Tuyển chọn 50 bài toán Hình học luyện thi vào lớp 10 môn Toán có lời giải chi tiết

Chứng minh tâm I của đường tròn nội tiếp tam giác MEF thuộc một đường tròn cố định khi M di chuyển trên d.. 8..[r]

(1)



TUYỂN CHỌN 50 BÀI HÌNH HỌC LUYỆN THI VÀO LỚP 10 MƠN TỐN

(2)

TĨM TẮT LÝ THUYẾT HÌNH 1. Hệ thức tam giác vuông

Một tam giác ABC vuông A, đường cao AH (hình 1) Ta có:

•

AB =BH BCvàAC2 =CH BC

•

AH =HB HC

• AH BC = AB AC

• 2 12 2

AH = AB + AC

• sinB AC; cosB AB; tanB AC; cotB AB

BC BC AB AC

= = = =

• α góc nhọn 2

sin α +cos α =1

• α β, hai góc nhọn vàα β+ =90othìsinα =cos ; tanβ α =cotβ

2. Đường trịn

• Đường kính dây cung: (hình 2)

- Trong dây đường trịn, dây lớn

đường kính

- Trong đường trịn đường kính vng góc với

một dây qua trung điểm dây

- Trong đường trịn, đường kính qua trung

điểm dây không qua tâm vng góc với dây

• Tiếp tuyến đường trịn (hình 3)

- AB, AC tiếp tuyến đường tròn

(O) B C

50 BÀI TỐN HÌNH HỌC ƠN THI VÀO 10 CĨ ĐÁP ÁN

GV: CƠ MAI QUỲNH

H

C B

A

Hình

O

M B

A

Hình

C B

A O

(3)

 

AB AC

AO phân giác BAC OA phân giác BOC

=     

• Vịtrí tương đối hai đường trịn (hình 4)

- Hai đường tròn (O; R) (O’; r) với R≥r Cắt nhau⇔ − <R r OO'< +R r

Tiếp xúc ngoài⇔OO'= +R r Tiếp xúc trong⇔OO'= −R r

3. Các loại góc liên quan đến đường trịn

Tên góc Định nghĩa Hình vẽ Cơng thức

tính sốđo

Góc tâm

Góc có đỉnh trùng với tâm đường trịn gọi góc tâm

 

sđ AOB sđ AmB=

Góc nội tiếp

Góc nội tiếp góc có đỉnh nằm đường tròn hai chứa hai dây cung đường trịn

 

2

BAC BC

sđ = sđ m

B A

O

C B

A

O

Tiếp xúc trong Tiếp xúc ngoài

Cắt nhau

O'

O O O'

O' O

(4)

Góc tạo tia tiếp tuyến dây cung

 

2

BAx AB

sđ = sđ

Góc có đỉnh bên đường tròn

  

2

sđ BnC sđ Am

sđ BEC= +

Góc có đỉnh bên ngồi đường trịn

  

2

sđ BC sđ AD sđ BEC= −

4. Cơng thức tính đường trịn

Hình vẽ Cơng thức tính

Độ dài đường tròn C=2πR hay C=πd

Độ dài cung tròn

180

Rn l=π A

O x

B

E D

C n

m

B

A

O

E

O C

B D

A

R d O

no l

B A

(5)

Diện tích hình trịn

S=πR

Diện tích hình quạt

360 quat

R n S =π hay

2 quat

lR

S =

5. Chứng minh tứ giác nội tiếp

• Tứ giác có bốn đỉnh nằm đường tròn gọi tứ giác nội tiếp đường tròn (gọi tắt tứ giác nội tiếp)

• Một tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện bằng180othì tứ giác nội tiếp đường

trịn

• Tứ giác có hai đỉnh kề nhìn cạnh chứa hai đỉnh cịn lại góc

α nội tiếp đường trịn

• Tứ giác có bốn đỉnh cách điểm (mà ta xác định được) nội tiếp đường trịn Điểm gọi tâm đường trịn ngoại tiếp tứ giác

• Chứng minh phương pháp phản chứng R

(6)

50 BÀI TẬP CHỌN LỌC

Câu 1 Cho đường tròn (O) đường kính AB = 2R, C trung điểm OA dây MN

vng góc với OA C Gọi K điểm tùy ý cung nhỏ BM, H giao điểm AK

và MN

1 Chứng minh tứ giác BCHK nội tiếp Tính tíchAH AK theo R

3 Xác định vị trị điểm K để tổng (KM + KN + KB) đạt giá trị lớn tính giá trị lớn đó?

Câu 2 Cho đường trịn( ; )O R tiếp xúc với đường thẳng dtạiA.Trêndlấy điểmHkhông trùng với điểmAvàAH <R QuaHkẻ đường thẳng vng góc vớid,đường thẳng cắt đường tròn hai điểmEvàB (Enằm giữaBvàH)

1 Chứng minh ABE=EAH ∆ABH# ∆EAH

2 Lấy điểmCtrêndsao choHlà trung điểm đoạn thẳngAC,đường thẳngCEcắt ABtại K.Chứng minhAHEKlà tứ giác nội tiếp

3 Xác định vị trí điểmHđểAB=R

Câu 3 Cho đường trịn( )O có đường kínhAB=2Rvà E điểm đường trịn (EkhácAvàB) Đường phân giác gócAEBcắt đoạn thẳngABtạiFvà cắt đường tròn

( )O điểm thứ hai làK Chứng minh∆KAF# ∆KEA

2 GọiIlà giao điểm đường trung trực đoạnEFvớiOE, chứng minh đường tròn ( )I bán kínhIEtiếp xúc với đường trịn( )O tạiEvà tiếp xúc với đường thẳngABtại

F

3 Chứng minhMN/ /AB,trong đóMvàN giao điểm thứ hai củaAE BE, với đường tròn( ).I

4 Tính giá trị nhỏ chu vi tam giácKPQtheoRkhiEchuyển động đường tròn ( ),O vớiPlà giao điểm củaNFvàAK Q; giao điểm củaMFvàBK

Câu 4 Cho( ; )O R điểmAnằm bên ngồi đường trịn Kẻ tiếp tuyếnAB AC, với đường tròn( , CB tiếp điểm)

1 Chứng minhABOClà tứ giác nội tiếp

2 Gọi E giao điểm củaBCvàOA Chứng minhBEvng góc vớiOAvà

(7)

3 Trên cung nhỏ BC (O; R) lấy điểm K (K khác B C) Tiếp tuyến K

(O R; )cắt AB, AC theo thứ tự P Q Chứng minh tam giác APQ có chu vi khơng

đổi K chuyển động cung nhỏ BC

4 Đường thẳng qua O vng góc với OA cắt đường thẳng AB, AC theo thứ tự M, N Chứng minh PM +QN≥MN

Câu 5 Cho đường tròn (O) có đường kính AB = 2R điểm C thuộc đường trịn (C

khác A, B) Lấy điểm D thuộc dây BC (D khác B, C) Tia AD cắt cung nhỏ BC điểm E, tia AC cắt BE điểm F

1 Chứng minh FCDE tứ giác nội tiếp Chứng minh DA DE =DB DC

3 Chứng minhCFD =OCB Gọi I tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác FCDE C hứng

minh IC tiếp tuyến đường tròn (O) Cho biết DF = R, chứng minhtanAFB=2

Câu 6 Cho đường trịn (O), đường kính AB = 2R Gọi d1vàd2là hai tiếp tuyến

đường tròn (O) hai điểm A B Gọi I trung điểm OA E điểm thuộc đường trịn (O) (E khơng trùng với A B) Đường thẳng dđi qua E vng góc với

EI cắt hai đường thẳng d1và d2lần lượt M, N

1 Chứng minh AMEI tứ giác nội tiếp Chứng minhENI =EBIvàMIN=90o

3 Chứng minhAM BN =AI BI

4 Gọi F điểm cung AB khơng chứa E đường trịn (O) Hãy tính diện tích tam giác MIN theo R ba điểm E, I, F thẳng hàng

Câu Cho đường trịn (O; R), đường kính AB Bán kính CO vng góc với AB, M điểm cung nhỏ AC (M khác A C), BM cắt AC H Gọi K hình chiếu

H AB

1 Chứng minh tứ giác CBKH tứ giác nội tiếp Chứng minh ACM = ACK

3 Trên đoạn thẳng BM lấy điểm E cho BE = AM Chứng minh tam giác ECM tam giác vuông cân C

4 Gọi dlà tiếp tuyến đường tròn (O) điểm A Cho P điểm nằm d cho hai điểm P, C nằm nửa mặt phẳng bờ AB AP MB R

(8)

Câu 8 Cho đường tròn (O) điểm A nằm bên (O) Kẻ hai tiếp tuyến AM, AN với đường tròn (O) Một đường thẳng dđi qua A cắt đường tròn (O) hai điểm B C (AB < AC, dkhông qua tâm O)

1 Chứng minh tứ giác AMON nội tiếp Chứng minh

AN = AB AC Tính độ dài đoạn thẳng BC AB = 4cm, AN = 6cm Gọi I trung điểm BC Đường thẳng NI cắt đường tròn (O) điểm thứ hai T

Chứng minh: MT // AC

4 Hai tiếp tuyến đường tròn (O) B C cắt K Chứng minh K thuộc đường thẳng cố định dthay đổi thỏa mãn điều kiện đầu

Câu 9 Cho đường trịn (O; R) đường kính AB cố định Vẽ đường kính MN đường trịn (O; R) (M khác A, M khác B) Tiếp tuyến đường tròn (O;R) B cắt đường thẳng AM, AN điểm Q, P

1 Chứng minh tứ giác AMBN hình chữ nhật

2 Chứng minh bốn điểm M, N, P, Q thuộc đường tròn

3 Gọi E trung điểm BQ Đường thẳng vng góc với OE O cắt PQ F Chứng minh F trung điểm BP ME // NF

4 Khi đường kính MN quay quanh tâm O thỏa mãn điều kiện đề bài, xác định vị trí đường kính MN để tứ giác MNPQ có diện tích nhỏ

Câu 10 Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB Lấy điểm C đoạn thẳng AO (C

khác A, C khác O) Đường thẳng qua C vuông góc với AB cắt nửa đường trịn K Gọi M điểm nằm cung KB (M khác K, M khác B) Đường thẳng CK cắt đường thẳng AM, BM H D Đường thẳng BH cắt nửa đường tròn điểm thứ hai N

1 Chứng minh tứ giác ACMD tứ giác nội tiếp Chứng minhCA CB =CH CD

3 Chứng minh ba điểm A, N, D thẳng hàng tiếp tuyến N đường tròn qua trung điểm DH

4 Khi M di động cung KB, chứng minh đường thẳng MN qua điểm cố định

Câu 11 Cho đường tròn (O) điểm A nằm ngồi đường trịn Kẻ tiếp tuyến AB

với đường trịn (O) (B tiếp điểm) đường kính BC Trên đoạn thẳng CO lấy điểm I (I

khác C, I khác O) Đường thẳng IA cắt (O) hai điểm D E (D nằm A E) Gọi

H trung điểm đoạn thẳng DE

(9)

2 Chứng minh AB BD AE = BE

3 Đường thẳng dđi qua điểm E song song với AO,dcắt BC điểm K Chứng minh:

/ /

HK DC

4 Tia CD cắt AO điểm P, tia EO cắt BP điểm F Chứng minh tứ giác BECF hình chữ nhật

Câu 12 Cho đường trịn (O) ngoại tiếp tam giác nhọn ABC Gọi M, N điểm cung nhỏ AB cung nhỏ BC Hai dây AN CM cắt điểm I Dây MN cắt cạnh AB BC điểm H K

1 Chứng minh bốn điểm C, N, K, I thuộc đường tròn Chứng minh

NM NB =NK

3 Chứng minh tứ giác BHIK hình thoi

4 Gọi P Q tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MBK, tam giác

MCK E trung điểm đoạn PQ Vẽ đường kính ND đường tròn (O) Chứng minh ba điểm D, E, K thẳng hàng

Câu 13 Cho đường tròn (O; R) với dây cung AB không qua tâm Lấy S điểm tia đối tia AB (S khác A) Từ điểm S vẽ hai tiếp tuyến SC, SD với đường tròn (O; R) cho điểm C nằm cung nhỏ AB (C, D là tiếp điểm) Gọi H trung điểm đoạn thẳng AB

1 Chứng minh năm điểm C, D, H, O, S thuộc đường trịn đường kính SO Khi SO = 2R, tính độ dài đoạn thẳng SD theo R tính số đo CSD

3 Đường thẳng qua điểm A song song với đường thẳng SC, cắt đoạn thẳng CD

tại điểm K Chứng minh tứ giác ADHK tứ giác nội tiếp đường thẳng BK qua trung điểm đoạn thẳng SC

4 Gọi E trung điểm đoạn thẳng BD F hình chiếu vng góc điểm E

trên đường thẳng AD Chứng minh rằng, điểm S thay đổi tia đối tia AB

thì điểm F ln thuộc đường tròn cố định

Câu 14. Cho đường tròn( )O ,đường kínhAB.Vẽ tiếp tuyếnAx By, đường trịn M điểm đường tròn(M khácA B, ).Tiếp tuyến tạiM đường tròn cắt

,

Ax Bylần lượt tạiP Q,

1 Chứng minh rằng: Tứ giácAPMO nội tiếp Chứng minh rằng:AP+BQ=PQ

3 Chứng minh rằng:

(10)

4 Khi điểmM di động đường tròn( )O ,tìm vị trí điểmM cho diện tích tứ giácAPQBnhỏ

Câu 15. Cho đường tròn ( )O điểmAnằm ngồi đường trịn Vẽ tiếp tuyến ,

AM AN với đường tròn( )O (M N, ∈( )O ) QuaAvẽ đường thẳng cắt đường tròn ( )O hai điểmB C, phân biệt (Bnằm giữaA C, ) Gọi Hlà trung điểm đoạn thẳng

BC

1 Chứng minh tứ giácANHM nội tiếp đường tròn Chứng minh

AN = AB AC

3 Đường thẳng quaBsong song vớiANcắt đoạn thẳngMNtạiE Chứng minh / /

EH NC

Câu 16. Cho đường trịn tâmObán kínhRvà điểmAsao choOA=3 R QuaAkẻ tiếp tuyếnAPvàAQvới đường tròn( ; )O R ( ,P Q tiếp điểm) LấyMthuộc đường tròn

( ; )O R choPM song song vớiAQ GọiNlà giao điểm thứ hai đường thẳngAM

với đường tròn(O R; ).TiaPNcắt đường thẳngAQtạiK

1 Chứng minh tứ giácAPOQlà tứ giác nội tiếp vàKA2 =KN KP

2 Kẻ đường kínhQScủa đường tròn(O R; ).Chứng minhNSlà tia phân giác củaPNM

3 GọiGlà giao điểm đường thẳngAOvàPK.Tính đội dài đoạn thẳngAGtheo bán kínhR

Câu 17. Cho tam giácABCnhọn(AB< AC)nội tiếp đường tròn( ),O hai đường cao ,

BE CF cắt tạiH Tia AOcắt đường tròn( )O tạiD Chứng minh tứ giácBCEFnội tiếp đường tròn; Chứng minh tứ giácBHCDlà hình bình hành;

3 Gọi M trung điểm củaBC, tiaAMcắtHOtạiG Chứng minhGlà trọng tâm tam giácBAC

Câu 18. Cho đường tròn(O R; )có đường kínhABcố định Trên tia đối tiaABlấy điểm Csao choAC=R QuaCkẻ đường thẳngdvng góc vớiCA.Lấy điểmMbất kì trên( )O không trùng vớiA B, TiaBM cắt đường thẳngdtạiP.TiaCM cắt đường tròn( )O điểm thứ hai làN,tiaPAcắt đường tròn( )O điểm thứ hai làQ

1 Chứng minh tứ giácACPMlà tứ giác nội tiếp; TínhBM BP theoR

(11)

4 Chứng minh trọng tâmGcủa tam giácCMBln nằm đường trịn cố định khiMthay đổi trên( )O

Câu 19. Cho∆ABCcó ba góc nội tiếp đường trịn( ),O bán kínhR Hạ đường caoAH BK, tam giác Các tiaAH BK, cắt( )O điểm thứ hai làD E,

1 Chứng minh tứ giácABHKnội tiếp đường tròn Xác định tâm đường trịn Chứng minh.HK/ /DE

3 Cho ( )O dâyABcố định, điểmCdi chuyển trên( )O cho∆ABCcó ba góc nhọn Chứng minh độ dài bán kính đường trịn ngoại tiếp∆CHKkhơng đổi

Câu 20. Cho xAy=90 ,o vẽ đường trịn tâmAbán kínhR Đường trịn cắtAx Ay, thứ tự tạiBvàD Các tiếp tuyến với đường tròn( )A kẻ từBvàDcắt tạiC

1 Tứ giácABCDlà hình gì? Chứng minh?

2 TrênBClấy điểmM tùy ý (M khácBvàC) kẻ tiếp tuyếnMHvới đường tròn( )A ,(H tiếp điểm).MHcắt CDtạiN Chứng minh rằng

45

MAN =

3 P Q; thứ tự giao điểm củaAM AN; vớiBD Chứng minh rằngMQ NP; đường cao của∆AMN

Câu 21. Cho ∆ABC AB( <AC)có góc nhọn nội tiếp đường trịn (O R; ).Vẽ đường

cao AHcủa ∆ABC, đường kínhADcủa đường trịn GọiE F, chân đường vng góc kẻ từ Cvà Bxuống đường thẳngAD M trung điểm củaBC

1 Chứng minh tứ giácABHFvàBMFOnội tiếp Chứng minh HE/ /BD

3 Chứng minh

4 ABC

AB AC BC S

R

= (SABClà diện tích ∆ABC)

Câu 22. Cho∆ABCnhọn (AB<AC)ba đường caoAP BM CN, , của∆ABCcắt tạiH

1 Chứng minh tứ giácBCMNnội tiếp Chứng minh ∆ANM ∽∆ACB

3 Kẻ tiếp tuyếnBDvới đường trịn đường kínhAH(Dlà tiếp điểm) kẻ tiếp tuyếnBE với đường trịn đường kính CH(E tiếp điểm) Chứng minhBD=BE

4 Giả sử AB = 4cm; AC = 5cm; BC = 6cm TínhMN

(12)

