Tính khoảng cách AB và vận tốc dự định đi của người đó.. Bài 4[r]
(1)PHÒNG GD & ĐT HUYỆN THƯỜNG TÍN
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI Mơn: TỐN
Năm học: 2014-2015 Bài (6 điểm) Cho biểu thức
2
2 2
2 21
:
4 12 13 20 4
x x x x
P
x x x x x x x
a) Rút gọn P
b) Tính giá trị Pkhi
x
c) Tìm giá trị nguyên xđể Pnhận giá trị nguyên d) Tìm xđể P0
Bài (3 điểm) Giải phương trình
2
15 1
) 12
3 4 3
148 169 186 199
) 10
25 23 21 19
)
x a
x x x x
x x x x
b
c x
Bài (2 điểm) Một người xe gắn máy từ A đến B dự định 20 phút Nếu người tăng vận tốc thêm 5km h/ đến B sớm 20 phút Tính khoảng cách AB vận tốc dự định người
Bài (7 điểm)
Cho hình chữ nhật ABCD.Trên đường chéo BDlấy điểm P, gọi M điểm đối xứng Cqua P
a) Tứ giác AMDBlà hình ?
b) Gọi E F hình chiếu điểm M lên AB AD, Chứng minh / /
EF AC ba điểm E F P, , thẳng hàng
c) Chứng minh tỉ số cạnh hình chữ nhật MEAFkhơng phụ thuộc vào vị trí điểm P
d) Giả sử CPBD 2, , 16
PD
CP cm
PB
Tính cạnh hình chữ nhật
ABCD
Bài (2 điểm)
a) Chứng minh : 20092008 20112010chia hết cho 2010 b) Cho , ,x y zlà số lớn Chứng minh rằng:
2
1
(2)ĐÁP ÁN Bài
2
2
4 12 2 13 20
21 4 2
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
Điều kiện 5; ; 7; ;4 2
x
a) Rút gọn
x P
x
b)
1
1 2
1
2
x x
x
1
)
2
1
)
2
x P
x P
c) Ta có: 1
Vậy
5
P x
x
Ư 2 1; 2;1;2
5 ( )
5 ( )
5 ( ) ( )
x x tm
x x ktm
x x tm
x x tm
d)
2 5
x P
x x
Ta có: 0
Để P0 5
5 x x
x
(3)Bài a)
2
15 1
1 12
3 4 3
15 1
1 12 : 4;
4
3.15 3.12 12
3 0 ( )
3
4 ( ) x
x x x x
x
DK x x
x x x x
x x x x x
x x tm
x x
x x tm
Vậy S 0 b)
148 169 186 199
10
25 23 21 19
148 169 186 199
1
25 23 21 19
1 1
123
25 23 21 19
x x x x
x x x x
x
Do 1 1
25 2321 19 nên 123 x x 123 Vậy S 123
c) x 2
Ta có: x 2 x x nên x 2 x Phương trình viết dạng:
2
) 2
) 2
0;4
x x
x x
x x
S
(4)Bài
Gọi khoảng cách A B x km (x0)
Vận tốc dự định người xe gắn máy là: / 20' 31
1 10 3
3
h
x x
km h h
Vận tốc người xe gắn máy tăng lên 5km h/ là: 5 / 10
x
km h
Theo đề ta có phương trình:
5 150 ( ) 10
x
x x tm
Vậy khoảng cách Avà Blà 150 km
Vận tốc dự định 3.150 45 / 10 km h Bài
a) Gọi O giao điểm đường chéo hình chữ nhật ABCD PO
đường trung bình tam giác CAM
/ /
AM PO
tứ giác AMDBlà hình thang b) Do AM / /BDnên OBAMAE (đồng vị )
Tam giác AOBcân O nên OBA OAB
Gọi I giao điểm đường chéo hình chữ nhật AEMFthì tam giác AIE
cân Inên IAE IEA
Từ chứng minh : FEA OAB , EF / /AC (1)
Mặt khác IP đường trung bình tam giác MAC nên IP/ /AC (2)
I E
F M
C
A B
D
(5)Từ (1) (2) suy ba điểm E,F,P thẳng hàng
c) MAF DBA g gnên MF AD
FA AB không đổi
d) Nếu 16
PD
PB 16 , 16
PD PB
k PD k PB k
Nếu CPBDthì CBD DCP g g( ) CP PB
PD CP
Do đó:
CP PB PD hay 2,4 9.16k2 k 0,2 1,8
16 3,
PD k cm
PB k cm
BD cm
Chứng minh BC2 BP BD 16 Do BC4cm; CD3cm Bài
a) Ta có: 2009200820112010 20092008 1 20112010 1 Vì 20092008 1 2009 2009 2007
2010
chia hết cho 2010 (1) Vì 20112010 1 2011 2011 2009
2010
chia hết cho 2010 (2) Từ (1) (2) ta có đpcm
b)
2
2
2
2
2
1
1
1 1
1 1
0
1 1
0
1 1
1
0
1
x y xy
x xy y xy
x y x y x y
x xy y xy
y x xy
x y
Vì x1;y 1 xy 1 xy 1 (2)