OA, E điểm thay đổi đường trịn  O cho E khơng trùng với A B Dựng đường thẳng d1 d2 tiếp tuyến đường tròn  O A B Gọi d đường thẳng qua E vng góc với EI Đường thẳng d cắt d d1, 2 M N,

c) Khi điểm E thay đổi, chứng minh tam giác MNI vng I tìm giá trị nhỏ diện tích MNI theo R

Câu (1,0 điểm)

Khi xây nhà, cô Ngọc cần xây bể đựng nước mưa tích

V  m dạng hình hộp chữ nhật với chiều dài gấp ba lần chiều rộng, đáy nắp mặt xung quanh đổ bê tông, cốt thép Phần nắp để hở khoảng hình vng có diện tích

9 diện tích nắp bể Biết chi phí cho

2

1m bê tông cốt thép triệu đồng Tính chi phí thấp mà Ngọc phải trả xây bể (làm tròn đến chữ số hàng trăm nghìn)?

LỜI GIẢI CHI TIẾT Câu (1,0 điểm)

a) Rút gọn biểu thức A2 35 48 1255

b) Tìm điều kiện x để biểu thức B 3x4 có nghĩa Lời giải

a) Ta có: A2 35 4  535 52 320 35 55 522 Vậy A22

b) Ta có B có nghĩa 4

x   x

Vậy với

3

x B có nghĩa

Câu (2,5 điểm)

a) Giải hệ phương trình  

 

2

2

2

x x y

x x y

    

     

b) Giải phương trình: x  2 x

c) Cho parabol  P :y2x2 đường thẳng  d :y3xb Xác định giá trị b phép tính để đường thẳng  d tiếp xúc với parabol  P

Lời giải a) Cộng vế theo vế hệ phương trình ta được:

        2 2

2 2

3

1

x x y x x y

x x x x

x x

                   

Với x1, ta có:  1 3y  5 y

Vậy hệ cho có nghiệm x y;    1;

b) Ta có:

 2 2

2

5 17

2 2 5 17

2 2

2

5

2

x

x x x

x x x

Vậy phương trình cho có nghiệm 17

x 

c) Phương trình hồnh độ giao điểm  d  P là:

2

2x 3x b 2x 3x b

 P tiếp xúc với    3  

d             b b

Vậy với

8

b   P tiếp xúc với  d Câu (1,5 điểm)

Cho phương trình    

1

x  m x m với m tham số

a) Chứng minh phương trình  1 ln có nghiệm với giá trị m

b) Xác định giá trị m để phương trình  1 có hai nghiệm phân biệt x x1, 2 thỏa mãn:

   

1 3 x x x x  

Lời giải

a) Phương trình  1 có  m12 4 mm22m 1 m120

Nên phương trình  1 có nghiệm với m

b) Phương trình  1 có hai nghiệm phân biệt     0 m Theo định lý Viete, ta có:

1

1

x x m

x x m

    

  

 Khi đó, ta có:

   

 

   

   

1 2

2

1 1

2

1 2

2

2

3

3

3

1

1

3

2

x x x x

x x x x

x x x x x x

m m m

Câu (1,0 điểm)

Một lâm trường dự định trồng 75 rừng số tuần Do tuần trồng vượt mức so với kế hoạch nên trồng 80 hoàn thành sớm tuần Hỏi tuần lâm trường dự định trồng rừng?

Lời giải

Gọi số rừng mà lâm trường dự định trồng tuần x với x0

Thời gian trồng rừng theo kế hoạch 75

x (tuần) Thực tế tuần lâm trường trồng x5 Thời gian trồng rừng thực tế 80

5

x (tuần)

Vì thực tế lâm trường hồn thành sớm dự định tuần nên ta có phương trình:

   

2

75 80

1

75 80

10 375

15 25

x x

x x x x

x x

x x

 



    

   

   

   

Do x0 nên x15 Vậy tuần phải trông 15 Câu (3,0 điểm)

Cho đường tròn tâm O có đường kính AB2 R Gọi I trung điểm đoạn thẳng OA, E điểm thay đổi đường trịn  O cho E khơng trùng với A B Dựng đường thẳng d1 d2 tiếp tuyến đường tròn  O A B Gọi d đường thẳng qua E vng góc với EI Đường thẳng d cắt d d1, 2 M N,

a) Chứng minh tứ giác AMEI nội tiếp

b) Chứng minh IAE đồng dạng với NBE Từ chứng minh IB NE 3IE NB

c) Khi điểm E thay đổi, chứng minh tam giác MNI vuông I tìm giá trị nhỏ diện tích MNI theo R

a) Ta có d1 tiếp tuyến  O A nên MAI 90 Theo giả thiết MEI 90

Suy ra: MAIMEI900 hay tứ giác AMEI nội tiếp b) Do E nằm đường trịn đường kính ABAEB90

Theo giả thiết NEI90 Từ suy AEI BEN  1 phụ với IEB Lại có AEIEBN  2 phụ với ABE

Từ  1  2 , suy AIE đồng dạng với BEN

c) Theo câu a) ta có tứ giác AMEI nội tiếp Suy MIEMAE

Chứng minh tương tự có BIEN tứ giác nội tiếp Suy EIBEBN

Mà  

90

MAE EAB  

90

EBN EBA

Suy MAEEBN1800EAIEBA18001800AEBAEB90 Do MIEEIN90 Suy tam giác MNI vng I

Khi     

2 2

2

3

2 2

MNI

MA AI MB IB MI IN MI IN

S       

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiaxcopki, ta có:

 2 2  

4 MA IA NB IB MA NB IA IB Theo câu a) tứ giác AMEI nội tiếp AMIAEI

N M

I O B

A

Mà AEIBEN theo câu a) Nên AMIBEN Mà BENNIB tứ giác BNEI nội tiếp

Suy AMINIB, suy MAI đông dạng với tam giác IBN Suy MA IA MA NB IA IB 5

IB  BN    

Từ    3 ,  5 suy

2

3

2

MNI

R R R

S IA IB    Đẳng thức xảy

MA IA NB  IB

Vậy diện tích nhỏ MNI

R

Câu (1,0 điểm)

Khi xây nhà, cô Ngọc cần xây bể đựng nước mưa tích V 6 m3 dạng hình hộp chữ nhật với chiều dài gấp ba lần chiều rộng, đáy nắp mặt xung quanh đổ bê tông, cốt thép Phần nắp để hở khoảng hình vng có diện tích

9 diện tích nắp bể Biết chi phí cho

2

1m bê tơng cốt thép triệu đồng Tính chi phí thấp mà cô Ngọc phải trả xây bể (làm trịn đến chữ số hàng trăm nghìn)?

Lời giải

Bài tốn đồng nghĩa với việc tìm diện tích xung quanh nhỏ hình hộp chữ nhật Gọi x, 3x với x0 chiều rộng chiều dài bể (đơn vị mét)

Khi chiều cao bể là: 22

V h

r d x x x   

Tổng diện tích mặt bể đổ bê tông là:    

2

2

2 2 16 16

2 3

9

x

x x x x x x

x x x

   

           

   

 

   

Áp dụng bất đẳng thức AM – GM, ta có:

2 2

3

16 16 16 8 16 8

3 18

3 3

x x x

x x x x x

      

Đẳng thức xảy

3

16

3

x

x x

   Vậy số tiền thấp cần để đổ bê tông là:

3