Tạp chí toán tuổi thơ 2 kỳ số 40

Bµi viÕt nµy ®Ò cËp tíi mét bµi to¸n næi tiÕng trong lÞch sö to¸n häc.. Cã s¸u nhµ khoa häc viÕt th­ trao ®æi vÒ hai ®Ò tµi khoa häc kh¸c nhau.[r]

1

l KÕt qu¶ : (TTT2 sè 38)(TTT2 sè 38)

GẤP TAM GIÁC

l Kì :

lCách dựng n gin nh sau :

- Lấy đường thẳng d điểm O dựng đường tròn (O, r) có rOA, cắt d hai điểm phân biệt B, C (BC đường kính)

- Kẻ đường thẳng AB AC, cắt đường tròn vừa dựng C’ B’

- Nối BB CC, cắt H - Kẻ đường thẳng qua A H, đường thẳng đường thẳng cần dựng (vuông góc với d) Hlà trực tâm tam giác ABC (xem hình vẽ)

lRõ ràng cách dựng đường thẳng qua A

vng góc với đường thẳng d lần phải dùng đến compa nên thỏa mãn yêu cầu đề (chú ý phải có điều kiện rOAvì rOAthì AH) Có nhiều bạn tham gia thử tí tốn kì có 20% bạn có lời giải giải theo cách Các bạn khác mắc phải lỗi sử dụng compa lần cho thao tác sau hiển nhiên thực mà dùng đến compa lần :

- Dựng trung điểm đoạn thẳng, - Dựng hai đường thẳng song song, - Dựng đường tròn tâm A tiếp xúc với đường thẳng d,

lCỏc bạn thưởng kì Nguyễn Thành Đạt, 9A, THCS Nghĩa Trung, Tư Nghĩa, Quảng Ngãi; Ngô Đức Chiến, 9D, THCS Hải Hậu, Hải Hậu, Nam Định ; Nguyễn Minh Cơng, 7A11, THCS Giảng Võ, Ba Đình, Hà Nội ; Dương Hồng Hưng, 8B, THCS Lí Nhật Quang, Đơ Lương ; Nguyễn Anh Hoàng, 9A, THCS Đặng Thai Mai, TP Vinh, Nghệ An

Anh Compa

Người ta đưa cho Toán Thơ bạn mảnh giấy hình tam giác yêu cầu bạn chia thành ba phần cách sau :

- Gấp mảnh giấy cho hai đỉnh tam giác trùng cắt theo vết gấp để hai mảnh

- Lấy mảnh để gấp cho hai đỉnh trùng cắt theo vết gấp

Sau người ta yêu cầu bạn cho biết diện tích phần lớn gấp lần diện tích phần nhỏ Tốn cho kết cịn Thơ cho kết Liệu hai bạn không ?

2

BẤT NGỜ SAU MỖI LỜI GIẢI

§»ng sau lời giải toán ẩn chứa nhiều điều bất ngờ dành cho bạn say sưa tìm tòi, sáng tạo

lCác bạn hÃy theo dõi lời giải

toán sau (trong k× thi häc sinh giái líp 9, TP Hå ChÝ Minh 2005-2006)xem có phát điều thú vị kh«ng nhÐ !

Bài tốn Cho tam giác ABC Từ điểm M cạnh AB, vẽ hai đường thẳng song song với hai cạnh AC, BClần lượt cắt BC, ACtại Dvà E Tìm vị trí điểm M cạnh AB để đoạn DE có độ dài ngắn

Lêi gi¶i

Do ME// BCnên (hai góc đồng vị) Suy AMElà tam giác

Tương tự ta có BMDlà tam giác Dựng DH, EKvng góc với ABlần lượt H, K; dựng DNvng góc với KEtại N Tam giác AME nhận EK đường cao nên EK đường trung tuyến, suy AM2MK

Tương tự, tam giác BMDnhận DH đường cao, suy BM2MH

Từ ta cú :

ABAMBM2MK2MH2KH

Ta lại thấy KHDNlà hình chữ nhật, suy KHDN

Mặt khác, DNvuông góc với EKnên DEDN, suy

Đẳng thức xảy Etrùng với N DE// AB

AMDEvà BMEDlà hình bình hành MAMBDE

Mlà trung điểm AB

Vậy Mlà trung điểm ABthì DE có độ dài ngắn nhất,

l Khi xem xét kĩ lại lời giải trên,

nhận rằng, điểm mấu chốt toán dựng KH, phát KH khơng đổi DEKH

Vì lời giải không cần sử dụng đến giả thiết ABClà tam giác mà cần đến giả thiết ABClà tam giác cân C

Từ ta có tốn “mạnh hơn” Thế cịn bạn, bạn có phát thêm điều đằng sau lời giải không ? Rất mong tiếp tục trao đổi với bạn !

2 AB AB



2 AB DE

 

AME ABC

3

TRẬN ĐẤU THỨ BA MƯƠI

Lời giải.Đây tốn khó Chỉ có hai võ sĩ bước lên sàn đấu có võ sĩ có lời giải đúng, võ sĩ Bùi Minh Trí, 8C, THCS Đặng Thai Mai, TP Vinh, Nghệ An Tuy nhiên lời giải võ sĩ Trí dài thiếu sáng sủa Xin giới thiệu với bạn đọc lời giải võ sĩ Trí (có sửa chữa)

Trước hết xin phát biểu không chứng minh bổ đề quen thuộc

Bổ đề :Trong tam giác ABCcó : ,

trong ha, hb, hctheo thứ tự độ dài đường cao hạ từ A, B, C ; r bán kính đường trịn nội tiếp tam giác ABC

Trở lại việc giải tốn thách đấu Để cho đơn giản, ta dùng kí hiệu d(X, ) để khoảng cách từ điểm X tới đường thẳng và kí hiệu r(XYZ) để bán kính đường trịn nội tiếp XYZ

Giả sử ABAC Có hai trường hợp cần xem xét

Trường hợp :AB> AC

Theo tính chất đường phân giác ta cã :

AC’ ; AB’

Từ đó, với ý AB> AC, ta có : AC’> AB’ (1) Lấy B”thuộc tia BAsao cho :

AB”AB’ Theo (1), B”thuộc đoạn AC’ Từ đó, dễ thấy :

r(IA’B”) < r(IA’C’) (2) MỈt kh¸c, ta cã IA’B” IA’B’

r(IA’B”) r(IA’B’) (3) Từ (2), (3) suy : r(IA’B’) < r(IA’C’), mâu thuẫn với đề

Trường hợp :AB< AC

Tương tự trường hợp 1, dẫn đến mâu thuẫn

VËy : ABAC(®pcm)

Nhận xét ýtưởng sử dụng đẳng thức lời giải ý tưởng hay độc đáo Võ sĩ Bùi Minh Trí xứng đáng võ sĩ đăng quang trận đấu

Ngun Minh Hµ

1 1

a b c

h h h r

1 (theo bổ đề)

( ) ( )

r IA B r IA C

 

’ ” ’ ’

1 1

( , ) ( , ) ( , )

1 1

( , ( , ) ( , ) d I A B d A B I d B IA d I A C d A C I d C IA

   

  

)

’ ” ’ ” ” ’

’ ’ ’ ’ ’ ’

( , ) ( , ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) d I A B d I A C d A B I d A C I d B IA d C IA

 

 



 



)

’ ” ’ ’

’ ” ’ ’

” ’ ’ ’

AB AC AB BC AB AC

AC BC

1 1

a b c

h h h  r

4

l Kết : (TTT2 sè 38)

l Kì :

TƯỞNG CHỪNG ĐƠN GIẢN

Sai lầm lời giải toán lần đơn giản, có đơng bạn phát ra, lời giải thiếu phần chứng minh M, O, Nthẳng hàng

Cã rÊt nhiỊu c¸ch chøng minh toán Chẳng hạn, AMO BNO (c.g.c),

suy OMON (1)

vµ

VËy M, O, Nthẳng hàng (2) Từ (1), (2) suy Olà trung điểm MN Các bạn lớp nhận xét AMBNlà hình bình hành, suy trung điểm Ocủa ABcũng trung điểm MN

Xin trao giải cho bạn : Hoàng Thị Mỹ Linh, 6E, THCS Thị Trấn Kỳ Anh, Hà Tĩnh; Vũ Văn An, 6A, THCS Nguyễn Hiền, Nam Hồng, Nam Trực, Nam Định; Nguyễn Thùy Linh, 8A, THCS Đồng Phong, Nho Quan, Ninh Bình ; Nguyễn Khánh Linh, 7A1, THCS Lê Lợi, TX Hà Đông, Hà Tây; Huỳnh Ngô Loan, 8/1, THCS Ngun Du, Phan ThiÕt, B×nh Thn

Anh KÝnh Lóp

    180o

AOM AON BON AON Cho toán :

Bài tốn.Giải phương trình

(1) Mét häc sinh cã lêi gi¶i nh­ sau :

Lời giải.Ta có (1) tương đương với

Vậy phương trình có hai nghiệm x0 x1

Với lời giải ta thấy tốn đơn giản đường tới kết thật sn sẻ ! Các bạn có ý kiến khác khơng ?

Hồ bá hiếu (THCS Hồ Xuân Hương, Quỳnh Lưu, Nghệ An)

3 3

3 3

3 3

3 3

3

2 2

3 1 3 1 ( 1)

3 1 ( 1)

3 1 ( 1)

3 1 2

2 (3 1)( 1) [(3 1)( 1) ]

0

(3 1)( 1) 4

x x x x x x x

x x x x x

x x x x x

x x x x

x x x x x x x x

x x

x x x x x x

             

          

         

     

        

 

 

 

       

 

 

2

0 0

1

2 ( 1)

x x x

x

x x x

 

   

   

    

  

 

    

5

LOẠI BỎ HÌNH NÀO ?

l KÕt qu¶ : (TTT2 sè 38)

v Kì :

Bài 1.TTT đăng giải bạn Lê Thanh Sơn, 8/3, THCS Lê Quý Đôn, TP Hải Dương, Hải Dương :

Tam, tứ, ngũ giác rõ ràng

Hỡnh trũn đâu lại lang thang đứng vào ? Chẳng khác loại !