2 Chứng minh:AC AN = AO AB

3 Chứng minh:NOvng góc vớiAE

4 Tìm vị trí điểmM cho (2.AM +AN)nhỏ

Câu 24. Cho đường trịn tâmObán kínhRvà đường thẳng( )d khơng qua O, cắt đường trịn ( )O điểmA B, Lấy điểm M tia đốiBA, qua M kẻ hai tiếp tuyến MC MD, với đường tròn (C D, tiếp điểm)

1 Chứng minh tứ giácMCODnội tiếp đường tròn

2 GọiHlà trung điểm đoạn thẳngAB Chứng minh HMlà phân giác CHD

3 Đường thẳng quaOvà vuông góc vớiMOcắt tiaMC MD, theo thứ tự tạiP Q, Tìm vị trí điểmMtrên( )d cho diện tích∆MPQnhỏ

Câu 25. Cho∆ABCcó ba góc nhọn, hai đường caoBDvàCE cắt tạiH(Dthuộc ;

AC EthuộcAB)

1 Chứng minh tứ giácADHEnội tiếp đường tròn;

2 Gọi M I, trung điểm củaAHvà BC Chứng minhMIvng góc với ED

Câu 26. Cho∆ABCcó ba góc nhọn(AB< AC)nội tiếp đường tròn tâm O, kẻ đường caoAH GọiM N, hình chiếu vng góc củaHtrênABvàAC.KẻNEvng góc với AH Đường vng góc vớiACtạiCcắt đường trịn Ivà cắt tiaAHtạiD TiaAH cắt đường tròn tạiF

1 Chứng minh  ABC+ACB=BICvà tứ giácDENCnội tiếp đường tròn Chứng minh hệ thứcAM AB =AN AC tứ giác BFIC hình thang cân

3 Chứng minh: tứ giácBMEDnội tiếp đường tròn

Câu 27. Cho nửa đường trịn( )O đường kínhAB GọiClà điểm cố định thuộc đoạn thẳng OB (CkhácOvàB) Dựng đường thẳng d vng góc vớiABtại điểm C, cắt nửa đường tròn ( )O điểmM.Trên cung nhỏMBlấy điểmN bất kỳ(NkhácM vàB), tiaAN cắt đường thẳng d điểm F,tiaBNcắt đường thẳngdtại điểmE.Đường thẳngAEcắt nửa đường tròn ( )O điểm D(DkhácA)

1 Chứng minh:AD AE = AC AB

2 Chứng minh: Ba điểmB F D, , thẳng hàng vàF tâm đường tròn nội tiếp∆CDN

(13)

Câu 28. Cho ∆ABCnhọn(AB< AC)nội tiếp( ),O vẽ đường kínhAD.Đường thẳng qua

B vng góc vớiADtạiEvà cắtACtạiF GọiHlà hình chiếu củaBtrênACvàM trung điểm BC

1 Chứng minhCDEFlà tứ giác nội tiếp Chứng minhMHC +BAD=90 o

3 Chứng minhHC BC

HF + = HE

Câu 29. Cho∆ABCnhọn Đường trịn tâmOđường kínhBCcắt cạnhAB AC, điểmM N M, ( ≠B N, ≠C) GọiHlà giao điểm củaBNvàCM P; giao điểm

AH vàBC

1 Chứng minh tứ giácAMHNnội tiếp đường tròn Chứng minhBM BA =BP BC

3 Trong trường hợp đặc biệt khi∆ABCđều cạnh bằng2a Tính chu vi đường tròn ngoại tiếp tứ giácAMHN theo a

4 Từ điểmAkẻ tiếp tuyếnAEvàAFcủa đường tròn tâmOđường kínhBC(E F, tiếp điểm) Chứng minh ba điểmE H F, , thẳng hàng

Câu 30. Cho∆ABCđều có đường caoAH Trên cạnhBClấy điểmMtùy ý(M khơng trùng với B C H, , ).GọiP Q, hình chiếu vng góc củaM lênAB AC,

1 Chứng minh tứ giácAPMQnội tiếp đường tròn xác định tâmOcủa đường tròn

2 Chứng minhOH ⊥PQ

3 Chứng minhMP+MQ=AH

Câu 31. Cho∆ABCcó ba góc nhọn nội tiếp đường trịn ( )O có bán kínhR=3cm

Các tiếp tuyến với( )O tạiBvàCcắt tạiD Chứng minh tứ giácOBDCnội tiếp đường tròn;

2 GọiMlà giao điểm củaBCvàOD BiếtOD=5(cm) Tính diện tích∆BCD

3 Kẻ đường thẳngdđi quaDvà song song với đường tiếp tuyến với ( )O A d, cắt đường thẳngAB AC, tạiP Q, Chứng minhAB AP = AQ AC

4 Chứng minhPAD =MAC

Câu 32. Cho nửa đường trịn (O) đường kính AB = 2R Điểm C cố định nửa đường tròn Điểm M thuộc cung AC(M ≠A; C) HạMH ⊥ ABtại H Nối MB cắt CA E Hạ

(14)

1 BHKC AMEI tứ giác nội tiếp

2

AK AC= AM

3 AE AC +BE BM không phụ thuộc vào vị trí điểm M

4 Khi M chuyển động cung AC đường trịn ngoại tiếp tam giác IMC qua hai điểm cố định

Câu 33 Cho đường tròn(O; R)và điểm A cố định ngồi đường trịn Vẽ đường thẳng d ⊥OAtại A Trên dlấy điểm M Qua M kẻ tiếp tuyến ME, MF tới đường tròn (O) Nối

EF cắt OM H, cắt OA B

1 Chứng minh ABHM tứ giác nội tiếp

2 Chứng minh

OA OB=OH OM =R

3 Chứng minh tâm I đường tròn nội tiếp tam giác MEF thuộc đường tròn cố định M di chuyển d

4 Tìm vị trí M để diện tích∆HBOlớn

Câu 34 Cho (O; R) điểm A thuộc đường tròn Kẻ tiếp tuyến Ax với đường tròn Trên Ax lấy điểm H cho AH < R Dựng đường thẳng d ⊥Ax H Đường thẳng dcắt đường tròn E B (E nằm H B)

1 Chứng minh ∆ABH # ∆EAH

2 Lấy điểm C thuộcAxsao cho H trung điểm AC Nối CE cắt AB K Chứng minh

AHEK tứ giác nội tiếp

3 Tìm vị trí H trênAxsao choAB=R

Câu 35. Cho∆ABCvuông A Trên cạnhAClấy điểmM, dựng đường trịn tâm( )O có đường kínhMC.Đường thẳngBMcắt đường trịn tâm( )O tạiD, đường thẳngADcắt đường tròn tâm( )O tạiS

1 Chứng minh tứ giácABCDlà tứ giác nội tiếp vàCAlà tia phân giác gócBCS

2 Gọi E giao điểm củaBCvới đường tròn( )O Chứng minh đường thẳng

, ,

BA EM CDđồng quy

3 Chứng minhMlà tâm đường tròn nội tiếp tam giácADE

Câu 36 Cho đường trịn(O R; ), đường kínhAB.ĐiểmHthuộc đoạn OA Kẻ dây CD vng góc vớiABtạiH.Vẽ đường trịn( )O1 đường kínhAHvà đường trịn( )O2 đường kính BH Nối AC cắt đường tròn( )O1 N NốiBCcắt đường tròn( )O2 M.Đường

thẳngMNcắt đường tròn(O R; )tạiEvàF

(15)

2 Cho AH =4cm,BH =9cm Tính MN

3 Chứng minhMNlà tiếp tuyến chung hai đường tròn ( )O1 ( )O2

4 Chứng minhCE=CF =CH

Câu 37. Cho đường trịn(O R; )có hai đường kính vng gócABvà CD Gọi I trung điểm OB.Tia CI cắt đường tròn (O; R) E Nối AE cắt CD H; nối BD cắt AE

K

1 Chứng minh tứ giácOIEDnội tiếp

2 Chứng minh

AH AE= R Tính tanBAE

4 Chứng minh OK vng góc với BD.

Câu 38. Cho đường trịn tâm O, bán kính R, đường kính AD Điểm H thuộc đoạn OD Kẻ dâyBC⊥ADtại H Lấy điểm M thuộc cung nhỏ AC, kẻCK ⊥ AM K Đường thẳng

BM cắt CK N

1 Chứng minh

AH AD= AB

2 Chứng minh tam giác CAN cân A

3 Giả sử H trung điểm OD Tính R theo thể tích hình nón có bán kính đáy

HD, đường cao BH

4 Tìm vị trí M để diện tích tam giác ABN lớn

Câu 39. Cho nửa đường trịn (O;R) đường kính BC Điểm A thuộc nửa đường tròn

(AC≤AB) Dựng phía ngồi∆ABCmột hình vng ACED Tia EA cắt nửa đường tròn F Nối BF cắt ED K

1 Chứng minh điểm B, C, D, K thuộc đường tròn Chứng minhAB=EK

3 Cho ABC=30 ;o BC=10cm Tính diện tích hình viên phần giới hạn dây AC cung nhỏ AC.

4 Tìm vị trí điểm A để chu vi tam giác∆ABClớn

Câu 40. Cho đường tròn (O;R) đường kính AC cố định Kẻ tiếp tuyến Ax với đường tròn A Lấy M thuộc Ax, kẻ tiếp tuyến MB với đường tròn B (B khác A) Tiếp tuyến đường tròn C cắt AB D Nối OM cắt AB I, cắt cung nhỏ AB E

1 Chứng minh OIDC tứ giác nội tiếp

(16)

4 Chứng minhOD⊥MC

Câu 41. Cho đường trịn(O R; )đường kính AB điểm C thuộc đường tròn Gọi M N

là điểm cung nhỏ AC BC Nối MN cắt AC I. HạND⊥ AC Gọi E

trung điểm BC Dựng hình bình hành ADEF TínhMIC

2 Chứng minh DN tiếp tuyến đường tròn (O R; )

3 Chứng minh F thuộc đường tròn (O R; )

4 Cho CAB =30 ;o R=30cm Tính thể tích hình tạo thành cho∆ABCquay vòng quanh AB

Câu 42. Cho đường tròn (O R; )với dây AB cố định Gọi I điểm cung lớn

AB Điểm M thuộc cung nhỏ IB. Hạ AH ⊥IM AH; cắt BM C Chứng minh ∆IABvà∆MAClà tam giác cân

2 Chứng minh C thuộc đường tròn cố định M chuyển động cung nhỏ IB Tìm vị trí M để chu vi ∆MAClớn

Câu 43. Cho đường trịn(O R; )đường kính AB Kẻ tiếp tuyến Ax với đường tròn Trên

Ax lấy điểmK AK( ≥R) Qua K kẻ tiếp tuyến KM với đường tròn (O) Đường thẳng d ⊥ABtại O, d cắt MB E

1 Chứng minh KAOM tứ giác nội tiếp;

2 OK cắt AM tại I Chứng minh OI.OK không đổi K chuyển động Ax; Chứng minh KAOE hình chữ nhật;

4 Gọi H trực tâm của∆KMA Chứng minh K chuyển động Ax H

thuộc đường tròn cố định

Câu 44. Cho đường trịn (O) đường kínhAB=2 R Gọi C trung điểm OA Dây MN ⊥AB C Trên cung MB nhỏ lấy điểm K Nối AK cắt NM H

1 Chứng minh BCHK tứ giác nội tiếp

2 Chứng minh tíchAH AK khơng đổi K chuyển động cung nhỏ MB

3 Chứng minh∆BMNlà tam giác

4 Tìm vị trí điểm K để tổng KM +KN+KB lớn

Câu 45 Cho đường trịn(O R; )và điểm A ngồi đường tròn Qua A kẻ tiếp tuyến

,

AB ACtới đường tròn (B C tiếp điểm) I điểm thuộc đoạn BC IB( <IC)

(17)

1 Chứng minh OIBE OIFC tứ giác nội tiếp Chứng minh I trung điểm EF

3 K điểm cung nhỏ BC Tiếp tuyến đường tròn (O) K cắt AB; AC

M N Tính chu vi∆AMN nếuOA=2R

4 Qua O kẻ đường thẳng vng góc với OA cắt AB, AC P và Q Tìm vị trí A để

APQ

S nhỏ

Câu 46 Cho đường tròn( )O ( )O' cắt hai điểmA B, phân biệt Đường thẳng OA cắt ( ) ( )O ; O' điểm thứ haiC D, Đường thẳng O A' cắt ( ) ( )O ; O'

tại điểm thứ haiE F,

1 Chứng minh đường thẳngAB CE, DFđồng quy điểm I

2 Chứng minh tứ giácBEIFnội tiếp đường tròn

3 ChoPQlà tiếp tuyến chung của( )O và( )O' (P∈( )O Q, ∈( )O' ) Chứng minh đường

thẳng ABđi qua trung điểm đoạn thẳngPQ

Câu 47. Cho hai đường tròn (O R; )và(O R'; ')với R>R'cắt tạiAvà B Kẻ tiếp

tuyến chungDEcủa hai đường trịn vớiD∈( )O vàE∈( )O' choBgần tiếp tuyến so vớiA

1 Chứng minh rằngDAB =BDE

2 TiaABcắtDE tạiM Chứng minhM trung điểm củaDE

3 Đường thẳngEB cắtDAtại P, đường thẳngDBcắtAEtại Q Chứng minh rằngPQ song song vớiAB

Câu 48. Cho đường (O R; )và đường thẳng dkhơng quaOcắt đường trịn hai điểm ,

A B Lấy điểmMtrên tia đối tiaBAkẻ hai tiếp tuyến MC MD, với đường tròn (C D, tiếp điểm) GọiHlà trung điểm củaAB;

1 Chứng minh điểmM D O H, , , nằm đường tròn

2 Đoạn OM cắt đường tròn tạiI Chứng minh rằngIlà tâm đường tròn nội tiếp tam giácMCD

3 Đường thẳng qua O, vng góc với OMcắt tiaMC MD, thứ tự tạiPvà Q Tìm vị trí điểm Mtrên dsao cho diện tích tam giácMPQ bé

Câu 49. Cho ∆ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O R; ) Ba đường cao

; ;

(18)

2 Chứng minhDA DH =DB DC

3 Cho 

60 ; ABC 20

BAC= S = cm Tính SABC

4 Cho BCcố định;Achuyển động cung lớnBCsao cho∆ABCcó ba góc nhọn Chứng minh điểmHln thuộc đường tròn cố định

Câu 50. Cho đường tròn (O; R) có hai đường kính vng góc AB CD Lấy K thuộc cung nhỏ AC, kẻ KH ⊥ABtại H Nối AC cắt HK I, tia BC cắt HK E; nối AE cắt đường tròn (O;R) F

1 Chứng minh BHFE tứ giác nội tiếp Chứng minh EC.EB = EF.EA

3 Cho H trung điểm OA Tính theo R diện tích∆CEF

4 Cho K di chuyển cung nhỏ AC Chứng minh đường thẳng FH qua điểm cố định

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Câu 1 Cho đường trịn (O) đường kính AB = 2R, C trung điểm OA dây MN

vng góc với OA C Gọi K điểm tùy ý cung nhỏ BM, H giao điểm AK

và MN

4 Chứng minh tứ giác BCHK nội tiếp Tính tíchAH AK theo R

6 Xác định vị trị điểm K để tổng (KM + KN + KB) đạt giá trị lớn tính giá trị lớn đó?

Giải:

1 Chứng minh tứ giácBHCKnội tiếp MN ⊥AC

 90

AKB= °(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

 90

HCB

⇒ = °

Xét tứ giácBCHKcó:

  90 90 180

HCB+AKB= ° + ° = °mà góc vị trí đối

⇒ Tứ giácBCHKnội tiếp TínhAH AK theo R.

