Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 8 của Phòng GD&DT huyện Thường Tín - Hà Nội năm 2015

Tính khoảng cách AB và vận tốc dự định đi của người đó.. Bài 4[r]

PHÒNG GD & ĐT HUYỆN THƯỜNG TÍN

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI Mơn: TỐN

Năm học: 2014-2015 Bài (6 điểm) Cho biểu thức

2

2 2

2 21

:

4 12 13 20 4

x x x x

P

x x x x x x x

   

 

    

      

 

a) Rút gọn P

b) Tính giá trị Pkhi

x 

c) Tìm giá trị nguyên xđể Pnhận giá trị nguyên d) Tìm xđể P0

Bài (3 điểm) Giải phương trình

2

15 1

) 12

3 4 3

148 169 186 199

) 10

25 23 21 19

)

x a

x x x x

x x x x

b

c x

 

    

     

       

  

Bài (2 điểm) Một người xe gắn máy từ A đến B dự định 20 phút Nếu người tăng vận tốc thêm 5km h/ đến B sớm 20 phút Tính khoảng cách AB vận tốc dự định người

Bài (7 điểm)

Cho hình chữ nhật ABCD.Trên đường chéo BDlấy điểm P, gọi M điểm đối xứng Cqua P

a) Tứ giác AMDBlà hình ?

b) Gọi E F hình chiếu điểm M lên AB AD, Chứng minh / /

EF AC ba điểm E F P, , thẳng hàng

c) Chứng minh tỉ số cạnh hình chữ nhật MEAFkhơng phụ thuộc vào vị trí điểm P

d) Giả sử CPBD 2, , 16

PD

CP cm

PB

  Tính cạnh hình chữ nhật

ABCD

Bài (2 điểm)

a) Chứng minh : 20092008 20112010chia hết cho 2010 b) Cho , ,x y zlà số lớn Chứng minh rằng:

2

1

ĐÁP ÁN Bài

  

  

  

  

2

2

4 12 2 13 20

21 4 2

x x x x

x x x x

x x x x

x x x x

    

    

    

    

Điều kiện 5; ; 7; ;4 2

x   

 

a) Rút gọn

x P

x

 



b)

1

1 2

1

2

x x

x

     

   

1

)

2

1

)

2

x P

x P

   

    

c) Ta có: 1

Vậy

5

P x

x

     

 Ư  2   1; 2;1;2

5 ( )

5 ( )

5 ( ) ( )

x x tm

x x ktm

x x tm

x x tm

                 

d)

2 5

x P

x x



  

 

Ta có: 0

Để P0 5

5 x x

x      

Bài a)

    

      

 

2

15 1

1 12

3 4 3

15 1

1 12 : 4;

4

3.15 3.12 12

3 0 ( )

3

4 ( ) x

x x x x

x

DK x x

x x x x

x x x x x

x x tm

x x

x x tm

 

    

     

 

        

     

       

 

 

     

   

 

Vậy S  0 b)

 

148 169 186 199

10

25 23 21 19

148 169 186 199

1

25 23 21 19

1 1

123

25 23 21 19

x x x x

x x x x

x

       

   

       

           

       

 

      

 

Do 1 1

25 2321 19  nên 123   x x 123 Vậy S  123

c) x  2

Ta có: x      2 x x nên x    2 x Phương trình viết dạng:

 

2

) 2

) 2

0;4

x x

x x

x x

S

     

          



Bài

Gọi khoảng cách A B x km  (x0)

Vận tốc dự định người xe gắn máy là:  /  20' 31

1 10 3

3

h

x x

km h  h

   

 

Vận tốc người xe gắn máy tăng lên 5km h/ là: 5 /  10

x

km h



Theo đề ta có phương trình:

5 150 ( ) 10

x

x x tm

     

 

 

Vậy khoảng cách Avà Blà 150 km

Vận tốc dự định 3.150 45 /  10  km h Bài

a) Gọi O giao điểm đường chéo hình chữ nhật ABCD PO

 đường trung bình tam giác CAM

/ /

AM PO

 tứ giác AMDBlà hình thang b) Do AM / /BDnên OBAMAE (đồng vị )

Tam giác AOBcân O nên OBA OAB

Gọi I giao điểm đường chéo hình chữ nhật AEMFthì tam giác AIE

cân Inên IAE IEA

Từ chứng minh : FEA OAB , EF / /AC (1)

Mặt khác IP đường trung bình tam giác MAC nên IP/ /AC (2)

I E

F M

C

A B

D

Từ (1) (2) suy ba điểm E,F,P thẳng hàng

c) MAF DBA g gnên MF AD

FA  AB không đổi

d) Nếu 16

PD

PB  16 , 16

PD PB

k PD k PB k

    

Nếu CPBDthì CBD DCP g g( ) CP PB

PD CP

   

Do đó:

CP PB PD hay  2,4 9.16k2  k 0,2 1,8

16 3,

PD k cm

PB k cm

BD cm

 

 



Chứng minh BC2 BP BD 16 Do BC4cm; CD3cm Bài

a) Ta có: 2009200820112010 20092008  1 20112010 1 Vì 20092008 1 2009 2009  2007  

 

2010

 chia hết cho 2010 (1) Vì 20112010  1 2011 2011  2009  

 

2010

 chia hết cho 2010 (2) Từ (1) (2) ta có đpcm

b)

 

 

       

   

    

2

2

2

2

2

1

1

1 1

1 1

0

1 1

0

1 1

1

0

1

x y xy

x xy y xy

x y x y x y

x xy y xy

y x xy

x y

 

  

   

     

   

   

 

  

   

 

 

 

Vì x1;y 1 xy 1 xy 1 (2)