Đáp án Dđó, nhặt vào bi thi

Bài TTT đăng giải bạn Đoàn Thị Huyền Vân, 7B, THCS Yên Phong, Yên Phong, Bắc Ninh:

Tam giác có đường cao ? A liền ngả nón : Xin chào ! Có !

Đường cao B có ! D la lớn : Có nè !

Vậy hình C

Đường cao nên Clạc loài

Ngoi hai bn trờn, lần TTT thưởng thêm cho bạn : Nguyễn Thị Khánh Hòa, 92, THCS Quán Hàu, Quảng Ninh, Quảng Bình ; Trần Thị Phương Hải, 33 Nguyễn Hữu Cầu, TP Hi Dng, Hi Dng

Nguyễn Đăng Quang

1 lưu bút liên hoan xa trường nhớ trường

1 gặp cuối tuần nón kì diệu bảy sắc cầu vồng người xây tổ ấm

Bạn chọn phương án để thay vo du chm hi ?

ve sầu nắng h¹

vườn cổ tích nhà chủ nhật

ai triệu phú trò chơi âm nhạc

? chia tay

phượng đỏ ?

6

CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC

Hình học cơng cụ để giải nhiều tốn Đại số, có tốn Bất đẳng thức Tìm hiểu vấn đề cho thấy mối quan hệ hai phân mơn Hình học Đại số mơn Tốn

Hãy xuất phát từ ví dụ đơn giản Ví dụ (Bất đẳng thức Cơ-si trường hợp n 2)

Chứng minh : Nếu a, b số dương

Đẳng thức xảy ab Chứng minh

Vẽ nửa đường tròn đường kính ABab Trên ABlấy điểm Hthỏa mÃn AHa, HBb Từ Hkẻ đường vuông góc với ABcắt nửa đường tròn Cthì CH Hiển nhiên CHkhông lớn bán kính đường

tròn nên (đpcm)

Đẳng thức xảy CHlà bán kính hay Htrùng tâm đường tròn, điều

chính ab

Ví dụ 2.(Đề thi vào Đại học năm 1980) Chứng minh : Nếu a > c, b > c vµ

c> th×

Chøng minh

Trên đường thẳng dlấy điểm B, H, Csao cho : BH , HC Trên đường vng góc với BCkẻ từ Hlấy A cho HA Sử dụng định lí Py-ta-go cho tam giác vng AHB, AHC ta có AB , AC Do :

(®pcm)

Ví dụ (Đề thi vào Đại học Huế năm 1999) Chøng minh r»ng : NÕu < a, b, c< th×

a(1 c) b(1 a) c(1 b) < Chứng minh Vẽ tam giác ABCcó độ dài cạnh Trên cạnh AB, BC, CA lấy điểm M, N, P cho AMa, BNb, CPc Vì a, b, cthuộc (0 ; 1)

( ) ( ) 2( )

2 sin

ABH ACH ABC

c a c c b c S S

S AB AC A AB AC ab

    

      

b a

c

b c a c

( ) ( )

c a c  c b c  ab

1

2 a b2 ab CH  AB 

AH HB  ab

a b  ab

7 nên tam giác MNPcó diện tích dương

Do :

VÝ dơ Chøng minh r»ng : Víi mäi sè a, b, c, dta cã :

Chứng minh.Trên mặt phẳng tọa độ xét điểm O(0 ; 0), A(a; b), B(ac; bd) Ta có bất đẳng thức tam giác :

OAABOB

V× OA ,AB ,

OB  nên ta có điều phải chứng minh

Ví dụ (Đề thi vào Học viện Quan hệ Quốc tế năm 2000)

Chứng minh : Nếu số a, b, c tháa m·n abc3 th×

Chøng minh.Ta có

Xét điểm O(0 ; 0), A(a b; b), B(ab b c; b c),

C(a bb cc a; b  c a), ta cã :

VÕ tr¸i  OA  AB  BC  OC 

Mong bạn vận dụng ý tưởng để giải nhiều toán bất đẳng thức phương pháp hình học Trước hết bạn thử giải tập sau

Bµi tËp Chøng minh r»ng : Víi mäi sè x, y, zta có :

Bài tập 2.Tìm giá trị nhỏ cđa hµm sè

Bµi tËp 3.Chøng minh víi mäi giá trị x ta có : x2 x x2  x 1

2 1 1.

y  x   x x  x

2 2 2

x xy y  y yz z  z zx x

2

3 3 3

2 2 2

3 VÕ ph¶i

a b c  b c a

                  3 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2

1 ,

2

1 ,

2

1 .

2

a ab b a b b

b bc c b c c

c ca a c a a

                                                  

2 2

2 3 3

a ab b b bc c c ca a

     

   

2

(a c )  (b d)

2

c d

2

a b

2 2 ( )2 ( )2

a b  c d  a c  b d

1 sin sin

2

1 sin

2

3 (1 ) (1 ) (1 )

4

(1 ) (1 ) (1 )

AMP BNM CPN ABC

S S S S

AM AP A BN BM B CP CN C

a c b a c b

a c b a c b

  

      

   

       

8

(Tiếp theo kì trước)

ThS.NGUN V¡N NHO (NXBGD) Số giới thiệu thêm kh¸c

của đề thi tuyển sinh vào trường đại hc quc gia Sin-ga-po nm 2005

Bài 1.(câu 1, phần A, cải biên)

Biu thc c xỏc nh giá trị

(A) toµn bé tËp

(B) toµn bé tËp , trõ sè

(C) toàn tập , trừ số 2 (D) toàn tập , trừ số (E) Tất câu sai Bài 2.(câu 13, phần A)

Hàm số f(x) x24x2 hàm số đơn điệu tăng khoảng (chọn khoảng lớn nhất) : (A) [0 ; ) (B) (; 0] (C) [2 ; ) (D) (; 2] (E) (2 ; )

Bài 3.(câu 17, phÇn A)

Bất đẳng thức |3 2x| 19 có nghiệm (A) (8 ; 11) (B) (; 8) (C) [8 ; 11] (D) (11 ; ) (E) [11 ; )

Bài 4.(câu 18, phần A)

BiÓu thøc b»ng

(A) (B) (C)

(D)

(E) Tất câu sai Bài 5.(câu 19, phần A, cải biên) Nếu a3bằng 64 (A) 16 (B) 0,25 (C) 0,0625 (D) 0,125 (E) 0,45

Bài 6.(câu 21, phần B)

(a) Xác định k để phương trình sau khơng có nghiệm :

x22(k2)x2(k5) 0.

(b) Chứng minh rằng, với giá trị thực x giá trị biểu thức

nằm Bài 7.(câu 33, phần C, cải biên) Cho điểm Pnằm cạnh BCcủa tam giác ABCsao cho PC2BP,

và Hãy tính Bài 8.(câu 38, phần C, cải biên) (a) Hãy tìm tập hợp gồm số nguyên dương liên tiếp, số lớn ước số bội chung nhỏ số cịn lại (chỉ cần tìm, khơng cần lập luận)

(b) Hãy tìm tập hợp gồm số nguyên dương liên tiếp, số lớn ước số bội chung nhỏ số cịn lại Chứng minh khơng tìm

 ACB  60o

APC

 45o

ABC

3

 

 

2

2 22 44

x x

x x

2

1 a

  



2 32

2 10 27

3

x x

x

  



2 91

2 10 27

3

x x

x

  



2 23

2 29

3

x x

x

  



2 91

2 10 27

3

x x

x

  



3

2 10

3

x x x

x

2

sin

( )

( 1) x f x

x

 

9

CUỘC THI TUYỂN SINH VAỉO TRNG I HC QUC GIA SIN-GA-PO Bài 1.(câu 2, phần A)

Chọn : (B)

Bài 2.(câu 4, phần A) Chọn : (D) 107358

Tng tất số nguyên dương không lớn 500

Tổng bội nằm khoảng từ đến 500 14 21  497 

Vậy tổng tất số nguyên dương không lớn 500 không chia ht cho l 125250 17892 107358

Bài 3.(câu 11, phần A, cải biên) Chọn : (E) kết khác

Gi cỏc im chõn thang v u thang vị trí ban đầu (khi thang hợp với tường góc 45o) A B ; O chân đường vng góc từ Btới chân tường

Khi chân thang trượt mặt đất (với tốc độ 0,02 m/s) đầu thang trượt tường với tốc độ không Ta chứng minh điều cách tính tốc độ trung bình đầu thang giây

đầu tiên đầu thang trượt hết từ B đến O:

l Gọi C D điểm chân

thang đầu thang trượt tới sau giây, theo đề ta có AC0,02 m ; CDAB  10 m Mặt khác, tam giác AOB vuông cân O nên ta tính :

Vậy đầu thang trượt giây với tốc độ trung bình 0,02 m/s (đúng độ dài đoạn DB)

lĐầu thang trượt hết từ Bđến Okhi chân

thang trượt từ Ađến O’(OO’AB10 m) Ta có AO’OO’ AO

2,93 (m) suy thời gian chân thang trượt từ Ađến O’là (giây), thời gian đầu thang trượt từ Bn O

Vậy vận tốc trung bình đầu thang đoạn BOlà 0.048 (m/s)

146,5  2,93 146,5 0.02



10 2,93  2 102 7,092

2 5 7,07 (m) ;

5 0.02 7,09 (m) ; 7,05 (m) ; 7,07 7,05 0,02 (m)

CD OC

OA OB AB OC OA AC OD

DB OB OD

                  



7(1 71) 7     71 7217892

     500 501

10

Hướng dẫn giải đề kì trước : (TTT2 sè 39)

Kì thi tuyển sinh vào trường THPT, tỉnh Thái Bình năm học 2005-2006

Bµi 1 Ta cã : suy

2 Đặt tx20, phương trình trở thành t2 5t  36  0, có nghiệm dương t  Suy x24 x 2

Bµi 2.(d) : y(2m3)xn4 1.a) Ta cã (d) ®i qua A(1 ; 2), B(3 ; 4)

(m; n) (2 ; 5) 1.b) Ta cã (d) ®i qua (d) ®i qua

VËy (m; n) 

2 Với n0 ta có (d) : y(2m3)x4 Tọa độ M thỏa mãn hệ phương trình

(víi m2)