D H

K

N M

C O B

(19)

Xét tam giác∆ACH và∆AKBcó:  



90

( ) ACH AKB

ACH AKB g g A chung

 = = °

⇒ ∆ ∆



 #

AC AH

AK AB

⇒ = ⇒AH AK =AC AB

Mà

4

AC= RvàAB=2R

2

R AH AK

⇒ = ⋅

3 Xác định vị trí củaKđể(KM +KN+KB) max

* Chứng minh ∆BMNđều: AOM

∆ cân M (MC vừa đường cao, vừa đường trung tuyến) Mà OA=OM =R⇒ ∆AOMđều⇒MOA = °60

MBN

∆ cân B MC CN

BC MN

= 

 ⊥



CM CN

⇒ =

Mặt khác: 1 30

2

MBA= MOA= °(góc nội tiếp chắn cung MA)⇒MBN= °60

MBN

∆ cân B lại cóMBN = °60 nên ∆MBN tam giác

* Chứng minh KM +KB=KN

Trên cạnh NK lấy điểm D choKD=KB

KDB

⇒ ∆ tam giác cân mà

2

NKB= sđNB =60°

KDB

⇒ ∆ tam giác đều⇒KB=BD

Ta có:DMB =KMB(góc nội tiếp chắn cungAB)

 120

BDN = °(kề bù với KBD ∆KDB đều)

 120

MKB= °(góc nội tiếp chắn cung 240°)

 

MBK DBN

⇒ = (tổng góc tam giác bằng180°)

Xét có:

(2 cạnh tương ứng)

khi KN đường kính thẳng hàng BDN

∆ ∆BKM

 

( )

( ) ( g.c)

BK BD cmt

BDN BKM cmt BDN BKN c

MB MN

= 



= ⇒ ∆ = ∆



= 

ND MK

⇒ =

2

KM KN KB KN

⇒ + + =

(KM KN KB) max R

(20)

là điểm cung BM

Vậy với K điểm cung BM đạt giá trị max 4R

Câu 2 Cho đường tròn( ; )O R tiếp xúc với đường thẳng dtạiA.Trêndlấy điểmHkhông trùng với điểmAvàAH <R QuaHkẻ đường thẳng vng góc vớid,đường thẳng cắt đường tròn hai điểmEvàB (Enằm giữaBvàH)

4 Chứng minh ABE=EAH ∆ABH# ∆EAH

5 Lấy điểmCtrêndsao choHlà trung điểm đoạn thẳngAC,đường thẳngCEcắt ABtại K.Chứng minhAHEKlà tứ giác nội tiếp

6 Xác định vị trí điểmHđểAB=R

Giải:

1 Chứng minh:

sđ (t/c góc nội tiếp)

sđ (t/c góc tạo tiếp tuyến dây cung)

Xét có:

2 Xét

mà (cmt)

Mặt khác:

vuông K

Xét tứ giác có:

mà góc vị trí đối Tứ giác nội tiếp

3 Hạ

K

⇒

(KM +KN+KB)

 

ABE =EAH



2

ABE= EA



2

HAE = EA  

ABE HAE

⇒ =

ABH

∆ ∆EAH



 

90

( )

AHB

ABH EAH g g ABE HAE cmt

 = °  ⇒ ∆

∆ 

=  #

( ) HEC HEA c g c

∆ = ∆

 ACE CAE

⇒ = CAE =ABE

 

ACE ABE

⇒ =

  90

ABE+CAK = °

  90

ACE CAK

⇒ + = °

AHK

⇒ ∆

AHEK  EHK= AKE= °90

  180

EHK AKE

⇒ + = °

⇒ AHEK

OI ⊥ AB

2

AB R AI IB

⇒ = = =

E

O I

H

K

C

B

A

(21)

Xét vng có cos

vng có: cos

Vậy cần lấy điểm cho độ dài

Câu 3 Cho đường trịn( )O có đường kínhAB=2Rvà E điểm đường trịn (EkhácAvàB) Đường phân giác gócAEBcắt đoạn thẳngABtạiFvà cắt đường tròn

( )O điểm thứ hai làK Chứng minh∆KAF# ∆KEA

6 GọiIlà giao điểm đường trung trực đoạnEFvớiOE, chứng minh đường tròn ( )I bán kínhIEtiếp xúc với đường trịn( )O tạiEvà tiếp xúc với đường thẳngABtại

F

7 Chứng minhMN/ /AB,trong đóMvàN giao điểm thứ hai củaAE BE, với đường trịn( ).I

8 Tính giá trị nhỏ chu vi tam giácKPQtheoRkhiEchuyển động đường tròn ( ),O vớiPlà giao điểm củaNFvàAK Q; giao điểm củaMFvàBK

Giải:

1 Chứng minh

(góc nội tiếp chắn

Xét có:

2 * Đường trịn đường tròn

thẳng hàng

Vậy tiếp xúc E

AOI

∆ I 

2 AI OAI

OA

= =

 30

OAI

⇒ = °⇒BAH = °60

AHB

∆ H BAH = ° ⇒60 

2

AH BAH

AB

= =

1

2

3

AH R

⇒ = ⇒ =

H

2 R

AH = AB=R

KAF KEA

∆ # ∆

 

KAB=KEB KB)

KAF

∆ ∆KEA

  

( )

( ) KAB AEK cmt

KAF AEK g g K chung



=  ⇒ ∆

∆ 

 #

(I IE; ) (O OE; )

, ,

I O E ⇔IE+IO=OE IO OE IE

⇒ = −

(I IE; ) (O OE; )

Q P

N

M I

K F E

O B

(22)

* Chứng minh tiếp xúc với

Dễ dàng chứng minh: cân trung trực

cân

mà góc vị trí đồng vị (dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng //)

Có :

cân

Vì

tiếp xúc với

3 (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn)

mà góc nội tiếp đường trịn

là đường kính

cân

Lại có: cân mà góc vị trí đồng vị

(dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng //)

4 Tính giá trị nhỏ chu vi theo chuyển động

(góc nội tiếp chắn cung )

Mà , hai góc lại vị trí đồng vị

(dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng //)

Chứng minh tương tự:

Tứ giác có:

(góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) Tứ giác hình chữ nhật

Ta có: (đối đỉnh)

cân mà vuông cân

Chu vi

Mà (PFQK hình chữ nhật) ( cân Q)

(I IE; ) AB F EIF

∆ I (I∈ EF)

EOK

∆ O⇒EFI =EKO(=OEF) / /

IF OK

⇒

   AK =KB AEK( =KEB)⇒ AK=KB

AKB

⇒ ∆ K

OK AB

⇒ ⊥

/ /

OK AB

IF AB OK IF

⊥ 

⇒ ⊥

 

(I IE; )

⇒ AB F

 90

AEB= °

 90

MEN= ° MEN (I IE; )

MN

⇒ (I IE; )

EIN

⇒ ∆ I

EOB

∆ O⇒INE =OBE

/ /

MN AB

⇒

KPQ

∆ R E ( )O

 

MFE=MNE ( )I ME

 

AKE=ABE ( )O AE

 ( )  

MNE=ABE cmt ⇒MFE=AKE / /

MQ AK

⇒

/ /

NP BK PFQK MQ/ /AK

/ /

NP BK

 90

PKQ= °

⇒ PFQK

 

MFA=QFB

 (

KAB=KBA ∆AKB )  MFA=KAB⇒ ∆FQB Q KPQ KP PQ KQ

∆ = + +

(23)

Mặt khác: cân điểm cung

(quan hệ đường vng góc đường xiên)

Dấu xảy

điểm cung

Áp dụng định lý Pi-ta-go tính

Chu vi nhỏ

Câu 4 Cho( ; )O R điểmAnằm bên ngồi đường trịn Kẻ tiếp tuyếnAB AC, với đường tròn( , CB tiếp điểm)

5 Chứng minhABOClà tứ giác nội tiếp

6 Gọi E giao điểm củaBCvàOA Chứng minhBEvng góc vớiOAvà

OE OA=R Trên cung nhỏ BC (O; R) lấy điểm K (K khác B C) Tiếp tuyến K

(O R; )cắt AB, AC theo thứ tự P Q Chứng minh tam giác APQ có chu vi khơng

đổi K chuyển động cung nhỏ BC

8 Đường thẳng qua O vng góc với OA cắt đường thẳng AB, AC theo thứ tự M, N Chứng minh PM +QN≥MN

Giải:

1 Chứng minh tứ giác nội tiếp

(tính chất tiếp tuyến) (tính chất tiếp tuyến)

Mà hai góc vị trí đối diện nên tứ

giác nội tiếp

2 (tính chất tiếp tuyến cắt điểm)

cân

Mà tia phân giác (t/c tiếp tuyến cắt điểm)

KPQ

P QB QK FK

⇒ = + + =KB+FK AKB

∆ K ⇒K AB

FK ≥FO

KB FK KB FO

⇒ + ≥ +

" "= ⇔KB+FK =KB+FO

FK FO

⇔ =

⇒ E AB

FO R

⇒ =

FOB

∆ BK =R

⇒ ∆KPQ = +R R 2=R( 1).+

ABOC ABOC  90o

ABO=

 90o

ACO=

  90o 90o 180o

ABO ACO

⇒ + = + =

ABOC AB= AC

ABC

⇒ ∆ A

(24)

nên đường cao hay

Xét vng B có BE đường cao, theo hệ thức lượng tam giác vuông mà OB = R

3 PK = PB (tính chất tiếp tuyến cắt điểm)

KQ = QC (tính chất tiếp tuyến cắt điểm)

Xét chu vi

Mà (O) cố định, điểm A cố định nên AB không thay đổi

4

(Theo bất đẳng thức Cô-si)

Hay (đpcm)

Câu 5 Cho đường trịn (O) có đường kính AB = 2R điểm C thuộc đường trịn (C

khác A, B) Lấy điểm D thuộc dây BC (D khác B, C) Tia AD cắt cung nhỏ BC điểm E, tia AC cắt BE điểm F

5 Chứng minh FCDE tứ giác nội tiếp Chứng minh DA DE =DB DC

7 Chứng minhCFD =OCB Gọi I tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác FCDE C hứng

minh IC tiếp tuyến đường tròn (O) Cho biết DF = R, chứng minhtanAFB=2

Giải:

(góc nội tiếp chắn nửa đường trịn)

Tứ giác có :

Mà góc vị trí đối nên Tứ giác tứ giác nội tiếp

2 Chứng minh

AO ∆ABC AO⊥BC

ABO

∆

2

,

OB OE OA

⇒ =

R OE OA

⇒ =

APQ AP AQ QP

∆ = + +

AP AQ PK KQ

= + + +

AP PK AQ QC

= + + +

AB AC

= +

2AB

=

2

4

MP OM MN

OMP QNO MP QN ON OM

ON QN

∆ # ∆ ⇒ = ⇒ = =

2

4

MN MP QN

⇒ =

2

MN = MP QN ≤MP+NQ MP+NQ≥MN

FCDE   90o

ACE=AEB=

FCDE   180o

FCD+FDE=

⇒

FCDE

DA DE=DB DC

I

D

E F

C

O B

(25)

Xét có:

(đpcm)

3 * Chứng minh

Vì tứ giác tứ giác nội tiếp nên

(góc nội tiếp chắn cung )

Mà (góc nội tiếp chắn cung )

Lại có cân O nên

cân I: Từ (1) (2)

* Chứng minh tiếp tuyến

Ta có: (vì góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

là tiếp tuyến Ta có tam giác vng

(góc nội tiếp chắn Mà

Câu 6 Cho đường trịn (O), đường kính AB = 2R Gọi d1vàd2là hai tiếp tuyến

đường tròn (O) hai điểm A B Gọi I trung điểm OA E điểm thuộc đường tròn (O) (E không trùng với A B) Đường thẳng dđi qua E vng góc với

EI cắt hai đường thẳng d1và d2lần lượt M, N

5 Chứng minh AMEI tứ giác nội tiếp Chứng minhENI =EBIvà 90o

MIN= ACD

∆ ∆BED

    .

90

( ) )

(

o

đ đ ACD BED

ACD BED g g ADC BDE

 = = ∆

∆ 

=  #

AD BD

AD ED CD BD

CD ED

⇒ = ⇒ =

 

CFD=OCB

FCDE ( )I

 

CFD=CEA ( )I CD

 

CED=CBA ( )O CA

 

CFD CBA

⇒ =

OCB

∆ CBA =OCB

  ( )1

CFD OCB

⇒ =

ICF

∆ CFD =ICF ( )2

 

ICF OCB

⇒ =

IC ( ) :O

  90o

ICF+ICB= DIC

  90o

OCB BCI

⇒ + =

OC CI

⇒ ⊥ ⇒IC ( ).O

( )

ICO FEA g g

∆ # ∆

 1 

2

CAE= COE=COI CE) ⇒CIO = AFB



tan

2 CO R CIO

R CI

= = =  

tanAFB tanCIO

(26)

7 Chứng minhAM BN =AI BI

8 Gọi F điểm cung AB khơng chứa E đường trịn (O) Hãy tính diện tích tam giác MIN theo R ba điểm E, I, F thẳng hàng

Giải:

1 Chứng minh nội tiếp

mà góc vị trí đối

Tứ giác nội tiếp * Chứng minh

mà góc vị trí đối

Tứ giác nội tiếp

(2 góc nội tiếp chắn cung

* Chứng minh

Tứ giác nội tiếp nên (2 góc nội tiếp chắn cung

Lại có:

vuông Vậy

3 Chứng minh

Xét có:

(cùng phụ với góc )

Ta có hình vẽ

Khi thẳng hàng sđ

(hai góc nội tiếp chắn cung ) vng cân

(Định lí Pi-ta-go) AMEI AMEI

  90 90 180

MAI+MEI = ° + ° = °

⇒ AMEI

 .

ENI=EBI ENBI

  90 90 180

IEN+IBN = ° + ° = °

⇒ ENBI

⇒ ENI =EBI EI)

 90

MIN= °

ENBI EMI =EAI EI)

 90   90

AEB= ° ⇒EAI+EBI = °

  90

EMI ENI

⇒ + = °⇒ ∆MNI I MIN= °90

AM BN =AI BI AMI

∆ ∆BNI MAI =NBI = °90

 

AIM =BNI BIN

( ) AMI BIN g g

⇒ ∆ # ∆

AM BI

AM BN AI BI

AI BN

⇒ = ⇒ =

, ,

E I F 

2

AEF = AF=45°

  45

AMI = AEI = ° AI

MAI

⇒ ∆ A

2

2 2

2 4

R R R R

AM AI MI AM AI

⇒ = = ⇒ = + = + =

N M

E

d2

d1

I O B

A

F

N

M E

d2

d1

I O B

(27)

Chứng minh tương tự: vuông cân

2

1 3

2 2

MIN

R R R

S = MI NI = ⋅ ⋅ = (đơn vị diện tích)

Câu Cho đường trịn (O; R), đường kính AB Bán kính CO vng góc với AB, M điểm cung nhỏ AC (M khác A C),

BM cắt AC H Gọi K hình chiếu H

AB

5 Chứng minh tứ giác CBKH tứ giác nội tiếp Chứng minh ACM = ACK

7 Trên đoạn thẳng BM lấy điểm E cho BE = AM Chứng minh tam giác ECM tam giác vuông cân C

8 Gọi dlà tiếp tuyến đường tròn (O) điểm A Cho P điểm nằm dsao cho hai điểm P, C nằm nửa mặt phẳng bờ AB AP MB R

MA = Chứng minh đường thẳng PB qua trung điểm đoạn thẳng HK

Giải:

1 Chứng minh tứ giác tứ giác nội tiếp: Xét tứ giác ta có:

(góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) Mà hai góc vị trí đối

Tứ giác nội tiếp Chứng minh

Tứ giác nội tiếp nên: (2 góc nội tiếp chắn cung ) BIN

∆ B

2

3 9

4 16 16

R R R R

BI BN IN BI BN

⇒ = = ⇒ = + = + =

CBKH CBKH



90

BKH =

 90o

HCB=

  180o

BKH HCB

⇒ + =

⇒ CBKH

 

ACM = ACK

CBKH HCK =HBK HK

Q

N P

d

E K

H M

C

O

(28)

Tứ giác nội tiếp nên: (2 góc nội tiếp chắn cung ) (Đpcm)

3 Chứng minh vuông cân

Vì nên đường trung trực

Xét có:

(hai góc nội tiếp chắn cung )

(2 góc tương ứng) CM = CE (2 cạnh tương ứng)

Mặt khác: Xét có:

vng cân C (Đpcm) Chứng minh qua trung điểm Theo đề bài:

Mà (t/c góc tạo tiếp tuyến dây cung) (t/c góc nội tiếp chắn cung )

(Hệ quả)

Vậy cần lấy điểm cho (1)

Gọi giao điểm giao điểm với

Xét vuông có: PA=PM cân P

cân P Từ (1) (2)

MCBA ( )O MCA =HKB MA

 

HCK MCA

⇒ =

 

ACM ACK

⇒ =

ECM

∆ C

CD⊥ AB CO AB ⇒CA=CB

AMC

∆ ∆BEC

 

MAC=MBC MC

( )

MA=BE gt (cmt) CA=CB

( ) AMC BEC c g c

⇒ ∆ = ∆ ⇒MCA =ECB

   90o

ECB+EAC=BCA=

  90o

MCA ECA

⇒ + =

EMC

∆

 90o

MCE

ECM CM CE

 =  ⇒ ∆

 = 

PB HK

AP MB R MA =

AP R BO

AM MB BM

⇔ = =

 

2

PAM = sđ AM

 

2

MBA= sđ AM AM

 

PAM MBA

⇒ = ⇒ ∆PAM# ∆OMB c g c( )

1

PA OB

PA PM

PM OM

⇒ = = ⇒ =

P∈d PA=PM

N PB HK Q, BM d

QMA

∆ M ⇒ ∆PMA ⇒PAM =PMA

  90o

PMA PMQ+ =

  90o

PAM +PQM =

 

PMQ PQM PMQ

⇒ = ⇒ ∆ ⇒PM =PQ ( )2

PM PA PQ

(29)

Vì // (cùng vng góc nên: (Định lí Ta-let ) (Định lí Ta-let )

mà

là trung điểm

Vậy với mà qua trung điểm

Câu 8 Cho đường tròn (O) điểm A nằm bên (O) Kẻ hai tiếp tuyến AM, AN với đường tròn (O) Một đường thẳng dđi qua A cắt đường tròn (O) hai điểm B C (AB < AC, dkhông qua tâm O)

5 Chứng minh tứ giác AMON nội tiếp Chứng minh

AN =AB AC Tính độ dài đoạn thẳng BC AB = 4cm, AN =

6cm

7 Gọi I trung điểm BC Đường thẳng

NI cắt đường tròn (O) điểm thứ hai

T Chứng minh: MT // AC

8 Hai tiếp tuyến đường tròn (O) B

và C cắt K Chứng minh K

thuộc đường thẳng cố định d thay đổi thỏa mãn điều kiện đầu

Giải:

1 Chứng minh tứ giác AMON nội tiếp

Ta có tiếp tuyến

( tiếp tuyến (O)) Xét tứ giác AMON có:

mà hai góc vị trí đối

AQ HK AB)

NK BN

PA = BP ∆ABP

BN NH

BP = PQ ∆PBQ

NK NH

PA PQ

⇒ = PA=PQ cmt( ) ⇒NK =NH

N

⇒ HK

P∈d AP MB R

MA = PB HK

AM ⊥OM (AM ( ))O

 90o

OMA

⇒ =

AN⊥ON AN  90o

ONA

⇒ =

  90o 90o 180o

OMA ONA+ = + =

E K

B

T I

C

N

M O

(30)

tứ giác AMON tứ giác nội tiếp (dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp)

2 Chứng minh Tính độ dài đoạn thẳng BC AB = 4cm; AN = 6cm.

Xét (O): (góc nội tiếp góc tạo bới tia tiếp tuyến dây cung chắn cung BN)

Xét

chung

(g g) ANB ACN

⇒ ∆ # ∆

(tính chất hai tam giác đồng dạng) (Đpcm)

* Tính độ dài đoạn thẳng BC AB = 4cm; AN = 6cm

Ta có mà AB = 4cm, AN = 6cm nên: (cm) mà

nên cm

3 Chứng minh MT // AC

Xét (O): I trung điểm dây BC

(quan hệ vng góc đường kính dây) Tứ giác OIAN nội tiếp

(hai góc nội tiếp chắn mà hai góc nhìn cạnh AO (1)

AM, AN hai tiếp tuyến (O) cắt A

phân giác (t/c hai tiếp tuyến cắt nhau)

Mà (góc nội tiếp góc tâm chắn cung MN)

(2)

Từ (1) (2) ta có: mà hai góc vị trí đồng vị

MT // AC (dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song)

4 Hai tiếp tuyến (O) B C cắt K Chứng minh K thuộc đường thẳng cố định d thay đổi thỏa mãn điều kiện đề

* MN cắt OA E

Ta chứng minh

Ta chứng minh OI.OK = OE OA ( )