(m24m4).P4m24m17 (m2)

(P4)m24(P1)m4P17 0 (1) Víi P4 th×

Với P4, phương trình (1) có nghiệm  ’m0 72 9P0 P8

Vậy Pđạt giá trị lớn  (thỏa mãn m2 )

Bài Gọi chiều dài mảnh vườn x(mét), suy chiều rộng mảnh vườn (mét)

Theo giả thiết ta có phương trình : x26x1080 0

Do x> 0, giải ta x30 (mét) Vậy kích thước mảnh vườn 30 m 24 m Bài 1.a) Ta có CDCMDM; CMCA; DMDBsuy CDACBD

1.b) (c¸c c¹nh

tương ứng vng góc), OMCD(theo giả thiết), suy ACBDCMDMOM2R2 (hệ thức lượng tam giác vuông COD) Ta thấy ABDC hình thang vng nên 2SABDCAB(ACBD) 2RCD

  90o

COD AMB  720

(x 6) 720 x         720 x  m 7 m 11 m                        2 2 2

2

2

2

4 17

4

m

P y x

m m m m m m           

3

( ; ) ;

2 m x y m m         

(2 3)

y m x

x y

 

(2 2 ; 3 2)

     

       

     



(2 3)(1 2)

2(1 2) 3 3 2( 1) 2 2.

m n

m m

 (1 ; 0)

  n 1   n 3 ;  (0 ; 1)

     

 

       

 

2 2

3(2 3) 4 17

m n m n

m n m n

3 ( )

2 m

     

5 5 2

     

11

ĐỀ THI TUYỂN SINH VAØO LỚP 10 TOÁN,

THPT CHUYÊN NGUYỄN BỈNH KHIÊM, TỈNH VĨNH LONG Năm học 2005-2006 ; Thời gian : 150 phút

Bài 1.(1,5 điểm) Cho hàm số a) Tính f(1), f(5) b) Tìm xđể f(x) 10

c) Rót gän x Bài 2.(1 điểm)

Tỡm nghim ngun dương x, y, z, tcủa phương trình

Bµi 3.(1 ®iĨm)

Cho hai số dương a, b Chứng minh :

Khi xảy đẳng thức ? Bài 4.(2 điểm)

Cho phương trình bậc hai (ẩn x) sau : x2mxm1 0

a) Xác định giá trị m để phương trình ln có hai nghiệm x1, x2

b) TÝnh theo m

Bài (2,5 điểm)

T im Pnm ngoi ng trịn tâm O bán kính R, kẻ hai tiếp tuyến PA, PB Gọi H chân đường vng góc hạ từ A đến đường kính BC

a) Chøng minh PC cắt AH trung điểm Ecủa AH

b) Giả sử POd Tính AHtheo Rvà d Bài (2 điểm)

Cho tam giác ABCvuông A,

đường cao Chứng minh ABClà tam giác vuông cân

 AH

 2,

BC

 

  

1 2

1 2

2

2(1 )

x x A

x x x x

    

( ) .

2

a b a b a b b a

   

2 2

1 1 1 1.

x y z t

 

2( )4

f x A

x

 2 

( ) 4

f x x x

Suy SABDCRCDRAB2R2 VËy ABDCcã diÖn tÝch nhá nhÊt lµ 2R2  AB  CD  M trung điểm nửa đường tròn (O) đường kính AB

3 Từ kết ta tính ®­ỵc CD16 cm suy 2SCODOMCDSCOD16 cm2 H·y chøng minh ABM CDO Suy

Bµi 5.Ta cã nhËn xÐt :

4(2x2xy2y2) 5(xy)23(xy)2 5(xy)2 Do x, ydương, suy :

Tương tự :

Do xyz1, cộng theo vế bất đẳng thức ta suy đpcm

Đẳng thức xảy đẳng thức xảy ba bất đẳng thức xyz

3

   

2

2 ( )

2

z zx x z x

   

2

2 ( ) ;

2

y yz z y z

   

2

2 ( )

2

x xy y x y

2

2

2 16 cm

ABM

ABM CDO

S AB S AB

12 l KÕt qu¶ :

THI GIẢI TỐN QUA THƯ

Bài 1(38).Giải phương trình

(1) Lời giải.Nhận xét x0 nghiƯm cđa (1)

Với x0, ta viết (1) dạng :

(2) Với điều kiện hay < x < 1, bình phương hai vế (2) ta cú :

Đặt (3) trở thành : t22t8 0 t4 (do t> 2) Suy

(do < x< 1) VËy (1) cã nghiƯm nhÊt lµ

Nhận xét Nhiều bạn không để ý đến điều kiện < x< nên đưa đáp số sai phương trình (1) có hai nghiệm

Sau bạn có lời giải gọn : Hoàng Tuấn Anh, 9H, THCS Lê Hồng Phong, TP Yên Bái, Yên Bái; Nguyễn Mạnh Đức, 9A, THCS Lê Q Đơn, TX Tun Quang, Tun Quang; Lê Hồng Long, số nhà 37B, phường Trưng Trắc, TX Phúc

Yên, Vĩnh Phúc ; Ngô Việt Hùng, 8A3, THCS Chu Mạnh Trinh, Văn Giang, Hưng Yên; Nguyễn Doãn Tiến Đạt;Nguyễn Hữu Nam, 8C, THCS Phan Bội Châu, Tứ Kỳ, Hải Dương ; Vũ Quốc Uy, 9A, THCS Thị Trấn Đông Hưng, Thái Bình ; Dương Hồng Hưng;Hồng Thị Lệ Qun, 8B, THCS Lý Nhật Quang, Đô Lương, Nghệ An; Nguyễn Thị Xuân Thảo, 8A1, THCS Nhơn Lộc, Nhơn Lộc, An Nhơn, Bỡnh nh

Nguyễn Văn Mạnh

Bài 2(38) Cho

trong x, y, zlà số nguyên, x> y> z Chứng minh Alà số nguyên dương Lời giải.Ta có :

x4(yz) y4(zx) z4(xy) x4(yxxz) y4(zx) z4(xy) (xy)(z4x4) (zx)(y4x4) (xy)(zx)((zx)(z2x2) 

(xy)(x2y2)) (xy)(zx)((z3y3) 

x(z2y2) x2(zy)) (xy)(xz)(yz)(z2zy

y2xzxyx2)  (xy)(xz)(yz)((xy)2

(yz)2(zx))2 Suy :

Theo gi¶ thiÕt x> y> z, suy A> Mặt khác ba số nguyên x, y, z 1(  )(  )(  )

2 x y x z y z

    



    

4 4

2 2

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

x y z y z x z x y A

x y y z z x

1

4 4

2 2

( ) ( ) ( ),

( ) ( ) ( )

x y z y z x z x y A

x y y z z x

    



    

 2 x

 2 x

  x

  1 24  1

x x x

x t x x    2

4

2 2

8

1

2

1 2 6 0

1 2 8 0. (3)

x x

x x

x x x x

x x x x x x x x                                            x 0

x   

2 .

1

x x x

2

13 có hai số tính chẵn, lẻ nên (x y)(xz)(yz) số nguyên chẵn Bởi Alà số nguyên dương

Nhận xét Thực chất tốn “phân tích đa thức thừa số” Rất nhiều bạn tham gia giải có lời giải Hoan nghênh bạn sau có lời giải tốt : Nguyễn Thị Thúy Hoa, 7D, THCS Thị Trấn Cao Thượng, Tân Yên, Bắc Giang ; Nguyễn Ngọc Long;Lê Doãn Phương, 7A, THCS Thuận Thành, Bắc Ninh ; Nguyễn Thị Hoa Mai, 6C, THCS Lập Thạch ; Lê Thị Tuyết Mai, 7A1, THCS Yên Lạc, Vĩnh Phúc; Bùi Phúc Tiến, 7A1, THCS Nguyễn Trực, Thanh Oai, Hà Tây ; Nguyễn Ngọc Huy, 7A, THCS Trần Văn Ơn, Hồng Bàng, Hải Phịng; Hồng Văn Sáng, 7A1, Phân hiệu học sinh giỏi Kiến Xương, Thái Bình ; La Hồng Qn, 7B, THCS Nguyễn Chích, Đơng Sơn, Thanh Hóa; Nguyễn Hịa Lam, 7C, THCS Kỳ Anh, Kì Anh, Hà Tĩnh; Trần Văn Thành, 7A, THCS Nguyễn Huệ, Cam Lộ, Quảng Trị ; Phạm Quang Thịnh, 7H, THCS Hùng Vương, TP Tuy Hịa, Phú n

Ngun Minh §øc

Bài 3(38) Cho ba số dương a, b, c T(x) x2004x20023 Chứng minh :

T(a)T(b)T(c) 9(abbcca) Lời giải.Với số thực dương xta có : T(x) x22 x2004x2002x21 (x20021)(x21) (x1)2(x1)(x2001

x2000 x1) 0 Do T(x) x22

Đẳng thức xảy x1 Bëi vËy ta cã :

T(a)T(b)T(c) (a22)(b22)(c22) (1) Vì số a, b, c có vai trị bình đẳng tốn xét nên khơng tính

tổng quát, giả sử hai số a, b không nhỏ không lớn 1, tøc lµ (a1)(b1) 0 Ta cã :

(a22)(b22)(c22) 9(abbcca) a2b2c22(a2b2b2c2c2a2) 

4(a2b2c2) 8 9(abbcca) c2(a2b2a2b21) 

3(b2c22bc1) 3(c2a22ca1)  2(a2b22ab1) (a22abb2)  3(a2b2c2abbcca) c2(a21)(b21) 3(bc1)2

3(ca1)22(ab1)2(ab)2  ((ab)2(bc)2(ca)2) 0 (2) Tõ (1) vµ (2) ta suy đpcm Đẳng thức xảy abc 1

Nhận xét Khơng có khó khăn với nhiều bạn học sinh để nhận bất đẳng thức (1), lại khó khăn với đa số bạn học sinh để biến đổi (2)

Nhấn mạnh với bạn : phương pháp quan trọng, hấp dẫn chứng minh bất đẳng thức - phương pháp “phân tích thành tổng biểu thức không âm” Trong lời giải gửi tịa soạn, có lời giải bạn Nguyễn Thái Hoàng, 7/2, THCS Lê Văn Thiêm, TX Hà Tĩnh, Hà Tĩnh

Ngun Minh §øc

Bài 4(38) :Cho tam giác ABCcó BC7 cm, ACAB1 cm Gọi Ilà giao điểm đường phân giác tam giác, H chân đường vng góc kẻ từ Iđến BC Tính độ dài HB, HC

Lêi gi¶i : Ta có I giao điểm đường phân giác, tâm đường tròn nội tiếp tam gi¸c ABC

14 Gọi H, K, L tiếp điểm đường tròn với cạnh BC, CA, AB, ta có : AKAL ; BLBH; CHCK

Suy ACABAKCKALBL CKBLCHBH1 cm (1)

Ta lại có CHBHBC7 cm (2) Từ (1), (2) suy BH3 cm; CH4 cm Nhận xét : 1) Bài tốn khơng khó cần có lựa chọn hướng giải “tỉnh táo” Cũng tự nhiên, sử dụng giả thiết ACAB cmtrước thơng thường dẫn đến việc xác định hai điểm phụ Mtrên AC, Ntrên BCsao cho AM  AB HN HB để phải chứng minh CM CN Tuy nhiên việc chứng minh điều khó dài dòng

2) Các bạn giải tốt có nhiều lời giải Nguyễn Thị Hạnh Thúy, 8B, THCS Thị Trấn Kì Anh, Kì Anh, Hà Tĩnh ; Tạ Đức Thành, 8A3, THCS Lâm Thao, Phú Thọ ; Võ Thị Bảo Phương, 9A2, THCS Trà Lân, Con Cng ; Lưu Tuấn Anh, mẹ Miên, xóm 11, Nghi Trung, Nghi Lộc, Nghệ An ; Đỗ Công Nguyên, 9B, THCS Thị Trấn Neo, Yên Dũng, Bắc Giang ; Trần Kiều Trang, TT điều dưỡng thương binh Duy Tiên, Yên Nam, Duy Tiên, Hà Nam ; Tạ Hương Quỳnh, 99 Nguyễn Trãi, TX Hưng Yên, Hưng Yên ; Nguyễn Thanh Huyền, 9C,

THCS Thị Trấn Tiền Hải, Tiền Hải, Thái Bình ; Nguyễn Văn Cường, 7G, trường Marie-Curie, Hà Nội ; Vũ Thanh Tú, 9A2, THCS Vũ Hữu, Bình Giang, Hải Dương ; Phùng Minh Vũ, 9C, THCS Thanh Thủy, Thanh Thủy ; Nguyễn Ngọc Tuấn, mẹ Đinh Thị Ngân, khu 10, Sai Nga, Cẩm Khê, Phú Thọ ; Nguyễn Hữu Kiên, 9A, THCS Yên Phong, Bắc Ninh

ngun anh qu©n

Bài 5(38).Cho tam giác ABCvng A, ngoại tiếp đường trịn (I, r) Kẻ đường cao AH; Gọi Mlà trung điểm BC; Qlà giao điểm AHvà MI; Evà Flần lượt hình chiếu Atrên IBvà IC

Chøng minh r»ng AQEF

Lời giải (theo bạn Nguyễn Thị Quyên, bố Nguyễn Đức Độ, Thượng Vũ, Kim Thành, Hải Dương)

15 Vì suy AEIFnội tiếp đường tròn tâm L, đường kính IA (1)

Tam gi¸c AEBcã suy

(2) Tương tự ta có suy :

(3) Tõ (1), (2) suy

EF// BC(hai gãc so le b»ng nhau) KEKF(v× MBMC) ; (4) kÕt hỵp víi (3) suy EF2LK (5) Tõ (1) vµ (4) suy LKEFLKBC LK // AHLK// AQAQ2LK(vì L trung điểm IA) (6)

Tõ (5), (6) suy AQEF

Nhận xét 1) Đây toán hay khơng khó, nhiều bạn tham gia giải giải

2) Nhiều bạn giải theo phương án sau :

Đây phương án giải hay 3) Một số bạn có lời giải tốt : Trần Bá Trung, 9A1, THCS Yên Lạc, Yên Lạc ; Phạm Thị Bích Ngọc, 9C, THCS Tam Dương, Vĩnh Phúc ; Nguyễn Ngọc Tuấn, mẹ Đinh Thị Ngân, khu 10, Sai Nga, Cẩm Khê, Phú Thọ; Trần Trí Hiệp, 9G, THCS Kì Anh, Hà Tĩnh; Lê Thị Nguyệt, 9A3, THCS Chu Mạnh Trinh, Văn Giang, Hưng Yên

NguyÔn Minh Hµ

AQ r AQ EF EF r



  

 



     

2 C EFI EAI ICB

 2 90o

ELF EAF

  

     45o

2 B C EAF IAE IAF    

  ,

2 B IAF

  

 45o  2 B C IAE

 

  

o o

45 90

2 B IAE

  90 ,o

BAE ABE

  90o

AEI AFI 

Thi giải toán qua thư

Các bạn thưởng kì này

16 Một buổi sáng chủ nhật, thám tử Sê-Lốc-Cốc lái xe đưa ngoại chơi chng điện thoại di ng reo vang

Xin chào thám tử ! Tôi Giôn, chủ nhà băng Uy Tín Làm phiền ông ngày nghỉ thật không nên, phải nhờ Xin ông giúp cho Nhà vừa bị trộm

“Trời, nhà ông chủ nhà băng mà bị trộm ? Bọn trộm có tay nghề cao thật ! Ơng bị ?”

“Thưa thám tử, két sắt bị cậy, toàn đồ nữ trang đắt giá vợ bị trắng ! Vợ tơi khóc lóc rầu rĩ, sốt ruột !”

“Tôi đến nhà ông sau 40 phút, ông đọc địa Bây đưa đến nhà nghỉ !”

40 phút sau, lời hẹn, thám tử đến nhà ông Giôn Bà Li-na - vợ ông Giôn - mừng quýnh :

- Cảm ơn ông đến ! Số nữ trang trị giá lớn, lại quà tặng chồng hàng năm ngày cưới, ngày Valentin, ngày tháng ba

Mong thám tử giúp đỡ ! Tơi hi vọng ơng tìm thủ phạm có để lại thư Thú thật, đọc thư vợ chồng không hiểu

- Bà đừng lo lắng quá, xin hứa cố gắng Bà vừa nói để lại thư ? Kì lạ nhỉ, ăn trộm xong lại để thư lại ! Có vẻ vụ trộm kì quặc ! - thám tử nói

Ông Giôn sốt sắng :

- Thỏm t cú thể vào phịng riêng vợ tơi Két sắt để phịng mà !

- Vâng, ơng bà đưa vào Theo chân chủ nhà, thám tử Sê-Lốc-Cốc vào phòng bà Li-na Bà chủ mở cánh tủ cho thám tử két giấu tường, bên tủ

- Mời ông xem ! Lá thư đọc xong lại để vào két

- Chà ! Kín đáo mà tên trộm tìm !? Để xem !

Thám tử lấy thư đọc :

“Chào ông chủ nhà băng ! Cả nhà băng nhà riêng ông canh gác cẩn thận với thiết bị vơ

Ngun TiÕn Trung

17

l Kết : (TTT2 số 38)(TTT2 số 38)(TTT2 số 38)(TTT2 số 38)(TTT2 số 38)(TTT2 số 38)(TTT2 số 38)(TTT2 số 38)(TTT2 số 38)(TTT2 số 38)(TTT2 số 38)(TTT2 số 38)(TTT2 số 38)(TTT2 số 38)(TTT2 số 38)(TTT2 số 38)(TTT2 số 38) Lần này, nhiều bạn có câu trả lời

chính xác : Khi ngồi trời lạnh cịn phịng lại ấm nước phòng ngưng tụ thành giọt li li, bám mặt kính cửa sổ, khiến kính mờ Điều trái với lời khai tên Pen “cửa kính suốt nên tơi nhìn thấy rõ” Tuy nhiên, có khơng bạn đưa câu trả lời chưa cho cửa sổ mờ tuyết bám cửa sổ, sương mù, bụi bặm Một số bạn trả lời kính bị mờ nước ngưng tụ lại khẳng định

hơi nước bám bên cửa kính

Phần thưởng kì trao cho năm bạn sau : Hoàng Tuấn Anh, 7A2, THCS Giấy, Phong Châu, Phù Ninh, Phú Thọ ; Lại Đắc Hợp, 7A, THCS huyện Thuận Thành, Bắc Ninh; Lê Bá Sơn, 7B, THCS Nguyễn Chích, Đơng Sơn, Thanh Hóa ; Hồ Xuân Anh Ngọc, 9/1, THCS Nguyễn Tri Phương, TP Huế, Thừa Thiên - Huế ; Huỳnh Ngô Loan, 85 Phạm Ngọc Thạch, Phan Thiết, Bình Thuận

Thám tử Sê-Lốc-Cốc đại Thế muốn chứng tỏ cho

ơng biết “vỏ qt dày có móng tay nhọn” Tôi ăn trộm vụ để chứng minh điều tơi sẵn sàng trả lại tài sản ông tìm nơi Tôi phòng đặc biệt khách sạn đặc biệt, nằm phố “Khách Sạn”, thành phố : số nhà (của khách sạn) số có hai chữ số mà đổi vị trí chúng ơng biết số phịng tơi Nếu ơng ghép số nhà vào trước số phịng ông số

lập phương số tự nhiên Nếu ơng giỏi tốn ơng tìm tơi !”

Thám tử Sê-Lốc-Cốc cau mày suy nghĩ lát lên “Đúng tên trộm kì quặc ! Nhưng tơi đốn số nhà khách sạn số phòng Nếu ơng bà muốn, ti ú bõy gi

Hai vợ chồng ông Giôn ngơ ngác không hiểu thám tử Sê-Lốc-Cốc lại tìm nhanh !

Các thám tử Tuổi Hồng đưa ẩn số giải thích không ?