⇒

2

AN =AB AC

 ANB=BCN

ANB

∆ ∆ACN:



CAN

 ( )

ANB=BCN cmt

AN AB

AC AN

⇒ =

2

AN AB AC

⇒ =

2

( )

AN =AB AC cmt

4.AC=6 ⇔AC=9

AB+BC= AC BC=5

OI BC

⇒ ⊥

 

90

ANO= AIO=

 AIN AON

⇒ = AN)

OA

⇒ MON

 1

2

AON MON

⇒ =

 1

2

MTN = MON

 

MTN AON

⇒ =

 

MTN = AIN

⇒

MN ⊥OA⇒EM ⊥OA

2 2

OB OM R

(31)

Từ chứng minh

mà EM trùng EK

K thuộc MN cố định (đpcm)

Câu 9 Cho đường trịn (O; R) đường kính AB cố định Vẽ đường kính MN đường trịn (O; R) (M khác A, M khác B) Tiếp tuyến đường tròn (O;R) B cắt đường thẳng AM, AN điểm Q, P

6 Chứng minh bốn điểm M, N, P, Q thuộc đường tròn

7 Gọi E trung điểm BQ Đường thẳng vng góc với OE O cắt PQ F Chứng minh F trung điểm BP ME // NF

8 Khi đường kính MN quay quanh tâm O thỏa mãn điều kiện đề bài, xác định vị trí đường kính MN để tứ giác MNPQ có diện tích nhỏ

Giải:

Ta có (4 góc nội tiếp chắn

nửa đường trịn)

hình chữ nhật

2 Ta có (2 góc nội tiếp chắn cung AM)

(2 góc phụ với góc )

Mà ; hai góc lại vị trí đối

là tứ giác nội tiếp

3 * Chứng minh F trung điểm BP

E trung điểm BQ, O trung điểm AB

đường trung bình

(tính chất đường trung bình tam giác)

Mà ;

( g.c) OEK OIA c

∆ # ∆

  90o

OEK OIA

⇒ = =

EK OA

⇒ ⊥ EM ⊥OA⇒

    90o

AMB=MBN =BNA=NAM =

AMBN

⇒

 

ANM =ABM

 

ABM =MQB QBM

 

ANM MQB

⇒ =

  180o   180o

ANM +MNP= ⇒MQB+MNP= MNPQ

⇒

OE

⇒ ∆ABQ

/ / OE AQ

⇒

OE⊥OF AQ⊥AP

F E

P Q

N

M

B A

(32)

Lại có O trung điểm AB đường trung bình

là trung điểm BP * Chứng minh ME // NF

vng N, có F trung điểm cạnh BP (đường

trung tuyến ứng với cạnh huyền nửa cạnh huyền)

Xét có:

(2 góc tương ứng)

Chứng minh tương tự ta có

(cùng vng góc với MN)

4

Áp dụng bất đẳng thức Cơ-si ta có:

Ta có: 2 2

2

AM AN MN

AM AN≤ + = = R

2

3 MNPQ

S R

⇒ ≥

Dấu xảy AM = AN PQ = BP Hay MN vng góc với AB

Vậy để tứ giác MNPQ có diện tích nhỏ đường kính MN vng góc với đường kính AB

Câu 10 Cho nửa đường tròn tâm O đường kính

AB Lấy điểm C đoạn thẳng AO (C khác A, C

khác O) Đường thẳng qua C vng góc với AB

cắt nửa đường trịn K Gọi M điểm nằm cung KB (M khác K, M khác B) Đường thẳng

CK cắt đường thẳng AM, BM H D

/ /

OF AP

⇒

OF

⇒ ∆ABP

F

⇒

NPB

∆

2

NF BF FB BP

⇒ = = =

ONF

∆ ∆OBF

( ) ( )

ON OB R

OF chung ONF OBF c c c

FN FB cmt

= = 

 ⇒ ∆ = ∆ 



= 

  90o

ONF OBF

⇒ = =

ON NF

⇒ ⊥

OM ⊥ME

/ /

ME NF

⇒

2SMNPQ =2SAPQ−2SAMN =2 R PQ−AM AN

2

AB BP

ABP QBA AB BP QB

QB BA

∆ # ∆ ⇒ = ⇒ =

2

2 (2 )

PB+BQ≥ PB QB = R = R

2

(33)

Đường thẳng BH cắt nửa đường tròn điểm thứ hai N Chứng minh tứ giác ACMD tứ giác nội tiếp

6 Chứng minhCA CB =CH CD

7 Chứng minh ba điểm A, N, D thẳng hàng tiếp tuyến N đường tròn qua trung điểm DH

8 Khi M di động cung KB, chứng minh đường thẳng MN qua điểm cố định

Giải:

Chứng minh

Vì mà hai góc nhìn cạnh DA (nên M, C thuộc đường trịn

đường kính AD)

Vậy tứ giác nội tiếp

2 Chứng minh

Xét có:

(1)

Mặt khác (cùng phụ với

góc (2) Từ (1) (2)

(Đpcm)

* Chứng minh A, N, D thẳng hàng Vì AM DC đường cao tam giác ABD nên H trực tâm

Nên A, N, D thẳng hàng

* Gọi E giao điểm của CK tiếp tuyến N

Ta có:

mà

cân E (3)

Ta có:

 90o

AMD=

  90o

ACD=AMD=

ACMD

CA CB = CH CD CAH

∆ ∆CDB

  90o

ACH =DCB=

 

CAH =CDB

)

CBM

( ) CAH CDB g g

⇒ ∆ # ∆

CA CB CH CD

⇒ =

ABD

∆

;

AD BH AN BH

⇒ ⊥ ⊥

,

BN ⊥DN ON ⊥EN

 

DNE BNO

⇒ = BNO   =OBN OBN, =EDN

 

DNE EDN DEN

⇒ = ⇒ ∆ ⇒ED=EN

 90o  90o  

(34)

cân E (4)

Từ (3) (4) trung điểm HD (Đpcm) Chứng minh MN qua điểm cố định

Gọi I giao điểm MN AB, kẻ IT tiếp tuyến nửa đường tròn với T tiếp

điểm (5)

Mặt khác: (vì )

cùng thuộc đường tròn (6)

Từ (5) (6)

ICT ITO CT IO T K

⇒ ∆ # ∆ ⇒ ⊥ ⇒ ≡

là giao điểm tiếp tuyến K nửa đường tròn đường thẳng AB cố định (Đpcm)

Câu 11 Cho đường tròn (O) điểm A nằm ngồi đường trịn Kẻ tiếp tuyến AB

với đường tròn (O) (B tiếp điểm) đường kính BC Trên đoạn thẳng CO lấy điểm I (I

khác C, I khác O) Đường thẳng IA cắt (O) hai điểm D E (D nằm A E) Gọi

H trung điểm đoạn thẳng DE

5 Chứng minh bốn điểm A, B, O, H nằm đường tròn Chứng minh AB BD

AE = BE Đường thẳng dđi qua

điểm E song song với

AO,dcắt BC điểm K Chứng minh: HK/ /DC

8 Tia CD cắt AO điểm

P, tia EO cắt BP điểm

F Chứng minh tứ giác

BECF hình chữ nhật

Giải:

1 Chứng minh bốn điểm

A, B, O, H nằm đường tròn

Chứng minh

Tứ giác ABOH nội tiếp HEN

⇒ ∆ ⇒EH =EN

E

⇒

2

IN IM IT

⇒ =

EM ⊥OM ∆ENO= ∆EMO EN ⊥ON , , ,

N C O M

⇒ ⇒IN IM =IO IC

2

IC IO IT

⇒ =

I

⇒

I

⇒

 90o

ABO=

 90

AHO= °

⇒

K H

E D

I

C B

(35)

Suy bốn điểm A, B, O, H nằm đường trịn đường kính AO

2 Chứng minh

Chứng minh

Xét có: chung

Chứng minh

(Đpcm) Chứng minh KH // DC

Tứ giác ABOH nội tiếp mà (do EK//AO)

Suy tứ giác BHKE nội tiếp

Chứng minh (cùng )

Kết luận HK // DC

4 Chứng minh tứ giác BECF hình chữ nhật

Gọi giao điểm tia CE tia AO Q, tia EK CD cắt điểm M

Xét có HK // DM H trung điểm đoạn DE, suy K trung điểm đoạn thẳng ME

Có ME // PQ (cùng ) suy O trung điểm đoạn PQ

Có: Suy tứ giác BPCQ hình bình hành Suy CE // BF

Chứng minh (g.c.g)

Mà Suy tứ giác BECF hình chữ nhật

Cách 2:

AB BD

AE = BE

 

ABD=AEB ABD

∆ ∆AEB EAB

( ) ABD AEB g g

∆ # ∆

AB BD

AE BE

⇒ =

 

OBH OAH

⇒ = OAH =HEK

 .

HBK HEK

⇒ =

 

BKH =BCD BEH

M

Q F

P

K H

E D

I

C B

A O

EDM

∆

KE MK

OQ OP

⇒ = CK

CO

;

OP=OQ OB=OC

COE BOF

∆ = ∆ ⇒OE=OF

(36)

Kẻ tiếp tuyến AT với (O), chứng minh APDT nội tiếp

dẫn đến (1), chứng minh (g.c.g) (2)

Từ (1) (2)

Dẫn đến EF đường kính BECF hình chữ nhật (Đpcm)

Cách 3:

Chứng minh (g.g)

BECF hình chữ nhật (Đpcm)

Câu 12 Cho đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác nhọn ABC Gọi M, N điểm cung nhỏ AB cung nhỏ BC Hai dây AN CM cắt điểm I Dây MN cắt cạnh AB BC điểm H K

T F

P

K H

E D

I

C B

A O

 

(PAT+PDT =180 )°

 

ATP=CBE ∆TAP= ∆BAP ⇒ ATP=ABP

 

ABP EBC

⇒ =

 90

EBF = ° ⇒ ⇒

F

P

K H

E D

I

C B

A O

EHB COP

∆ # ∆ EB EH ED

CP CO CB

⇒ = =

EDB CBP

⇒ ∆ # ∆  

EDP CBP

⇒ =

  90 ,

(37)

5 Chứng minh bốn điểm C, N, K, I thuộc đường tròn Chứng minh

NM NB =NK

7 Chứng minh tứ giác BHIK hình thoi

8 Gọi P Q tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MBK, tam giác

MCK E trung điểm đoạn PQ Vẽ đường kính ND đường trịn (O) Chứng minh ba điểm D, E, K thẳng hàng

Giải:

1 Chứng minh bốn điểm C, N, K, I thuộc đường trịn Ta có: (2 góc nội tiếp chắn hai

cung nhau)

Mà hai góc nhìn cạnh IK tứ giác IKNC từ hai đỉnh kề

là tứ giác nội tiếp

thuộc đường tròn Chứng minh

(hai góc nội tiếp chắn hai cung nhau)

Xét có:

chung (cmt)

(g.g)

(đpcm) Chứng minh tứ giác BHIK hình thoi Nối BI cắt đường trịn (O) F

Ta có (vì nhìn cung BN = NC)

 

MCB=ANM

 

ICK INK

⇒ =

IKNC

⇒

, , ,

C N K I

⇒

2

NM NB =NK

 

BMN =NBC

NBK

∆ ∆NMB



MNB

 

BMN =NBC NBK NMB

⇒ ∆ # ∆

2

NB NM

NB NK NM

NK NB

⇒ = ⇒ =

AF FC

⇒ =

 

BMH =HMI

 1(  )

2 đ F

MBI = s MA s A+ đ

)

MF

F

K H

I

N M

O

C B

A

E

Q

P

D

K H

I

N M

O

C B

(38)

(góc có đỉnh bên đường trịn)

Mà nên

cân M có MN phân giác đường trung trực BI

(1)

Mặt khác (hai góc nội tiếp chắn hai cung AF= FC) có BF phân giác đường cao

cân B (2)

Từ (1) (2) ta có BHIK hình thoi

4 Chứng minh ba điểm D, E, K thẳng hàng

nên C, D, Q thẳng hàng Chứng minh tương tự ta có D, B, P thẳng hàng

Lại có

Mà nên

Hay KQ // DP Tương tự KP // DQ

Nên KPDQ hình bình hành Hình bình hành KPDQ có hai đường chéo KD PQ cắt

tại trung điểm đường Nên D, E, K thẳng hàng (Đpcm)

Câu 13 Cho đường tròn (O; R) với dây cung AB không qua tâm Lấy S điểm tia đối tia AB (S khác A) Từ điểm S vẽ hai tiếp tuyến SC, SD với đường tròn (O; R) cho điểm C nằm cung nhỏ AB (C, D là tiếp điểm) Gọi H trung điểm đoạn thẳng AB

5 Chứng minh năm điểm C, D, H, O, S thuộc đường trịn đường kính SO Khi SO = 2R, tính độ dài đoạn thẳng SD theo R tính số đo CSD

 1(  )

2 đ C

MIB= s MB+s Fđ

   ;

MA=MC AF =CF MBI =MIB BMI

⇒ ∆

MN

⇒

, ,

HK BI BH HI BK KI

⇒ ⊥ = =

 

HBF =FBC BHK

⇒ ∆

BHK

⇒ ∆ ⇒BH =BK

 90o 

QCK = −CMK

 90o 

QCK CBN

⇒ = −

 90o 

QCK BCN

⇒ = −

CQ CN

⇒ ⊥

 90o 

CKQ= −CMK  90o 

KBP BMK

⇒ = −

 

(39)

7 Đường thẳng qua điểm A song song với đường thẳng SC, cắt đoạn thẳng CD

tại điểm K Chứng minh tứ giác ADHK tứ giác nội tiếp đường thẳng BK qua trung điểm đoạn thẳng SC

8 Gọi E trung điểm đoạn thẳng BD F hình chiếu vng góc điểm E

trên đường thẳng AD Chứng minh rằng, điểm S thay đổi tia đối tia AB

thì điểm F ln thuộc đường tròn cố định

Giải:

1 Chứng minh năm điểm C, D, H, O, S thuộc đường trịn đường kính SO

SD, SC tiếp tuyến đường tròn (O; R)

thuộc đường trịn đường kính SO (1) Mặt khác H trung điểm AB

thuộc đường trịn đường kính SO (2)

Từ (1) (2)

thuộc đường trịn đường kính SO Tính độ dài đoạn thẳng SD theo

R số đo góc

Xét có:

Ta có:

3 Vì S, D, O, H thuộc đường trịn nên SHOD tứ giác nội tiếp (góc nội tiếp chắn (3)

Lại có: (đồng vị) nên (4)

Từ (3) (4) nội tiếp

Gọi M giao điểm BK SC Gọi N giao điểm AK BC

Ta có: (2 góc nội tiếp chắn

,

OD SD OC SC

⇒ ⊥ ⊥

, D C

⇒

 90o

OH AB SHO

⇒ ⊥ ⇒ =

H

⇒

, , , ,

C D H O S

⇒



CSD SDO

∆

2 2

SO =SD +DO

2 2 2

4

SD SO DO R R R

⇒ = − = − =

3

SD R

⇒ =

  

sin 30 60

o o

DO

DSO DSO CSD

SO

= = ⇒ = ⇒ =

  1

2

AHD SOD COD

⇒ = = SD)

 

AKD=SCD   1

2

AKD= sđ DC = COD  

AHD AKD ADHK

⇒ = ⇒

 

KHA=CBS KHA =ADK AK)

G

M

N K

F

E

H

A' D

C O

B A

(40)

(2 góc nội tiếp chắn

mà H trung điểm AB nên K trung điểm AN Suy AK = KN Có: mà AK = KN nên SM = CM nên M trung điểm SC

4 Chứng minh rằng, điểm S thay đổi tia đối tia AB điểm F ln thuộc đường trịn cố định

Kẻ đường kính đường trịn tâm O

Ta có mà

Kéo dài EF cắt G

là trung điểm BD nên G trung điểm

đường kính đường trịn tâm O nên cố định cố định Vậy G cố định Mà thuộc đường tròn đường kính AG cố định (đpcm)

Câu 14. Cho đường trịn( )O ,đường kínhAB.Vẽ tiếp tuyếnAx By, đường tròn M điểm đường tròn(M khácA B, ).Tiếp tuyến tạiM đường tròn cắt

,

Ax Bylần lượt tạiP Q,

5 Chứng minh rằng: Tứ giácAPMO nội tiếp Chứng minh rằng:AP+BQ=PQ

7 Chứng minh rằng:

AP BQ=AO

8 Khi điểmM di động đường tròn( )O ,tìm vị trí điểmM cho diện tích tứ giácAPQBnhỏ

Giải:

1 Xét tứ giác APMQ, ta có (vì PA, PM tiếp tuyến (O))

Vậy tứ giác APMO nội tiếp

2 Ta có: AP = MP (tính chất hai tiếp tuyến cắt điểm)

BQ = MQ (tính chất hai tiếp tuyến cắt điểm)

3 Ta có OP phân giác (tính chất hai tiếp tuyến cắt điểm)

 

ADK =CBS AC)

/ /

HK BC

⇒

AK KN BK

SM =CM = BM

'

AA ' 90o '

ADA = ⇒DA ⊥DA EF ⊥DA⇒EF/ /DA' '

BA / / ',

EG DA E BA'

'

AA A' ⇒BA'

 90o

AFG= ⇒F

  90o

OAP=OMP=

( )

AP BQ MP MQ PQ Ðpcm

⇒ + = + =

AOM

M2 M1

Q

P

M

O

B A

(41)

OQ phân giác (tính chất hai tiếp tuyến cắt điểm)

Mà (hai góc kề bù)

Xét có: (cmt)

(PQ tiếp tuyến (O) M)

Áp dụng hệ thức lượng vào vng O có đường cao OM

(hệ thức lượng)

Lại có (cmt); (bán kính)

Do

4 Tứ giác APQB có: nên tứ giác APQB hình thang vng

Mà AB không đổi nên đạt GTNN nhỏ

là điểm

Tức M trùng đạt GTNN

Câu 15. Cho đường tròn ( )O điểmAnằm ngồi đường trịn Vẽ tiếp tuyến ,

AM AN với đường tròn( )O (M N, ∈( )O ) QuaAvẽ đường thẳng cắt đường tròn ( )O hai điểmB C, phân biệt (Bnằm giữaA C, ) Gọi Hlà trung điểm đoạn thẳng