18

BAỉN VỀ MỘT BÀI TỐN CŨ

Đó tơi muốn nói đến tốn xuất hai lần TTT2

Bài toán 1.Cho x1, x2, x3, x4là bốn số dương có tổng Hãy tìm giá trị nhỏ biểu thức

Trên TTT2 số 6, bạn Trường Sơn (TP Hồ Chí Minh) đưa lời giải hay, sử dụng kiến thức lớp 8, cách áp dụng bất đẳng thức a4b4a3bab3 Hơn nữa, lời giải cịn giải toán với giả thiết x1x2x3x41

Đến TTT2 số 23, bạn Phạm Tiến Đồng (Quảng Bình) đưa lời giải áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-ski hai lần, phức tạp Tuy nhiên lời giải lại có ưu điểm lớn giải tốn tổng quát :

Bài toán 2.Cho m, nlà số nguyên dương ; x1, x2, , xn số dương có tổng k Chứng minh :

Đọc hai trên, tơi băn khoăn : “liệu có lời giải hội đủ ưu điểm hai lời giải không ?” Câu trả lời cú :

Lời giải toán 1.Ta có :

víi mäi x, suy

¸p dơng cho x1, x2, x3, x4ta có :

Vì x1x2x3 x41 nên ta có

Đẳng thức xảy x1x2x3x4 Vậy giá trị nhỏ Tlà

Li gii khơng đơn giản, giải tốn với giả thiết yếu mà giải toỏn nh sau :

Lời giải toán 2.Đặt knhta có : x1x2 xnnh

Nhận xét : víi

mäi x, suy xmhxm1hm1xhm

¸p dông cho x1, x2, , xnta cã :

1 1

1

1

( )

( )

m m m

n

m m

n

h x x x

h x x x nh

  



   

    

   

1m 2m nm

x x x

1

(xm hm )(x h ) 4       

4 4 4 3 3 41

x x x x

x x x x

   

3 3 3

x x x x

       

    

4 4 3 3

1 4

1

3

1 ( )

4

1 ( ) .

4

x x x x x x x x

x x x x

        3 4 3

1 1 0

4 4 4

1 1

4 4 4

x x x

x x x

              3

1 0

4 4

x x

11 21   1 

1

.

m m m

n

m m m

n

x x x k

n

x x x

   

3 3 3

x x x x

  



  

4 4 4 3 3

x x x x

T

x x x x

Lê hữu điền khuê

19

TRẬN ĐẤU THỨ BA MƯƠI HAI

Vì x1, x2, , xndương x1x2 xnnh nên ta có :

lTừ lời giải ta thấy, mchẵn bµi

tốn cần tới giả thiết sau đủ : x1x2 xnk ;

l Còng từ lời giải trên, ta giải

được toán mở rộng : Bài toán 3.Cho m, n, plà số nguyên dương, pm; x1, x2, , xnlà số dương

tháa m·n Chøng

minh r»ng

Gợi ý.Sử dụng bất đẳng thức : với x Bài toán 4.Cho m, n, plà số nguyên dương, pm; x1, x2, , xnlà số dương thỏa mãn x1x2 xnk Chứng minh

Gợi ý.Sử dụng bất đẳng thức :

với x toán 3.3 (trang 3, TTT2 sè 28)

(xp m hp m )(xmhm) 0



    

   

  

1 2

p p p p m

n

m m m

n

x x x k

n

x x x

(xp m hp m )(xmhm) 0

  

  



  

1

1

p p p

n

p m p m p m

n

x x x k

n

x x x

   

1m 2m nm

x x x k

1 1  1 1m 2m mn

x x x

11 21   1  

1

.

m m m

n

m m m

n

x x x h k

n

x x x

l Người thách đấu Nguyễn Minh Hà,

ĐHSP Hà Nội

l Bi toỏn thỏch u Cho tam giác

nhän ABC, trùc t©m H Ph©n giác cắt cạnh AB, ACtheo thứ tự D, E Phân giác cắt

đường tròn ngoại tiếp tam giác ADEtại K (K khác A) Chøng minh r»ng HK®i qua trung ®iĨm cđa BC

lXuất xứ Đề thi chọn đội tuyển quốc gia

năm học 2005 - 2006 (ngày 1)

lThi hn nhận thách đấu

Trước ngày 15 - 07 - 2006

 BAC 

BHC

KÕt qu¶

(TTT2 sè 38)

- Giải đặc biệt :200.000 đồng

Lê Văn Phường, thôn Đề On, xã Hành Phước, Nghĩa Hành, Quảng Ngãi (số máy 0914908854) ;

- Giải khuyến khích :100.000 đồng

1 Ngun Thị Thúy Ngân, số nhà 61 Trần Phú, TP Vinh, Nghệ An (số máy 0915489992) ; Lê Bá Hùng, số nhà 44 đường 198, thị trấn Chờ, Yên Phong, Bắc Ninh (số máy 0912389818) ; Vũ Tuấn Anh, mẹ Phạm Kim Thục, Chủ tịch Hội Phụ nữ huyện ýYên, Nam Định (số máy 0915444707)

Cuộc chơi tin nhắn tạp chí Toán Tuổi thơ tiÕp tơc víi h×nh thøc míi :

l Sè máy nhắn tin 8109 Mọi

mng di động nhắn tin đến số máy

lTrả lời trực tiếp cách gọi đến số 19001548và làm theo dẫn

l Néi dung dù thi qua 8109 hc

19001548 hướng dẫn trực tiếp có phần thưởng riêng cho chuyên mc

l Thời hạn dự thi tròn tháng kĨ tõ

ngày tạp chí Kết thơng báo : tạp chí cách sau số gọi đến 19001548 ; gửi tin nhắn DSTTđến 8109

20

ÔN TẬP CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ

Phương trình vô tỉ nội dung quen thuộc quan trọng học sinh phổ thông Khi giải phương trình dạng này, ta thường áp dụng phương pháp sau :

lNhóm, tách, thêm, bớt biến đổi số

hạng hai vế phương trình cho dạng biết cỏch gii

lĐặt ẩn phụ

la v h phương trình láp dụng bất đẳng thức

lSử dụng tính chất đồng biến, nghịch biến

cđa hµm sè

Bài viết giúp bạn ôn tập dạng tốn giải phương trình vơ tỉ thơng qua phương trình giải nhiều cách, nhờ vận dụng linh hoạt phương pháp nói

Bài tốn.Giải phương trình :

(*) Lời giải Tập xác định : x1

Cách 1.Với x1 ta có x34 > x7 > nên hai vế (*) dương, suy (*) 

(x34)(x7)

Thử lại, ta thấy x2 nghiệm phương trình (*)

Cách 2.Ta có (*) tương đương với

x234xx34 x28x16 25x50 x2

Thử lại, ta thấy x2 nghiệm

                                                                              

( 1)( 1)

2

( 34 7)( 34 7)

34

( 2) ( 1) ( 34) ( 7)

2 34

3 27

2 34

1

2 34

9 34

2 34

10 34

5

x x x x

x x

x x x x

x x

x x x x

x x x x

x x x x

x x x x

x x x x

x x x x

x x x

x x  

                          2

4

(5 2) ( 34 1)

25( 2)

( 34) ( 34)( 1) 16( 1) ( 34)( 1) 32

( 34)( 1) x

x x x

x

x x x x

x x x

x x x

2

4 ( 1)( 2)

16 2

2

x x x

x x x x x

x               2

400

40 ( 1)( 2) 34 238 160 40 40 ( 1)( 2)

x x x

x x x x x

x x x

     

      

    

400 40 ( x1)(x  2) (x 1)(x 2)

       

      

      

1 2 ( 1)( 2)

34 ( 34)( 7) 20 ( 1)( 2) ( 34)( 7)

x x x x

x x x x

x x x x

      

( x x 2) ( x 34 x 7)  1  2 34 7

x x x x

ts đỗ hồng anh

21 phương trình (*)

Cách 3.Ta có (*) tương đương với

áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-ski cho số

ta cã

suy 6x  3x 6  2x 14 x 34 10x20 x2 (1)

Tõ (1) suy

9 x7 x2 (2) Tõ (1) vµ (2) suy x2

Thử lại, ta thấy x2 nghiệm phương trình (*)

C¸ch 4.Theo c¸ch 1ta cã

Mặt khác, theo cách 2ta có x2, suy

Thử lại, ta thấy x2 nghiệm phương trình (*)

C¸ch 5.Ta cã

(do x34 > x1 > với x1 nên )

Đặt

Ta nhận thấy f(x) hàm đồng biến x1 x2 nghiệm (*), (*) có nghiệm x2

` Đề nghị bạn tiếp tục thử tìm cách giải khác cho phương trình (*) giải phương trình sau để luyện tập : a)

b) c) d) e)

(víi < x < 2) ; g)

Chúc bạn thành công !

 

 

2

2

2 66 1511 18

x x x x

x x

   

 

2

2

2(2 5)

3

x x

x x

   

2

2x 2x 4x ;

    

2x 3x 25 x ;

 x26x34 ;

     

2 6 25 6 10

x x x x

      x x x 10x 27 ;

 2   2 

( ) 14 33 34

f x x x x x

 x29x14 x233x34 12.

       

      

2 ( 2)( 7)

34 ( 34)( 1)

x x x x

x x x x

34  1

x x

       

       

(*) 34

( 7) ( 34 1)

x x x x

x x x x

                      2 2 2

2 ; 41 238 18

2 41 238 20

2 ; 41 238 18

x x x x

x x x x

x x x x

x

      

 2   2  

(*) ( 1)( 2) ( 34)( 7) 20

2 41 238 20

x x x x

x x x x

18 6 x  7 x7

    

    

      

34

34

34 7

x x

x x

x x x

 1  2

x x

( x 1 x 2 x7)2 ( x34) ,2

 

 

      

 

2

(1 3) (x 1) x2 x3

 



1, 2, 3, 1, ,

2

x x

x

 1  2  7 34,

22

giải toán máy tính ®iƯn tư

THỬ TÀI

Bµi 1.Ta cã 77 74 1.0405405405

hay

Ta l¹i cã 7774(78 1)74(26 1)74 Theo khai triển Niu-tơn

(26 3 1)741 (26 3)74 (26 3)74   (26 3)731 k3 1, tøc lµ 77741 chia hÕt cho

Suy ra, chữ số thứ 7774 sau dấu phẩy viết dạng số thập phân vơ hạn tuần hồn chữ số

Bµi 2.1) Ta cã S181 (2.127)2; S2S1225 S1(2.227)2; S3S1S2625 S1S2(2.327)2; S4S1S2S31521 S1S2S3

(2.427)2;

S5S1S2S3S43249 S1S2 S3S4(2.527)2; ;

SnS1S2 Sn1(2.n27)2 Quy trình bấm phím liên tục tính Sn(trªn Casio fx-570MS) : 0

1

2

7 Lặp lại 50 lần phím S25 9770505 ; Lặp lại 100 lần phím

được S50263871010 ; Lặp lại 200 lần phím S1008210812020

Giải thích : Gán M0 ; A0 M: M1



 

2 x ) +

2 x

A ALPHA (

+ A ALPHA



ALPHA

A ALPHA :

ALPHA +

M ALPHA



ALPHA M

ALPHA A

STO SHIFT

M STO SHIFT

77 74

1 74

C

73 74

C 77 1,0(405)

74 



lKÕt qu¶ (TTT2 sè 38)

(Từ đề thi học sinh giỏi Giải tốn máy tính điện tử cấp khu vực, 2006)

Bài Tìm tất cặp số nguyên dương (m; n) có ba chữ số thỏa mãn :

1) Hai chữ số mcũng hai chữ số nở vị trí tương ứng ; chữ số lại mnhỏ chữ số tương ứng nđúng đơn vị

2) Cả hai số m n số phng

Bài 2.Cho đa thức

P(x) x3ax2bxc

a) Tìm hệ số a, b, c đa thức P(x), biết xlần lượt nhận giá

trị 1,2 ; 2,5 ; 3,7 P(x) có giá trị tương ứng 1994,728 ; 2060,625 ; 2173,653

b) Tìm số dư r phép chia đa thøc P(x) cho 2x5

c) Tìm giá trị xkhi P(x) 1989 Bài Cho dãy số (với nnguyên dng) :

, a) Tính giá trị U1, U2, U3, U4; b) Xác lập công thức truy hồi tính Un2 theo Un1và Un

c) Lập quy trình ấn phím liên tục tính Un2 theo Un1và Unrồi tính U5, U6, , U16

(10 3) (10 3)

n n

n

U    

23 lần bấm phím thứ nhất, AA(2A27)2sẽ (2.127)2 (S1) S1 được nhớ vào A Tương tự, tiếp tục sau hai lần bấm phím S2; ; sau 2nlần bấm phím Sn

Bài 1) Giả sử nlà số tốt, tức tồn ksố tự nhiên a1, a2, , aksao cho

a1a2 akn (1) vµ (2) Khi Êy :

l(2a1) (2a2)  (2ak) 2 2n2

vµ

VËy 2n2 lµ sè tèt

l(2a1) (2a2)  (2ak) 4 4 2n8

vµ

VËy 2n8 lµ sè tèt

l(2a1) (2a2)  (2ak) 3 6 2n9

vµ

VËy 2n9 lµ sè tèt

Tương tự, ta có 3n  ; 3n  ; 4n6 ; 4n13 ; 6n5 số tốt (chú ý phân tích 3 3 2 4 ; 2 6 ; 13 3 4 6 ; 3)

2) Vì số tốt nên 2.1 ; 3.1 10  2.1 8  4.1 6 ; 17  4.1 13 ; 11 2.1 9 3.1 8 6.1 5 ;

Vì số tốt nên 16 2.4 ; 18 3.4 6 ; 20 3.4 8 ; 22 4.4 6

Vậy ; ; 10 ; 11 ; 16 ; 17 ; 20 ; 22 số tốt

Nhận xét : n2bao số tốt nn nn2 (1) (2) Theo bất đẳng thức Cơ-si ta có :

n(a1a2 ak) hay

Ta chøng minh 19, 21, 23 số tốt Thật vậy, với n nhận giá trị 19, 21, 23, ta có nên k 1, 2, 3,

Dễ thấy k1 bị loại

Với k  ta cã Suy a1 a2 , kh«ng tháa m·n a1a2 akn

Víi k3 ta cã ,

cã thÓ coi a1a2a3, Êy Suy hay a33

VËy a3chØ cã thÓ

Với a32 a1a221 (khi n23) , vô nghiệm

Với a33 a1a220 (khi n23) , vô nghiệm

Tng t, vi k 4, hệ (1) ; (2) vô nghiệm

Vậy 19, 21, 23 số tốt 3) Gợi ý.Chứng minh quy nạp Các bạn thưởng kì Lê Mạnh Cường, 9G, THCS Nguyễn Trãi, Nghi Xuân, Hà Tĩnh; Nguyễn Mạnh Hưng, 10A1, THPT Lý Thái Tổ, Từ Sơn, Bắc Ninh ; Hoàng Minh Thắng, 10A1, THPT Phan Bội Châu, TP Vinh, Nghệ An ; Vũ Minh Tuấn, 9A1, Phân hiệu học sinh giỏi Thanh Nê, Kiến Xương, Thái Bình

TS Tạ Duy Phượng

1

1

3 a a 

1

1 1

2 a a 

3

3

a



1 1

a  a a

1

1 1 1

a a a 

2

1

1 1 1

a a  k n

k n

2

1

k k

a a a

    

 

 

1 1 n n   n

1

1 1 1

2a 2a  2ak   3

1

1 1 1

2a 2a  2ak   4

1

1 1 1

2a 2a  2ak  2

1

1 1

k

a a  a  

24

BÀI TỐN RAmSEY VỀ TƠ MAØU CÁC CẠNH CỦA ĐỒ THỊ

Bài viết đề cập tới toán tiếng lịch sử tốn học Từ tốn đơn giản, trở thành lí thuyết lớn tốn học đại có nhiều ứng dụng Trong lịch sử tốn học đại khơng thiếu tốn vậy, tốn muốn nói tới toán Ramsey Bài toán phát biểu ngôn ngữ đời sống sau :

Bài toán (bài toán Ramsey) Chứng minh sáu người ln tồn ba người đôi quen đôi không quen

Bài toán phát biểu nhiều dạng khác Chẳng hạn :

Bi toỏn Cú sáu nhà khoa học viết thư trao đổi hai đề tài khoa học khác Mỗi người viết thư cho tất người khác Các thư trao đổi với đề tài Chứng minh tồn ba nhà khoa học viết thư trao đổi đề tài khoa học

Chúng ta thấy có tương tự tốn Ramsey với ngun lí Đi-rích-lê, phát biểu sau : “Nếu nhốt n  thỏ vào n  chuồng có hai thỏ bị nhốt vào chuồng”

Cũng tương tự vậy, nguyên lí Đi-rích-lê mở rộng cho nhiều chuồng thỏ : “Nếu nhốt n thỏ vào m  chuồng tồn chuồng có thỏ”([a] dùng để kí hiệu số ngun nhỏ khơng bé số thực a cho trước)

Tuy nhiên, tốn Ramseyđược phát triển sở lí thuyết đồ thị Để hiểu đồ thị gì, tạm quy ước đơn giản : đồ thị tập hợp điểm đánh dấu đặc biệt mặt phẳng đường cong nối chúng (mà ta gọi cạnh) Hình vẽtrên biểu diễn đồ thị đỉnh 10 cạnh Đồ thị phân loại thành nhiều loại khác tùy theo tính chất cạnh nối Nhưng phạm vi viết này, đề cập tới loại đồ thị đơn giản đồ thị đầy đủ nđỉnh Một đồ thị đầy đủ nđỉnh đồ thị mà hai đỉnh có cạnh nối Đồ thị đầy đủ n đỉnh kí hiệu Kn Trong hình vẽ, ta có đồ thị đầy đủ K5 Bài toán Ramsey nêu thực chất toán chia cạnh đồ thị đầy đủ K6 vào hai tập hợp “quen biết” “không quen biết” Khi Ramsey khẳng định ln tồn tam giác (một đồ thị đầy đủ đỉnh) có cạnh thuộc tập hợp Thơng thường toán phát biểu dạng tốn tơ màu cạnh đồ thị, phát biểu thành định lí tốn học :

n m      

25 Cảm ơn bạn nhiệt tình hưởng ứng thi tiếp tục gửi hàng ngàn dự thi Công ty Bản Đồ - Tranh ảnh Giáo khoa (45 Hàng Chuối, Hà Nội)

Hầu hết bạn giải ô chữ “thi tài” :

Tuy nhiên nhiều bạn trả lời sai câu hỏi phụ Câu trả lời : Tài liệu Công ty Bản Đồ - Tranh ảnh Giáo khoa có nêu tồn kiện liên quan đến chữ “Những kiện tiến trình lịch sử Việt Nam” Trong số bạn chưa trả lời câu hỏi phụ, có bạn Trịnh Văn Phong Hoàng Minh Tuấn, 8G, THCS Trần Mai Ninh, TP Thanh Hóa, Thanh Hóacó dự thi làm cơng phu trình bày ấn tượng ; bạn Lê Thị Hồng Hạnh, 7A1, THCS Yên Lạc, Yên Lạc, Vĩnh Phúccó phần giải ô chữ thơ :

“Nhà Trần, triều đại lừng vang Phổ Minh, tháp cổ hiên ngang trời

Vạn Kiếp, đánh giặc tơi bời Bài Hịch tướng sĩ đời đời không quên

Hàm Tử, đuổi giặc Mơng Ngun Đại Việt sử kí lưu truyền n

Hoan nghênh bạn hi vọng tên bạn ghi danh sách bạn trao tặng phẩm số

Các cá nhân tập thể xuất sắc trao tặng phẩm kì Tập thể lớp 7E, trường THCS Phương Mai, Q Đống Đa, Hà Nội; Phạm Văn Tùng, 8/3, THCS Lê Quý Đôn, TP Hải Dương, Hải Dương; Nguyễn Huyền Ngọc, 8A2, THCS Hạ Hòa, Hạ Hòa, Phú Thọ; Diệp Bảo Cường, 7B, THCS Nguyễn Viết Xuân, TX An Khê, Gia Lai; Nguyễn Đức Trung, 7C, THCS Yên Phong, Yên Phong, Bắc Ninh; Nguyễn Thị Thương, 7D, THCS Thạch Đài, Thạch Hà, Hà Tĩnh; Đậu Xuân Việt, 8B, THCS Đặng Thai Mai, TP Vinh, Nghệ An; Lương Thị Thu Minh, 7B, THCS Minh Tân, Đơng Hưng, Thái Bình ; Lê Quang Hiển, 9C, THCS Vĩnh Yên, Vĩnh Yên, Vĩnh Phúc ; Bùi Tứ Quý, 15 Phan Kế Bính, phường 9, TP Vũng Tàu, Bà Rịa - Vũng Tàu; Đặng Thị Quỳnh Trang, 15/142 Nguyễn Thái Học, phường 5, TP Tuy Hòa, Phú Yên