BC

4 Chứng minh tứ giácANHM nội tiếp đường tròn Chứng minh

AN = AB AC

6 Đường thẳng quaBsong song vớiANcắt đoạn thẳngMNtạiE Chứng minh / /

EH NC

Giải:

1 Vì AN, AM tiếp tuyến (O) nên



BOM

  180o

AOM +BOM = ⇒POQ=90o

POQ

∆ POQ=90o

OM ⊥PQ

POQ

∆

2

MP MQ OM

⇒ =

;

MP= AP MQ=BQ OM =OA ( )

2

AP BQ= AO Ðpcm

( )

/ / ; ,

AP BQ AP⊥AB BQ⊥AB

( )

2

APQB

AP BQ AB PQ AB

S +

⇒ = =

APQB

S ⇔PQ

/ /

PQ AB PQ AB OM AB

⇔ = ⇔ ⇔ ⊥

M

⇔ AB

1

M M2 SAPQB

2

AB

  9

ANO=AMO=

I

J

E H

C

B

O

N M

(42)

đường trịn đường kính AO

Gọi J trung điểm AO

Vì H trung điểm BC nên

đường trịn đường kính AO

Suy A, O, M, N, H thuộc đường trịn tâm J đường kính AO

Suy AMHN tứ giác nội tiếp đường trịn

2 Có (góc tạo tiếp tuyến dây cung góc nội tiếp chắn

Xét có:

(cmt) chung

3 Gọi I giao điểm MN AC

Ta có MN trục đẳng phương đường tròn (J) (O)

nên phương trình tích I (J) (O)

Vì nên

Câu 16. Cho đường trịn tâmObán kínhRvà điểmAsao choOA=3 R QuaAkẻ tiếp tuyếnAPvàAQvới đường tròn( ; )O R ( ,P Q tiếp điểm) LấyMthuộc đường tròn

( ; )O R choPM song song vớiAQ GọiNlà giao điểm thứ hai đường thẳngAM

với đường tròn(O R; ).TiaPNcắt đường thẳngAQtạiK

4 Chứng minh tứ giácAPOQlà tứ giác nội tiếp

KA =KN KP

5 Kẻ đường kínhQScủa đường trịn(O R; ).Chứng minhNSlà tia phân giác củaPNM

6 GọiGlà giao điểm đường thẳngAOvàPK.Tính đội dài đoạn thẳngAGtheo bán kínhR

Giải:

; ; ;

A M O N

⇒ ∈

 90o

OH ⊥BC⇒ AHO= ,

H O

⇒ ∈

 ANB= ACN BN BN)

ANB

∆ ∆ACN

 

ANB=ACN



BAN

( )

ANB ACN g g

⇒ ∆ # ∆

2

AN AB

AN AB AC

AC AN

⇒ = ⇒ =

I∈MN

IB IH

IA IH IB IC

IA IC

⇒ = ⇒ =

/ /

BE AN IB IE IE IH EH / /NC

(43)

1 Ta có:

Trong tứ giác APOQ có tổng hai góc đối Suy tứ giác APOQ nội tiếp đường trịn

(so le trong)

Mà (góc tạo tiếp tuyến dây cung góc nội tiếp chắn

Xét có:

chung

(cmt)

2 Ta có: (AQ tiếp tuyến (O) Q)

Mà (giả thiết) nên

Đường kính nên QS qua điểm nhỏ

(hai góc nội tiếp chắn hai cung nhau) Hay NS tia phân giác

3 Gọi H giao điểm PQ AO

(tính chất hai tiếp tuyến cắt điểm) Áp dụng hệ thức lượng tam giác vng AOQ ta có:

  90o

APO=AQO=

0

180

 

/ /

PM AQ⇒PMN =KAN

 

PMN= APK PN PN)

 

KAN APK

⇒ =

KAN

∆ ∆KPA



K

 

KAN =KPA

( )

KAN KPA g g

⇒ ∆ # ∆

( )

2 . .

KA KN

KA KN KP Ðpcm

KP KA

⇒ = ⇒ =

AQ⊥QS / /

PM AQ PM ⊥QS

QS⊥PM PM

   

s PSđ =s SMđ ⇒PNS =SNM

( ).

PNM Ðpcm

AH PQ

⇒ ⊥

HI G

S

K

N

Q P

M

(44)

(góc tạo tia tiếp tuyến dây cung

Xét có:

(cmt) chung

Mà nên

Vậy có trung tuyến AH PK cắt G nên G trọng tâm

Câu 17. Cho tam giácABCnhọn(AB< AC)nội tiếp đường tròn( ),O hai đường cao ,

BE CF cắt tạiH Tia AOcắt đường tròn( )O tạiD Chứng minh tứ giácBCEFnội tiếp đường trịn; Chứng minh tứ giácBHCDlà hình bình hành;

6 Gọi M trung điểm củaBC, tiaAMcắtHOtạiG Chứng minhGlà trọng tâm tam giácBAC

Giải:

1 Xét tứ giác BCEF có (cùng nhìn cạnh BC )

Tứ giác BCEF tứ giác nội tiếp

2 Ta có: (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn)

Mà suy (1)

Chứng minh tương tự: (2)

2

3

OQ R

OQ OH OA OH R

OA R

= ⇒ = = =

1

3

AH OA OH R R R

⇒ = − = − =

 

2sđ NQ

KPQ= NQ)

 

2sđ NQ

NQK= NQ)

 

NQK KPQ

⇒ =

KNQ

∆ ∆KQP

 

NQK =KPQ



K

( )

KNQ KQP g g

⇒ ∆ # ∆

KN KQ

KQ KP

⇒ =

KQ KN KP

⇒ =

2

AK =NK KP AK=KQ APQ

∆

2 16 3

AG AH R R

⇒ = = =

 

90 BFC=BEC=

⇒

 90o

ACD=

DC AC

⇒ ⊥

;

HE⊥ AC BH/ /DC

/ /

CH BD

G H

F

E

M

D O

C B

(45)

Từ (1) (2) suy BDCD hình bình hành

3 Ta có M trung điểm BC suy M trung điểm HD

Do AM, HO đường trung tuyến trọng tâm

Xét tam giác ABC có M trung điểm BC Suy G trọng tâm

Câu 18. Cho đường tròn(O R; )có đường kínhABcố định Trên tia đối tiaABlấy điểm Csao choAC=R QuaCkẻ đường thẳngdvng góc vớiCA.Lấy điểmMbất kì trên( )O không trùng vớiA B, TiaBM cắt đường thẳngdtạiP.TiaCM cắt đường tròn( )O điểm thứ hai làN,tiaPAcắt đường tròn( )O điểm thứ hai làQ

5 Chứng minh tứ giácACPMlà tứ giác nội tiếp; TínhBM BP theoR

7 Chứng minh hai đường thẳngPCvàNQsong song;

8 Chứng minh trọng tâmGcủa tam giácCMBluôn nằm đường tròn cố định khiMthay đổi trên( )O

Giải:

1 Ta có AB đường kính góc nội tiếp chắn nửa đường trịn

Mặt khác

mà hai góc vị trí đối

Suy tứ giác ACPM nội tiếp đường tròn

2 Xét có:

chung

AHD

∆ ⇒G ∆AHD

1

GM AM

⇒ =

1

GM AM =

ABC

∆

( )O M, ∈( )O ⇒AMB  90o  90 o

AMB AMP

⇒ = ⇒ =

 90o( )   180o

ACP= gt ⇒AMP+ACP=

BAM

∆ ∆BPC

  90o

AMB=BCP=



MBA

( )

BAM BPC g g

⇒ ∆ # ∆

I G

D

Q N P

M d

(46)

3 Ta có:

AMNQ tứ giác nội tiếp (góc đỉnh góc ngồi đỉnh đối diện) (1)

AMPC tứ giác nội tiếp (hai góc nội tiếp chắn ) (2) Từ (1) (2)

Mà hai góc vị trí so le

4 Gọi D trung điểm BC điểm cố định Qua G kẻ đường thẳng song song với MO cắt AB I

G trọng tâm nên (tính chất trọng tâm tam giác)

Do

Áp dụng định lý Ta-lét cho ta có Mà O, D là hai điểm cố định nên I cố định

Do nên theo định lý Ta-lét ta có:

ln cách điểm I cố định khoảng không đổi

Khi M di động, điểm G ln nằm đường trịn tâm I, bán kính

Câu 19. Cho∆ABCcó ba góc nội tiếp đường trịn( ),O bán kínhR Hạ đường caoAH BK, tam giác Các tiaAH BK, cắt( )O điểm thứ hai làD E,

4 Chứng minh tứ giácABHKnội tiếp đường tròn Xác định tâm đường trịn Chứng minh.HK/ /DE

6 Cho ( )O dâyABcố định, điểmCdi chuyển trên( )O cho∆ABCcó ba góc nhọn Chứng minh độ dài bán kính đường trịn ngoại tiếp∆CHKkhơng đổi

Giải:

BM BA

BC BP

⇒ =

2

BM BP BA BC R R R

⇒ = = =

 

MNQ PAM

⇒ =

 

PCM PAM

⇒ = PM

 

MNQ PCM

⇒ =

/ /

PC NQ

⇒ D

⇒

BCM

∆ G∈MD

3

MG= MD

/ /

GI MO

DMO

∆ I∈DO 2

3

OI MG

OI OD

OD = MD= ⇒ =

/ /

GI MO 1

3 3

GI DG R

IG MO

MO= DM = ⇒ = =

G

⇒

3

R

⇒

3

R

(47)

1 Tứ giác ABHK có

mà hai góc nhìn cạnh AB

Suy tứ giác ABHK nội tiếp đường trịn đường kính AB

2 Theo câu tứ giác ABHK nội tiếp (J) với J trung điểm AB

Nên (hai góc nội tiếp

chắn (J))

Mà (A, H, K thẳng hàng) (hai góc chắn (O))

Suy mà hai góc vị trí đồng vị nên

3 Gọi T giao điểm hai đường cao AH BK

Tứ giác CHTK có

Suy tứ giác CHTK nội tiếp đường trịn đường kính CT

Do CT đường kính đường trịn ngoại tiếp (*) Gọi F giao điểm CO với (O) hay CF đường kính (O) Ta có: (góc nội tiếp chắn nửa (O))

Mà (gt)

Nên hay (1)

Ta có: (góc nội tiếp chắn nửa (O))

Mà (gt)

Nên hay (2)

Từ (1) (2) ta có tứ giác AFBT hình bình hành (hai cặp cạnh đối song song) Do J trung điểm đường chéo AB

Nên J trung điểm đường chéo FT (tính chất đường chéo hình bình hành) Xét có O trung điểm FC, J trung điểm FT

Nên OJ đường trung bình (**)

Từ (*) (**) ta có độ dài OJ độ dài bán kính đường trịn ngoại tiếp

Mà độ dài OJ khoảng cách từ tâm O đến dây AB (J trung điểm dây AB)

  90 ,o

AKB=AHB=

 

BAH =BKH



BH

 

BAH =BAD

 

BAD=BED BD

 ,

BKH =BED

/ /

HK DE

  90o

CHT =CKT =

CHK

∆

 90o

CAF = ⇒FA⊥CA

BK ⊥CA

/ /

BK FA BT/ /FA

 90o

CBF = ⇒FB⊥CB

AH ⊥CB

/ /

AH FB AT/ /FB

CTF

∆

CTF

∆

1

OJ CT

⇒ =

CHK

∆

F

T J

E

D

K

H

O

C B

(48)

Do (O) dây AB cố định nên độ dài OJ khơng đổi

Vậy độ dài bán kính đường trịn ngoại tiếp khơng đổi

Câu 20. Cho xAy=90 ,o vẽ đường trịn tâmAbán kínhR Đường trịn cắtAx Ay, thứ tự tạiBvàD Các tiếp tuyến với đường tròn( )A kẻ từBvàDcắt tạiC

4 Tứ giácABCDlà hình gì? Chứng minh? TrênBClấy điểmMtùy ý (M khácBvàC)

kẻ tiếp tuyếnMHvới đường tròn( )A ,(H tiếp điểm).MHcắt CDtạiN Chứng

minh rằng

45

MAN =

6 P Q; thứ tự giao điểm củaAM AN; với

BD Chứng minh rằngMQ NP; đường cao của∆AMN

Giải:

1 Theo tính chất tiếp tuyến ta có: Xét tứ giác ABCD có:

hình chữ nhật

Ta có nên ABCD hình vng Xét vng vng có:

(cạnh huyền – cạnh góc vng) Tương tự:

3 Xét vng có: vuông cân C

CHK

∆

  90o

CBA= ADC=



  ( )

90

o

BAD

CBA ADC cmt

 =

 

= =



ABCD

⇒

AB=AC =R ADN

∆ ∆AHN

AN chung

AD AH R



 = =



ADN AHN

⇒ ∆ = ∆

 

DAN HAN

⇒ =

     90o

DAN+HAN+HAM +BAM =xAy=

 

2.HAN 2.HAM 90o

⇒ + =

  45o

HAN HAM

⇒ + =

 45 o

MAN

⇒ =

BCD

∆ BC=CD=R

BCD

⇒ ∆ ⇒CBD =45o

P Q

H N

M C D

(49)

Ta có A, B hai đỉnh nhìn QM góc Tứ giác ABMQ tứ giác nội tiếp

là đường cao (đpcm)

Tương tự ADNP tứ giác nội tiếp đường cao

Vậy MQ, NP đường cao (đpcm)

Câu 21. Cho ∆ABC AB( <AC)có góc nhọn nội tiếp đường tròn (O R; ).Vẽ đường

cao AHcủa ∆ABC, đường kínhADcủa đường trịn GọiE F, chân đường vng góc kẻ từ Cvà Bxuống đường thẳngAD M trung điểm củaBC

4 Chứng minh tứ giácABHFvàBMFOnội tiếp Chứng minh HE/ /BD

6 Chứng minh

4 ABC

AB AC BC S

R

= (SABClà diện tích ∆ABC)

Giải:

1 Theo đề ta có: mà góc

cùng nhìn cạnh AB

Vậy tứ giác ABHF nội tiếp đường trịn đường kính AB

Có M trung điểm BC mà BC dây cung nên

Khi mà góc vị trí đối

nhau

Vậy tứ giác BMOF nội tiếp đường trịn đường kính OB

2 Theo đề bài: tứ

giác nội tiếp

Suy ra: (2 góc nội tiếp chắn

Lại có: (2 góc nội tiếp chắn

45o

⇒

  180o

AQM ABM

⇒ + =

 180o  180o 90o 90o

AQM ABM

⇒ = − = − =

MQ AN MQ

⇒ ⊥ ⇒ ∆AMN

NP AM NP

⇒ ⊥ ⇒ ∆AMN

AMN

∆

  90o

AHB=BFA=

OM ⊥BC

  90o

BFO=BMO=

  90o

AEC=AHC = ⇒ACEH

  1

2

CHE=CAE= CE EC)

   1

2

CAE=CAD=CBD= CD DC)

M E F

D H

O

C B

(50)

Nên mà chúng vị trí đồng vị suy ra: Ta có:

Mặt khác có: (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn)

Nên hai góc nội tiếp chắn

Tương tự ta có: Ta có:

Từ (1) (2) Vậy

Câu 22. Cho∆ABCnhọn (AB<AC)ba đường caoAP BM CN, , của∆ABCcắt tạiH

5 Chứng minh tứ giácBCMNnội tiếp Chứng minh ∆ANM ∽∆ACB

7 Kẻ tiếp tuyếnBDvới đường tròn đường kínhAH(Dlà tiếp điểm) kẻ tiếp tuyếnBE với đường trịn đường kính CH(E tiếp điểm) Chứng minhBD=BE

8 Giả sử AB = 4cm; AC = 5cm; BC = 6cm TínhMN

Giải:

1 Ta có:

Mà hai đỉnh M, N nhìn BC

Tứ giác BCMN nội tiếp đường trịn

2 Xét có:

chung

(cùng bù với )

Suy (g.g)

3 Gọi O là tâm đường tròn đường kính

AH

Gọi I tâm đường trịn đườn kính CH  

CHE=CBD HE/ /BD

( )

1

.sin sin 2

ABC

S = BC AH = BC AB ABC AH = AB ABC ABC

∆ ABD=90o

 

.sin sin

AB=AD ADB= R ACB( ADB=ACB AB)

 

2 sin sin AC R ABC BC R BAC

 =  

= 

   ( )

3

sin sin sin

AB AC BC= R ACB ABC BAC

      ( )

1

.sin sin sin sin sin sin sin

2

ABC

S = BC AB ABC = R BAC R ACB CBA= R BAC ACB CBA

1

ABC

S

AB BA CA R

⇒ =

ABC

AB AC BC S

R

= ⋅

  90o

BMC =BNC=

⇒

ANM

∆ ∆ACB



A

 

ANM =ACB BNM

ANM ACB

⇒ ∆ # ∆

E D

I O

H N

M

P

C B

(51)

Xét có: chung

(cùng phụ với

Suy ra: (g.g)

(1)

Ta có: (2 góc nội tiếp chắn

Mà (gt)

Lại có cân I

Xét có:

chung

(cùng phụ với )

Suy ra: (g.g)

(2) Từ (1) (2) suy ra:

4 Đặt

Áp dụng định lý Pi-ta-go ta có:

2 2

CN = AC −AN Mà

2 2

AC AN BC BN

⇒ − = −

Vậy

Lại có: (cmt)

(cm) BDH

∆ ∆BMD



B

 

BDH =BMD MDH)

BDH BMD

∆ # ∆

2

BD BH

BD BM BH

BM BD

⇒ = ⇒ =

 

EMC=EHC EC)

  90o

HME+EMC= ⇒HME +EHI =90o

 

IHE=HEI ∆HIE   90o

HME HEI

⇒ + =

BHE

∆ ∆BEM



HBE

 

BEH =BME HEI

BHE BEM

∆ # ∆

2

BH BE

BE BM BH

BE BM

⇒ = ⇒ =

BE=BD

( )

; 4

AN =x NB= −x < <x

2 2

CN =BC −BN

( )2

2 2

5 x x

⇔ − = − −

2

25 x 36 16 8x x

⇔ − = − + −

25 36 16 8x

⇔ − + =

8x

⇔ = 0, 625 x ⇔ = 0, 625 AN = ANM ACB ∆ #∆ AN MN AC BC ⇒ =

0, 625.6

0, 75 AN BC MN AC ⇒ = = = 6 4 - x

(52)

Câu 23. Cho nửa đường tròn O đường kínhAB=2R Điểm Mdi chuyển nửa đường trịn (M khácAvàB) Clà trung điểm dây cungAM Đường thẳng dlà tiếp tuyến với nửa đường tròn B TiaAM cắt dtại điểm

N Đường thẳngOCcắtdtạiE

5 Chứng minh: tứ giácOCNBnội tiếp Chứng minh:AC AN = AO AB

7 Chứng minh:NOvng góc vớiAE

8 Tìm vị trí điểmM cho (2.AM +AN)nhỏ

Giải:

1 Theo tính chất dây cung ta có:

BN tiếp tuyến (O)

Xét tứ giác OCNB có tổng góc đối: Do tứ giác OCNB nội tiếp

2 Xét có:

chung Suy

Do đó: (đpcm)

1 Theo chứng minh ta có:

là đường cao đường cao

Từ (1) (2) trực tâm (vì O gia điểm AB EC) đường cao thứ ba

Suy (đpcm)

2 Ta có: (vì C trung điểm AM) Áp dụng BĐT Cô-si cho hai số dương ta có:

Suy tổng nhỏ

 90o

OC⊥ AM ⇒OCN =

 90o

B⇒OB⊥BN ⇒OBN =

  90o 90o 180o

OCN+OBN= + =

ACO

∆ ∆ABN



CAO

  90o

ACO=ABN =

( )

ACO ABN g g

⇒ ∆ # ∆ AC AO

AB AN

⇒ =

AC AN =AO AB

OC⊥ AM ⇒EC⊥AN ⇒EC ∆ANE ( )1

OB⊥BN⇒AB⊥NE⇒AB ∆AME( )2

O

⇒ ∆ANE

NO

⇒ ∆ANE

NO⊥AE

2.AM+AN =4AC+AN

2

4AC AN =4AO AB =4 2R R=8R

2

4AC+AN ≥2 2AC AN =2 8R =4 2R

(53)

2

AN AM M

⇒ = ⇒ trung điểm AN

Khi vng B có BM đường trung tuyến nên

Vậy với M điểm nửa đường trịn đường kính AB nhỏ

Câu 24. Cho đường trịn tâmObán kínhRvà đường thẳng( )d khơng qua O, cắt đường trịn ( )O điểmA B, Lấy điểm M tia đốiBA, qua M kẻ hai tiếp tuyến MC MD, với đường tròn (C D, tiếp điểm)

4 Chứng minh tứ giác

MCODnội tiếp

đường tròn

5 GọiHlà trung điểm đoạn thẳngAB

Chứng minh HM phân giác CHD

6 Đường thẳng qua Ovà vng góc với MOcắt tia

,

MC MDtheo thứ tự tạiP Q, Tìm vị trí điểmMtrên( )d

sao cho diện tích∆MPQnhỏ

Giải:

1 Xét tứ giác MCOD có:

Suy tứ giác MCOD nội tiếp đường trịn

2 Ta có H trung điểm H thuộc đường kính MO

5 điểm D; M; C; H; O thuộc đường tròn đường kính MO

(2 góc nội tiếp chắn cung MD) (2 góc nội tiếp chắn cung MC) Lại có (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

HM phân giác ABN

∆ AM =MB ⇒AM =BM

2AM+AN

4 R

 90 ;o  90o

MC⊥OD⇒OCM = MD⊥OD⇒ODM =

 90o

AB⇒OH ⊥ AB⇒MHO= ⇒

⇒

 

DHM DOM

⇒ =

 

CHM =COM

 

DOM =COM

 

DHM CHM

⇒ = ⇒ CHD

(d)

Q P

H

D C

O

M B

(54)

3 Ta có:

Mặt khác, theo hệ thức lượng tam giác vng OMP ta có: khơng đổi

Dấu “ = “ xảy Khi M giao điểm (d) với đường trịn tâm O

bán kính

Vậy M giao điểm (d) với đường trịn tâm O bán kính diện tích nhỏ

Câu 25. Cho∆ABCcó ba góc nhọn, hai đường caoBDvàCE cắt tạiH(Dthuộc ;

AC EthuộcAB)

3 Chứng minh tứ giácADHEnội tiếp đường tròn;

4 Gọi M I, trung điểm củaAHvà BC Chứng minhMIvng góc với ED

Giải:

1 Tứ giác ADHE có: Nên

Do đó: mà góc vị trí đối diện

Vậy tứ giác ADHE nội tiếp đường tròn Tứ giác BEDC có:

(gt) nên nội tiếp đường trịn tâm I đường kính BC (1)

Tương tự: Tứ giác ADHE nội tiếp đường tròn tâm M đường kính AH E, D giao điểm I đường tròn

Dễ dàng chứng minh phân giác

Mà cân

Câu 26. Cho∆ABCcó ba góc nhọn(AB< AC)nội tiếp đường trịn tâm O, kẻ đường caoAH GọiM N, hình chiếu vng góc củaHtrênABvàAC.KẻNEvng góc

( )

2

MPQ MOP

S = S =OC MP=R MC+CP ≥ R CM CP

2

CM CP=OC =R ⇒SMPQ ≥2R2

2

CM CP R

⇔ = =

2

R

2

R ∆MRT

( ); ( ) AD⊥DH gt AE⊥EH gt   90o

AEH =ADH =

  180o

AEH+ADH =

  90o

BEC=BDC=

( ) EMI DMI c c c

∆ = ∆

MI

⇒ DME

DMI

∆ M MD( =ME) ( )

MI DE Ðpcm

⇒ ⊥

H M

D E

A

I C

(55)

với AH Đường vng góc vớiACtạiCcắt đường tròn Ivà cắt tiaAHtạiD TiaAH cắt đường tròn tạiF

4 Chứng minh  ABC+ACB=BICvà tứ giácDENC nội tiếp đường tròn

5 Chứng minh hệ thứcAM AB = AN AC tứ giác

BFIC hình thang cân

6 Chứng minh: tứ giácBMEDnội tiếp đường tròn

Giải:

1 Vì ABIC tứ giác nội tiếp nên:

Vì nên s

mà góc vị trí đối Suy tứ giác DENC tứ giác nội tiếp

2 Áp dụng hệ thức lượng hai tam giác vuông AHB AHC có: Có

Suy số đo hai cung IC BF Mặt khác ABFI ABIC nội tiếp nên

Suy hình thang

Vì

Hình thang BCIF có FC = BI BCIF hình thang cân Có

Xét có:

(cmt); chung

Suy

   ;

ABC=AIC ACB=AIB

    ABC ACB AIC AIB BIC

⇒ + = + =

;

NE⊥AD NC ⊥CD  NED=NCD=90o

  180o

NED NCD

⇒ + =

2

;

AM AB= AH AN AC=AH ⇒ AM AB= AN AC

 90o  ; 90o   ;  

IAC= −AIC BAF = −ABH AIC= ABH⇒IAC=BAF IC BF

⇒ =

     ; ;

BAF =BIF IAC=IBC BIF =IBC

/ /

IF BC⇒BCIF

   

BAF =CAI⇒BAI=CAF

 

FC BI FC BI

⇒ = ⇒ =

⇒

( )

AEN AGD g g

∆ #

AE AN AE AM

AE AD AN AC AM AB

AC AD AB AD

⇒ = ⇒ = = ⇒ =

AME

∆ ∆ADB

AE AM

AB = AD



MAE ( ) AME ADB c g c

∆ #

D F

I

E N

M

H

O

C B

(56)

mà góc vị trí đối diện Suy BMED nội tiếp đường tròn

Câu 27. Cho nửa đường tròn( )O đường kínhAB GọiClà điểm cố định thuộc đoạn thẳng OB (CkhácOvàB) Dựng đường thẳng d vng góc vớiABtại điểm C, cắt nửa đường tròn ( )O điểmM.Trên cung nhỏMBlấy điểmN bất kỳ(NkhácM vàB), tiaAN cắt đường thẳng d điểm F,tiaBN

cắt đường thẳngdtại điểmE.Đường

thẳngAEcắt nửa đường tròn ( )O điểm D(DkhácA)

4 Chứng minh:AD AE = AC AB

5 Chứng minh: Ba điểmB F D, , thẳng hàng vàF tâm đường tròn nội tiếp∆CDN

6 Gọi I tâm đường tròn ngoại tiếp

AEF

∆ Chứng minh điểm I nằm đường thẳng cố định điểmN di chuyển cung nhỏMB

Giải:

1 Có (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn)

Xét có:

chung

(g.g)

2 Có EC giao AN F nên F trực tâm

Mà thẳng hàng

Tứ giác ADFC có hai góc đối nên tứ giác ADFC tứ giác nội tiếp Suy (hai góc nội tiếp chắn

Tương tự ta có: (hai góc nội tiếp chắn

    180o

AME ADB BME ADB

⇒ = ⇒ + =

  90o

ADB= ANB= ADB

∆ ∆ACE

  90o

ADB=ACE=



EAC

ADB ACE

⇒ ∆ # ∆

( )

AD AB

AD AE AC AB Ðpcm

AC AE

⇒ = ⇒ =

; ,

AN ⊥EB EC ⊥AB ∆AEB⇒BF ⊥EA

, , BD⊥EA⇒B D F

90o

 

DCF =DAF DF)

 

(57)

Mà (cùng phụ với Suy CF phân giác

Tương tự có DF phân giác Vậy F tâm đường tròn nội tiếp

2 Gọi J giao điểm (I) với đoạn AB

Có

(1) Vì AEFJ tứ giác nội tiếp nên

(2)

Từ (1) (2) suy trung điểm BJ (vì )

Suy J điểm cố định

Có nên I thuộc đường trung trực AJ đường thẳng cố định

Câu 28. Cho ∆ABCnhọn(AB< AC)nội tiếp( ),O vẽ đường kínhAD.Đường thẳng qua

B vng góc vớiADtạiEvà cắtACtạiF GọiHlà hình chiếu củaBtrênACvàM trung điểm BC

4 Chứng minhCDEFlà tứ giác nội tiếp Chứng minhMHC +BAD=90 o

6 Chứng minhHC BC

HF + = HE

Giải:

 

DAF =NBF AEB) ⇒DCF =NCF



DCN



NDC DCN

∆

  90o 

FAC=CEB= −ABE ⇒ ∆FAC# ∆BEC g g( )

FC AC

CF CE BC AC

BC EC

⇒ = ⇒ =

  180o 

FJC=FEA= −AJF

( ) CF CJ

CFJ CAE g g CF CE CA CJ

CA CE

⇒ ∆ # ∆ ⇒ = ⇒ =

BC AC=CA CJ ⇒BC=CJ ⇒C J ≠B

(58)

1 Có (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn)

Vì nên mà hai góc vị trí đối

Suy tứ giác CDEF tứ giác nội tiếp

2 Vì M trung điểm cạnh huyền BC tam giác vuông BHC nên

cân M (tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền) Vì ABCD tứ giác nội tiếp nên:

3 Vì nên tứ giác nội tiếp

(hai góc nội tiếp chắn Mà theo ý ta có:

Suy H, E, M thẳng hàng Gọi N trung điểm FC

⇒ NM đường trung bình

MN // BF nên ta có:

(đpcm)

Câu 29. Cho∆ABCnhọn Đường trịn tâmOđường kínhBCcắt cạnhAB AC, điểmM N M, ( ≠B N, ≠C) GọiHlà giao điểm củaBNvàCM P; giao điểm

AH vàBC

5 Chứng minh tứ giácAMHNnội tiếp đường tròn

N

M H

F E

D O

C B

A

 90o

ACD=

BE⊥AD FED=90o⇒ FED+FCD=180o

MH =MC=MB⇒ ∆MHC

 

MHC MCH

⇒ =

       90 o

BAD=BCD⇒BAD+MHC=BCD+MCH =DCH = ,

BE⊥ AE BH ⊥AH BEA =BHA=90o⇒ABEH

 

BAE BHE

⇒ = BE)

 90o    

BAE= −MHC=BHM ⇒BHE=BHM

BFC

∆ ⇒

( )

2

2 2

1

HF FN

BC HM HN HF FC HF HC HC

HE HE HF HF HF HF HF

+ + +

(59)

6 Chứng minhBM BA =BP BC

7 Trong trường hợp đặc biệt khi∆ABCđều cạnh bằng2a Tính chu vi đường tròn ngoại tiếp tứ giácAMHN theo a

8 Từ điểmAkẻ tiếp tuyếnAEvàAFcủa đường trịn tâmOđường kínhBC(E F, tiếp điểm) Chứng minh ba điểmE H F, , thẳng hàng

Giải:

1 Ta có: nên M N

thuộc đường tròn đường kính AH

Vậy tứ giác AMHN nội tiếp đường trịn

2 Tứ giác AMPC có (do H trực tâm

của

Từ suy

3 Đường tròn ngoại tiếp tứ giác AMHN có đường kính AH

nên trực tâm H trọng tâm

Chu vi đường tròn ngoại tiếp tứ giác AMHN bằng:

Vậy chu vi đường tròn ngoại tiếp tức giác AMHN Ta có:

Xét có:

(cmt); chung

Nên (c.g.c) Suy

Tương tự ta có:

Mặt khác: Tứ giác AFOP AEOF nội tiếp đường trịn đường kính AO nên năm điểm

A, E, P, O, F thuộc đường trịn đường kính AO

 90 ;o  90o

AMH = ANH =



90

APC = )

ABC

∆ AMC=90o

( )

BMC BPA g g

⇒ ∆ # ∆

BM BC

BP BA

⇒ = ⋅ BM BA =BP BC

ABC

∆

2 3

3 3

AB a

AH AP

⇒ = ⋅ = ⋅ =

2

3 a AH π

π =

2

3 a

π ⋅

2

AH AE

AH AP AM AB AE

AE AP

= = ⇒ =

AHE

∆ ∆AEP

AH AE

AE = AP



EAP

AHE AEP

∆ # ∆  AHE= AEP ( )1

 AHF= AFP ( )2

E

F

P H

N

M

O

C B

(60)

Suy tứ giác AEPF nội tiếp đường tròn nên: Từ (1), (2) (3)

Vậy ba điểm E, H, F thẳng hàng

Câu 30. Cho∆ABCđều có đường caoAH Trên cạnhBClấy điểmMtùy ý(M không trùng với B C H, , ).GọiP Q, hình chiếu vng góc củaM lênAB AC,

4 Chứng minh tứ giácAPMQnội tiếp đường tròn xác định tâmOcủa đường tròn

5 Chứng minhOH ⊥PQ

6 Chứng minhMP+MQ=AH

Giải:

1 Xét tứ giác APMQ có: (gt)

Tứ giác APMQ

nội tiếp đường trịn đường kính AM

Gọi O trung điểm AM

tứ giác APMQ nội tiếp đường trịn tâm O đường kính AM

2 Ta có: (gt) nội tiếp

chắn đường trịn đường kính AM H thuộc đường trịn (O)

Ta có: (hai góc nội tiếp chắn ) (hai góc nội tiếp chắn

Mà ( nên AH vừa đường cao vừa đường phân giác)

cân

Mà (do (2)

Từ (1) (2) đường trung trực

Ta có: (do )

  180o ( )3

AEP+AFP=

    180o  180o

AHE AHF AEP AFP EHF

⇒ + = + = ⇒ =

  90o

APM =AQM =

  180o

APM AQM

⇒ + = ⇒

⇒

 90o

AHM = ⇒AHM

1

⇒

 

HPQ=HAC HQ

 

HQP=HAB HP)

 

HAC =HAB ∆ABC

 

HPQ HQP HPQ

⇒ = ⇒ ∆ H⇒HP=HQ( )1

OP=OQ P Q, ∈( )O )

OH

⇒ PQ⇒OH ⊥PQ

1 2 MAC

S = MQ AC = MQ BC

1 2 MAB

S = MP AB= MP BC AB=BC

M H

Q O

P

C B

(61)

1

(do )

2

MAC

S = MQ AC= MQ BC AC=BC

(do )

(đpcm)

Câu 31. Cho∆ABCcó ba góc nhọn nội tiếp đường trịn ( )O có bán kínhR=3cm

Các tiếp tuyến với( )O tạiBvàCcắt tạiD Chứng minh tứ giácOBDCnội tiếp đường tròn;

6 GọiMlà giao điểm củaBCvàOD BiếtOD=5(cm) Tính diện tích∆BCD

7 Kẻ đường thẳngdđi quaDvà song song với đường tiếp tuyến với ( )O A d, cắt đường thẳngAB AC, tạiP Q, Chứng minhAB AP = AQ AC

8 Chứng minhPAD =MAC

Giải:

1 Do DB, DC tiếp tuyến (O)

mà góc vị trí đối Tứ giác OBDC tứ giác nội tiếp

1 ABC

S = AH BC AC=BC

1 1

2 2

MAB MAC ABC

S +S =S ⇔ MP BC+ MQ BC= AH BC⇔MP+MQ= AH

x

M

Q

d

D

P

G

F

O

C B

A

  90o

OBD OCD

⇒ = =

  90o 90o 180o

OBD OCD

⇒ + = + =

(62)

2 Áp dụng định lý Pi-ta-go vào vng B

Ta có: (2 tiếp tuyến cắt nhau)

thuộc trung trực trung trực Áp dụng hệ thức lượng vào vng, ta có:

Vậy

3 Ta có: (2 góc so le

Mà (góc tạo tia tiếp tuyến cung góc nội tiếp chắn )

Xét có:

chung; (cmt)

(g.g)

4 Kéo dài BD cắt tiếp tuyến qua A đường trịn (O) F

Ta có: (đối đỉnh)

Mà (góc tạo tiếp tuyến dây cung, góc nội tiếp chắn ) (do

cân

Tương tự kéo dàu DC cắt tiếp tuyến qua A đường tròn (O) G

Ta chứng minh cân D

Lại có (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

D trung điểm PQ

Ta có: (cmt)

Xét có:

( - cmt);

(c.g.c) (đpcm)

OBD

∆

( )

2 2

5

DB OD OB cm

⇒ = − = − =

,

OB=OC=R BD=DC ;

O D

⇒ BC⇒OD BC⇒OD⊥BC

OBD

∆

( )

2

2 16

5

BD

DM DO BD DM cm

DO

= ⇒ = = =

( )