(TTT2 sè 38)

Kết thi THẾ GIỚI QUANH TA

Bài tốn (định lí Ramsey) Tơ màu cạnh đồ thị K6 hai màu ln tồn đồ thị đầy đủ K3có cạnh màu

Chứng minh.Ta chọn đỉnh Abất kì Từ A có cạnh xuất phát, theo nguyên lí Đi-rích-lê tồn cạnh màu, chẳng hạn màu đỏ, nối A với đỉnh B, Cvà D

Nếu đồ thị đầy đủ với đỉnh B, C D có cạnh tơ màu đỏ, chẳng hạn BCmàu đỏ, đồ thị đầy đủ

với đỉnh A, Bvà C có cạnh tơ màu đỏ Nếu khơng có cạnh đồ thị đầy đủ đỉnh B, Cvà Dđược tơ màu đỏ cạnh tô màu xanh

Lưu ý số số nhỏ để tốn cịn Trong hình vẽ ta có cách tô màu cạnh đồ thị K5bởi hai màu (trên hình vẽ nét đậm nét nhạt) cho khơng có đồ thị K3 có cạnh màu

26

lContain :chứa, có (động từ) lRemaining :cịn lại (tính từ) lRemove :lấy (động từ) lAcquainted :quen (tính từ) lYields :cho, dẫn tới (động từ) lTriple :bộ ba số (danh từ)

Solution E14 Denote by x the number of ladies participating in the meeting (xis a natural number, x< 47) In addition, 47 people present in the meeting, so there are 47  x men By hypothesis, Mrs Le, the first lady, knows 15 1 men, Mrs Dao, the second lady, knows 15 2 men, Mrs Hoa, the third lady, knows 15  men It follows that Mrs Hue is acquainted with 15 xmen, which is the number of men in the meeting, therefore 15 x47 x Solving the equation yields x  16 Thus, the number of men is 47 16 31

In conclusion, there are 16 ladies and 31 men in the meeting

Nhận xét.Có nhiều bạn tham gia giải lần giải Lưu ý bạn thận trọng việc dùng tiếng Anh, từ việc nhỏ phân biệt danh từ số ít, số nhiều đến việc lớn cách diễn đạt cho chuẩn Chuyên mục mang tên “Giải Toán học Anh” mà Chẳng hạn, “the numbers of ladies”hay “the sum of ladies”(!) khơng

Các bạn sau có lời giản ngắn gọn, lơgic trình bày tương đối tốt : Trần Trung Kiên, số nhà 18, ngõ 21, đường Lê Công Thanh, TX Phủ Lý, Hà Nam; Nguyễn Công Khánh Vân, 8/12, THCS Trưng Vương, 88 Yên Bái, TP Đà Nẵng, Đà Nẵng ; Võ Hồng Phương, 183C, phố Thủ Khoa Huân, Phan Thiết, Bình Thuận; Lương Minh Trang, 9D, THCS Lê Lợi, TX Hưng Yên, Hưng Yên; Nguyễn Văn Quyết, 8A, THCS Lý Tự Trọng, Bình Xuyên, Vĩnh Phỳc

ts ngô ánh tuyết (NXBGD) Problem E16 (Proposed by Ngo Anh Tuyet, Hanoi Education Publishing House)A bag contains some red balls and blue balls If we remove red ball from the bag, then of the remaining balls in the bag are red If, instead of red ball, we remove blue balls from the bag, then of the remaining balls in the bag are red How many balls are there in the bag at first ?

1

1

Rất đơn giản : bạn dùng điện thoại gọi đến số 19001548 làm theo hướng dẫn nhắn tin tới số 8109với nội dung NTT X Y, X mã đội vô địch (danh sách mã đội in cột bên), Ylà số người đoán Sau trận chung kết kết thúc bạn biết kết qua điện thoại tin nhắn Nhà tiên tri giỏi tặng xe đạp, máy gia sư điện tử đa năng, Kim Từ điển, văn phòng phẩm sách giáo khoa cho năm học Nhiều phần quà giá trị tặng cho Nhà tiên tri có triển vọng

Danh sách mã đội :ANG (Angola) ; ENG (Anh) ; ARG (Argentina) ; AUS (úc) ; KSA (ảrập Saudi) ; POL (Ba Lan) ; POR (Bồ Đào Nha) ; CIV (Bờ biển Ngà) ; BRA (Brazil) ; CZE (Cộng hòa Czech) ; CRC (Costa Rica) ; CRO (Croatia) ; GER (Đức) ; ECU (Ecuador) ; GHA (Ghana) ; NED (HààLan) ; KOR (Hàn Quốc) ; ITA (Italia) ; IRN (Iran) ; MEX (Mexico) ; USA (Mỹ) ; JPN (Nhật Bản) ; PAR (Paraguay) ; FRA (Pháp) ; SCG (Serbia & Montenegro) ; ESP (Tây Ban Nha) ; SWE (Thụy Điển) ; SUI (Thụy Sĩ) ; TOG (Togo) ; TRI (Trinidad & Tobago) ; TUN (Tunisia) ; UKR (Ukraine)

27 l Kì :

lKÕt qu¶ : (TTT2 sè 38)

CÂY MAỉ KHÔNG CÂY Nhiều đồ vật gọi có mặt thơ Tuy nhiên, chúng đứng sai vị trí hết Bạn sửa lại cho thật !

Cây cầu sợi vàng tươi Cây số giúp bạn ghi lời thầy cụ

Cây rơm nối hai bờ

Cõy nến gìn giữ đất trời quê hương Cây súng tỏa sáng đêm đơng Cây bút thánh thót, vang ngân, êm đềm

Cây đàn báo hiệu xa gần

C©y kem xây dựng phải cần dùng Cây cột mát lạnh thật ngon Bao nhiêu bạn biết ?

Nguyn Th Thu Hng

(7A2, THCS ThÞ trÊn Thanh Ba, Thanh Ba, Phó Thä)

Dù có mặt “đơng vui” từ láy phụ âm N cần phải đặt chỗ Hầu hết gửi đến sửa Chị xếp viết tả, trình bày đẹp để bốc thăm chọn năm trao thưởng Nhầm chỗ hết rồicó th sa li nh sau :

Nói nănglễ phép nhẹ, nhàng Nông tính cách vội vàng hỏng

Nịnh nọt đâu phải điều hay

Ni nimmong mỏi Năng nổhoạt động tiến lên

Nao núngý chí khơng bền tâm Niềm nởđón tiếp ân cần

Nấu nướngthì có ăn tuyệt vời Nơ nứctrẩy hội chơi

Nói nonbiĨn c¶, chân trời mênh mông No nêăn uống xong

Nấn náchờ đợi chưa xong chưa Nứt nẻruộng hạn mùa hè Nơm nớplo sợ tai nghe, mắt nhìn

Các bạn thưởng kì : Võ Thị Thái, 9A, THCS Thiên Lộc, Thiên Lộc, Can Lộc, Hà Tĩnh; Phạm Thị Hồng Nhung, 6A1, THCS Trần Phú, TP Thái Bình, Thái Bình; Nguyễn Thu Trang, 20 Đào Đức Thơng, P Trường Thi, TP Thanh Hóa, Thanh Hóa; Vũ Văn Duy, xóm 3, Việt Hồng, Thanh Hà, Hải Dương ; Nguyễn Quỳnh Trang B, 8A, THCS Yên Biên, TX Hà Giang, Hà Giang

Phó B×nh

28

Chú Khoa !

Chúng cháu học thơ Khi tu hú nhà thơ Tố Hữu Bài thơ có câu : Trời xanh rộng cao - Đôi diều sáo lộn nhào tầng không nên hiểu ? Diều sáo chim diều, chim sáo diều có gắn sáo ?

Hà Hải Anh

(haiha92@yahoo.com)

Trần Đăng Khoa :

Nhà thơ Tố Hữu có mảng thơ viết tù Trong chùm thơ viết tù, nhà thơ có ba đặc sắc : “Nhớ đồng”, “Tiếng hát đầy” “Khi tu hú” Trong ba đặc sắc này, “Khi tu hú” “siêu”

Bài thơ âm Đó tiếng chim tu hú Mà phải Người tù bị giam cầm xà lim, nên khơng nhìn thấy gì, mà nghe thơi Chính tiếng chim mùa hè đánh thức lòng người tù cảnh sắc quen thuộc đời sống tự : “Lúa chim chín trái dần - Vườn râm dậy tiếng ve ngân - Bắp rây vàng hạt đầy sân nắng đào ” Đây cảnh thật, mà cảnh sắc ký ức Rồi tiếng diều sáo với cánh diều chao liệng bầu trời cao rộng, gợi khơng khí tự Diều sáo diều có gắn sáo Chính nhờ tiếng sáo mà người tù nhận khoảng trời lồng lộng có cánh diều chao liệng ngồi cánh cửa xà lim Có lẽ nhà thơ gọi “Đơi diều sáo ”, nên có người nhầm động vật Thực chất, chim diều, chim sáo không bay đôi với Trông thấy sáo diều thịt liền Và lại, chim diều (diều hâu) thường khơng hót, người tù biết ? Bài thơ có âm cảnh sắc Đến cuối cùng, người tù lồ lộ

lên Người tù đánh thức nhờ tiếng chim tu hú : “Ta nghe hè dậy bên lòng - Mà chân muốn đạp tan phòng hè ôi ! - Ngột làm sao, chết uất - Con chim tu hú trời kêu ”

29

l KÕt qu¶ : (TTT2 sè 38)

CệễỉI TRONG VệễỉN ANH Từ hàng dọc nhiều bạn biết, cịn hàng ngang từ liên quan đến từ hng dc

Bạn tìm ?