3.4 12

5

OB BD

BM OD OB BD BM cm

OD

= ⇒ = = =

( )2

1 16 12

7, 68

2 5

DBC

S = DM BC=DM BM = = cm

 APQ=BAx Ax/ /PQ)

 

xAB= ACB AB AB

 

APQ ACB

⇒ =

ABC

∆ ∆AQP



PAQ  APQ=ACB ABC AQP

⇒ ∆ # ∆ AB AC AB AP AC AQ

AQ AP

⇒ = ⇒ =

 

DBP=ABF

 

ABF = ACB AB

 

ACB=APD ∆ABC# ∆AQP)

  

DBP APD BPD DBP

⇒ = = ⇒ ∆ D⇒DB=DP

   

DCQ=ACG= ABC=DQC⇒ ∆DCQ DB=DC

DP DQ

⇒ = ⇒

ABC AQP

∆ # ∆

2

AB AC BC MC AC MC

AQ AP PQ PD AP PD

⇒ = = = ⇒ =

AMC

∆ ∆ADP

 

ACM = APD  ACB= APQ AC MC AP = PD AMC ADP

(63)

Câu 32. Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB = 2R Điểm C cố định nửa đường tròn Điểm M thuộc cung AC(M ≠A; C) HạMH ⊥ ABtại H Nối MB cắt CA E Hạ

EI ⊥AB I Gọi K giao điểm AC MH Chứng minh: BHKC AMEI tứ giác nội tiếp

6

AK AC= AM

7 AE AC +BE BM khơng phụ thuộc vào vị trí điểm M

1 Chứng minh tứ giác tứ giác tứ giác nội tiếp

(2 góc nội tiếp chắn nửa đường trịn)

Tứ giác có:

Mà góc vị trí đối Tứ giác tứ giác nội tiếp Tứ giác có:

Mà góc vị trí đối Tứ giác tứ giác nội tiếp

2 Xét có:

chung

(g.g)

(1)

Áp dụng hệ thức lượng vuông M, có MH đường cao, ta có: (2)

Từ (1) (2) ta có

3. Xét có: chung

(g.g)

BHKC AMEI

  90o

AMB=KCB=

BHKC

  180o

KHB+KCB=

⇒ BHKC

AMEI

  180o

AMB+EIA=

⇒ AMEI

AHK

∆ ∆ACB

  90o

AHK = ACK =



CAB

AHK ACB

⇒ ∆ # ∆

AH AK

AC AB

⇒ = ⇒AH AB = AC AK

AMB

∆

2

AH AB=AM

( )

2

AK AC AM Ðpcm

⇒ =

AEI

∆ ∆ABC

  90o

AIE=ACB=



CAB

AEI ABC

⇒ ∆ # ∆

K

I E

H M

C

O B

(64)

(3)

Xét có:

chung

(g.g)

(4)

Từ (3) (4)

Vậy không phụ thuộc vào M

Tứ giác có:

Mà góc vị trí đối tứ giác tứ giác nội tiếp

(2 góc nội tiếp chắn cung Từ câu 1, ta có tứ giác tứ giác nội tiếp

(2 góc nội tiếp chắn cung Mà (2 góc nội tiếp chắn cung

mà đỉnh nhìn cạnh MC

thuộc đường tròn

Vậy đường tròn ngoại tiếp tam giác qua hai điểm cố định O C

Câu 33 Cho đường tròn(O; R)và điểm A cố định ngồi đường trịn Vẽ đường thẳng d ⊥OAtại A Trên dlấy điểm M Qua M kẻ tiếp tuyến ME, MF tới đường tròn (O) Nối

EF cắt OM H, cắt OA B

5 Chứng minh ABHM tứ giác nội tiếp

6 Chứng minh

OA OB=OH OM =R

7 Chứng minh tâm I đường tròn nội tiếp tam giác MEF thuộc đường tròn cố định M di chuyển d

8 Tìm vị trí M để diện tích∆HBOlớn

AE AB

AE AC AB AI AI AC

⇒ = ⇒ =

BEI

∆ ∆BAM

  90o

BIE=BMA=



ABM

BEI BAM

⇒ ∆ # ∆

BE BA

BE BM BI BA

BI BM

⇒ = ⇒ =

( )

AE AC BE BM AB AI BI

⇒ + = +

2

AE AC BE BM AB R

⇒ + = =

AE AC+BE BM

BCEI   90o

BCE+EIB=

⇒ BCEI  

EIC EBC

⇒ = EC)

AMEI  

EIM EAM

⇒ = ME)

 

EBC =EAM MC)

   2. 

MIC =EIC+EIM = EAM =MOC , , ,

M C I O

⇒

(65)

Giải:

1 Chứng minh ABHM tứ giác nội tiếp Có ME = MF và MO phân giác nên

tại H Mà tứ giác nội

tiếp

vng

3 Có EI phân giác Mà

cân

4 Vì cố định

đường trịn đường kính OB Gọi K trung điểm

Hạ

Mà Dấu “=” xảy

Vậy vuông cân H MO tạo với OA góc

Câu 34 Cho (O; R) điểm A thuộc đường tròn Kẻ tiếp tuyến Ax với đường tròn Trên Ax lấy điểm H cho AH < R Dựng đường thẳng d ⊥Ax H Đường thẳng dcắt đường tròn E B (E nằm H B)

2 Chứng minh ∆ABH # ∆EAH

4 Lấy điểm C thuộcAxsao cho H trung điểm AC Nối CE cắt AB K Chứng minh

AHEK tứ giác nội tiếp

5 Tìm vị trí H trênAxsao choAB=R

Giải :

1 Chứng minh

Ta có: sđ (t/c góc tạo tia tiếp tuyến dây cung) sđ (góc nội tiếp chắn cung



EMF

MO⊥EF MA⊥OA⇒MABH

OHB OAM OB OA OH OM

∆ # ∆ ⇒ =

EMO

∆ 2

E⇒OH OM =OE =R ;

I∈MO MEH

  90o

MEI+IEO=

  90o  

IEH+OIE= ⇒OIE=IEO OIE

⇒ ∆ O⇒OI =OE= ⇒ ∈R I ( ; ).O R

2

R

OB OA R OA B

OA

= ⇒ = ⇒

 90o

OHB= ⇒H∈

OB⇒KB=KO=HK HN ⊥OB

max max HBO

S ⇔HN HN ≤HK H ≡K

max HBO

S ⇔ ∆HBO ⇔ 45 o

AHB EAH

∆ # ∆



2

EAH = AE



2

ABE= AE AE)

B H

F

E

(66)

Xét có: chung

Ta có: cân

Mà

Mà góc vị trí đối diện tứ giác nội tiếp

3 Tìm vị trí cho

Kẻ

Vậy cần lấy điểm cho

Câu 35. Cho∆ABCvng A Trên cạnhAClấy điểmM, dựng đường trịn tâm( )O có đường kínhMC.Đường thẳngBMcắt đường trịn tâm( )O tạiD, đường thẳngADcắt đường tròn tâm( )O tạiS

4 Chứng minh tứ giácABCDlà tứ giác nội tiếp vàCAlà tia phân giác gócBCS

AHB

∆ ∆EAH

 ( )

EAH =ABE cmt



AHB

( ) AHB EAH g g

⇒ ∆ # ∆

AHEK

EH AC

EAC

AH HC

⊥ ⇒ ∆ 

=  E

   

ECH EAC KCA ABH

⇒ = ⇒ =

  90o

ABH+BAH =

  90o

KCA BAH

⇒ + =

 90o

CKA

⇒ =

AHEK

  90o 90o 180o

AKE+EHA= + =

⇒ AHEK

H Ax

3

AB=R OI ⊥AB I

3 R AI IB

⇒ = =

  

cos 30 60

2

o o

OAI OAI BAC

⇒ = ⇒ = ⇒ =

1

.cos 60

2

o R

AH AB R

⇒ = = ⋅ =

H Ax

2 R

AH = AB=R

I K

C

B

E

d

H x

O

(67)

5 Gọi E giao điểm củaBCvới đường tròn( )O Chứng minh đường thẳng

, ,

BA EM CDđồng quy

6 Chứng minhMlà tâm đường tròn nội tiếp tam giácADE

Giải:

1 Ta có (giả thiết)

A, D nhìn BC góc nên tứ giác ABCD nội tiếp

Vì tứ giác ABCD nội tiếp (cùng chắn cung AB) (1) Ta có tứ giác DMCS nội tiếp

(cùng bù với (2) Từ (1) (2)

là phân giác

2 Giả sử BA cắt CD K Ta có

M trực tâm Mặt khác (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

thẳng hàng hay BA, EM, CD đồng quy K

3 Vì tứ giác ABCD nội tiếp (cùng chắn cung DC) (3) Mặt khác tứ giác BAME nội tiếp

(cùng chắn cung ME) (4)

Từ (3) (4) hay AM tia phân giác

Chứng minh tương tự ta có: hay DM tia phân giác Vậy M tâm đường tròn nội tiếp

* Lưu ý: Để chứng minh ba đường thẳng đồng quy, phương pháp thường dùng chứng

minh ba đường thẳng ba đường cao, ba đường trung tuyến, ba đường phân giác tam giác

Câu 36 Cho đường tròn(O R; ), đường kínhAB.ĐiểmHthuộc đoạn OA Kẻ dây CD vng góc vớiABtạiH.Vẽ đường trịn( )O1 đường kínhAHvà đường trịn( )O2 đường

 90o

BAC=

 90o

MDC=

90o

 ADB ACB

⇒ =

 

ADB ACS

⇒ =

).

MDS

 

BCA ACS

⇒ = ⇒CA



BCS

,

BD⊥CK CA⊥BK

⇒ ∆KBC MEC=90o

, ,

K M E

⇒

 

DAC DBC

⇒ =

 

MAE MBE

⇒ =

 

DAM MAE

⇒ = DAE

 ADM =MDE ADE.

ADE

∆

K S

D

O E

M C

B

(68)

kính BH Nối AC cắt đường trịn( )O1 N NốiBCcắt đường tròn( )O2 M.Đường

thẳngMNcắt đường trịn(O R; )tạiEvàF

5 Chứng minhCMHNlà hình chữ nhật Cho AH =4cm,BH =9cm Tính MN

7 Chứng minhMNlà tiếp tuyến chung hai đường tròn ( )O1 ( )O2

8 Chứng minhCE=CF =CH

Giải:

1 Chứng minh hình chữ nhật:

Ta có: (các góc

nội tiếp chắn nửa đường trịn)

CMHN hình chữ nhật

2 Áp dụng hệ thức lượng tam giác vuông ACB:

Suy

3 Gọi I giao điểm CH MN Theo tính chất hình chữ nhật:

cân I Lại có:

Chứng minh tương tự:

Do MN tiếp tuyến chung OC cắt MN K, cắt (O; R) Q

Có Mà

tại K

Áp dụng hệ thức lượng tam giác vuông FCQ: (1) CMHN

   90o

AMH = ACB=HNB=

   90o

MCN CMH CNH

⇒ = = =

⇒

2

4.9 36

CH =AH HB= =

6 ( )

CH = ⇒MN = cm

IM =IN =IC=IH⇒ ∆IMH

 

IMH IHM

⇒ =

2

O M =O H ⇒O MH 2 =O HM2

 

2 90

o

O MI O HI

⇒ = =



1 90

o

O NI =

1

(O) (O2)

  90 o

CDQ CFQ

⇒ = =

OC=OB=R ⇒OCB =OBC

2 2

O M =O B=R ⇒O MB 2 =OBN ⇒O MB 2 =OCB

2 / /

O M OC

⇒ ⇒OC⊥MN

2

CF =CK CQ

Q K

I

F

E

M N

D C

O2

O1 H O

(69)

Có Mà

Do (3)

Từ (1); (2) (3)

Có cân C

Vậy

Câu 37. Cho đường trịn(O R; )có hai đường kính vng gócABvà CD Gọi I trung điểm OB.Tia CI cắt đường tròn (O; R) E Nối AE cắt CD H; nối BD cắt AE

K

5 Chứng minh tứ giácOIEDnội tiếp

6 Chứng minh

AH AE= R Tính tanBAE

8 Chứng minh OK vng góc với BD.

Giải:

1 Ta có CD đường kính đường trịn (O; R) nên Theo giả thiết

Do đó:

Suy tứ giác OIED tứ giác nội tiếp

3 Ta có:

Suy EI là phân giác Do

Vậy

( ) CKI CDQ g g

∆ # ∆ ⇒CK CQ =CI CD ( )2

OH ⊥CD⇒HC=HD

2

1

2

CI CD= CH CH =CH

2

CF CH CF CH

⇒ = ⇒ =

OK ⊥EF ⇒KE=KF⇒ ∆CEF ⇒CE=CF

CE=CF =CH

 90o

CED=

 90o

BOD=

  180o

IED+IOD=

(g g)

AOH AEB

∆ # ∆

AO AH

AE AB

⇒ =

AE AH AO AB R

⇒ = =

 1

45

o

BEC= BOC=

 1

45

o

AEC= AOC=



AEB

1

EB IB EA IA

⇒ = =



tan

3

BE BAE

AE

= =

K H

E I

D C

O

(70)

4 Xét vuông O, ta có H trọng tâm tam giác DAB

Do AK đường trung tuyến tam giác DAB

Suy KB = KD Vì (quan hệ đường kính – dây cung)

Câu 38. Cho đường tròn tâm O, bán kính R, đường kính AD Điểm H thuộc đoạn OD Kẻ dâyBC⊥ADtại H Lấy điểm M thuộc cung nhỏ AC, kẻCK ⊥ AM K Đường thẳng

BM cắt CK N

5 Chứng minh

AH AD= AB

6 Chứng minh tam giác CAN cân A

7 Giả sử H trung điểm OD Tính R theo thể tích hình nón có bán kính đáy

HD, đường cao BH

8 Tìm vị trí M để diện tích tam giác ABN lớn

Giải:

1 Tam giác ABD vuông B,

nên

2 Do cân

tại A

Mà nên

(1)

Tứ giác ABCM nội tiếp đường tròn (O;

R) nên (cùng bù với )

(2)

Từ (1) (2)

Lại có (giả thiết) cân

tại M

Tam giác CAN có KC = KN nên cân A

3 Khi OH = HD, tam giác BOD cân B , mà nên tam giác OBD

đều

OHA

∆ tan

3

OA OD OH =OA OAH = =

OK ⊥DB

BH ⊥ AD

2

AH AD=AB

AH ⊥BC⇒HB=HC⇒ ∆ABC

 .

ABC= ACB

 

ACB=AMB  ABC=AMB

 

ABC KMN

⇒ =

 

ABC=KMC AMC

 .

KMN KMC

⇒ =

MK ⊥CN ⇒ ∆MCN

KC KN

⇒ =

AK⊥CN ∆ACN

BO BD

⇒ = OB=OD=R

 60o

BOH

⇒ = sin 60

2

o R

BH OB

⇒ = = ⋅

K E

M

I

N

C B

H

O D

(71)

Thể tích hình nón

Trong đó: ,

Vậy

4 Hạ Vì AB khơng đổi nên lớn NE lớn Ta có: AN = AC không đổi

Mà dấu xảy Lấy I đối xứng với B qua O Khi NA đi qua I

Mặt khác AM phân giác nên M điểm cung nhỏ IC Vậy điểm M cần tìm điểm cung nhỏ IC

Câu 39. Cho nửa đường trịn (O;R) đường kính BC Điểm A thuộc nửa đường trịn

(AC≤AB) Dựng phía ngồi∆ABCmột hình vng ACED Tia EA cắt nửa đường trịn F Nối BF cắt ED K

5 Chứng minh điểm B, C, D, K thuộc đường tròn Chứng minhAB=EK

7 Cho ABC=30 ;o BC=10cm Tính diện tích hình viên phần giới hạn dây AC cung nhỏ AC.

8 Tìm vị trí điểm A để chu vi tam giác∆ABClớn

Giải:

1 hình vng

Tứ giác nội tiếp đường tròn

(cùng bù với góc

tứ giác nội tiếp

2 Có:

Mà tứ giác tứ giác nội tiếp Lại có: (cạnh hình vng)

2

1

V = π r h

2

R

r=HD=

2 R h=BH =

2

1 3

3 2

R R R

V = π⋅ ⋅ =π ⋅

NE⊥AB SABN

,

NE≤NA E≡A E≡A

 90o

NAB=



NAC

ACED

  45o

CAE CDE

⇒ = =

BCAF

 

( )O ⇒FBC=CAE

)

CAF

    180o

FBC CDE FBC CDK

⇒ = ⇒ + =

BCDK

⇒

 90o 

BAC= =CEK BCDK

   .

ABC CKD ACB ECK

⇒ = ⇒ =

(72)

Suy (cạnh góc vng – góc nhọn)

3 Vì nên tam giác tam giác

Kẻ ta có

Gọi diện tích hình viên phân S, ta có:

4 Chu vi lớn lớn Áp dụng BĐT

Ta có:

Dấu xảy A điểm nửa đường trịn đường kính BC

Câu 40. Cho đường trịn (O;R) đường kính AC cố định Kẻ tiếp tuyến Ax với đường tròn A Lấy M thuộc Ax, kẻ tiếp tuyến MB với đường tròn B (B khác A) Tiếp tuyến đường tròn C cắt AB D Nối OM cắt AB I, cắt cung nhỏ AB E

5 Chứng minh OIDC tứ giác nội tiếp

6 Chứng minh tích AB.AD khơng đổi M di chuyển Ax Tìm vị trí điểm M Ax để AOBE hình thoi

8 Chứng minhOD⊥MC

Giải:

1 Có nên OM trung trực AB nên

Lại có nên OIDC tứ giác nội tiếp

2 Có (góc nội tiếp chắn nửa

đường trịn)

Mà vng C nên khơng đổi

3 AOBE hình thoi vuông A nên

ABC EKC

∆ = ∆ ⇒AB=EK

 30o

ABC = AOC=60 ,o OAC

,

AH ⊥BC sin 60

2

o R

AH =OA =

quat AOC AOC

S=S −S

2

60 360

o o

S= π R − OC AH

2

3 25(2 3)

( )

6 12

R R

R cm

π π  π−

= − =  − =

 

ABC

∆ ⇔ AB+AC 2(x2+y2)≥(x+y)2

2 2 2

(AB+AC) ≤2(AB +AC )=2BC =8R ⇒AB+AC≤2 R

''='' AB=AC⇔

;

MA=MB OA=OB=R OI ⊥ AB IA=IB

OC⊥CD OID OCD + =180o ⇒

 90o

ABC=

ACD

∆

AB AD=AC

AE EB BO OA

⇔ = = =

AOE

⇔ ∆ ⇔AOE=60o AOM

∆

.tan 60o

AM =OA =R

D

I E

C M

O

B

(73)

4 (cùng phụ với ), Nên

Mà , suy

Do

Câu 41. Cho đường trịn(O R; )đường kính AB

điểm C thuộc đường trịn Gọi M N điểm cung nhỏ AC BC Nối MN cắt

AC I. HạND⊥ AC Gọi E trung điểm BC

Dựng hình bình hành ADEF TínhMIC

6 Chứng minh DN tiếp tuyến đường tròn

(O R; )

7 Chứng minh F thuộc đường tròn (O R; )

8 Cho CAB =30 ;o R=30cm Tính thể tích hình

tạo thành cho∆ABCquay vòng quanh

AB

Giải:

1

2 Có:

Lại có:

Mà hình chữ nhật

tại tiếp tuyến Theo tính chất hình chữ nhật ta có:

Mà // (cùng

thẳng hàng Suy tứ giác nội tiếp

4 Hạ Tam giác có nên

Do đó, tam giác

 

AMO=BAC MAB  MAO=OCD=90o

( ) AM AO

AMO CAD g g

AC CD

∆ # ∆ ⇒ =

OA=OC=R AM OC tanMCA tanODC

AC =CD ⇒ =

    90 o

MCA ODC ODC MCD

⇒ = ⇒ + = OD⊥MC

    

( ) 45 135

2

o o

MIA= s Mđ A s+ đCN = s ABđ = ⇒MIC=  

NC=NB⇒ON ⊥BC E

 90o  90 o

ACB= ⇒DCE=

( )

ND⊥CD gt ⇒CEND

DN ON

⇒ ⊥ N ⇒DN ( )O

 

EDC =NCD

      180 o

EDC= ⇒ =F F DNC⇒ +F ACN = ON AC ⊥CB)

, , ,

N E O F

⇒ ACNF ⇒ ∈F ( )O

CK ⊥AB ABC A=30 ,o C=90o B=60o OBC

∆ ; ;

2

R R

BK KO BC R CK

⇒ = = = = ⋅

K

F

E D

I

N M

O C

(74)

Khi quay vòng quanh có hai hình nón tạo thành: hình nón đỉnh hình nón đỉnh có tâm hình trịn đáy bán kính

Gọi thể tích tạo thành V, ta có:

Câu 42. Cho đường tròn (O R; )với dây AB cố định Gọi I điểm cung lớn

AB Điểm M thuộc cung nhỏ IB. Hạ AH ⊥IM AH; cắt BM C Chứng minh ∆IABvà∆MAClà tam giác cân

5 Chứng minh C thuộc đường tròn cố định M chuyển động cung nhỏ IB

6 Tìm vị trí M để chu vi ∆MAClớn

Giải:

1 Vì cân

Tứ giác nội tiếp (cùng bù với

) Ta có:

Lại có: cân

2 Từ chứng minh đường trung trực

không đổi thuộc đường trịn

3 Chu vi

Có ( khơng đổi )

Đặt Ta có:

Vậy chu vi

Chu vi lớn lớn thẳng hàng

Câu 43. Cho đường trịn(O R; )đường kính AB Kẻ

tiếp tuyến Ax với đường tròn Trên Ax lấy điểm ABC

∆ AB A,

B K, CK

2 2

1 1

( )

3 3

V = πCK AK+ πCK BK= πCK AK+BK

2

1

500 ( )

3

R R

CK AB R π cm

π π π

= = ⋅ ⋅ = =

 

IA=IB⇒IA=IB⇒ ∆IAB I

ABMI ⇒IAB =IMC



IMB

     ; ;

IAB=IBA IBA=IMA IAB=IMC

 

IMA IMC

⇒ =

MH ⊥ AC⇒ ∆MAC M

MI

⇒

AC IC IA

⇒ = ⇒C ( ;I IA)

2( )

MAC MA MC AC MA AH

∆ = + + = +

 

HMA=IBA IBA<90o

 

HMA=IAB=α AH =MA.sinα

2 (1 sin )

MAC MA α

∆ = +

MAC

∆ MA ⇔ A O M, ,

C H

M

I

B A

O

H

I E d

M x

K

O B

(75)

( )

K AK ≥R Qua K kẻ tiếp tuyến KM với đường tròn (O) Đường thẳng d⊥ ABtại O, d cắt MB E

5 Chứng minh KAOM tứ giác nội tiếp;

6 OK cắt AM tại I Chứng minh OI.OK không đổi K chuyển động Ax; Chứng minh KAOE hình chữ nhật;

8 Gọi H trực tâm của∆KMA Chứng minh K chuyển động Ax H

thuộc đường tròn cố định

Giải:

1 nội tiếp

2 Theo tính chất tiếp tuyến:

phân giác I

Áp dụng hệ thức lượng tam giác vuông vào tam giác vng ta có

3 Có // (cùng

Mà

mà //

là hình chữ nhật

4 trực tâm // //

Do hình bình hành

Vậy thuộc đường tròn

Câu 44. Cho đường trịn (O) đường kínhAB=2 R Gọi C trung điểm OA Dây MN ⊥AB C Trên cung MB nhỏ lấy điểm K Nối AK cắt NM H

5 Chứng minh BCHK tứ giác nội tiếp

6 Chứng minh tíchAH AK khơng đổi K chuyển động cung nhỏ MB

7 Chứng minh∆BMNlà tam giác

8 Tìm vị trí điểm K để tổng KM +KN+KB lớn

Giải:

  90o

KAO=KMO= ⇒KAOM

KA=KM

KO AKM ⇒KO⊥AM

AOK

2

OI OK =OA =R

OK BM ⊥AM)⇒KOA =EBO

 

; 90o

OA=OB=R KAO=EOB= ( )

AKO OEB c g c

⇒ ∆ = ∆

, AK OE

⇒ = AK OE, KAO=90o

AKEO

⇒

H ∆KMA⇒ AH ⊥KM MH, ⊥KA⇒AH OM MH, OA

AOMH ⇒AH =OM =R

(76)

1 Có nên tứ giác tứ giác nội tiếp

2

3 Vì cân

vng

Do

Mà (tính chất tam giác cân)

Do tam giác

4 Trên lấy E cho

Vì tam giác nên

Do

Lại có: (cùng cộng với

Từ

lớn lớn thẳng hàng

Câu 45 Cho đường trịn(O R; )và điểm A ngồi đường tròn Qua A kẻ tiếp tuyến

,

AB ACtới đường tròn (B C tiếp điểm) I điểm thuộc đoạn BC IB( <IC)

Kẻ đường thẳng d ⊥OItại I Đường thẳng d cắt AB, AC E F Chứng minh OIBE OIFC tứ giác nội tiếp

 90 ;o  90o

BKA= MCB= ⇒ HCB+HKB=180o BCHK

2

( ) AC AH

ACH AKB g g AH AK AB AC R

AK AB

∆ # ∆ ⇒ = ⇒ = =

OC⊥MN⇒CM =CN⇒ ∆BMN B MAB

∆ M 2

AM AC AB R

⇒ = =

AM R

⇒ = sin  30

2

o

MA

MBA MAB

MB

= = ⇒ =

 

MCB=NCB ⇒MNB =60o

MNB

∆

KN KE=KM

BMN MBN=60o⇒MKN =60o⇒ ∆KME ME=MK KME=60o

MB=MN  KMB=EMN BME=60 )o

( )

KMB EMN c g c KB EN

⇒ ∆ = ∆ ⇒ =

2

KM +KB=KN⇒ =S KM +KN+KB= KN

S ⇔KN ⇔K O N, ,

E H

K

N M

C O B

(77)

6 Chứng minh I trung điểm EF

7 K điểm cung nhỏ BC Tiếp tuyến đường tròn (O) K cắt AB; AC

M N Tính chu vi∆AMN nếuOA=2R

8 Qua O kẻ đường thẳng vng góc với OA cắt AB, AC P và Q Tìm vị trí A để

APQ

S nhỏ

Giải :

1 Có (tính chất

tiếp tuyến)

nội tiếp nội tiếp

2 Tứ giác nội tiếp Tương tự

Mà

cân Mà (Đpcm)

3 Có

Suy chu vi

4 Có phân giác cân

mà khơng đổi, nhỏ nhỏ

vng O

Mà dấu xảy

vuông cân

Câu 46 Cho đường tròn( )O ( )O' cắt hai điểmA B, phân biệt Đường thẳng OA cắt ( ) ( )O ; O' điểm thứ haiC D, Đường thẳng O A' cắt ( ) ( )O ; O'

tại điểm thứ haiE F,

4 Chứng minh đường thẳngAB CE, DFđồng quy điểm I

,

OB⊥AB OC⊥ AC

  90o

OIE OBE OIBE

⇒ = = ⇒

  180o

OIF+OCF= ⇒OIFC

OIBE

 .

OEI OBI

⇒ =

 .

OFI =OCI OB=OC=R

   

OBI OCI OEI OFI

⇒ = ⇒ =

OEF

⇒ ∆ O OI ⊥EF⇒IE=IF ,

MK =MB NK =NC

2 2

2 2 3

AMN AC AB AC AO OC R R

∆ = + = = − = =

AO PAQ PQ, ⊥AO⇒ ∆APQ A⇒SAPQ =2SAOQ

APQ

S = AQ OC OC=R SAPQ ⇔ AQ

OAQ

∆ 2

AC CQ OC R

⇒ = =

2 ,

AQ= AC+CQ≥ AC CQ = R ''='' AC=CQ

APQ

S ⇔ AC=CQ⇔ ∆OQA O⇔ =A 45o⇔OA=R

N M

K

Q P E

F

d

I

O

C B

(78)

5 Chứng minh tứ giácBEIFnội tiếp đường tròn

6 ChoPQlà tiếp tuyến chung của( )O ( )O' (P∈( )O Q, ∈( )O' ) Chứng minh

đường thẳng ABđi qua trung điểm đoạn thẳngPQ

Giải:

1 Ta có: (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn)

Nên B, C, F thẳng hàng

Có AB; CE DF đường cao nên chúng đồng quy

2 Do suy BEIF nội tiếp đường tròn

3 Gọi H giao điểm AB PQ

Ta chứng minh Tương tự,

Vậy hay H trung điểm PQ

Câu 47. Cho hai đường tròn (O R; )và(O R'; ')với R>R'cắt tạiAvà B Kẻ tiếp

tuyến chungDEcủa hai đường tròn vớiD∈( )O vàE∈( )O' choBgần tiếp tuyến so vớiA

4 Chứng minh rằngDAB =BDE

5 TiaABcắtDE tạiM Chứng minhM trung điểm củaDE

6 Đường thẳngEB cắtDAtại P, đường thẳngDBcắtAEtại Q Chứng minh rằngPQ song song vớiAB

Giải:

 90o

ABC=

 90o

ABF =

ACF

∆

  90o

IEF=IBF =

2

HP HA

AHP PHB HP HA HB

HB HP

∆ # ∆ ⇒ = ⇒ =

2

HQ =HA HB HP=HQ

Q H

P

O' O

I

F E

D

C B

(79)

1 Ta có = sđ (góc nội tiếp)

= sđ (góc tiếp tuyến dây cung)

Suy

2 Xét ∆DMB và ∆AMD có: chung,

Nên ∆DMB ∆AMD (g.g)

⇒ hay

Tương tự ta có: ∆EMB ∆AME⇒ hay

Từ đó: MD = ME hay M trung điểm DE

3 Ta có

⇒ =

⇒ Tứ giác APBQ nội tiếp ⇒

Kết hợp với suy

Hai góc vị trí so le nên PQ song song với AB

Câu 48. Cho đường (O R; )và đường thẳng dkhơng quaOcắt đường trịn hai điểm ,

A B Lấy điểmMtrên tia đối tiaBAkẻ hai tiếp tuyến MC MD, với đường tròn (C D, tiếp điểm) GọiHlà trung điểm củaAB;

Q B

P

M D

O' O

B

A



DAB

2



DB



BDE

2



DB

 

DAB=BDE



DMA

 

DAM =BDM

#

MD MA

MB =MD

2

MD =MA MB

# ME MA

MB = ME

2

ME =MA MB

 ,

DAB=BDM EAB =BEM

 

PAQ+PBQ       180o

DAB+EAB+PBQ=BDM +BEM+DBE=

 

PQB=PAB

 

(80)

4 Chứng minh điểmM D O H, , , nằm đường tròn

5 Đoạn OM cắt đường tròn tạiI Chứng minh rằngIlà tâm đường tròn nội tiếp tam giácMCD

6 Đường thẳng qua O, vng góc với OMcắt tiaMC MD, thứ tự tạiPvà Q Tìm vị trí điểm Mtrên dsao cho diện tích tam giácMPQ bé

Giải:

1 Vì H trung điểm AB nên hay

Theo tính chất tiếp tuyến ta lại có hay

Suy điểm M, D, O, H nằm đường trịn Theo tính chất tiếp tuyến, ta có MC = MD⇒∆MCD cân M

⇒MI đường phân giác

Mặt khác I điểm cung nhỏ nên sđ = sđ =

⇒ CI phân giác Vậy I tâm đường trịn nội tiếp ∆MCD

3 Ta có ∆MPQ cân M, có MO đường cao nên diện tích tính:

Từ S nhỏ ⇔MD + DQ nhỏ

Mặt khác, theo hệ thức lượng tam giác vuông OMQ ta có khơng đổi nên MD + DQ nhỏ ⇔DM = DQ = R

Khi OM = hay M giao điểm d với đường trịn tâm O bán kính

Q P

I H

D

C M

d O

B

A

OH ⊥AB OHM =90 o

OD⊥DM ODM =90 o



CMD



CD 

2

DCI = DI

2



CI MCI

.

MCD

1

2 ( )

OQM

S= S = OD QM =R MD+DQ

2

DM DQ=OD =R

2

(81)

Câu 49. Cho ∆ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O R; ) Ba đường cao

; ;

AD BE CF cắt H GọiI trung điểmBC, vẽ đường kínhAK Chứng minh ba điểmH I K, , thẳng hàng

6 Chứng minhDA DH =DB DC

7 Cho 

60 ; ABC 20

BAC= S = cm Tính SABC

8 Cho BCcố định;Achuyển động cung lớnBCsao cho∆ABCcó ba góc nhọn Chứng minh điểmHln thuộc đường trịn cố định

Giải:

1 Vì B C thuộc đường trịn đường kính

AK:

Do

hình bình hành

Mà I là trung điểm BC nên I trung điểm HK

Suy H; I; K thẳng hàng

2 Ta có (cùng phụ với )

nên Suy Vì

Suy chung

Do Mà Suy

4 Lấy O’ đối xứng với O qua I suy O’ cố định

Ta có nên OI đường trung bình

Do

  90o

ABK=ACK =

/ /

BH CK CH / /BK ⇒BHCK

 

HBD=DAC ACB

( )

DBH DAC g g

∆ # ∆

DB HD

DB DC DA DH

DA= DC ⇒ =

  90o ( ).

AEB= AFC= ⇒ ∆AEB# ∆AFC g g



;

AE AB

BAC AF = AC

( ) AEF ABC c g c

⇒ ∆ # ∆

2

AEF ABC

S AE

S AF

  =  



60 o

AE

cosBAC cos

AB = = =

2

1

4 80

4

AEF

ABC AEF ABC

S

S S cm

S = ⇒ = =

;

IH =IK OK=OA=R ∆KHA

/ /

OI AH

2

OI = AH

O'

K H

I D

F

E O

C B

(82)

Suy nên hình bình hành

Do (khơng đổi)

Vậy H thuộc đường trịn (O’;R) cố định

Câu 50. Cho đường tròn (O; R) có hai đường kính vng góc AB CD Lấy K thuộc cung nhỏ AC, kẻ KH ⊥ABtại H Nối AC cắt HK I, tia BC cắt HK E; nối AE cắt đường tròn (O;R) F

5 Chứng minh BHFE tứ giác nội tiếp Chứng minh EC.EB = EF.EA

7 Cho H trung điểm OA Tính theo R diện tích∆CEF

8 Cho K di chuyển cung nhỏ AC Chứng minh đường thẳng FH qua điểm cố định

Giải:

1 Do F thuộc đường trịn đường kính AB nên

Suy tứ giác nội tiếp

2 Có chung

Nên

3 Từ chứng minh suy AC, BF, EH đường cao nên chúng cắt I

Do chung nên

(cạnh – góc – cạnh)

Vì nên vng cân O

Do vng cân

Mà nên

'/ / , '

OO AH OO =AH OO HA' '

O H =OA=R

 90o

AFB=

  90o

BFE=BHE= ⇒BHFE

  90 ;o 

ECA=EFB= AEC

( ) EC EA

ECA EFB g g EC EB EA EF

EF EB

∆ # ∆ ⇒ = ⇒ =

EAB

∆

EC EA

EF = EB



AEB ∆ECF# ∆EAB

( )

2

1 ECF

EAB

S EC

S EA

  =  

OB=OC=R ∆OBC  45o

OBC

⇒ =

HBE

∆

2

R H⇒EH =HB= ⋅

2

R AH =

2 2

2 2 10 10

4 4

R R R R

AE =AH +HE = + = ⇒ AE=

F E

I

H K

O

D C

(83)

Tương tự

Lại có: (cùng ) nên

4 Các tứ giác BEFH AHCE nội tiếp nên

Suy

Có nên cân H nên

Do mà

Suy F; H; D thẳng hàng Suy FH qua D cố định

2

2 2

2

R R

BE =HB +HE = ⇒BE=

/ /

OC EH ⊥ AB 1

3

EC HO R

EC EB

EB = HB = ⇒ = =

2 2

1 1

5 ECF EAB 10

EC R

S S EH AB

EA

 

⇒  = ⇒ = = ⋅ ⋅ ⋅ =  

   ;  

AEB=CHB AEB= AHF⇒ AHF=CHB

 

AHF =DHB ,

HO⊥OC OC=OD ∆HCD  AHF =DHB

 AHF =DHB   180o   180o

Định dạng
Số trang	83
Dung lượng	2,28 MB