Hoàng Nam Định

(126K1, Liễu Đề, Nghĩa Hưng, Nam §Þnh)

Có thể dịch câu hỏi Vườn Anh kì trước sau : “Bạn tìm thấy hình tam giác hình ngũ giác, khơng thấy hình vng ?” Một số bạn đưa đáp án góc nhọn(acute angle) Đây câu trả lời chưa

Chủ Vườn xin tặng quà cho bạn đưa đáp án chữ : T, N, G Những chữ xuất từ TRIANGLE từ PENTAGON không xuất từ SQUARE : Hà Thị Thanh Vân, 10 Bảo Quốc, TP Huế, Thừa Thiên - Huế; Hoàng Lan Phương, 9D, trường Hà Nội - Amsterdam, Hà Nội; Phan Thị Thúy Hằng, 8A1, THCS Hai BàTrưng, TX Phúc Yên, Vĩnh Phúc

Chủ Vườn

- Why tigers eat raw meat ?

- Because they don’t know to cook

Hång B¾c(st)

Ơ chữ : HĨA HỌC l Kì :

WHAT IS IT ? Ngoài cách gửi dự thi

30

(TTT2 sè 38)

SOÂNG GÌ ?

Sơng Hồng đỏ nặng phù sa

Cửu Long dịch nghĩa hiểu chín rồng Sông Cầu quan hä sang s«ng S«ng M· nghe tiÕng ngùa lång lªn phi

Sơng Bé tưởng nhỏ tí ti

Sơng Hàn nghe tiếng lạnh ghê Sơng Thương tình cảm bề Thái Bình no ấm chẳng chiến tranh

Sông Lam tên thật biếc xanh Sông Đà điện sinh thành từ

Sông Hương thơm mát ngất ngây Kì Cùng xứ Lạng sớm ngày thuyền qua

Sơng Lơ có trường ca

Sông Gianh (hoặc Bến Hải) chia cắt nước ta thi ng Nai tờn tnh th thụi

Sông Ngân tít trời xa xăm Sông Tiền muốn gửi nhà băng

Sụng Hiu chỏu phi nng nhc lịng Sơng điền xong

Nhận q Trẫm thưởng, khỏi mong chờ nhiều Ban thưởng : Vũ Thu Thảo, số nhà 111, đội xe khách, Phố Long Xuyên, P Hùng Vương, TX Phú Thọ, Phú Thọ; Phan Nữ Quỳnh Trang, 7A, THCS Chu Văn An, Hương Khê, Hà Tĩnh; Mai Thị Ngọc, mẹ Đinh Thị Lý, Công ty Môi trường Dịch vụ đô thị, TX Ninh Bình, Ninh Bình; Trương Hồng Minh Anh, 8D, THCS Yên Lạc, Vĩnh Phúc; Đỗ Thị Minh Huệ, 7A, THCS Lê Văn Thịnh, Gia Bình, Bắc Ninh

Vua TÕu

l Kết :

Thánh :

Lá có gió tung bay ?

Lỏ gỡ phân định rủi may rõ ràng ? Lá phịng vệ che ngang ? Lá mà cử tri mang i bu ?

Lá tình cảm dạt ?

Lá nguyện vọng ghi vào gửi ? Lá giúp thuyền chuyển di ? Lá giáp trận cận kề tay đơi ?

Lá lúc rỗi cầm chơi ? Lá đẩy kéo đóng mở ?

Lá mũi người ta ? Lá khơng khí đẩy hít vào ?

Lá tím, tạo hồng cầu ? Lá tiết mật, lọc bầu máu qua ?

Đẹp giàu Tiếng Việt ta Lá mời bạn xem !

Mai Đình Phẩm

(45 Tân Lâm, ýYên, Nam Định) Ngoài cách gửi dự thi tạp chí, bạn

hóy gii ỏp câu “Lá mũi người ta ?”, cách gọi đến số 19001548 làm theo dẫn nhắn tin đến số 8109 theo mẫu RC X Y, Xlà đáp án bạn (ví dụ RAU, KHOAI, ., chữ viết liền nhau, dấu) ; Ylà số người có đáp án

Hỏi : Huynh ? Mấy số gần toàn in đề thi học sinh giỏi lớp Vậy tụi lớp chúng em thất nghiệp ?

Sát thủ mặt trăng (8G, THCS Nguyễn TrÃi, Nghi Xuân, Hà Tĩnh) Đáp :

Thất nghiệp ?

Thất nghiệp ? Bao nhiêu trang cã

biết Sang năm lớp chín xài Gom từ để luyện tài sau

Hỏi :Anh ngồi bóc tem để tặng em c khụng ?

Lê Thị Thúy Hồng

(9C, THCS Vĩnh Tường, Vĩnh Phúc) Đáp :

Giá em đến bên anh Bao nhiêu tem

xin dành tặng em Nhưng mà em tự bóc tem Chø chê anh bãc e hÌm

chê lâu Hỏi :Anh ! Tên Quỳnh Nga tên Kim Anh tên

no hay hn ? Tờn Nga có phải già khơng ? Anh nhớ trả lời !

MÌo nhá (9C, THCS V©n Phú, Việt Trì, Phú Thọ) Đáp :

Qunh Nga tên đẹp Kim Anh đẹp lẽ

chịu thua Tên Nga thấy già nua Hay có bạn

ựa em chng ? Hỏi :Kì trước bàn em giải chung định gửi chung Nhưng có hai bạn tách gửi riêng Các bạn nói : “Gửi chung mai nhận tiền thưởng chia lắm” Bạn kiểu anh ?

Em gái nhỏ (THCS Yên Phong, Bắc Ninh) Đáp :

Bạn bạn kiểu chi li Bạn bạn kiểu

“so bì thiệt hơn” Bạn bạn kiểu “đánh đơn” Bạn bạn kiểu

“thị trường”, phải không ? Hỏi : Nếu ngày anh nhận thư vô danh với lời lẽ đường mật : “Anh Phó Gỡ ! Em yêu anh nhiều ! Em sống thiếu anh ! Anh ánh đêm sáng tỏ bầu

trời Anh lửa sưởi ấm trái tim em Yêu anh nhiều Em : CAT”

Khi anh gỡ rối ?

Hå Linh Giang

(9A, THCS Lâm Hợp, Kỳ Anh, Hà Tĩnh) Đáp :

Anh chẳng thấy rối chút Bởi em CAT trao hết lời Đọc xong anh vỡ bụng cười : “CAT dại ?

Yêu người anh ?” Hỏi : Nếu em xin làm Phó Gỡ đề nghị anh lên Trưởng Gỡ anh cú ng ý khụng ?

Đỗ Hồng Huệ

(Xóm Đình, Yên Hậu, Hòa Tiến, Yên Phong, Bắc Ninh) Đáp :

Có em làm Phó giúp anh Bao nhiêu câu hỏi xin dành

cho em Cũn anh thong thả bóc tem Chức Trưởng nhàn

lµ tiªn mÊt råi !

Anh Phã Gì

32

Bài 2(40).Tìm giá trị nhỏ biểu thức Pa3b3c3, a, b, clà số thực thỏa mãn a 1, b 1, c 1 v abc

Trần tuấn anh(Khoa Toán - Tin, §HKHTN, §HQG TP Hå ChÝ Minh)

34 1.

Bài 3(40).Chứng minh không tồn số nguyên dương phân biệt cho tổng bốn số tùy ý chúng chia hết cho tổng hai số lại

Nguyễn trọng tuấn(THPT Hùng Vương, Pleiku, tỉnh Gia Lai) Bài 4(40).Cho tam giác ABCcó đường trịn nội tiếp (I, r) đường tròn bàng tiếp (Ia) góc A Gọi Dlà tiếp điểm cạnh BCvới (Ia) Dựng đường tròn () tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tiếp xúc với DA, DBlần lượt E, F Chứng minh E, I, Fthẳng hàng bán kính pcủa () r

Hạ vũ anh(THPT chuyên Vĩnh Phúc, tỉnh Vĩnh Phúc) Bài 1(40).Cho ba số nguyên dương (a; b; c) thỏa mãn a2b2c2(bộ ba Py-ta-go) Chứng minh : a)

b) Khơng tồn số ngun dương nsao cho tìm ba Py-ta-go (a; b; c) thỏa mãn

nguyễn đức trường

(THCS Đa Tốn, Gia Lâm, Hà Nội - Sưu tầm)

2

c c n

a b    

 

 

2

8 ; c c

a b    

 

 

Bài 5(40).Cho tam giác ABCcó điểm Ethuộc trung tuyến AMvà Flà hình chiếu Etrên BC Gọi X, Ylần lượt hình chiếu E, Ftrên AB; Z, Tlần lượt hình chiếu E, Ftrên AC Chứng minh tam giác EXYvà tam giác EZTđồng dạng

nguyÔn Minh hà(ĐHSP Hà Nội)

English version translated by Pham Van Thuan

1(40) Given a triple of integers (a, b, c) such that a2 b2 c2 (a Pythagorean triple), prove that a)

b) there is not an integer n such that we can find at least a Pythagorean triple (a, b, c) such that

2(40).Find the minimum value of Pa3

b3c3, where a, b, care real numbers such that

a 1, b 1, c 1 and abc

3(40).Prove that there are not six distinct positive integers such that the sum of any four

of the six numbers is divisible by the sum of the other two numbers

4(40) Let ABC be a triangle with incircle (I, r) and excircle (Ia) in the angle A Let Dthe point of tangency of BCand (Ia) A circle () is constructed externally tangent to circumcircle of

ABC, and tangent to DA, DBat E, Frespectively Prove that E, I, Fare collinear and the semi-perimeter pof () is equal to r

5(40).Let ABCbe a triangle with point Eon the median AM, Fthe projection of Eon BC Let X, Y be the projections of E, F on AB

respectively ; Z, Tbe the projections of E, Fon

AC in that order Prove that triangle EXY is similar to triangle EZT

34 1.

c c n a b

   

 

 

2

8 ;

c c a b

   

 